장음표시 사용
121쪽
DEscendendo ad speciales cujuslibet curvae naturas,inis numera alia iucunda Theoremata hinc orirentur, quae lectoribus meis, ad exercendam geometricam methΟ-du, exponenda relinquo; idemq. in sequentibus observabo.
.Xm,& ordinatis ae , m b, suarum haec secet priorem NXMin H, ductaque M I ad ordinatas perpendiculari, erit nN .m H:: ωX . Xm, sives ob infinith parvam differentiam , quae per coσoll. a. prop. 3. is I rix. non alterat proportionem Τr: NX. XM:: VX. X F, at vero mH. Mi :: NG. XV ob similitudinem triangulorum MmΗ, NGX ergo ex aestu perturbath u N. MI::NG. X F.': ΒΜ. N Peae et ras. ideoque rectangula PNO, M perpetuo aequantur ; unde liquet propositum. . cram . I. Si punctum X fuerit in axe C B, tum coina vident
122쪽
X F fiet X B, & expeditior ev det constructio . COROLL. H. Pro vario situ puncti X, quodve citra,vel ultra axem, vel in axe , ob in peri- metro figurae , vel, intra ipsam , vel supra, vel infra sumi potest; necnon pro varia. distantia rectae V N ad eodem fixo. puncto X, 'variatur species,. & forma, figurae V P N, manente semper ejus aequalitate cum ipsa CMB , quae ideo infinitis modis in alias , &: alias aequales figuras etiam per hanc methodum. poterit transkrmati. μCOROLL. t II. Si linea Misrecta fuerit axi parallel , tum recta X G coincidet cum X V , eritque iliam N U . X B :: ΒΜ. N P,&curva Pp erit hyperbolaia quadraticae, nam facta XV
MBX , adeoque BKm est autem, ex curvae Pp constri ictione V N, scilicet to ad XB , nempe , a. r; ut B M ad N P ; ergo liso ra , ω ideo .aa:: b. N P; seu quadrata abseissarum N V, Un sunt reciproc ut ordi, natae ν , N P itaque hinc etiam habetur, infiniis longum spatium P pSMN esse finitae dimensionis,& aequari rin, gulo XFMB; reliquum vero OP NUB Te insi itae areae lectangiὲli intut nati CBMD;ωremai tui, Pt v, m. U
123쪽
erunt ad invicem, ut B X, rectatitula XBM:
COROLL. IU. Erit tamen asymptotus V hyperbolae pΡ infinities. maior altitudine infihita XC parallelogrammi interminati X D, quia cum sit permutando N U. B κ:: X B. N P ubi N V nt infiniis parea , & manente eon. stanti Bu, ipsa X B migra in absoluth infinitam XC, tunc N P, quae iam evadit eadem eum asymptoto v Ο, est quarta proportionalis post easdem; nilioque udi N U Minfinith minor B M , ita infinitae. X I infiniis minor asymptoto Vo,.quare haec est plusquam infinita respectu illius. Vide dicta in tris. δε ωα-8 aia 4. THEO REMAE m. UpP ita ἐ-
AGatur eni infinites proriama Xbu, atque ordinenturbin , nρ; igitur ob similitudinem triangulorum , erit Nu. Bber NX. BX:: VX. XC: e B M . N P ex ren κα ergo rectangula extremarum, & mediarum aequantur, scilicet spatiolum P Nup ra spatiolo, M Bbm,. unde patet utrius
que areae aequalitas 3.mod era ea, '. 'A.
COROLL. I. Hinc pariter , pro vitio, filii mulieri X, de
124쪽
linearum CB, VN cilitantia, da- versae constructiones arearumis 2 I ri V N P datae cuiciam C M B aequa- Nilum haberi possunt, non tamen . 'semper diverti generis. a. t y GIMAEL. 11. Etiam rectangu- , iii A :
CX:: VN CB, unde liquet re- ου cta ligulorum ab extremis,&-- et diis iactorum aequalItas. , , ti COROLL. Ill. Proinde hinc εdeducitur, permutando, eandein . a i ta Tsemper futuram rationem areae C M B ad circumscriptum rectangulum CBM , quae est areae iv PN ad circumcii-
125쪽
E X puncto m infinith proximo ordinetur m bp , tumgatur autem m o,& agantur in ipsas mo ,mb perpendiculares M H, MI : erit MI sinus anguli m MI, sive interni , & oppositi parallelarum M A o, sed M H erit sinus anguli Μmo, vel ejus consequentis Am , aut ob imfinite parvam utriusque differentiam inoM nihil aequalitat, derogantem ex prop. v de se . ὶ ipsius A MO ; sunt autem sinus angulorum MAO, AMO, ex Trimnom tria, ut Μo ad O A, vel ut dimidia M o ad dimidia Ο A, sive ad B P, ergo Mi, seu Bb ad' M H est' ut dimia dia Mo ad B P ,& ideo rinangulum extremorum ι BP rectangulo mediorum, scilicet dimidiae Μο in ΜH , hoc est se ri ΜΟ H, vel triangulo Moni, & hoc semper; Quare tie. COR L. I. Conguit tae demonstratis supra in Graia. I. prop. Ap is 3 1. quamquam alia methodo, & in figura ex duplis ordinatis facta id ostenderimus. COROLL. II. Sr figurae CMso tangens, ire C' sit basi QS parallela , fiet CT asymptotus figurae ΟVP, ut postra i: a ipsius Ο Α, quae tunc infinita evasit.
126쪽
FActa solita .constructione infiniis proximarum Abis, Sh , quoniam se res infinite exigui, qui tariis Α M m,
uuntur , Congruunt Ps ex prop. s. De Insur. Iatione habent com- sta positam ex ration i , o quadratorum a ra- Z
in hoc autem caua 1 ,-i'ς,1 hae rationes sunt re- VC o siprocat, quia angulus BS d centrum duplus est anguli Esead circumferentiam , ut vicissim , ex eo in L su ni vir quad xum ΛΜ β um quadrati S p: mammum ςst hioc prodire rationem aequalitatis , adeoque semper MAm α PSI ; Quod erat M. ii , , COROL. . l. Datae figurae ACM aequales innumeras hacis hwo as nare licet, electo ad arbitreium puncto S in majori, aut minori distantia , fixo puncto A . descriptoque semicirculo radii S A, & completa constructione , quam Theorema praeisibis, unde stipper diversa prodit fistura. COROLL. II. Hine Lu V Snulet Hypocraticet CPV, i. . I ijusque partium EMCUeusulque partium EMCUdimensioex hac magis generali affectione pariter deducitur; Nam cum snt semper radii AP, ΑΜ
127쪽
eodem ratiocinio AMC α SEU, dempto communi Sm C,& addito utrinque Min fit ARSα MBUC; Unde amplius ducta perpendiculari AH, patet fore totam CP Vad partem V :: PS . , in altitudinum scilicet ratione, in qua sunt etiam triangula APS, AES ejus. dem basis AS . COROLL. III. Si loco semicirculi vide fg. r. admersa pag. alia curva A SV supponatur, in qua ex socis A , Sinclinatae lineae ad quodvis perimetri punctum B faciant semper angulos, internum S A B, & externum BS V, i data rationen adHquales quidem curuas olim construendas mihi proposuit Doctiss. P. Thomas Ceva Soc. Jesu, ut videre est in meo Tractatu De novis liueis cumis tunc si vicissim S P q. , Α M q. sint in eade ipsa ratione re ad m , areεAMC, SPQ magis generali constructione squales resultabui. COROLL. IV. ina irca, pro varietati: assumptae Curvae Λ B V, licebit innumeris modis dato spatio AM C aequalem rursus aream S P Q exhibere
ο PT S ita referantur, ut iactis abdibunatis proris figura AB, A N, O perpendiculari
Aasid eurma tangentem. ' A D , centris autemo descriptis. circularibus arcubus ΓΜ, NP, sc
128쪽
A infinitis proximo puncto a , factaque eade constructio. ne coordinatarum a b, an, Si arcuum b -,n prcum sit arcus B M ad
ad N P in ratione comis posita ex ratione an
& ex ratione radii B Gad radium ON, vel BA , erit arcus AEM ad DP, ut QB ad B A, sve A similitudinem triangulorum ut at ad I A. hoc est ut N n ad Bb; facta igitur extremorum; &mediorum multiplicatione , erit zona B b m M α zonae N. P, &se semper; propterea etiam integret areae supra-des enatae aequabuntur. Quod erat&c. COROLL. I. Etiam hinc infinitis. modis poterit noua fitura O PN datae CMB aequalis assignari , prout diversa curva CAS assumetur, diversam habens subnormalem QB , ex cuius ad abscissam CB ratione pendet angulorum B C M. N O Ρ relatio. COROLL. II. Quinimo iterum infinitis modis variari potest curvae o P p constructio,pro varia positione puncti C, quod distantiam ab ordinata ΒΑ diversam redder potest , adeoque & arcuum B M diversum radium constituere , nec enim necesse est dictorum arcuum centrum in vertice figurae datae collocari, sed eligi potest, aut alibi insgurae perimetro, aut intra, aut extra , nec refert, utrum con Cavum , an convexuin talium arcuum basim respiciat, modb Diqitiam by Corale
129쪽
modo sint concentrici, cium nihil horum deroget priostentae figurarum aequalitati. COROLL. III. Praeterea non est necesse, ut figurae, quae Comparantur , in arcus ipsos O F, vel ST desinant, sed etiamsi figurae OCM basis exempli gratia fuerit recta o Fasive finita , sive infinita, potest nihilominus continuari constructio figurae N OP hoc modo. Inclinata ubilibet linea CMa, descriptoque arcu Ma Bi, occurrente basi praedictae in Oa, jungatur Cox , atque ordinata ad figuram , CAS infra continuatam vel aliam quamlibet S Aa ejus loco ibi descriptam recta Ba Aa, atque educta ex puncto Aa recta A1Na ad axem parallela, recta vero A aQr ad curvam perpendiculari, fiat semper, juxta Theorem iis constructionem, ut Qet BE ad Ba C ita ang. Ο a C Maad ang. N a P P a, cui subtenditur arcus N x P 2.
Pscem referantur, ut Δcta intra
duas priores qualibet AG axi ΒΗ . arallela , ordinatasque usquo adriseriores rectis AB M, GH P, factisqώe AD , GT priora gentibus in A, O G, IPAt subtangens T H atem B D, ita ordinata EM M
FActa constructione infinith V . proxima per lineas magp, erit ΤH ad BD nempe, ex conserin. B M ad H Pl in ratione composita ex TH ado 1 HG
130쪽
at prior ratio eadem est, quae
que hoc semper I unde constat propositum. COROLL. I. Hinc nedum pro varia curvae CAS natura,
ted δέ pro varia specie alterius curvae SG V,infinitis odis-riari potest construetioe arear UΚ P H datam euidam EN B aequalis. COROLL. II. Si pro curva S GU' iubrogaretur . ad angulum semirectum inclinata ST, quia subtangens TH semper aequaretur ipsi HG, vel B A, tunc constructio hujus Theorematis .conveniret cinn coli structione meor malis primi,.quod propterea unum tantxim specialem casum hujus septimi constituit, tametsi neralissimum illud videretur: id tantum discriminis intercederet, qudd situs. situ ae XV Η Ρ illam non bast O S adiace.tem statuit , sed secus axem DO productum collocat, tametsi eadem prorsus & numero, & specie utrobique resultet. COROLL. III. Si figura EM B fuerit eadem cum C AB ad alteram scilicet axis partem replicata, quoniam tunc
aequalem VLPH assignabimus hac alia constructione : eligatur figura qualibet S G U,Et ductae ΑGavi BO parallela , nec non utriusque curvae tangentibus in A, & G, quae sinat AD . C. T. fiat ubi libet TH BD A B, vel GH. H P;