장음표시 사용
521쪽
aliquota ebuslibet numeri vulgaris seu rationalis interri cst. 36o.I. g. 362. Quamobrem cum in ratione multiplici terminus minor sit pars aliquota majoris st. ι Arithm.9ς numeri vulgares
seu rationales integri expovavi viationes m ut hces st. 36l. . Unde porro consequitur, tot esse species rutionum multiplicium, quot Iulii numeri vulgares, seu rationales integri.
Inde est, quod rarioties multiplices in Mathesi determinentur per relationem numeri vulgaris adun talem, nempe dupla per a: i, tripla per 3: I, duodecupla per Iz: 1, millecupla per loco: t, &ita porro. Inserviunt nimirum numeri integri rationibus multiplicibus distincte
enunciatidis. Numerus vobgaris qualis
- f. 363. Numera us vulgaris seu rationalis integer eam habet ad unitatem relationem, quam recta quaedam ad rectam Aram habere potes. Sit numerus vulgaris seu rationalis integer 6 & linea data AB. Quoniam Pars rectae quaelibet est toti similis . ι . Geom. J; recta AB toties repetita, quot sunt unitates in senario, constituet rectam vi, consequenter recta data AB est pars aliquota alterius AG 9 36o. . Refertur adeo AG ad AB ut totum ad partem aliquotam, quae in praesente casu sexies repetita hanc adaequat. Enimvero unitas est etiam pars aliquota numeri Vulgaris, V. gr. senarii g. 36 I. , atque adeo senarius refertur ad unitatem tanquam totum ad partem aliquotam, quae ct ipse sexies repetita senarium adsequar
Quavtitotes homogeneae suist, quarum una aliquoties sumta alteram superare valet: ex adverso heterogeneae sunt, quarum una aliquoties sumta alteram suPerare nequit. '
Quoniam unitas repetita quemvis numerum vulgarem seu rationalem integrum superare valet f. 339. ; omnis numeruΤvulearis es unitati homogemus g. 364. .
522쪽
De quantitate es' ' agnatis notionibus. ' so3 .
f. 366. PE ualia eidem tertio sint aequalia inter se. Sit enim ModuteolKA B. Ponatur porro Cmis. Quoniam ergo C salva quanti-gφndi aequali' late substitui potest pro II g. 3 9 j; substituatur pro B in eo ca - φνφλM RMsii, ubi B ad A refertur, nec mutabitur relatio quantitatis ipsius A, sed eadem erit, quae fuerat, cum ad B referretur. Erat autemAαB per Osotb. Ergo etiam AmC.
Colligimus hae ratione aequalitatem magnitudinum in vita communi, quae sibi mutuo applicari nequeunt. E. gr. Si quaesiveris, nunt duae ianuae sint a que altae; filum extendimus iuxta altitudinem unius eique aequale resecamus. Idcm silum coextendimus aliutidini alterius ianuae &s eidem aequale deprchenditur, inde aequalitatem altitudinum ianua tum colligimus. Altitudine, adeo ianuarum colligimus esse aequales , quod eidem filo aequales deprehendantur, adeoque aequalitatem duo rum inter se ex aequalitate singulorum cum eodem tertio.
367. ADualia aequalibus sunt inter se aequalia celem Arisbmia Modus alius. g. 368. Si fuerint quotcunque eidem vel totidem aliis inter se aequat, Modurgen
bus aequalia; erunt eadem aqualia rnter se. . - ratis. Propositio haec ambitu suo complectitur duas immediatepraecedentes
e. 366.367. , quae nonnisi hujus ca:us simplicissimi sunt 369. Idem est pars eddem aequatium. Si in lineis rectis non nisi riusdem adae longitudinis habetur ratio, atque adeo in aequalibus non specte qualia ipso tur nisi aequalitas, nec in inaequalibus nisi inaequalitas, per duas lineas rectaS aequales duo quaecunque aequalia Hepraesentari pos- sunt. Sint aveo duae lineae rectae aequales AB & CD, sitque
minus quoddam recta HE rectis AB S CD minor. Quoniam HE minor est quam AB; erit HE parti suis AB aequalis f. 3sa. , quae sit AF Similiter quia eadem recta HE minor recta CD, per Θpotb. erit recta HE parti ipsius CD aequalis i . cit. . quae sit CG. Habemus adeo HE-AT & HE-CG Ire demonstrata, consequenter AF CG 366. . Quoniam itaque CG ipsi AF
523쪽
AF salva quantitate substitui potest fg 349. , eam ad AB
'relationem nabere potest, quam ad eandem habet AF, seu eadem pars est ipsius AB, quae est AF. Et quia recta CD ipsi AB salva quantitate substitui potest, ipsa quoque CG ad CD eam relationem habet, quam habet ad AB, seu eadem pars est ipsius CD, quae est ipsius AB , consequenter cum HE-CG per demo str. adeoque ipsi CG substitui pos
Mathematici cum relationem, de qua hic loquimur, rationem appellent I. Ir6. Arisbm , propositionem pratentem ita latius efferunt: Idem ad aequalia eandem rationem habet, cuius demonstratio. nem aliam dedimus 9. 168. Arium. . Hic tamen eandem aliter enuncia e libuit, ut verba propius accedant ad notionem communem, quae eidem resipondet, quaque vulgo utimur. E. gr. Si novimus par tem aliquam panni esse totius partem quintam & detur pannum aliud ' eiusdem longitudinis, partem istam hujus quoque quintam esse colligimus.
AEqualium I . AEqualia sint pars eadem ibis usatim mavoris. Sint minorum ' duae lineae aequales AB & CD minores eadem tertia EF. lati0 HR AB minor ipsa EF per trepoth. erit ea parti hujus aequalis f. 33a.), quae sit EG. Cum porro sit AB in CD per Θpotb. erit quoque CD EG g. 366. , consequenter non minus AH, quam CD ipsi EG substitui potest salva quantitate ipsius EF g. 3 9. , ita ut perinde sit ac si substitutio facta non sui siet. AB igitur S CD eandem habent ad EF relationem quam EG, seu eadem pars ipsius EF existunt.
Propositio praesens continetur una cum praecedente sub theoremata Mathematicorum: Idem ad aquatia eandem rationem bubet, quatenus maius ad duo aequalia resertur. Enimvero quatenus minora, sed inter se aequalia reseruntur ad maius; propositio prasens continetur sub ali ra : AEqualia ad idem eandem habent rationem. Respondet vero eidem' notio communis, qua vulgo utimur. E. gr. Ponamus Partem panni esse quartam unius ulnae vel tres quartas ejusdem partes. Quodsi resecetur pars alia eidem aequalis, inde colligimus, quod & ipsa sit pars
524쪽
quarta unius ulnae, vel tribus partibus quartis ejusdem aequalis. Ha- hemus hic duo aequalia, quae reseruntur ad tertium ipsis majus tanquam pars ad totum & ex illorum aequalitate insertur eadem relatio ad totum, seu quod sint eadem pars totius. 9, 37s. -
Si aequalibus aequalia a liciantur totosunt aequalia σ. AEq. Eum& eum. .Arithm. .ra.). eumpositio. . 37a. Quoniam aequalia A S B, quibus adjiciuntur aequalia C Partium toto-&D, sunt partes totorum, quae inae resultant, perinde ac ea, ' V si
quae adjiciuntur I. 34 I. J; evidens est, si pars uva totius fuerit aqualis parti xvi alterius , fore etiam Iartem alteram illivs aequalem tm ti alteri fumius. g. 373 Si duo fuerint tota in partes quotcunque numero utrobique Tot m inaequales disi V gulae unius fuerint sigintim aequales singulis auerius; erunt etiam tota inter se reqvalia 37t. . g. 374 Si ab aequalibus aqualia auferoΠtur, reliqua sunt aequalia Residuorumg. 34r. 372. Vid. etiam. S. 9Ι. Arithm. aequalitu. f. 37 . Si inaequalibus aequalia adsectantur, tota sunt inaequalia Totorem lae- ά. ΠΛ. Πa. I r. 3 r. 3 . III. Vid. quoque Isiso. Arithm. qualitas partis
V . - aecessione non 9 'ri , mutata.
Quod uno aequatium mora eli, r em etιam altero aqua.
tium majus es. Sint aequalia A S B, sitque C majus quam A. Quoniam C majus quam A, erit A Parti ipsius C aequale g. 3sa. . in tu, Q. Quare eum sit A B per l7poth. erit etiam B parti ipsius C aequa- tem. te I. 366. , consequenter C majus quam B f. 3sa. . S. 377.' . . Ouod uno aequalium minus es, idem etiam altero aequalium Mota collis
partibua aeqM-libus eompo sitio.
525쪽
quid esse is jus altero. Multiplietum, definitio. aequemulti. plicium definitio. AEqualitas da.
requemultiplicium aequa iit a Imequiitra aequemuit,plicium.
majori majus C, minori mi s erit totum compossum ex A D C majus toto composito ex B ae D.
E. gr. Si quis habeat decem nummos, alius vero sex; numerus nummorum illius major est numero nummorum linius. Quodsi iam ei. qui habet decem, dederis octo; et vero, qui sex possidet, itidem octo: habebit illh nummos octodecim, hic vero nonnisi quatuordecim. Numerui adeo maior provenit, si idem maiori additur; minor vero, si idem additur minori.
Duplex dicitur B ipsius A, si eidem A bis sumto suerit aequale: LX lex, si ter sumto; Quadruplex, si quater sumto Scr. Multiplex, si aliquoties sumto fuerit aequale. f. 38O. A & B dicuntur aequemultiplicia ipsius C, si toties sumendum sit C, donee ipsi A sequale evadat, quoties sumendum est idem C, donec ipsi B aequale fiat. .
Qua ejusdem vel aequalium duplicia sunt, inter se aequalia sint.
Pone enim ritium&Cas m habere aequalia fila C & D; pone Tisium sumere filum aliud, quod sit ejus, quod habebat, duplum; Critim similiter sumere filum aliud B, quod sit eius, quod ipse habebat, duplum. Nemo noti hinc colligit, fila Α&li, quae Πιtius & Caius nunc habent, esse inter se aequalia
S. 382. Quae ejusdem vel aequalium aequemultiplicia sunt, ea inter se aequatia Hvt.
Ponamus Tisium habere tres ulnas panni, Marium similiter habere tres. Ponamus porro Titio dari loco trium ulnarum ter tres, hoc est, novem ulnas. Nemo non inde colliget, ut Mevis sint ulnae totidem,
quot Titio, eidem quoque triplum eius, quod habet, dari debere.
g. 383. Inaequalium aequemustiplicia inaequalia sunt, ef majus quidem es, quod majoris misi ex est, misse vero, quod mi
526쪽
Pratums theorema de inaequalitate aequemultiplicium inaequalium al. teri , respondet axiomati mathematicorum, si majusjminus per e-ogem numerum mustiplicentur, factum prius posteriore majus est, vel, si inaequalia per eundem numerum multiplicentur, facta inaequalia sunt. I. . - f. 383. Si dis fuerint tota aequatia in paτtes aequales utrobique Partes aequa. numero aquales divisa, erit pars una unius aequialis parti uni lo totorum
Sint duo acervi frumenti, & ambo dividantur in sex portiones aequales. Nemo non inde colligit, si duodecim istae portiones assignentur totidem peribitis, singulis aequas cedere portiones.
g. 384. Quorum idem aequemustiplex est, vel quo rum aequalia aequemultipliciasunt, V hsa inter se aequalia sunt. evin. et cSi mensura liqua ad ianuae altitudinem applicata ter in eadem con- idem aeque tineatur di eadsm mensura applicata denuo ad altitudinem alterius is muli P ς tiuae itidem in ea ter deprehenditur: erit altitudo utriusque ianuae triplex menserae. Nemo vero inde non colligit, ianuarum altitudines inter se aequales esse. immo praesenti propositioni respondens notio communis est commune principium, quoduorum pluriumve aequalitas mensurando investigatur.
Dimidium alterius dicitur, quod bis sumtiim alteri sit incibus,'.
aequale. Tertia pars VOCatur, quae ter sumta toti aequalis fit: finitio. Quarta, quae quater firma eidem fit aequalis & ita porro in infini-.tum. In genere Ebbmulti lex alterius appellatur, quod aliquoties sumtum eidem fit aequale. - 386'. . . - '
Quoniam submultiplex alterius aliquoties sumtum eidem Submultiplis fit aequale I. 38s.); submustiplex alis rus est ejusdem pars aliquo- quuis para. ia . 36ο.9. Unde pars sertia, quarta , quinta dic. sunt par-,tes aliqvotae. g. 387. Quae ejusdem sunt dimidio, inter se aqualia fiunt. 23 qualitasdi- Propositio praesens sub sequente universali tanquam casus simplicissi- mi dirum
527쪽
AE pietubnisu tiplieiimi M. finitio. Equesubmulistiplietum R. qualitas. Modus alius . colligendi aequalitatem exaequesubmul. sp citate. Modus eoiligendi inaeqira
ZEquesubmultiplicia eiusdem sunt, si unum toties sumendum est, quoties sumitiir alterum, donec eidem fit aequale: nempe si unum sit alicujus pars tertia, quarta, quinta &c. in infinitum; etiam alterum est ejusdem pars tertia, 'quarta, quinta Sc. k. 383. . Hinc simul intelligitur, quaenam sint sequesubmultiplicia diversorum.
Qua ejusdem vel aqualium a esubmultiplicia sint, tai a interse aequalia sunt.
. Theorema praesens ita etiam essem potest: uuae ejusdem vel aequa- Iium eadem pars sunt, ea inter se aequalia sunt , & in casu speciali numerorum: Numeri inter se aequales sunt, qui ejusdem vel aequalium numerorum eadem pars Funt. Utimur vero notione propositioni praesenti respondente etiam in communibus casibus: aequalia enim accipere Maevium, Titium & cibum, si uniuscuousque portio fuerit totius haereditatis Sese pars tertia, quis inde non colligit 8
g. 39O. Quorum idem aequesubmultiplex es , vel Forum aequalia aequesubmultiplicia sunt, ea aequalia sunt.
Theorema presens ita effertur: Uvorum idem rarim pars es, vesqualia eadem pars sunt; ea s ipsa aequalia sunt. Respondet vero theoremati etiam notio communis. - Etenim si Titius dederit Maevio qu tam suorum nummorum partem, & Catius itidem Sempro-- mu quintam suorum, habeant vero Maevius d Sempronius es deaera numinmorum numerum, v. gr. sint utrique nummi viginti; nemo non hinc colliget, Titium & odium habuisse aequalem nummorum numerinn, nempe utrumque habuisse nummos centum.
Inaequalium aequesubmittiplicio inaequalia sunt, di modius quidem es, quod majoris submultiplex es, mi s vero, quod
Propositio praesens ita quoque effertur: uuae inaequalium eadem pars sunt, ea inaequalia sunt, s majus quidem est, quoae es pars majoris; minus vero, quod minoris. Respondet quoque huic propositi mi notio
528쪽
communis. Etenim si Tisivs habeatao ulnas panni, Maevius quindecim, . detque ille hic Gracho quintam panni sui partem; nemo non hine colliget, etsi numerus ulnarum non det minetur, sed Tisiis tantum maius habere dicatur, Maevisu minus, cibum accepisse maius, Grachum Vero minus, quod in numeris omnium evidelitissime patet: cum illi sine ulnae quatuor, huic tres. Quoniam quotus toties fuimus, quoties divisor unitates continet, dividendo sit aequalis j. 69. Arisbm ; quotus est
submultiplex dividendi S. 38s.). g. 39 a. Si ab inaequalibus idem vel aequalia auferantur, quae relin. Modus eoili quuntur inaequalia sunt. ili i es' ''
'E. gr. Si duae fuerint trabes eiusdem longitudinis & earum una maior deprehendatur, quam usus, cui destinatur, requirit, resecetur autem ab ea pars quaedam data, donec usui apta evadat; nemo non col digit partem trabis, quae relinquitur, sore parti alterius aequalem, si ex ea ' itidem pars eadem auferatur. g. 393 . 'Si idem vel aequalia a majori re minori auferantur, parare. MUM 'ii' .sdua malloris major est, minoris autem minor. Eandem propositionem ostendimus in Elementis Matheseos d. 92. quid minus. it . . Ponamus Titium &-accepisse poma, illum quidem plura, hunc vero pauciora. Ponamus porro utrumque Cais dare tria. Nemo non hinc inseret, Trio plura adhuc esse quam Quod- si pomis substituas fila inaequalis longitudinis sibi mutuo applicata, ut 'minus parti maioris congruat, &, ubi extrema coincidunt, resecari ab utroque uno actu concipias partes sibi mutuo congruentes adeo- que eiusdem longitudinis; clarius percipitur, fila residua inaequalia esse debere. '394. .
Si aequalibus inaequalia addisciantur, tota sunt inaequalia, Modin mili est e totum majus, cui m M alicitur, misus vero, cui mi-
529쪽
nus. Numetu nu. ximus numdetur.
Numerus ει-ctus rationalis. qualis sit. Fra horam
s Io Patre. I. Sect. IV Cas. aequalia sunt , relinquitur autem minus , s majus furent subductum, majus, si minus.
Notio communis clarissima est, s supponas duo esse fila eiusdem longitudinis sibi mutuo ita applicata, ut extrema utriusque collicidant. Quodsi iam ab uno auseratur pars maior, a balteio minor; partem resi- . duam primam minorem esse parte Teiidua altera apparet.
to unum aequalium majus Des minus es, eo etiam alterum aqualium majus vel minus est. Pone enim Titium &-habere baculos aequales; pone baculum Semprouit eo esse minorem, quem habet Atlas , nemo non hinc cobligit, eundem Sempronii baculum eo quoque minorem esse, quem C jus possidet.
' g. 397. Dino quolibet numero sumi potes major. Cons f. 339.
34 ,3 9 34I. 3 as q. f. 398. Numerus rationalis fractus eam babet ad unitatem relationem , quam recta quadam ad rectam dutum labere potes. Cons. f. aI. Arithm. 36O. 3 I. Outol. I. IT. Geom.
Numeri rationales facti Iot numera integri rationales' De vulgares , quorum tinitas est pura uti quota alterius unitatis , seu ad aliam unitatem rationem si multiplicem habet s*. I. Arithm. q. 36O. 339. f.
E. g. Flarenum dividimus tanquam totum in partes sedecim, pars autem decima sexta gressus appellatur. Numeramus igitur grotas numeris us vulgaribus, ita ut dicamus duos, tres, quatuor Sc. grossos, non attenta grossi ad florenum restatione. Poteramus vero perinde' numerare duas, tres, quatuor &c. partes decimas sextas florent, at- . tenta grossi tanquam partis storent relinone ad somnum tanquam totum. Ex ipsa adeo praxi communi apparet posse numeros stactos reduci ad integros, si pars totius, quae unitatem eorum constituit, poculiari nomine indigitetur, seu, quod perinde est . si numerus des. nam totum in suas partes divisum, quem dei minatorem appellamus,
530쪽
, De quantitate θ' agnatis notionibus.
f. qOO. Quoniam totum in.tot partes aequales dividi potest, quot unitates habet quilibeti numerus integer rationalis seu vulgaris; tot sint fractionum species, quot numeri integri rationales e Dubgares Arithm.I. g. 4OLEt quia numerus fractus est unitatis parti aliquotae aut aliquot partibus aliquoris aequalis' I. Aritona.), partes vero istae aliquotae sunt Partes aequales, in quas unitas tanquam totum divisa concipitur g. 36o. ; in qualibet fractionum specie tot sunt numeri facti , quot de nonuuator continet unitates , dem
Denominator nimirum est numerus, qui indicat, in quot partes diyisum est totum in dato calus, qΟΣ. Numeri fracti rationales exi. onunt rationes rationales minoris inaequalitatis Arithm). g. 4 3. Fractiones rationales inversae, in quibus denominator po- . nitur loco numeratoris oc vicissim numerator loco denominatoris, exponunt omnes species rationum rationalium maroris inaequalitatis f. I. 9. Arathm. 3I2.4oa. Ont. f. I33. Arubm. I. AOq. Quoniam itaque .fractiones rationaIes exponunt omnes species rationum rationalium minoris inaequalitatis g. 4oa , inversae autem omnes species rationum rationalium majoris inaequalitatas . . 4Oyl; praeter rationes majoris & minoris inaequalitatis nullae dentur rationes inaequalitatis ArisbmJ. Fractiones rationales em umque inversae , seu numeri fracti genuini & spurii, exponunt omnes rationes inaequalitatis ratis
ruma Numeroram fractoriana nu merus.
Numerorem onficium. Fractionum inversarum seu spuria nossicium. quoua lueos fietum tactio.