장음표시 사용
41쪽
36 io H. DE NON TE REGIOchisia Iacimi nana saltemia, lorim dixeris, irit 'ladraniira b c , aut orcpiale olvis quadratis a b S a ci)ermi ultimam primi aut miluiscis per ι 3.scrimindi, nolim aut horum chim pomo flabit, citi igitur dhibita erit angi illi a obtusum
esse Adreli itios demu angulos quales sin simili pducemur examii rationem ex processe iam facto non potes non comprinci ere. Istochiplo.Sit latus a b latus b c 9 dilatus a c 1 α uolo scire qualis sit angulus a, quadrabo singula latera quadratu de est ε'.quadratu de 'ests i. quadratu uero de ix esti .colligo duo quadrata sta i*iresultant 193.ciimital quadratu des Modin 8 ι sit, minus cp is3.pronuncioangaeu a esse initu.Ita in caeteris.
Datis tribus lateribus trianguli duos casus , quos perpendicularis
a punicto angulari ad basim descendens ex ipsa distinguit basi coma
perire. Perpendicularis intra trianguIu manen duos casus prose sto distinguet ex
ipsa basi. quae uero cu altero laterum coincidit,unum duntaxat casum ha bit paependicillari autem extra mangulum cadente, casus huiusimodi non sunt portiois
nes basis, uerum basis est pars alterius eorum.Sane igitur intelligenda erat.distinitio casus ab initio posita.uocabulo enim basis basim simpliciter dictam di basim quantu oportet prolongatam significauimus. Cognitio autem caseu dictori aut alterius eorum necessaria est ad perpendicularem trianguli tria latera nota habentis cognoscendam, per quam denim perpendicularem anguli quaeri Blent. Cum autem de hi quae in triangulis rectangulis quaeri selent superiori loco satis dixisse uideamur Ad triangulos non reis angulos praempta sutura sonabunt potitium, licet quaedam ad rectangulos etiam applicari ponit.Ex puncto igitur a trianguit a b c tria latera habentis nota uersiis lineam b c procedat perpendicularis ad ,distinguens ex has duos casus b d & d c,dico illi duo casus noti uenient. Da nan lege siue intra siue extra triangulu cadat huiusinodi perpendicularis praecedens 3 3.huius indicabunt. Cadatitam priis mo intra triangulum duobus angulis b ec c a tis existentibus.argumento igitur ι3 .secundi quadratulateris a b stiperabit 2 duobus quadratis l1neam a c& c b,ineo,quod fit ex b c in c d his. cuintam quadratum a b notum fit ex hypothesidi prima huius, Φ aggregatum ex quadratis a c di b c ex hypoth si prima&tertia huius erit per quartam hinus,quod fit ex b c in e d bis notum, Seius dimidiu,quod fit ex b c in c d notum.est autem latas b c notum ex hyis
Pothesi,quare per i .htuus linea c d nota ueniet, alter uidelicet duom casinim,
quo dempto ex linea b c notaphypothesim,reliquus cassis h d innotescet. Qae si alter angulorum b ec c obiciam se praebea perpendi Iaris a d trianguli aream transbe ad partem quidem anguli obtusi qui uerbi gratia sit c , erit igitur nιχ.secundi quadratum lateris a b maius duobus quadratis lineam a cec e b in . e quod sit ex b c in c d bis. Ex prius igitur adductis locis ut breuissim excessiis ille notus erit scilicet, quoa fit in B e in e d bis,di eius dimidiu quod b c in e d. cuni h c nota sit ex hypothesi,erit per i . huius di c d nota sic minorem duorum casuu notum enisi sumus, cui
42쪽
DA TRIANGULIs LIB. I. 3τs basim b e notam adieceri resultabit castis maior b d notus, quae suere luc branda. V operatio uaria processum huiusmodi cons in tur.Nam si uterin angulonina quos hasta si istinet,acutus fuerit,deme quadratu Iateris uni eorum opis positi ex adstrinam duoru quadratoru reliqui sicilicet lateris di ipsius basis, quodae
relin dimidiatu in basim partiari exibit enim casus,qui est apud ans
pilum acutum praedii hi,quem ex basi minuendo,reliqua halbebis cassem. In exaeemplo. Ponat quis mihi latus a b Eo .pedum, bc χι.&ac ι3 .monitu praecedetis uinini anguloru h S c aciitum esse coniicio.quadra igitur a b,fiant oo. quadratu autem a c,quod est 169. coniunetam quadrato b c,quod est 4 1.diressi illabunt ει o. a quibus demo quadratu a o,manent aio. quorum dimidiu los. diuido per αι. cui s.&tantus est casias d c,auferos exaei numero basis,manetis pro casti reliquo.Quod si alter angulorum praedictoru obtustis extiteri AI qua drato lateris obtusum sit btendentis angulum si ibtrahe aggregatu quadratorum reliqui lateris oc basis ipsius quod φ remanebi dimidiam per basim partire, exiribit enim castis minor cui posteaΦ basim ad4ciemus,emerget castis maior. Ponat in exemplo ab si .b c 38.&ac as erit igitur an iis c obtusiis, quadrabo a
colligo duo quadrata b c di c a,restritant Eo 69.quae dempta ex quadrato a b,relinquunt s3 α. quorum dimidia Σεε diuido per b c scilicet 38. exeunt T. & tanta oest linea e d casus ut licet minor, i adiungo basim 32. congregantur qs Pro
Quod praecedens docuit,alio tramite inuestigare. Trianguli a b c tria latera supponantur nota, a b quidem longius Iatere a
sus b d maior casu d c ex hypotlaesi penultima primi S comi mi animi conceaeptione, siliginir e d aequalis ipsi d c ducta linea a e. m autem per penestima primi quadrata a b aequipolleat duobus *radratis a d 5 d b quadratum uero a c duobus quadratis a d di d e quadrato perpendici laris a d communi ablato erit per comunem scientiam differentia quais dratorum b d ec d e aequalis disserentiae quadrato rum a b ec a c.duo autem quadrata linearum a b& a c nota per hypothesim ex quarta huius notam habebunt disterentiam, quare&disserentia quadratoru b d 5 d c non ignorabitur,sed per sextam secundi quadratu b d aequanir ei, quod fit ex e b in b c cum quadrato e d .ditarentia igitur quadratorum b d di e d siue d c est id quod fit ex e b in b c erat autem haec disserentia nota, quare quod fit ex e h in totam bc notum declarabitur.cura ipsam b c notam attulerit hypomesis,erit per i huius ipsa b e nota,quam basi h c cognita dementes inra e c relinquemus cognitam ec eius medietatem d e,quae est casias minor.huic cum sit aequalis lineae e cisi adiecerimus B e prius notam castim maiorem h a stilum reddemus. Quod uperpendicularis aream trianguli egrediatur,continuatabas h c, donec concurret cum perpendiculari in puncto cl,ponatur ipsi c d aequalis d e.pristino igitur fretus argumento,confit iis disserentiam quadratoru a b N a c aequalem essedisserentiae quadratorii b d di d c quam quidem disserentiam hypothesis,prima quartali latere non sinunt.quadratu autem b d si erat quadratum c o,
43쪽
Is Iou. DE NON TE REGIOper 6. seciuidi in eo,cpiod fit ex e b in tota l) e. igitur fit ex e b in totam b c nouim halbebitur,mautela ipsa b c data per hypc thcsim, lilare Per i . inraus tota b e cognoscetiir ex clua si dempseris basim b e datatia res sua c e notatim. ,cii eius p . . medietate e d. casum atam c d minorem enisi sitiis V mus,ciusi basim adiunxeris datam, casus maior bd nimisuratus emerge quod decuit explanare. V operatio. Subtrahe quadra, tum lateris minoris a quadrato maioris, relicto diuiso per basim, quod exibit ab ipsa basi minua si perpendicularis intra triangulu cecideri aut ab eo quod exibit basim dema si mira ceciderit, ius aute quod relinquitur dimidiis P casii mi, noti teneto,cui si id,quod ex diuisione clicitum est sectaueris,casium maiorem cori gregabis perpendioilari quidem intra triangulu cadente.sed si extra ceciderit , alum minorem cum basi summabis,resultabit enim castis maior quaesitus.In ex Plo.Sit latus a b 1 o. a e 13.&basis b c Σι.quadratu de 1 3.est 16'.quadratu dea o .est Oo .subtraho 69.2 oo manent is quae diuido per Σι. eunt 11 .lia csublata ex x i .relinquut io .medietas de to . t s. tantum minorem pronuncio
casium, cui adiei itis i ι .colligo 16.pro casu maiori haec dum perpedi laris intia. Sed extra osseratur latus a b si .a c 1s.&basis b c 38.quae quide perpcdiculare extra triangulum cadere significant subtrabo quadratum de Σ1'.quod est 62s. ex quadrato de si .scilicet Σεοι .manent 19 6 quae diuisa per 3 8.eliciunt 3 α. a quiestas demo 38 .manent ι . quonam medietatem scilicet . castii minori deputabo. colligo &38.restillant s. tantu igit maiorem enunciabo castim.
V Quod sibi, dis entia latem & congerie comuni continetur,aequum est et,quod sub disserentia casuum at* congerie eorum,scilicet ipsa basi continet rectan .
Huiusmodi casus per alia media numerare.
Sit triangulas a b c non rectangulus trium notorum Iaterum inaequalium, a cuius puncto angulari a demittatur perpendicularis a d supra basim b c triae arvi ili luperficiem non transgrediens quae ex basi b c duos separet castis h dctd c quorum alteria altero maiorem esse in praecedenti conclusimus, propter ii ex qualitatem laterum a b a c,hos casias mensurandos praestolamur. Super puncto a tanΦ centro secundum quantitatem lateris minoris a c describo circii tu li e c cuius circum
serentia necessario siccabit&basim b c ,&Ianis ah, a c linealongior sit perpendi Iari a d 'reuior aute latere a b ,secet ita basim b c mptumi cto e quo cum centro circuli copulabo per linea
ea ,lineam uero a b secet in puncto h. extenda deinceps h a ultra centrum circilli,donec occurraret circumserentiae eius inpime o g erit luitur Ilnea e d per tertiam tertii aequalis d e cata minori di ideo linea b e est dinermistia casistim Quonia autem a puncto b extra circulum signato, duae lineae b g ech c productae circulusecen erit per 3y terul,quod fit ex g b in B li aequale et,quct c b in b e sed quod fit ex g h in B li,notum est per ι 6 huius linea enim g bnota est cum sit aequalis duobus trianguli lateribus a b N a c per hypothesim datis Dido b li diliuentias ilicet duorum latinuntata est per hypothesim ei quartam huius
44쪽
DE TRIANGVLII LIB. I. 'stam huius.quare&quodsii b c b 5c h notum habebi uir, in lineam b c notas ibiecerit hypothesis,erit per 1 huius linea b e nota diurentia scilicet casuum, qua dempta ex basi b c nota,relinquetur linea e c cognita, cuius medietas cl cini castism orsitem castidieto minori lineam h e notam ad scias, & prodibit castis mes Hiero perpendicularis extra triangulum ceciderit descripto circulo super capite ipsius perpendicularis secundia quantitate lateris minoris cotinuet. lariis longius ultra centrum circuli,donec obviabit circumferentiae circissi inpuncto Hqueadmodii supra fecimus Extendatur denti basis,ut in ea residere posis fit perpendicularis demissa, coueniant perpendicularis ipsa di basis prolongata in puni ho d.non tamen ibi sistat, sed procedat qui potandet circuli circuserentia in puncto e , duilia semidiametroa e.prastino igie freti syllogismo declarabimus quod fit ex e b in b c nomin. cus3 ex hypotuita notam habeamus basim b c erit per i .huius linea e bc siimma uidelicet duore casuum nota: dempta ergo basi bc nota per hypothesim ex b eia inuenta residua c eno erit ignota. Resus medietas co casius scilicet minor.Item si basim b c casui minori iam noto adiunxerismus,casiis maior b d notus conflabitur quaelibere depromeda. UOperatio. gregatum ex duobus lateribus per disserentiam eoa, multiplica, produci ocutim diuisb,quod exibit a basi subtralias perpendiculari intra triangula cadente. aut basim ex eo quod di sione laeta eliciuir minuas.residui enim dimidiu erit casus minor situs civ si id quod ex diuisione elicitum est,addideris perpendiculari intra cadente aut ei basim adieceris,si extra ceciderit per pediculari casum maiorem constitues Verbi gratia.Sit lanis a b . a c ιτ.8cbasis b c Σῖ. congregabo as di i resultabunt 1. disserentia duoR lateruest Θ.multiplico igitur αper 8 producimtur 3 3 6.quae diuidb per 18 .numerum scilicet basis excimt ix. Bbtraho lae exae8.manent i 6.quose medietas est S.Casiis ergo minor erit S. Ite ad do iΣ .ad 8 ueniunt ΣΟ.5 tantus habebitur casias maior In hoc exemplo oportu rit perpendicularem cadere intra triangulum. Sedoiseratur mihi latus a b maius zo a c 13.ecbasis ι 1.quo fit ut perpendicularis a d triangula egrediatur Sumis mad 'late est 33.ditarentia Rest .multiplico 33. per T. producuntur a 31 .quae diuido per i l .numerum scilicet basis,exeunt Σ 1 .aquibiis minuo ιι .manent io .medietas de io est s tantusis numerabimrcasius minor.Item congregashontumerum basis ι i.crum casti minoris redduntur 16. procasii maiori. Tripliocem igitur hiathismodi casus metiendi artem ab luimus.Nunc quid utilitatis ipsi asserant paucis lucubrabimus.
Perpendicularem a quouis puncto angulari ad oppositum sibi latus
Protensam ex notis tribus trianguli lateribus reddere mensuratam. Sit triangulus a b c ex mius pincto angulari adestendat perpendiculari a d ad basim b c si ii tra triangulum ceciderit aut ipsi basi quantu opor et continuare occurrem,si extra triangulum prosiliet. Dia
45쪽
ε. Io II. DE MONTE REGI oliet.Dico,q, ipsi peipendicissaris a d notati mict. Nam iiiiiiismodi perpetidicii laxi de celidesitae concludentur duo trianguli rectansuli, Iatus commune habentes, ipsam scilicet perpendicularem,quorum sinister sinistru trianguli propositi latus, Sosiim sintsinini pro lateribus duobus reliquis accipi dextaer aute lytus dextructim casu dextro cluemadmodii in figura apparet .per 26. gatur ex P nultima primi pende perpendicitiaris a d nota uini et latere a b noto existente
per hypothesim casu autem b d per quamlibet trium praemisianim.Idem inicies ii triangulo a d e reet angulo usiis Beris. V opus brcire. Quadratum alterius duoru caseum ex quadrato lateris sibi coterminalis nilaue,relicti enim radix quadrata perpendicularem quaesitam manifestabit.
Si quis trianguli tria latera habuerit cognita, trium eius angulo rum addiscet quantitates
De triangulis non rectangulis sermo suturus habebitur derectangulis enim superius satis dixisse videmur.Sint itaq; trianguli a b c tria latera nota, dico,*irescias anguli non latebunt.De iit attur enim ex puneto a ad basim b c spendicularis a d,quae cadat, intra triangulum an extra si eriores docuerunt. Cadat primo intra triangulum, it autem ipsa nota Ppraemisiam.triangulus igit a d crectangulus duo latera a d di a c nota habens, per 2 .huitas angulos suos acutos mani abit. Similiter triangulu rectangulus a b d notos habebit acutos angulos. duobus autem angulis b S c cognitis,qui triangulis d1ctis reci angistis N proposito nostro triangulo a b c comunes sunt tertius angulus b a c peras .huius non ignorabimr.omnes ergo angulos trianguli a b c notos effecimus. Cadat demum perpendicularis ad extra triangulum,argumentis igitur pristinis duo anguli a b d S a c d noti declarabuntur.cuniFex 13 primi duo anguli a e d di ac b duos rectos notos,per et i S 3 huius ualeant,erit per huius di angulus a c b cognitus, unde per Σ3' .hiliis angulus b a c non ignorabitan .Poteris autem haec breaeuius concludere,si loco perpendicularis duos casus acced peris.Nam propter duo latera a b N b d nota ex hypothesi,& aliqua trium conclusion quas de casibus numerandis tradidimus, per a huius nonis erit angulus b simiIiter propter latus a c novi ex hypothesi, oc causum d c superius numeratu angulus c patefie duo autem anguli h & c misgmti, cium si uim angulum a peras huius suscitabunt. V autem aequo diutius obtundar 1s,operationem duabus ex rebus colliges, nam perpendicularem ex praemisi aut utrimi duorum castram ex aliqua trium praecedentium numera his angulos autem triangulorum partialium rectangulorum,quid triangulos, posito comunes habentur et huius non sinet ignoto qui tandem ας huius diris
gente,tertium angulam elicient mensuratum. m LVIII.
Duobus trianguli notis angulis, laterum proportiones inuicem cognitum iri.
46쪽
Trianguli a b c duos angulos stipponamus Gistos.Dico,w quorumlibet duorum laterum proportio nota viainitur.A communi enim termino duorum la Tum,quommproportionem eniti uoles,demitte per ipendicu auersus relictust latus, quae cadat ne intra L an ira triangulum ex angulis,quos basis sustenta ta cile doceberis illud autem processum nostru non uariabi erit enim trianguli partialis a b d rectanguli angulus h notus ex hypothesi Quare Σς huius siopus fit erit quare per 3o huius proportio a b ad a d nota Recipietur . simili argumento
proportio a c lateris ad eandem perpendi larem nota declarabitur utrOcpigitur laterum a b re a cad p n- dic larem a d proportionem habenae,eri per ιχ.hilitas corum inter se proportio nota.Similiter procedemuistrea duo latera quae ninelegerimus,quod erat abillae dum. V eratiotu autem immorari non est eonsilia vi amen ex operibus allegatorum theorematum facile comparabimus.
Si duo latera trianguli data notum ambiant angulum reliquos anagulos residuum: p Iatus dimetiri.
Sint duo latera a b & b e trianguli a b c nota cum angulo quem ambiunt
a b c .Dico,q, latus a C notum erit im duobus angulis reliquis. mula enim uertice anguli ignoti perpedicularem ad latus sibi oppositum, quae uerbi gratia sit a d .nondum autem hypothesi nostra scire poterimus,cadat ne perpendi laris illa intra triangulum an extra hoc enim non statim consequitur notitia anis guli, quem duo data ambiunt later m hilominus metam attingemus cupitam, qua lege perpendicinaris ipsa incedat explorabimus.Cum igitur triangulus ah d rectangulus angulum ti acutum histat datum ex hypothesi cum latere a b erit per ας huius utracp lineartim a d & b d cognita respectu lateris a b .si ilain bd iam inueta per syllogismu minor reperietur basi b c
nota per hypothesim perpendicularem intrae trian 'sIum cadere nemo dubitabit.si uero maior fuerit hau bc ,cadet extra,ct si aequalis, coincidet perpendicularis a d ciam latere a c, erit mPpter hoc triangulus a b c rectangulus.Sit ergo b d casus primo minor basi tic data quo ablato ex b c nota relinquetur per huius linea d c cognita. cim
iam pridem a d pei pendicularem notam conclusctimus,habebit triangulus a cic rectangulus duo latera a d S d c nota, quare per-huius latus eius a c notuesicietur,quod Striangulo nostro comi me est,seaei angulus eius acutus a e dargumento Στ huius inuenietur.duobus autem angitati b & c cogniti tertius aris talus a per aes huius Iatere non poterit .Quod si linead maior occurrat hasi h c,dempta ipsa basi nota a hypomesim ex linea b d inuenta per argumentatio nem,manebit c d nota,deinde ut prias linea a c notata Prodibit cum angulo a c d ,quem si ex duobus reis et is abstuleris,Minquetur per 33 primi&4huius angulas a c b cognitus,tandonio ex is huius angulus
47쪽
et Ioas. DE MONTE REGIO a mensis ratus merget, it fidere Iuciibranda. Operationis uero tenore misissim iacimus, qui ad allegata cla remata confiigienti hiltro se ingeret.
Si alterum ex duobus notis lateribus trianguli, anguli hi uso davi
to opponatur,&latus di angulos reliquos non ignormit eometra. Duo latera a b & a c trianguli a b e nota sint quorum alterum scilicet ab
opponatur angulo a c b obtuso dato.Dico φ di latus b c cognitum ueniet caduobus angulis a & b.Ex termino enim communi datorum laterudescendat 2 pendicuIaris a d,concurrens rum basi h c,quantum oportet prolongata in pund,ipiam enim extra triangulum cadere cogit 3 ι huius ariangulus itam a cingulum a c d notum habebi pse enim a c d angulus cum angulo a e b per hypothesim noto et is KIsrectis aequivalent .cum latus a e triangaei rectanguli praedicti notu sit ex hypothesi, erit per 29 huius utra. linearum a d di d c nota ei tu lineae a c. item triangulus a b d rectangulus duo latera a b dia d nota habens, a b quidem per hypothesim, a duero per argumentatione iam factam ex 26 huius ec ΣτIatus sim b d notum af et cum angulo b quare dempta c d prius cognita ex tota b d iam nota relinquenir basis b c no ignota.duo autem anguli h S e trianguli a b c tertium a d a per Σ; huius excitabunt.Verum igitur enunciabat theorema nostrum. UOpciationem ex eis,quae irca tria illos reciana gulos tradidimus,facile colligemus.
Trianguli duo latera data cum angulo acuto, cui alterum eorum Opponitur,ad latus & angulos reliquos cognoscendos nequast HS-cere. Veru qua lege Perpedicularis cadat, si callebimus,oia patefient.
In hac re amistadauem tinfirmitas anguli acuti,qui nequit docere cadat ne perpendicularis intra tria tum propositum an extrae quod obtusius anguluSin praemissi indicabat.Nam sit mangultis a b c cuius duo latera a b quidem mais ius,ec a c minus sint data cu angulo b acuto sitis angulus c acium non datus,&a punicto a d mittatur a d perpendi latis ad basim, quae per 3i huius cadet intra triangulum.ex processe aute
huius,casus b d maior erit casii d e,abstindatur ergo ex b d linea e d aequalis ipsi d c, ducta
linea a e,quae per quarta primi et iratis erit lineae a C. uisitat latera a b N a e triangaei a b c data sint Raequalia duobus lateribus a b & a e trianguli a b e,angulus auteb datus communis ambobus trianguli tamen basct eorum uarie sunt di reliqui angitat Ad praecognitionem igitur duoru Iaterum de unius anguli acut cui alteoru eorum opponitu non ligarurnoticia reliqui lateris di anguloru reliquorum, quod poIlicebatur theoremanostrum. V Vt autem Iatus N anmittas reliquos agnoscamus praesciendum est,qua lege perpendicularis a communi termino daatorum laterum exorta cadat.Si enim intra triangulum cecideri triangulus a b d Ddan hu
48쪽
DE TR AMIVos LIB. I L σ3 rectangillus habebit latus a b notum ex hypothesi cum angula acuto b,quare pasi huibistain perpendi hilaris a d notauiaehi tuo cincastis D d. hix duobus autelateribus a d & A c noti triangulli a d e re 'anguli per 16 di Στ huius linea dc inuenita D angulo C .duas igitur lineas b d di d c iam singulatim notos, si congregalamus, tota basis b c per 3 liuius mensii rata ueniet.duo etiam angulit, di c noti tertium angulum a Es .huius dirigente,cognitaim clitient. Quod si perpendicularis a d extra triangulum cecideri oportitit angulum a c b cile obtusiim praemissam igitur consiliendo di basim b Cec angulos reliquos triangulin iis propositi metiemur. V opus autem cum ecfacile iit, ec ex superioribus pendeat,missum facio.
Si latus trianguli datum duos sustentet notos angulos,reliqua duo
latera non erunt ignota. Sit triangulus a b c Iatus a b datum habens citi insideant duo annuli a b c 3c b a c noti. Dico, duo eius latera reli tua fient cognita.Pro angulo autem tertio mensiirando non est terendus dies; luem Σ3- .huius exemplo notu afferet. Aba termino lateris a b dati exoriac ppendicularis ad basim b c ignota quae cadat ne intra triangulum an tra anguli quibus sit Ibiacet basis,per 3 ι . huius edoce αhant Cadat igitur prias intra trianguliam,trianugulus itassi a b d rectangulus anguium h acutii habens datum cum latere a b per 29.huicis, reli
Qua duo latera sila a d ct d b cognita isti et reis speetu lateris a b. item triangulus a d cree angi Ilas cum latus a d iam notum habeat, pari ratio ine sua latera a c di c d manifestabit respectu perpendiculariu a d notae. cuo perpendicularis a d data sit ad latus a b erit S utram linearum a c d pers .huius ad ipsum latus a b data. latus ergo a c trianguli propositi notum es cimus eii duobus casibus b d oc d c quibus collectis he basis cognita remitabit. Sed cadat perpendiculas ris a d extra triangulum, eritq; per media praetae atrianguli rectanguli a b d ultimin latus a d di d bnotum respecitu a b.item triangulo a c d rectannisto angiaeum a c d notum ha te propter duos anis gulos b a c S a b c notos ex hypothesi, quibus 1pse Per 3 α. primi aequi polle era latere a d, per Σ'. hint , reliqua duo sita Iateia a c S c d cognita habebimi. Sic ergo latus a c trianguli ab c propositi notii erit cum duobus casibus b d&d siquorum minor ex maiore demptus relinquet basim b c nota, quod uolebamus explanare. Voperatio autem ex allegatis comparabitur ita rematibus.
Latus trianguli notum quod alteri duorum datorum angulorum opponitur, reliqua suscitabit Iatera.
In t iangulo a b c latas a b notu angulo a C b dato opponatu sim angi ius a b c datus. Dico Φ reliqua duo latera non erim nota. De aniso aute sex
49쪽
nos uexabit. Lateri duohiivdatis subiacenti angulis insistat periwndicii laris a d expuncto angulari sibi opposito stimens originei si s liter cadet anguli dati 3 i .huius commonciue cxploratu reddent.Cadat igitur primo intra triangulti,ut fiat triangulus a Dd rectangulus, nil in habeat Iaatus a b noum chim angulo a b a acuto, habebit
di latus c d cognitum cum latere suo c d, 19.huius dirigente. Similiter triangulus a d c cum dilatus a diam notum habeat,&angiae uac dex hypothesi datu duo latera sua reliqua a d di d emani abit.omnes igitur lineas b d a d a e & d emensura una, per qua a b nota supponebatur, secundu numeros metietur noto
quare etiali ab c ex duabus b d αδ enotis resultas non erit incognita .Sed cais dat perpendicularis a dextra triagulum concurrens cum basib c, quatum sat est continuata. mitam angulus a b c notus supponain tur cum latere a b erit per 19 liuius tria lo a b d rectans o existent utracplinearum a b&d b nota Rur in tria ito a d creeiangulo,cum latus a d iasit norim angulus autem a c d propter uicinum sita a c bex hypothesi notum ι3.primi arguente, notus habeatur,erit per Σ9.huius utracplinearum a c&c diespectas lineae perpendicularis a Rct ideo respectu ab eonum pora autem linta e d exd b minuemus rellinquetarrhasis b c cognita. resiqua igitur trias Uli a b c latera notitiae nostrae subiecimus, quod expectabat ostendendum. V In his autem postremis conclusionibus operationem missim facere libuit, ne Maone obtunderemus nimi qua quidem operationem, si collis gere uoles,ad 26. 2 .ec .huius refiCias
Trium laterum trianguli inter se datis proportionibus,omnes eius
angulos mensurare. Latus a b trianguli a b Gia ad latus enisa e *adb c proportionem habeat
data.Dico,t omnes angaei eius noti fient Pro libito enim ipsum lanis a b in diis libet partes scindas,quarum una hoc in proposito mensura coenmunis habebinir.cum itain ab Iatus sit notum per mensura huiusNodherunt per 6.huis Ius reliqua duo latera nota per eandem mensiua,
ec ideo per s.huius triaguli a b c omnes anguli patefient, 'oderat ostendendum. U Operatio autem huius pos unum Iatus quod nin tan*numerum notaim pro libito posueris,5 reliqua inde latera per opus statae huius didiceris,ab operatione 48 huius no discrepat.
Tribus angulis trianguli cuiuslibet dat s inter se proportiones habentibus unusquis in eorum cognitus habebitur,latera quoin inter se
50쪽
Sit trianguIus a b c ,cuius tres anguli inter se proportiones habeat datas Dim,q, quilibet corum notas erit,proportiones in laterum uiter se datas fieri oportebit. Uioni 1 enim an ilia ad angi ilum b data est proportio sit ipsa ut numeri had numeriti' i eceneni est ea in numeris notis inueniri di pportio anguli bad angulast c nota tant numeri k adnumerum 1 .cum ita proportio angula a ad anguIum sit sicut numeri h ad numerum Κ, erit coniunctim a & b angulorum ad angulum bsicut l, 5 k numerorum ad k numerum, est autei, ad c sicut h ad k .per aequa igit a b ad c tan*h k ad l, di coniunctim a b c ad e siccit l, k l ad
I Ugrmati itam ex tribus angulis a b c ada a Ium c est sicut ammati ex tribus numeris 1, k lad numerum 1 proportio.summa igitvir trium an ulorum a b c ad ipsum angulum C proportione
abet nota, camma autem huiusmodi per 3 α.primi duobus rectis aeqinpollet, quos oportet esse notos ex supradictis,unde dis imma trium angulorum dictoriam nota conuincitu persectam ergo huius angulus c notus declarabitur. qui cum ad reliquos angulos datas habeat proportiones,erunt &reliqui anguli n .huius noti.quare perq9.huius tria latera trianguli a b c proportiones inter se notas accipien ambas ergo theorematis partes satis ostedisse videmur eratio Tribus angulis tres accomodabis numeros, ita primus angulus adiecundam se habeat sicut numerus primus adsecivium,secundus uero angulus ad tertium,sicut secundus numerus ad tertium,quod facile fiet si operationem ι'. huius contatueris,quo facto summabis dictos tres numeros,&collectum ex eis num ram pro primo statuas,numerum uero anguli,quem nosse desideras prosecundo, di numerum duorum angulorum rectorum pro tertio.multiplicando itam secundum per tertium c diuidendo in primum exibit quantitas anguli quaesiti. Vt si proportio anguli a ad anguIum b iuerit sicut ι o ad τ anguli autem b ad anguis
tum c sicut ad 3. IIvio tres numeros to . .ec 3. fiunt ΣΟ.pro primo numero. liabeat aut inuenire angulum a cuius numerus est io.quem pro secundo,num rus autem duorum rectorum usitatus est iso.multiplico igitur ιso. per io. Pro ducimtur 18oo. quae diuido per ΣΟ.exeunt nonaginta.annulum igitur a inuenis' o. gradus continentem, ut duo recti simi r So.quare Sipierectus habebitur mispertis autem angulis adoperationem .huius confirgiendum erit,ut proporti nes laterum addistamus .
Data proportione duorum laterum,uno angulo cognito reli qui
duo anguli noti fiet. Vnde utriuis dictorum laterum ad tertium pro
Portio non latebit. Sit proportla a b lateris ad b e latus trianguli a b
c dat crum uno angulo quo *.Dico, in reliqui duo anguli nati uenient di proportio utritam dictorum late rum tertium latus data erit.Diuisbenim ad libitum latere η h in quotlibet partes,una earum tan* mensi iis ι communiuimur,quae quoties in latere b c contineatur, ita hi uas edocebit.