장음표시 사용
111쪽
vit, eiusque complementum aequabitur eidem seriei , finguistis pricis terminis per suos exponentes m, π, &c. ductis nam elementum tunc est ydat, at differentiando primam axem x spectant, revolutis progenita, animadvertendum est, rationem solidi ex cujusvis figuret rotatione resultantis ad cylindrum eiusdem basis, & altitudinis, eandem esse eum ratione summae ex omnibus quadratis ordinatarum figurae genitricis ad summam ex totidem quadratis linearum ultimae basi aequalium , ut methodo indivisibilium doe mur; porrh summa eX omnium ordinatarum I quadratis respectu axis x est caudae, sive, pro o substituto ejus valore supra invento, integrale fractionis mbnt dν
adeoque ad cylindros Musdem basis, & altitudinis facithreducentur haec solida. Hinc ex hac ratione solidorum auserendo rationem, supra expositam, spatii curvilinei solidum generantis ad reiactangulum Iar, quo cylindrus producitur, prodit ratio dio stantiae ab axe centri gravitatis ejusdem spatii curvilinei ad semissem ordinatae 3 , per quam distat centrum gravia talis dicti rectanguli is eodem axe. Subtangens cu1uslibet ex talibus curvis, in axe x dete
substituto valore ipsius o in generali subtangentis expressone Iutie. θ; subnormalis vero in eodem axe accepta ras: Τ ne ' M. quippequae cum subtangente contineat rectangulum αυ : eademque methodo inseM ni
aequationem Curvae conititutivam prodit 6
Quod attinet ad solida ab his spatiis. Qua Darte ad Diuili od by Cooste
112쪽
nitae aliae qiustiones , eiusmodi curvarum genus concemnentes, facillimam determinationem suscipiunt, imbcre. pundia lunt haec nobilissimae recentiorum analysis, cuius praestantiam vel ex hoc uno specimine satis intelligere possu.mus eiu . s-l protensam utilitatem admi rari: Mari de Infinitis Parabolis quot libros ab Acutissi-triis Geometris. exaratos habemus Jam illae satis minimam,& infinith exiguam hujus generis curvarum speeiem conis stirerunt , quatenus in para liS dumtaxat uno membro aequatio expeditur, ejus etiam coeffciente b rs , utpothmoerfluo, retracto, caeterisque terminis evanescentibus, i coeffcientes o, nam per x zz I satis omnes par o. Iae comprehenduntur, esitque ex hac genera Ii doctriti spatium curvilinemn circa a Xem I t m l x I: x e-plementum vero m i r ,& hoc ad illul, ut m ad a. Solidum ex rotatione circa axem' ad cylindrum eiusdem basis, & altitudinis erit, ut m m ' Σὶ ad x. Distis tia ab axe centri gravitatis spatii hoc solidum rotundum doseribentis, ad semissem ultimae ordinataea, ut m int Gad m: intri, ut mi r ad nil a , &sc dst aliis :Qu 'modo autem pro Parabolis omnιbus, ita & pro Coruismaeis compositis,& GDS, aut tres, quatuor, Pluresve terminos importantibus ab ipse I affect os, aliisque notis uuantitatibus utcunque implicatos , elici possunt explensones dictarum dimensionum ex una hac Clariss Juvenis animadversione, quippe eo sine terminorum numerus in altera aequationis parte H determinatus relinquitur , ut
quot quis voluerit opportunh respondeant, ibique sistere. aut ultri promoveri,. , ,& quousque opus fuerit, vatiamus: nee enim hae series infinitae semper sunt quamqv α& tales esse nil vetat sed plerumue semet determinant, pro varia curvarum natura, ut dictum est, absolutamque spatinium, & solidorum dimensionem tenunciant finitis
113쪽
pouti e hac , & Corollariis eidem adnexis, illatum est circa restificationem curvariam redactam ad spatii, per tangentium FG ordinationem provenientis ,inmensionem, totuisse' aliis modis obtineri, exempli causa ponendo ipsas EH aequales portionibus rectarum ad curvam in Datio malium , per duas A Z, C B parallelas interceptis, nam &spatium hinc proveniens s BCl Hli squaretur rectangulo ipsius C A in curvam A DB, & portio quaevis HIC E r ctanguli, ejusdem AC in correspondentem a reum A D, nee differt demonstratio ab ea, quam dedimus in Propositione. Aut generalitis, si fiat constans quaelibet linea, puta Ca, ad E H, ut ordinata M D ad tangentem D F, vel ut subianormalis MC ad normalem CD, vel in alia aequivalenti ratione functionum curvae ad punctum D spectantium , spatium hine proveniens erit semper aequale rectangulo illius assumptae constantis Ca in curvam ADB, & portiones ejus aequales rectangulis ejusdem constantis in arcum sibi competentem ἰ nec enim alia ratione jussimus in praecedentibus assumi EH aequale tangentium, vel normalium
partibus, inter parallelas AC, BZ, aut CB, AZ interisceptis, nisi ut costans linea CB, vel C Α esset ad E H i M , dicta
114쪽
dicta ratione, idest ut elementum ordinatae do, vel e E, ad elementum curvae Dd, unde aequalitas rctangulorum infiniis parvorum proveniebat, redigens curvae rectificationem ad mensuram spatii ex ordinatis E H provenientis
115쪽
De metiari transformandi rumpas tum superficies , tum Eneas
is alias diverse 'eiei, idque is tris modis.
iisdem Iitteris pluries supra commemoratis, η π μ quas CL D. Leibnitatus occasione libeIli hujus ῆ ς tetragonistici anno x os . ar. Iulii innoverae me prestripsit, Problema quoddam propositum iam a D. Ioanne Bernoullio mihi benignheommunicavit his verbis. Postreno ad profectam scientia perat nee , ut merseris par Iolutionem Problematum exora-as. Sio uox ita pridem D. Io. Bera ullius proposuit Me 'oblema : dato positione Mcu Cama , is enire aliam curvam M tis inodis, evas areus aliquis, a nobis assignandur , arcui dato sit aqualis .ct ira ne posito, datam curvam esse Algebraicam, etiam qua Lia sis Astebraica : quod a me solatam rimersa mesiari ab ea, qua is sie est usus . Moltiplicem huius Problematis Elutionem , tum D. Lo- renetino communicavi qui & ipse idem multo generalius solvere aggressus est , nam quaistam curvam in data actpropositam curvam ratione construxu tum eidem D. Lei vitrio statim transmisi, sed an Epistolae , ea tam distatiat tu locorum intervallo , ad ejus manus tuto pervenerint , rescire non potui: Hanc ergo solutionem meam huic libello adiungere visum fuit, praemissis etiam nonnullis maxime generalibus Theorematibus, ad transformationem , curvilineorum spatiorum in alias areas diversae speciei spectantibus, nec enim ab argumento nostro prorsias aliena sunt, Duili od by Corale
116쪽
sunt , & ad pleniorem enunciati Problematis solutionem valde conducunt. Horum quidem nonnulla etiam apud Cl. Barrovium invenies, sed absque demonstratione proposita ; itaque operae pretium fuit, ut eadem simul eum snostras collecta, & ex praeclara methodo infinite parum xum geometrich demonstrata tibi, benigne Lector,offerrem a
NAm dueris infiniis proximis abis, an ad priores
coordinatas parallelis , erit Nu ad , ut AI ad Ia, sive ut A B ad B D, hoc est ut B M ad N P,&rectangula extremarum a N P, & mediarum ι B M perpetuo aequalia erunt, quare & areae elementares P, BbmM quet precorost 3. p p. 3. de D*α his rectangulis infinith parvis congruunt invicem aequabuntur , unde constat pro
ROLL. I. Idem sequeretur, si B M ad N P extensa tangente D A R, & ducta huic normali A Q quae perpendicularum curvam secat in Ast fieret ut iubnormalis BQ ad ordinatam B A , vel ut ipsa normalis Q A ad tan. gentem A D, vel ut RN ad N A, vel ut NA ad N G&e.
117쪽
omnes enim istae rationes , ob triangulorum similitudinem, aequantur dictae rationi ordinaeae AB ad subtangentem BD. ROLL. II. Hac methodo facile est datam quamlibet figuram C E F o in alias infinitas , specie, & genere diis rentes transformate, salva arearum aequalitate: prout scialicet alia CASO assumpta fuerit ex qualibet parabolarum , hyperbolarum, conchoidum, elisoldum, sin ratium, aliatumque infinitis modis variabilium curvarum spem, iuxta cuius ordinatarum, & subtangentium rationem fiat quaevis ordinata B M datae figuret ad aliam N P figurs quγstq; quin etiam poterit assumpta curva CAS vel cone vitatem , vel convexitatem obvertere angulo Cos, &b sim habere vel infinitam, vel finitam ,. ω determinatam, prout placuerit, ut quqsita inara proveniat majori, alieminori, vel infinito etiam ax, OS, adiacens, vel binis e nasymptotis So, O V interposita; continget quippe etiam ou infinitam evadere , si Co fuerit tangens curvae CA, & prima ordinata datae figurae CE se finitae quantitatis, quia cum l ex pro p. s. Insibit. l intexceptae inter tangentem , & curvam sit infinith mima dissesentia ordinatae, fiet ad punctum C ratio ordinatae ad subtangentem , adeoque& ratio, CE ad OV infinith exigua, quare o v erit infini Emajor quam C E. COROLL. III. p riter licebit dato
trapezio, vel quadrato CEmautaruteri curvihneo a tae mensuret, figuras e vilineas aequa Ies, adeoci absoluth quadra viles invenire , vel undiq- circumscriptas,& determinato axi Soadiacentes, vel asym
118쪽
ploticas, & in infinitum,iave ex utraque , sive ex altera tantsi parte excurrirentes ; idque innumeris
resecentur , & ordinatae M B PN conveniant in Α, erit curvae hinc pro .
venientis S A C ordinata A B ad subtangentem B D vel subnormalis QB ad ordinatam B Α in data ratione ipsius B M ad N P , nam ex aequalitate rectangulorum itaniis parvorum M , PNnp, fit B M. N P Nu. Bb::ΑΙ. . a I :: A B . B D ex raria. a. prop. s. De Insisti. ubi ostenissum est, esse ordinatam ab subtangentem, ut differentia ordinatae ad differentiam agis. COROLL. V. Si cu va C MFO iuerit eadem eum C A S o ad alteram axis partε replicata, cu va o P evadet figura ex subtangentibus B D applicatis in NP, quam alteri figurae Correlatam i tu ingenianis cap. 8. n. I. Inuncupaba, quia cum sit ΑΒ. BD::BM. N P, si antecedentes, Α B, B M aequantur, Oportet aequales esse & consequentes B D, N P , itaque ex multo magis generali principio Correlatarum aequalitas pendet.
119쪽
COROLL. VI. Si ordi-matae B M in figura GEFD aequentur subnormalibus B Q figurae C A S, curva V Ρ vel o P transit in rectam o P, quae ad angu- Ium semirectum basi OS
inclinatur , nam ex Coinroli. I. BQ. ΒΑ 4: B M.
gulum est i celes rectangulum , sue dimidium quadrati N O vel A B ; adeoque figura C EFG ex subnormalibus orta erit quadrabilis, & ratio totius ad partem CEMBeadem probabitur, quae ratio quadratorum ab ordinatis, O, AB. COROLL. VII. Itaque data qualibet figura C E M FO ,s construi posset allela CASO , cujus subnormales BQ
aequales evaderent ordinatis B M , haberetur illius dimenisso, nam portio quaevis C EMB aequaretur dimidio quadrati BA , idestitiaietulo NOPό sed talis curvae constructio ex data subnormalis proprietate generatim perficI nequit absque quadraturis p neque remedium , Cl. Craigio in metb Aur. pri,M. i. ct a. allatum L praetei quam in MI bolicis, & hyperbolicis, sive universim in iis curvis, quam rum iubtangentes ad abscissam axis sunt in constanti ramtione ) selicem exitum habere potest. Docet nempe Uiracutissimus, quod si BM I, BC x,& invenienda sit ordinata BA itaui subnormalis curvae CAS, i quam terminant ipiis fiat zas, considerando subtanget tem BD, quae ducta in subnormalem BQ dat DB π: quadrato B A,& fingendo eam subtangentem mx quod ,siat, idest C B, suerit ad subtangentem BD in ratione 3 ad ma eliciendo aequationem mυ ποῦ ex qua in-
120쪽
adeoque fit cognita qquatio m xy sed quia ubi m fuerit in determinata, prodit aequatio differentialis involvens, Pret
ter dr, Sco, ac d x cognitas, etiam do prorsus incognitam, S ad ahas irreducibilem, patet nihil inde subsidii habeti posse extra speciatis casus in quibus m fuerit constans &oeterminata, qina tunc novam dasserentialem non invehit, quae calculum turbet ;&ideo tangentium methodus inversa generatim quadraturas supponit, unde non est spera dum , ut vicissim per hanc inversam methodum quadratura figurarum in universsem ab Ivantur.
COROLL. VIlI. Si rectae N Peidem constanti O aequae. les fuerint, ut loco figurae N OV P proveniat rectangulum S O QT, erunt spatia OC EF, BCEM proportionalia Ordinatis So, A Bout potb aequalia rectangulis sub eadem O Q , & sub ipsis SO & ON vel B A contentis ; & disi rentiae spatiorum B C E hoc est lineς BM, proportionalessent differentiis ordinatarum B Α, ac demque differentiae primae ipsa tum B M, sive retentis symbolis supra positis ipsae 6, erunt proportionales disserentiis secundis ordinatarum B R. scilicet ipsis ddst; Unde solvitur maximae uti. litatis Problema, quaerendii curvam E MF, cuius ordinatae B M sint ut differentiae ordinatarum datae CA S, adeoque & cuius primae differentiae proportionentur secundis alterius disserentiis ddi, faciendo semper, ut subtangens B D quam voco ι ad ordinatam B A , nemper, ita constans Oia ,sive a ad at: s, qua aequabitur B M sivea quaestae. SCHO-