장음표시 사용
131쪽
eritque spatium C ΑΒ UΚPH; idque infinitis modis variabitur , pro varietate assumptae figurae S G V. THEO REM A VIII.
E MF ea fit prometa , II ut ex quodam fixo pancto D
As, secante secundam in P ,. ductaque tangente AD , oecurrente iUOD , qua perpe disulariso ramo is puncto D , 'Aseripisque arcu ciriseulari A R , eentrum o resepis eme , atque ordinata adposteriorem curvam B M, sit sempis rami A O quadratum ad rectanorum subtangentis ο D, ω ν mi OP ut mediatas rami o P ad ordinatam BM: erunt areac E ΜΒ, O PV perpetia aquais1. FActa infinith proxima constructione., quam represenistat figura ; quoniam quadratum A O ad tectangulum D OP est in ratione composta ex ratione A O ad OD, id est a I , sive ad AI', &ex AO ad OP , hoe est AI ad PH , quae duae rationes componunt rationem Bb ad P H, erit ergo Bb ad P H , ut medietas rami O Pad ordianai am B M , & rectangulum M B b m eta rectangulo ex x : et O P in PH: idest sectori OPH, vel OPp . Ex quo con
COROLL. I. Hinc infinitis modis , data alterutra figurarum C EmM,&VpP, altera invenitur, pro diversitatae Curvae assumptae C A. COROLL. lI: Quia quadratum AO rectangulo sub tangentis D O in subnormalem Oia, erit etiam DO Q ad
132쪽
ut medietas O P ad B M, &rectangulum ex O Q in B Mm dimidio quadrati OP a Quare si etiam iuxta hanc
rationem exprimatur Pr positarum figurarum rela. tio , subsistet correspondentium arearum aequalitas.
COROLL III. Siramio Psint aequales subnormalibus figurae S AC, hoc est ipsis ΟQ, erit M Bra dimidiae OQ; sin vero ΒΜ α Ο , vel o P , erit figura BCEM dupla sectoris OPV, sed curva EΜFα curvae V PT; quia cum sit a I. I A:: AO . OD ::OQ seu PO . OA:: PH. I Α, fietat, seu B, α PH; cum ergo& differentia ordinatarum M B in tali casu aequetur differentiae ramorum o P, manifestum est, elementum currivae Mm potentia aequale tum differentiae ordinatarum, tum differentiae axis B, elemento curvae Pp s quod potestate aequatur utrique F p, H P J, quare & integrae cur
ROLL. IV. Hinc obiter datae figurae VPO, in punctum convenientibus ramis comprehensae, potamus competentem figuram C EMB prioris duplam, sed eadem curvae longitudine servata , per ramos eosdem in totidem ordinatas B M invicem parallelas expansam assignare, aut vicissim data hac expansa illam involutam per ramos in commune centrum abeuntes exhibere; hoc enim habetur, inveniendo talem curvam CA S, cujus subnormales O inaequent sive ramos, sue ordinatas date figurae ἡ Pro quo, fiat constans quaedam OB, ad libitum assumpta α &arcus B I, radio OB descriptus tar, sit autem data Op, vel α I; Si ex sgura convoluta O V P queritur expansa CEM, intelligantur omnes rami OP, Op erigi in punctis Disiti Corale
133쪽
ctis correspondentibus A, I arcus B A, & superficies hine Orta, quae erit s. , applicetur ad datam a , prodibit in c Iotiente longitudo Oa, vel OA determinans puncta Curvae Ca Α , unde arcubus ab , AB descriptis, ordinatisque ια, B M dabitur expansa EmM; Sin vero ex data expansa Ogratur convoluta, ponatur Ob - x & facta ipli Em M figura reciproca, cujus ordinatae , a plicetur ejus spatium, nempe summa ex a ad x :I , ad ast, prodibit longitiido arcuset puta BI, per quem extendendo ramum O & in hoc sumpto b m , fiet convoluta Cpri Nam differentiando in primoe casu erit m a x, in se cundo casu a adxυ α', aut ut antea adx Id F; ergo a. I .dx, sed & PH; ergo PH α dae Bb; unde oo aestualitatem ramorum o P, & ordinataria
B M, curvae ipsae V P, E M aequamur. Vide dicenda insta
sa ad ipsam O Cperipendiculares , loco arcuum figura praeiae,is; item. que subtangens D si eidem OC ad angulos mesos ; sit autem, ut priri, quadratum rami O A ad rectangulum DO P , ut mediatas Or ad B Μὴ
erant area Em, O 'perpetπὸ aquales.
DUctis infinith proximis Oap, ab m,&arcubus ΡL, A H, atque a I ipsi o C parallela , erit B sive AI,
134쪽
ad P L in ratione composita ex AI ad AH,&AH ad P L, sed prima ratio est eadem, quae sinus anguli A a I s vel ADOJad ima anguli Ain, seu Dao, aut DΑO,quet ex trigonometricis, eadem est rationi oppositorum laterum so A, OD; secunda autε ratio eadem est, quae ramorum O A, O ex quibus duabus rationibus componitur & ra. Vtio quadrati O Aad rectangulum D Ο P, idest PPer constructionem di.
COROLL. I. Infinitis modis similiter variabitur alterutra figurarum P Uo, MEC, pro diversa curva Ca A, qua uti quis velit ad assignandam alteri ex datis figuris aliam aream aequalem, per hujus Theorematis constructionem. COROLL. II. Si quadrata O A aequentur semper rectangulis DOP, & ipiis OP aequales ponantur B M , resultabit area CEMB prioris OVP dupla; eritque pariter curva VP curvae EM, & hqc quidem illius involutae ex- Pansa evadet, nam cum ostensa sit ratio quadrati AO ad rectangulum Do P aequalis rationi Bb ad P L, ubi illa fuerit aequalitatis, etiam haec dabit Bb PL, unde cum et differentia ramorum OP aequetur differentiae ordinatarum B M, set altera convoluta, altera expansa figura, ut supra coσMI. 3. praeced. dictum fuit. ORO L. Tam in hoc, quam in praecedenti Theor mate eadem .sequentur . si fuerit, ut quadratum O A ad qua-
135쪽
dratum OP, ita dimidia OD ad BM; cum sit enim quadratum OA ad rectangulum DO P, ut dimidia o P ad BM,& rectangulum D OP ad quadratum OP, ut DP ad OP, sive ut dimidia D O ad dimidiana OP , erit ex aequo per turbath quadratum OA ad quadratum O P, ut dimidia o Dad BM. Quod etiam sic aliter de stratur. Quadrata A O ad quadratum O P est, ut triangulli AOH-Dμι Triorem. Ivel A Ol in. seq. qua ad acedem Ibeorema pretino ad simile o P L iis primo sbemina , sive OPH in secundo, sive, ut elementaria spatia, quae ab his comparabaliter non disterunt, Aoa, OPρ; sed propter OD ad O A s in primo casu, ct ex demonstratis in Me tbeci . ut A H ad Al vel Bb, sive saturo ΑΙ ad la , vel pariter B b, erit dimidia OD in El za triangulo O A H primi, aut O AI secundi casus, idest utrobique areae elementari O Aa, Si ergo dimidia OD ad EM , seu rectangulum dimidiae OD in Bb ad M Bb m, est ut O A quadratum ad OP quadratum, nempe ut OA aad O Pp, ob antecedentium O D: a in B., &O Aa aequalitatem, fient aequalia & consequentia 2 Bbis, oro P . COROLL. IV. Vicissim si figurae quaelibet O U P T,
OCEF ita comparatae fuerint ad communem axem VOC,& ipsarum partes VOP, ECBM semper aequales resecen. tur, conveniant autem rectae PO, M B in punctum A,
sitque ut quadratum O P ad quadratum O A, ita B M ad aliam, cuius dupla ponatur ODips M B parallela, iuncta DA tanget curvam C Aa,
dictoisi concursitu incedit. V. 'SCOROL L. V. Idem dico in casu , & fgura prole dentis theorematis, si concurrat P O cum arcu B A ,
136쪽
punctum A, ut oriatur militer figura Ca A p --nendo ipsi OA perpendi. cularem o D pariter duplam dictae quartae proportionalis post quadrata o P, 'o R, & rectam B ta k 1-cta enim D A pariter tangens erit ipsius Ca Α : etenim si non haec o D s. t se . . e Lin utroque casu hujus, & praecedentis corollaria i tangens dictae figurae, sed alia s, foret OA quadratum ad quadratumo P, eae coroll. 3. ut dimidia r. ad B H ,sed etiam i ex conis structione est ut dimidia D O ad B M, ergo D Ο s THEO REM A X.
137쪽
SUmpto infinith proximo puncto a , iungantur os, Ba, secantes in p ,& m curvas CP, C M, ductisque ex centro O arcubus p E, a L, & ex centro B arcubus MH, a Ierit ratio MH ad p E composita rationibus MH ad a I, a Iada L, & a Lad pE quarum prima eadem est cum ratiotis Boi ad Ba, seu B M ad B A , secunda eadem quae sinus aliguli l δεδ, vel alterni ADR, ad sinum anguli L Aa; hoc est eadem quae laterum An, R D, aut Α R , AQ; tertia denique eadem est, quae a O ad O , sive AO ad O P; ergo M H ad, rationem compositam habet ex B M ad BA,&RA ad ΑQ,&AO ad OP, sive est ut rectangulum OAR in Bl,la rectangulum B ΑQ in ΟP; cum ergo ex hypothesi i ctangulum O A R ad rectangu lum B Ααst, ut quadratum OP ad quadratum B M, erit M H ad ρ E, ut quadratum o P in B M ad quadratiam , B M in O Pιhoc est utramus ipse OP ad ramum B M ;&ideo sectores E, BMH, sive areae i piae opΡ, B Min,
perpetuo aequabuntur I ex quo constat propositum . 'COROLL. I. Data ergo alterutra ex his figliris, puta CP, alteram C ME ipsi aequalem constituemus, electata qualibet alia curva Ca A , et puncto fixo B, ductasque ramis O Α, BA, necnon tangente AD , completoque' pa 'rallelogrammo A R D , faciendo , ut OAR ad B A Q, ita quadratum dati rami OP ad quadratum B M, cujus
ultimum punctum M ad alteram curvam Cm M pertinebit; uiscipiet autem quaesita area CMB infinitam varretatem, tum ratione variae positionis puncti tum ratione dive
Iae curvae Ca A , quae ad constructionem assumpta fuerit. COROLL. I l. idem sequitur, si quadratum O P ad quais dratum M B fuerit, ut rectangulum ORA ad quadratum RD,: haec enim ratio eadem .est rationi rectanguli OAR ad B AQ , ob rationes componentes aequales O Α . AB::
138쪽
COROLL. III. vicissim ex dMix areis', o CT G
aequales poritones abicindantiae CΜR, CPO , di rami B M , o P conveniant in A, curvae hane resultantis C AStangens AD invenietur , sumpta ad libitum rami o A portione Α R, tum facisndo, ut quaStatum o Pas quadratum B M, ita rectaneu is o AR in rectam im B ΑQ,. Complatoque parallelogramno QARD , iungatur diam
ci ROLL. II . Si fueris C A R eontea sectio, cuius socio , B : quoniam tangens D A bifariam seeae an unxiso AB per 48. Conis. ) erit angulas. DAR, sive alternus RDA Σα RA , iuncte R D m R A ; itaque con ex coroll. h. sit quadratum ipsius rami o P ad quasinia tum B M, ut rectangulum o R R in quadratum Ro, erit primum quadratum ad secundum , ut O R ad R D, vetR A,. aut ut o A ad A B, vel ut o D as DB. COROLL. V. inna, ex huius Theorematis, aut Probs maris construmone erit quainatum P o in B A et rectis lutum m quadrato B M in rectantulum O A R, si B litupponatur m BA hoc est si cuma C m M conveniat cum C a R. ut ipsamet area RCA aequalis evadat areae O CP
loco BM, ponendo B A , erit quadratum P o in Ba Lx: quadrato B A in OAR, hoc est quadratum P o in RQ
139쪽
α o AR in BA . & quadratum P . o AR:: BA. AQ:: O A. OR; unde quadratum P O in OR α ΟΑR in o Ara quadrato O A in AR , iterumque quadratum P Ο - quadratum O A :: AR. ΟR: : BD. DO; ideoque fi fiat uePD ad DB, ita quadratum O A ad quadratum O P, erit punctum P ad Curvam Cp P, cujus area o CPra ipsi AC Rabsque intermedia alia curva constructio em regulante, repro diversa positione puncti O, diversis modis carva. CP
construetur, de in alterius generis areas transformatimur
non tamen per idem punctum C transbit, per quod i cedit eum a GA, nisi coni fuerint polorum distantiae OC, BC aequales semperenus distantia. vestigia curvae T Pp puncto o debet esse media proportionalis imis Co, C Remuod seo A descendentae ad G, ipsum etiam punctum D congruie eidem C, unde tam OA qimno D fit m &BD evadit BC: proptereaque analogia OD. DB: :ΟAq. DPq. vertitur in hanc, OD ad CB ut OC q. ad quadratum distantiae verticis curvet T Pp v puncto O'. COROLL. VI. Eadem constructio praecedentis corollari, sic poterat demonstrari. Tam riiangula o Α D, DAR Im Oa D, Da S sunt in ratione basium OD, DB; qua
ctio, cuius soci O, B, eris OP media proportionalis inter, O A . A B; sic enim O A macharum ad O P quadratu erit m OA ad A F, sue t ob angulum o AB , tangente Ain bifariam sectum ut O D ad D Ren L. VIP.. Quodsi in figura sequentr) focus
E ad infinitam dii antiam recectat, vel hoc fiet iuxta ipsam linea mi CB, vel iuxta aliam huic perpendicularem , quomodo rami paralleli invicem evadent, ipsique C B in pri-
140쪽
mo casu aequidistabunt, velut ΑΜ, in secundo illi perpendic
in primo casu figura Α C G M dupla erit areae o CP , si fuerit semper OD ad AM, ut quadratum AO ad quadratum o P ; in seeundo autem figura A C B ejusdem areae O CP dupla fiet, eum fuerit o D ad D B in eadem ratione quadrati Ao ad quadratum ΟΡ; Nam Praete urim id colligitur ex praecedentibus considerationibus innith parvorum ad hos casus applicatis ducta OH tam genti AD, & DN ipsi AB parallela, fiet H A OD; e go parallelogrammum H A a h ad parallelogramm5 AImΜest in ratione o D ad AM, ad parallelograπmum vero N ηΙ Α , aut Κ AH, est ut o D ad D B, quia ergo utraque haec ratio eadem supponitur rationi quadrati A O ad quadratum OP, seu trianguli Aoa ad eriangulum OPp, erit parallelogrammum H A a h ad parallelogrammum a AIm M , aut Α Β ἡ Κ, ut itiangulum A O ad triangulum Pop; sed primum est duplum tertii, nempe H A ah duplum est est trianguli Aoa , ergo & secundum duplum est quarti, ideoque tum. AIm M, tum ΑΒ, Κ in utraque hypothesi duplum probatur trianguli POp , & sic semper, unde & area A MGG, vel ACB dupla erit spa