장음표시 사용
31쪽
2x Io Π. DE NON TE REGIO teri triangilli a b e. per 3 .prim ci, sit ficies a g b c ae ii Iedistatibus contineari meis.anguliis uero c a g,siue e a k rectus cst pcr 29..primi,propter aequedistantiam linearitin b c ad a g,clitare per ultima secti arciis e k clinimi inlitiae sitae quadras probabitur.arcus ital b h complemennim ipsitis arH - . Distinietur, cuius sinus b g lateri a c aequalis nuperrime concludebatur.uirant igitalu pro αportionis partem satis ostendisse videmur.
Omnem angulum re stum notum esse oportet.
Vnus enim rectus angulus ad quatuor rectos nota habet proportionem, summa autem quatuor rectorum nota est, cum gradus unus scilicet 36o. pars quavisor rectorum:qua tant mensura famosa umnturi uersi Geometrae secundu nuis merum notum 36o .contineatur inquatuor rectis. Mare per incta huius ti unus
angulus rectus notus habebitur,quod erat lucubradum. 4r arta aute pars eae 3 6o est yo.Iusto igitur computo Vo gradus angulo recto uedicabimus. Miraberis forsinn,quo pacto diuersi generis quatitates mensera gradualis metiatata. Dicimus enim circumserentia circillius arcum tot uel tot complacti gradus item quatuor rectos angulos uel alium angissum quem m aliquot continere gradus. Qitidigiturvocabillo gradu signi care imus,paucis habeto. nsura famosa arcuum in gradus circumserentialis scilicet 3 6o .pars circumseremiae circilli, mensiora autem osa angulorum est gradus angularis,uid licet 36o pars quantor rectorum angulorum id est,spain plant,quod circa punctum quodlibet existit. Imaginado enim duas nidiametros circuli super mulcto quotainin tan*centro dein scripti:gradum circiumserentiae circuli dicti intercipientes, angulus quem ipse semidiametri ambiunt gradus uocabitur angularis,quonia angulus ille 36o.in quatuor recti sue toto sipacio centrum circuli ambici1te continetur: sicut di gradus circumferentialis in tota circumserentia.huius enim anguli ad qtrator rectos, illius arcus tota circumserenti eandem esse proportionem,ex ultima sectiti comprobabit. UTrahimus postremo ex iam recita in q, ciuilibet angulo, aer cui se respicienti de circuserentia circulis Iper uertice ipsius anguli descripti, unus ει idem ruit nummiis .ueris gratia,si angulum quemlibet 3 6 graduis flaminuas, erit B arcus se respiciens 36 graduum econtra. od quidem ex identitate a meri totius circumserentiae circuli di quatuor rectorum ultima secti ratiocinante pendere dinoscitur. παI
Altero duorum acutorum,quos habet triangulus rectangulus,d to,reliquus non latebit.
Duo enim acuti anguli,quos habet triangulus rectangaeus,per 3 .ptimi ua tunum rectum itertius angiatus sit rectus,aggregat vitain ex duobus dictis acutis angulis notum est, Fonia ex praemissa rectus angulus notus est sed di alter acutorum hypothesi datas est,quare per quartam huius resiquum cognoscorias. V opus numeri anguli acuti dati, numero unius recti minuas, ec restrique tur quantitas alterius Vt si angulus b suerit et o , minuo χo ex sto, resinquuntur
o. tantum igitur habes c, anisium c reliquum.
32쪽
Si duo latera trianguli rei tum continentia angulum, uerint aequalia ,duo 'cuti anguli eis oppositi reddentur noti,
Duo latera a e c h triarinili a b c rectangtili, reruehim angulum c ambientia,sint aequalia.D1co,tuter Pangulorum b N c notus prodibit.Erunt enim per hypos thesim di quinta primi duo anguIi a & h aequales, ciuissiper 3 2.primi ipsi ualeant unum rectum, angulo c recto is te,Crit Literi eorum medietas per 2 i huius comisti.quare per 6.huius utero eorum notus hahctitur, quod libuit explanare. V opus. Quantitatem anguli recti dimidiabis 5 apparebit utriusin anguloruarii torum inlinitas Merbi gratia.miseria illo habente 'o gradus,dimidia soμ habebo 1 pro medietate recti, tantus in pronunciabitur uteri angulorum a di b. .
si latus trianguli redium subtendens angulum, alteri duorum reis sto subiacentium fuerit duplum angulus acutus ab eis contentus, relis quo angulo acuto duplus enunciabitur. Vnde etiam utrun* eorum agnoscet Geometra ιSit triangulus a b c rectum angulum chabens quem scibtendat latus a b duplum lateri a c. Dico, v angulas b a c duplus erit angulo a b c . Extendae tur enim a c tam ad punctum d , donee c d habeat aeqlis lateri a c.ducta linea b d erilitam a b linea aequalis ipsi a d Uutrius medietas sit a c. per tarta primi duae bases a b , b d triangulorum a b c b c d sunt aequales, anguli qtioin a b c ec d bc aequales.totus igitur angulas a b d duplus est ad angulum a b c .est autem tmius angulus a b d aequalis angulo h a d siue h a c per quinta primi triangulo ab d aequilatero existente.unde Sangulus b a c duplus erit ad anguiu a b c QP oportiuit demonstrare. V Ex hoc patebit corollarium. χIonia enim in trianis gulo nostro angulas a duplus iam declaratus habeatur ad angillum id est siciuae ad i ,erit coma 'imaggregatu ex duobus angulis a & b ad angulum h icut 3 ad 1. Illud autem aggregatum aequipollet angulo recto, hypotheu 8c 3α .primi docentibus. proportio igitur anguli resti ad angulum b nota est,utaclicet licui 3
ad 1.quare persecta huius angulus B notus eri recto per a l. huius noto mistens te pinremo etia residuus ex recto angulus,scilicet a s huius notus declarabiε.
Duobus trianguli cuiuscun cognitis angulis, tertium reliquum datum iri.
aristaei a b c duo anguli a di h sint cogniti.Dico, Scin us cnotus emerget.Jω enim anguli a b c ,duobus rectis aequantur. 3Σ.primi id confirmaute duo aut recti sunt noti per 2 i ta 3 huius,quare ec aggregatum ex tribus angulis uia
33쪽
xoII. DE MONTER GIolis trian illi propositi nonini halbebiti ir. cianwduox eoruciatos subiecerit liypolliesis,p .hutita tertistis reliquus no ignorabini quoia libuit in scire. uis.S inaduois vim angulorum,qui dati sinit ex cluat ita istiuiri ree o rum minua1 ct relinquetur terim angus quantitas deside irata.Ut si angulus a fiIerit χon angulus b 3s graduis, collectos Lodi 3s gradas,qui reddunt sy 13o minum relim enim 32s gradus, angulo C adnumerabuntur.
Omnis trianguli rei tanguli duobus lateribus cognitis, tertium extemplo manifestari.
angaeus a b c anginam e rectum habeat, rius duo latera quaelibet sint
nota.Dico,t reliquum eius latus nostim habebitur Si enim di latera rectu continentia angulum inerantur nos erunt per prima huius Atradrata corum nota
'gra tum quot ex eis per tertia huius notum, quod aequipollet quadrato a b per peruiltima primi, unde ipsium notis di ideo per fecimur dam huius costa sua, Ianis scilicet a b non ignorabitur. Si uero altem eorum sit danim cum latere restum subteri dente angulum,quadrata minoris demptum ex quadra Z to maioris per penultima primi&quaria huius relinquet Z quadratu reliqui lateris notum N ideo per secunda huius Z costaetus cognita orie quae Hereluc brada. V opus inligare. Si latera rectum ambientia anni lima fuerint da
- ta, adrabis ea quadrata congregabis eccollecti eis radix quadrata quatitatem lateris quisti mamina hit.Si uero alter u eorum sit datum cum latere rectum subtendente angulum,quadratum minoris ex quadrato maioris demas 5: relicti quadrata radix tertium lativis notificabit Nisi latus a e iuerit b c s quadrabo ia,exurgunt 1 Arcquadrabo s,uenit int 2s.colligo i &2s,fiunt i 69 quorum radicem quadratam inuenio 1 3. tantum fine didici latus a b.Sed ponatur latus a b asi, dilatus a
resinquutur 6 i,quorum rassice quadrata Σ1 lateri b c d 3utabo. Ita in caeteris.
Trianguli rectanguli duobus lateribus cognitis, omnes angulos datum iri.
Si alterum dat mim laterum recto opponatur annulo, tisin.si rono, per Praecedentem ipsiim addisicemus,nam ab eo propontum attingendi no erit poae restas.Sit ita triangulus a b c ,angulum c rectum habens, uis duo latera abct a e sint dat assilico, i, omnes anguli ipsius noti inint. per tuertice enim ana .mI1 aciati h qtrem uidelicet lanis si hiendit eatrum tant centro secundum quanistitatem lateris h a circulo descripto,erit per Eo huius a c sitius arciis sibi conter minalis,qui respondet angulo a b c quem inquirimus. cum duae lineae a b N ac inter se datae sint ex hypothesi permensura ueterem, a b autem semidiameter cire otii deseripti data sit per mensirra noua,quae quidem est una partium sinus totius, erit di a c nota per eandem mei radocente septima huius. dum igitur a b in sinusto
34쪽
DE TRIANGVLII LIB. istonis uel sinus *radrantis, erit a c sinus noti rict per tabula sinus,qua negleeta hoc inpropsito nihist enicere possiimus,arcii eius addiscemus. cognito aute arcu dieti qtie respicit arvis ille, na armis ipse&anglimsst Laada eunde numeru mesurant,qucad-moda tota circuseretia &qtuor recti anguli secundu rim de numerii coiter melibratur, dan Σ x huius memorauimuS.per χχ itain huius reliqua acutum angulis a b a ecognoscemus.meismatitem angulum a c b, huius
notum demonstrabat. iures, igitvir trianguli nostriangulos reddidimus notos, quod decuit explanare. Opus. merulateris re qum si tendentis angulum constitue primum,ec numerum lateris respicientis anguium quaesitum pro secundo ponas numeruuero sinus totius tertium. MultipIica igitur seciuidium per tertium,S prodestium diuide per primum exibit enim sinus arciis respicientis an Laeum quaelitum,ctii per tabula sinus arann silum Hicia cuisius cita nummis angulum quaesistim manifestabit.hunc si ex anguIi reei 1 qtrantiis rate dempseris, i&im numerabis secundum anguluaeutum. Visi a b Herita oa c 12 8c b c te sinus autem totus quemadmota in tabula nostra suppositimus
iant 36o oo ciuius sinus arcam tabula praebet gradus 3 6,5c minuta ς α fiere. tanta igitur pronunciabimus angulum a b c,qui tandem sublatus ex 'o,relinquet sygradus de s minuta fere,& tantus habebitur angulus reliquus a tus.
Data proportione duorum laterum trianguli recitanguli, angulos
Aut enim alterum duorsi Iaterum opponitur recto angula,aut non. Si prima fit lareis a b recto angulo a c b oppositum,cuius proportio ad latus a c ut noxia.Dic Φ anguli huius trianguli innotescent.Est enim a c sinus aris anguli ab c per huius dum a b est semidiameter circuli scilicet sinu totus, proportio eram sinus totius ad sinum anguli a b c nota in hinc sinus ille notificabitur, ditande angulus a b c non latebit.Si uero proportio duorum laterum ti e S a e data fuerit,erit proportio quadratoru notum data di coniumst proportio aggregati ex quadrato b c cum quadrato a c,hocest quadrati a b propter angulum crinam ad quadratum a c nota errit: unde eclineariam proportio non ignorabit, reliqua ut ante. Operatio.Si alterum duorum laterum recto angulo oppois nati i militiplica terminuminorem proportionis datae per sinum totam, oc pro aduehim diuide per terminumaiorem exibit enim sinus anguli citius latus breuius opponitur.Si uero duorum laterum rei to circumstantiu data fuerit proportio, duc utrunt terminora in se,&collectio productis radice accipe quadrata, ipsam erit terminus lateri, quod re iam subtendit angulum accomodandus , peris duceris ergo iter pristinu Vt si proportio a B ad a cfuerit sicut sadτ. multiplico insinum rectum totum 6oo oo,fiunt zoo oo. quae diuido per ', eunt 4666τ fere.arcus autem respondens huic sinui recto est y.s i. minuta 3 fere, tantus ha bitur angulus a b c .Sed ponatur proportio a c au e l, sicut ia ad
s.duco ιχ mi fiunt ιε .items in se reddant 23 .haec coniungo faciunt 169. 1,
rum radix in i 3.attribuenda lateri a sic proportio ab ad a c erit ut i 3 ad 1D unde
35쪽
unde ut pinis angulo a b c cognoscendoura parata est.
Altero duorum a torum angulorum , quos habet trian aliis reo e tangulus ,cognito,cum uno eius Iatere de angulos di latera
metiemur. Trianguli a b c angulum c rectum habetis , an u. et Imbsit cognitus culatere uno quocuiu uerbi gratia a c.
Dico,t omnes eius anguli Omlateribus omnibus inno rescent. Anguli proscino cognoscentur ex χι θc I uis. restat igitur inuenire Iatera.Perao autem huiusti tabuislam sinus hypotiata iuuante erit utrunm laterum a c di b c cognitum ut a b in sinus totus, duo itacplateia citiae libet trianguli propoliti datam inuicem habebant .pporis
in tionem, is ex hypothesi unu eorum datum sit per meis Bran an enim per ε aut huius reliqua data, quod li-
It attingere. Opus pulchris S perutile Sinum armis anguli dati &cius GHementi addiscas,ha is tria latet a nota per mensiiram ueter ,quae est pars ima sinus totius nam latus reclium subtendens angulum est sinus totus. Si igit, Iatus,quod rinam subtendit angulum suerit datum permeniram nouam, pone sinum totumproprimo,&sinum arcus anguli,cui opponitur latus quaesinim pro secundo, numersi autem nouae dationis terriu.multiplicato secundo per tertium productum diuide per primum,&exibit numerus lateris i siti.Si uero altenim duorum laterum resto stibiacentium detur,uolendo mensiirarelatus rectium subae tendes angulum,pone sinum archis anguli,cui opponitur ipsi latus datum pro primo,&tinum rotum pro sociando,numeram autem dationis nouae tertium abis luto opere uulgari quatuor numeroris proportionaliu ad metam perduceris cupitam. Quod litelli utatus recto se a tu angulo inuestinaueris, pone sinu arcus angusti,citi opponatur latus datum pro primo,& sinum complementi ei pro secivio numeni uero dationi S nouae tertium eliqua ut antehac mec turris. In exemplo.Deturangulas a b c 3 is gradu & latus a b Σo pedit si traho 36 adio ,manebunt gradus,qui determinant quantitatem anguli h a c inuenio autemTineam ac 3 26 ex tabulasinus' c uero 21 4r dum a b insinus totus 6oo oo.Multiplico initur 31 15τ per Σo producuntur πος 3qU quae diuisa per εο ooo,eliciut ii In inrectatas iram a c habebit pedes ii &Ε,id intres quartaxpedis unius.Similiter multiplico q8s t per zo,producuntur 9 OSzo,quae diui do perso ooo, eant i secta minuta sere, tantumis latas b c pronunciabitur. Quod si ponatur latus a c Eo,reliqui sui antea manentibus, erit iterum a c Ia this 3sa ετ,&b c Ss ι,dum ab est sinus quadrantis Eoo oo. Ad inuenienda. agitar latas a b uliuelim iso ooo per aeo, productantur 3 Σo oo oo, quae diuido per 3 3 26 ,exeunt 3 ξc a minuta sere,habebit itam latus a b pedes 3 et 1 mina. insere. Sed libeat mensi are latus b c , multiplicabo q83 per Eo,P IIcuntur' os 2o ,quae diuisa per 31 Σετ .eliciunt Σ Θc 3 2 minuta lard latus igitur h e imS 3 E mirilita ser edis unius complectit. Hic parumper austaeia, qtia quidem opus nostrii Triangularis Astronomiae seruit pIurimis,quae fiactionibusnotam uiaegaribus Φ Phyllcis uti quo pacto fractiones uulgare in physicas comulenta non erit silentio praetereundum. ni nant in orti abibluta diiustae
si aliquid denumero diuise: quod oetario minus in iterur diuisere: Mictum fuerit,
36쪽
DE TRIANGVLII LIB. I. 3 mero duorum rei horum,qui enim resinquitur nummis,angilla,quem basis respiis ci deputabat .Si uero angulus, ori duo aequalia ambiunt latera,notus es a tu numerum cias inumero duorum redhorum minues,nam relicti numeri medietas ulriinmat 11 angulorum paleiaciet. In exemplo:Sita tuus , 3o gradu im,eritatinis . . igulus c sibi aequalis 3 o hi collecti reddunt iso.qui siselati ex
iso .numero duorum re storii musitato, relinquut reto. 8c tantus erit angulus a. Sed ponatur angulus a iso .minuo iro . ex i8 o. ualore scilicet duorum rei torurelinquuntur 3o.quora medietas is cum Fangaeoru b di c cognitu efficit.
Perpendicularem duobus trianguli aequicruria notis lateribus conterminalem, mi basis nota per medium diuisa substernitur, facili tex
indagare. Sit triangulus aequicnirius a b c citius basis b e data
sit,latera a b & a c cognita, quom comuni purusto a ad basim b c descendat perpendicularis a d,cadens intra triangulum,quemadmodu ex praecedenti S 3 o Muius conis
cluditur .Dico, Q ipsa ppendicularis a d nota ueniet.Quoniam enim uter panguloria stipra basim apud punetiim dre this est,erit per penultima primi tam quadratu lineae ab aequati duobus quadratis linearum a d di d b,Φ quadra, tum ae c duobus quadratis linearum a d 5 d b.Qnt aute kduo quadrata linearum a b re a caequaliappter costas suasaecMales,quare Saggregatum ex duobus quadratis a d d b aequale aggregato ex duobus quadratis a d B d c .dempto igitur mini quadrato a d, inquenir quadratum h a aequale quadrato d e,unde dilinea d b aequalis lineae d c concluditur cun p mala b c nota sit ex hypothesi,erit per sectam huius utrassi linearum d b & d e nota,sunt enim eius medietates.quadratrum it assi lineae d c per prima liuius notum habebitur, fidi quadrarum a C per eandem iuuante hypothesi notum est, a quocum siveret quadratum d c in quadrato a d per penultima primi si quadratum d c notum abstraxeris,relinquetur per quarta huius quadratum perpendicularis a d notum' ideo per secunda huius ipsa mendicidaris a d cognita, quod placuit attingere. UOpus. Dadratum dimidiae basis ex quadrato lateris minuas, relicti enim radix quadratappendiculare mani abit.Vt si basis b c merit io.
Rutrunc*laterum a b S a c 13 quadra medietatem basis,quae in s. exurgui Σ3 .ltem quadrino numerum lateris scilicet i 3.producuntur ι69.2 quibus postode sero,Minquent 1-.pro quadrato perpendicularis a d,quorum radice quadrata ia perpendicii laris tibi uindicabit.
Quales habeat angulos aeqvicrurius triangulus,ex cognitis lateriis
bus de basi faciliter indagare.
Q litatem a lini dicimus romtudinem acutiem & obtusitatem. Duobus ad hoc iudiciis periscemur,quom unu accipit ex Ppendiculari ad basim demisiadi basi aliud uero ex laterere basi Namsi mendi laris dimidiae si fuerit aequalis,a ulus,cui basis opponitur rectius erit,u uero minor merit medietate basis Obtusussi si maior initus,quora demonstrationem breuiterataremus. Sit enim in triangu
37쪽
3α Ioii. DE NON TERTU Iotrianglilo aequi rio a b c perdedicillaris a d ae litatis medietati basis d c,eiuxtat expromtu 23 lutius bis aut impio lito anetulorum d a e di d a b medietas reii tonis igitur angi illis b a c iec his hal bitur. Si alitem a d pcrprii licitis laris nutior iit medietate basis b c prolong uir d a in ce fictae lualis lineae d c,ducetis lineis e b e c fit uti aequi ciuitu triς angulum claudentit is pcr primi, citius angulus ti e cfl ex recitato processii reetus declarabit unde, per χ ι Pria =. mi angulas b a c maior eo,&ideo obtusus cnunciabitur.
Sed si perpendicularis a d maior fiterit medietate basis d Z s c,abscindatur ex ea d g aequalis d c , extensis in lineis bu g&g c,probabitur ut prius angulus b g c rceius,quia
χι primi maior est angulo b a c,angulii itam b a c miseriorem esse recto,oc ideo acti tum nemo dubitabit. V Aliud uero indicium apparebit hoc pacto. Si latus medietati basis potentialiter duaptum occiirrat,irectus p dicabitur,utiem basis sit btendit angulus.si uero potenisti aliter minus * duplum obtinus 5 si maius duplum acii tu quod sic costabit. si quadratu lateris qd sitia dicimus potetia duplu filerit quadrato dimidiae basis, cu ipsim aeqpolleat 2 penultima primi duobus quadratis ipsius scilicet ppendicularisti dimicitae basis, ansierit quadi atu epedicularis aequari quadrato dimi diae basis,& ideo ppedicissare dimidiae hali.ad prius igit explanata si restiget imus costabit angulu b a ceste rectum Si uero Quadrata lateris a b inimis Dei it* duplii quadrati dimidiae basi erit& aggregatu ex duobus quadratis linearu a d Ra b per penultima primi minus*dapiti quadiciti bd unde iti admissi a d minus oportebit esse quadrato b d o ideo costam huius lineam scilicet a d minore coasta ignis b d ,α praedictis ergo angulum b a c obtusum esse non ignorabimus. Quod si quadratii a b maius silerit duplo quadrati b d cdcludemus ut nuncniteficimus lineam a d longiorem linea b d. quamobre pipra memoratis inpriis moindicio angulus h a c acutus explorabitur. Qualis ital sit angulus, tu harisiibtendit gemmo monstrauimus indie .uminin autem reliquom, quos dicta sistentat basis,amtum esse docuit corollarium 3 huius. Vopus uero postrata ex praecedenti perpendicinarem didiceris, processu lauius laetae comparabis.
Trianguli aequic rij siue latus quodcunq; dederis, siue perpendiocularem cum uno angulorum , de reliqua latera dc perpendiculares
mensurabuntnr. Sit triangulus ae vcnitius a b c cuius unum latus quodam 3 sit notu cum
vim angulorum eius.Dico ireliqua duo latera nota fient cum perpendicissariis .c bus . tui enim primo alterum duoru lateruct sit a c,
δε demitia perpendiculari a d ad basim b c erit triai fi gulus a d c rectangulus citius angillus c ac tus ex co tollario 3 .huius notus habebitur,niae per hypothesim solam siue per hypothesim ei ψ huius quare per 28 huius latere a c noto existente tam linea a d perpendicii
Iaris Φ d c notaeo irrent duplicata autem d c nora proueniet basis h e data latus aut citi a b c in sit aequa, a c,nemini erit ignotum.Sic igitur SIatera re
38쪽
Dn TRIANGULIS LIB. I. 33liqua Spei pendiculam iunam mensi sumus. QS si detur basis b c cum aliquo angulorum erit dicit medietas d c data,habebit triangulus a d c re stangi Ius notam latus d c,&angulum c acutum cognatum, quare per 29 huius reliqua ius duo Ialyaripti ignorabuntur, quom tam est perpendi laris a d quaeuta, Teliquutiomaeti 1 triangulo mutaurio proposito commune est.Perpendiculare autem h e aut e g basi conterminale, 3 2 huius perpendicidari a d nota exiis stente,nciliter addiscemus. stremo ex perpendicillari nobis data, cum angulo quocii preliqua scibilia depromemus.Det em primo ppendicularis a d hasi insi, ueris,qua intra triangulum cadet,ut supra ccinfirmauimus,oportet aut etiamt Ium c acutum esse notum, e per hypomesim Iam, siue per hypothesim di 3s it Variangulus itassi a d crectangulas, mecIatus a d nouim habeat,&angulum c danim, reliqua sua latera a c ct d c,per Σ' lixinus adducet cognita cirrup d c sit medietas basis,tota quoin basis b c trianguli spositi non erit ignota. est autea b aequalis ipsi a c, tae igitur uenerunt omnes lineae trianguli Fpositi , perpendicularem autemh e aut c g, 3 Σ.huius amet cognitam. Sed si det angulus qui norim altera perpendiculariu b e & c g,habebit triangulus h ec latus b e cognitaim cum angulo acuto c,&ideo per Σ9 huius b c linea dabit
cum eius medietate d c .laenim ergo triangulus a d c rectangulus, tum latus d c habens cum angulo c latus suu a d,perpendicillarem scilicet trianguli aequi crurai .ppositi cum latere a C per Σ; huius mantinabit. a igitur lineis meis moratis quae iscirin unico angulo quicquid in triangulo aequi crurio inquiri
sola apertum iniciet quod libuit ab luere. V opus aute huius, ne diutius aeae quo detinearis missum facimus,qu quidem haud dissiculter colligemus,si ad α9di 3 2 huius confugerimus.
Lateribus trianguli aequicrurii cum basi cognitis, omnes ipsius an
Triangulus a b c aequimrria duo Iatera a b N a cnota habeat cum basi h c.Dico Q omnes eius anguli noti fiet. Demita enim ad dbasim ppendiculari a d ,erit d c nota, cum fit medietas basis ut supra memorauimus. duo igitur latera a c di d c trianguli, a d c rectanguli nota sunt,quare per Σ huius angulus eius c,qui ct triangulo a b c comanis est,notus comprehediti Ir.unde ec per 3s huius reliqui an
guli trianguli a b c propositi non latiniant,quod censebam demonstratasti. V operationes autem Στει 3s huius, si
Commisceas opus theorematis praesciatis iacile conflabis.
Si perpendicularem trianguli aequicruri j datam habueris, ex basi
nota latus,aut econtra ex latere nolo hasim elicies. Sit tri ulus uicturias a b c euius altera perpendi a m a d di h e, c g data sit Dico,ci, si etiam basis b c nota Berit larus a c com tuerit' emna E tradi
39쪽
Iois. DE MONTE REGIOtra,ii Iatus a c fiet a b nonina strerit blisis ipsa non ignoraabit tir. Sit enim primo pei ivndtollaris a d notachina basi bc erit itaq; oc d c medietas basis cognita quarc per 26 lviis uis a c nota dabitur. Si uero a c lauis Oficiam Notum, erit
per allegatam is inritis linea d c nota ci ceci uni iit medi eistas basi duplata basim ipsam constitia et . Sit deinceps remdicularis b e uel c g notachina basi h c,stuc intra siue extra triangulum cadat.&io sitat triangulis re tangillis h ec di a d c angulus c comunis eri quare per 32 primi aequiαE anguli concludentur,&icto per quartam sexti erit propor tis e c ad c d ,sicut b c ad c a.tres autem primae harum linearum proportionalist notae simi, e c quidem ex hypothesi & 16 huius b c ex hypocliust,& d c medietas ipsius h c. quare per i 'huius a c quarta nota ueniet, scilicet latus trianguli aeqvicnitit quaesitum Si uero perpendiculare b e datava habueris cillatore a b ,erit per Σε huius a eno, ta aesit autem ex distinitione aequicrurii trianguli a caequalis ipsi a b,quare oc a c nota 5 per tertia aut qiaarta lituus e C cognita.duobus itam lateribus h ecte e trianguli b e c rectanguli notis exist cartibus,
erit per 16 huius linea b c nota basis scilicet trianguli nostri. Quo autem pactio Perpendicularis una reliquam suscitare soleat,superius explanatu est. V In operatione huius non morabimur,quam quidem ex operibus praeallegatarum Ipossitionum faciliter conflabimus.
Vno duntaxat angulo trianguli aequi crurη cognito, utruno latus ad basim de perpendiculares, notas habebit proportiones.
Sit triangulus aequicrurius a b c,mum habens nonim angulu quemamo, cuius duae perpendiculares sint a ci S h e Dico, in proportio a c lateris ad bais sm b c ,α ambas perpendiculares nota fiet. Erit piri triangulus a d c rectangula notu habes c angulu acutu ex hypothesi sesa,aut ex hypotia esi S 3 ς huius,quare per 3 o huius proportio a c ad a d perpendicularem nota erit,sed di eiusdem a C ad linea d c exeade 3 o Dportio non ignorabitur curacp proportio d c ad e butnota,est enim ut medietatis ad totum, erit per ιΣ huius proportio a c ad basim b c cognita. Sic quo pacto notae fiant proportiones lateris ac ad perpendiculare a cl&basim b c iam explanavimus.Rursus triangulo ab e re 'angulo anguiu a notum habente, aut per h) π thesim lam,aut per hypothesim&3s huius, erit e 3 o huius proportio a b lateris ad perpendi Iarem b enota. u tud autem de altero laterum a b a c praedicamus ec de reliquo cum sint aequalia enunciatum intelligemus.uerim igitur est,quod theorema sposuit. U Operari in si uola propositiones theorema nostru confirmantes repetim. Interiis
40쪽
In tertio demum tr1 angulorum genere ludendum cens
Tria stiperius trianguloru diffiniuimus genera, quoru primo ab aequalitate lateriam originem modicum accidit uarietatis,in eis quas Mathematici scrutantu mus.1n secundo autem magis uaria est scibiliu inquisitio, , ipsiim ab ianitate simplicitate laterum recedat tertium uero genus,quo amplius a primo distat genere eo dissicilius se offert.la primo praetere genere,omnes anguli, non quidem ad spontaneam positionem tuam ed necessitate cogniti sunt, tua iam enim eorum tertiam partem dc Dare 'orum demonstrauimus,uno autem latere quolibet dato reliqua duo non latebun q, ipsa dato lateri sint aequalia. Secunda Mero triangulorum sangulos siros non praebet cognitos,m si aliquid ex anguis iis si iis aut lineis praecognita habeatur, quod S in lateribus mensurandis euenire compertam est.Terri autem generis tanta tam uaria est intricati ut non satis sit unum angulu cum uno latere praesciuisse ad reliqua cognostenda, aut duo eius
latera tanti uerum ut latera di angulos metiamur uniuerses,aut tria latera praeis scienda sunt ad tres angulos reperiendos aut duo latera cum uno angulo,aut chio anguli chim ano latere.duobus enim angulis datis, tametsi tertius extemplo mistus reddatur per 23 huius,non tamen latera nota ueniunt, uerum proportiones
viserum latera duntaxat,quemadmota insta docebimus notas fieri oportet. I aestremo in his triangulis abis notitia duorum casuu aut alterius eorum,quos Per pendicularis ex ipsa basi separat,nihil estici et Geometra quae quidem perpendicularis diuersimode cadere Iita,nunc intra nunc extra triangulum,ut stipra tetigimus,multitiariam ignotorum iaciet inquisitionem. Principio igitur exploraudum arbitror quales sint uniuersi anguli quos habet propositus nobis triangulustriam datorulaterum,unde perpendicularis quaelibet quo pacto casi ira sit dirigeo te 3 2.huius callebimus,cilius demum perpendi laris quantitatem metiri non prorsiis inutile uidebitur.
Triangulus notorum trium laterum, qualem quemvis angulum habeat percontari.
Sit triangulus a b c trium inaequaliu,¬oriuri inter se laterum,cuius quales sint anguli expertudum est Faciamus primo periculude angulo a.dico aut Q si quadratu lateris b c ,ipsum angula a subtendetis, aequale metit duobus quadratis laterum a b di a c,quae dictum ambiunt angulu,rectus erit angulus ille.si uero minus illis quadratis,erit acutus,&si maius obtusus quae sic constabunt. Si enim quadratum b c aequale reperiatur duobus quadratis a b N a e , erit per intimam primi angulas a rectus .certum est igitur primuindicium.Si uero quadratum b e minus fuerit quadratis a b a c non potest angulus a esse rectus, ne obtusiis, natim recto existente,quadratu b c duobus quadratis a b di a e Per penultimam primi aequabitur,quod est cou
rita posito.Sed non obtus .sic enim per i a. scirandi quadratu b c maius duobus quadratis a b dia e habetur,quod crem repugnet posito, relinquit angulam a esse acutum S ita secundam firmauiam indictu. Quod si quadratii b e maius fuerit quiaratis a asino potetit angulas a tae re