장음표시 사용
61쪽
IOII. DE NON TE Rrca o Maedis terentiae sint dataeo ipsa perpendioilaias a d data.Dico, i, omnia latera trianguli nota concitidentur. Uer artem res dimissus Iuκ P,
hiema abseluemiis. mr ergosissicientia latenim ut 3 Aistcrmitia sinim irat, i pendicularis i o. no pro basi una rem pro aggregato Iateriam res,na proportio hasta ad congera lateiu est tith gadg e,scilicet unius ad .erit ergo b d rei minus6,sed a berit 1 res deinptis .duco a b in se producimtur censiis demptis 6 reis hius. ite b d in se iacitis centa,& 36 minus 6 rebus uiuic addo radratium de ioqui est ioo .colliguntur; cesiliridi 136 minus 6 rebus quales uidelicet censis s&αὶ demptis 6 riuus. Restaurando ita defeeius, Sauferendo utrobi ara qualia,quemadmodum ars ipsa piaecipi liabebimus census aliquot aequales ritis mera unde cognitio rei patebit,& inde tria latera trianguli more suo innotescet.
Datis tribus lateribus trianguli rectilinei, diametrum circuli eum circumscribentis inuenire.
Haec tametsi de angulis trianguli inueniendis nihil propona utilis tamen s ientibus uidebiξ.
Sint tria latera a b, b gec g a,trianguli a b gmta,quaerimus diametrum circuli ciim circuscribentis Esto cimitus huiusmodi a b g d,oportet autem duos angisos quicimo fuerint trianguli ah g este acutos,qui sint uerbi gratia, a S g,quos facile cognosces,si primo trianguloriam libello satis incubuisti: demittatur 6 2pune o h perpendicularis b 3 dc diameter circuli praedicti h e d, cuius terminus d comi r puncto g per linod g.habes ita duos triangulos a b 3 ecb d gae tangiuos,uterin enim angulorum b a g&b d g in circi serentia consistens suscipit arcum bg uter
angulorum a 3 h ecb g drectus est: a 3 h quidem ex dispositione figurae, b g dautem ex dis ditioneα 3 oaerm elementorum,quareti tertius tertio aequalis couincetur:unde&perquarta secti proportio 3 b ad b g est ut a b ad h u.tres autem harum notae Rint di scilicet a b ad b g per hypothesim: popendicularis Mero b 3 ex primitur ius intimitti ergo & quarta,quae in diameter circuli, no ta uenie quod expectabas ostendendum.Elegimus autem duos angulos acutos, ut perpendicularis intra triareulum coartaretur facilitatis gratia nam si caderet extra parumper uariandus es processus.Qtido stacciderit quadratum alicuius trium laterum quadratis duorum reliquorum laterum simiae iunctis aequivalere: uerbi gratia, quadratum a g aequari duobus quadratis linearum a b ec h g, erit a g diameter circuli circumscribentis trian Mnem ampliori quaesito opus est: tenim per ultima primi clementoriam angulus a b g rei his,ec ideo per c
uersionem 3 o.tertii a b g tantarculus habebitur,di a g diameter circuli, quod
Si basim trianguli notam acceperimus cia perpendiculari siue area trianguli, in quo quem basis subtendit angulum datum habueri'
62쪽
mus, utrius lateris noticiam extemplo reddemus. Sit triangulus a b g, hasim b g nois
tam habenu cio serpendiculari aiae cum sua, ita alterum ex altero pen
Q utrunm laterum eius notitia attingeis imus. Detur enim angulus b a g obmissus, telnssaturis et a donec perpendicularis b h ex puneto descensura residere possit in eadem,erit ita propter angi iis
tum b a k notum proportio a baub hnota per huius proportio aute ab
ad b h est tan* eius quod a b di a stad
ia quod sub b k ti a g continetur,qua redi illa proportio nota erit:quod autem fit ex b h in a g notum est,quia dupla
areae trianguli igitur Δ quod sub a b di a g continetur,rectangulum erit notis: arata demum circulo triangula a b g circumsti Pente,diameter eius notifica abitur ex praecesciati propter perpendicularem a d nota cum eo, quod sub a b eca g continetur noto lauiusmodi diameter sit p q,secans corda b g per medium, di ideo orthogonaliter in punem m,eduehis p ex centro e tribus sonidiametris e g,e ahe l, iae atquedistet cordat b g, cui incidat perpendicularis a d satis Prolongata in puncto n.propter semidiametriim igitur e g &dimidia basi m gnotas cum angulo e m g res o,norificabitur linea e m ,cui aequalis est ipse d n: hinc tota a n cognita resultabit quae deinceps auxilio semidiametri e a notae, angulo apud n recto existente suscitabit linea n e cogni cui aequalis habetur inea d m,qua dempta ex dimidia basi b m,relinquetur castis minorrea uero ad 1eeta,restillabit castis maior cognitus: hinc casibus notis N perpendictaeari a cllatera duo cognita fient.Haec autem tenent quando duorum lat a b a g alterum altero maius extiteri cuius rei indicium erit,si linea d nex perpessiculari uidelicet a d di linea m e resultas minor fuerit tanidiametrorsi is esset aequalis sonidiametro duo latera a b N a g necessi suis taequalia,unde etia perispendicitiaris a d diuisisset has imper aequaliarsico perpendi Iari nota cum dismidia basi resultaret utrunm latus comini m.In his rebus demonstrandis non si, sto gradum rum iacilia admossiimoliensu reputentur. Si autem angulus b a giuerit techis,ecit b x necestario diameter circulo triangulum h a g circumsci ibentis, cuius medietati aequalis si fuerit perpendicii laris a d data,erunt duo latera trian i aequalia utrimi uidelicet corda quadrantis, unde Lacillime cognos uir. Si uero De Edicularis Herit minor dimidiae basi erui duo latera inaequalia, educta igitur semidiametro e a,quae est aequalis dimidiae has nota erit d e hine ut prius utercu callium cum utrocm lateru innotescent. 3od si angulas h a g acutus Aratur,erit portio b a g maior scivieircaeo, ecideo semidiameter e t secabit perpendicularem: quare caeteris ommisis ut antea procedentibiis,msi Φ perpendi Iaris h k intra triangulu cadi linea d naequain lam ipsi e n ex perpendiculari a d nota minuemus inuent tandem lineam
63쪽
ya Io II. DE NON TAR Baiod m,ex dimidia basi dono a , ut res n*iatur casu i minor,perpen liculari saltem a d intra angulum cadente, tuo saccidit,duini mea d in minor dimidia hali reissultabit: tecontra dimidia basim ex linea d in minuemus i pe a Uidicularis tra triangulum ceciderit,id est,si d m dimidiatrasim superauem,quae duae si Bearint aequales constabit perpcndicillarrem a d coincidisse laterii nur . quod a ton in hac demonstratione restat, si paucillum habes ingenium,eniti potais.
Data area trianguli cum eo quod sub duobus lateribus continetur rectangulo angulus quem basis respicit, aut cognitus emerget, aut cuangulo cognito duobus rediis aequipollebit.
PResumptis figurationibus p ecedetis, si perpendicularis b h uersus linea a g P
cedens,extra triangulum ceciderit,erit perca,quae in praecedenti commemorauimus,
proportio b h ad b a nota di ideo per primi huius angulum b a k notum acci piemus,sic angulus h a g ciim angulo ha h noto duobus rectis ad cptiualebui. Si uero perpendicitiaris b k intra triangulum ceciderit quemadmodii in totia figuratione praecedentis cernitur, erit ut prius a bad h k nota habens proportione, di ideo angulus h a k siue b a g notus concludetur. At si perpendicularis b h coinciderit lateri a h, necesse est angulum b a gfuisse recium,ec ideo cognitum quod quidem accidit,quando area trianguli pro, positi aequatur ei, quod se duobus lateribus eius continetur rectangulo.
Data differentia duarum linearum quaere tangulum spatia conitinent notum,utrant earum dimetirc Sint dine lineae a b&b c inaequales, rectan trium si acium a c continentes notum, sitis dimarentia earum d c cognita.Dico, ν utram earumi nota reddet .Erit enim quod fit ex d b in b c pa rat Eogramurectangulti notum,q, b d sit aequaisti S Iis ipsi a d: diuisa d c disserentia per medium in li erit quadranim lineae d h cognitum, quod quidem adici ham rectangula a c noto,per sexta secundi conficiet quadratum hi, cognitum:hine ergo costa sua scilicet linea b h notificabitur ex quasi resecrauis mustium ci h no manebit b d .ec ideo ipsa a b nota:sed dicies h linotae asdem medietatem ditarenti scilicet lineam h c notam,ut resultet tota b c cognita,quod erat abseluendum.
Data area triangulat,&angulo quem basis respicit cognito cum dissis mitia laterum,un P eorum innotescet.
64쪽
LIB. II. nn TRIANGULIS LIB. II. Per modum enim circa huius explanatum concludem ,quod sub duo a lateribus cotinetur cognitum: cun ditirentia eorum nota attuleret hypomeri, erit per Praecedentem ummineorum com inguius gratia iatigati simius.
Si aZn Io trianguli noto descendat linea quaedam cognita a assim datam diuidens per aequalia, utrunt latus, reliqui etiam anguli
non erunt ignoti. Sit triangulas a b e, angulam h a enotum habens, st cuius uerisce a descenis dat linea a d nota respeetii basis b c per medium scindit in puncto d.Dico, ut in lateriam a b S a c notum ueniet cum reliquis duobus angulis. Circumsci ibo enim huic triangulo circulam a b h est ver centro e , us diameter P q P pund trans tat, orthogonaliter secans ipsam b c datam linia:continuetur liisneae ad , donec occurret circumserentiae cimili in li,educantur denim duae semidiametri e c quidem coterminalis ductu
lateribus trianguli propositi: e 1 autem secans corda a h si possibile sit per mediis iam di orthogonaliterrerit 1iacvangulus e e d aequalis angaeob a e dato,&id per primi huius propter anisum apud d rectum proportio d c notae ad lineam d e nota eri quare linea d e nota habebit .est autem quadratum lineae hanomypter hypothesim aequale es,quod fit ex a d in d h po ter clementora, cani a d sit nota, erit& ό h inde quom nota a I, cum eius medietate a h non ignorabitur:hine residua k d scita dabitur. ex duabus ita linin d e 5c d k in angulo h recto per primi huius cognoscetur angulus d e k , di ideo arcus 1 qnotus accipiem propter triangulum autem d e c notorum angaeorum linea dc di ideo etiam dupla eius b c respectu Evidiametri circuli e e notam habebit proportionem, unde Scorda ah, quae nota prius erat res pretii lineae h e, iam respectu diametri circuli huius cognita dabitur: tmdedi per tabulam taut1 aut cor darum arcus a b h innotescet.oportuit autem arcum B q c esse notum proptera laeum h a e data,dempto igitur arcu 1 q prius noto ex arcu b si scilicet meis dietate arcus b q caelinquetur arcus b-l notus, qui deinde rei trus ex arcia a lscilicet medietate arcus a s h manes,it arcus a b notus,cui si addideris totumax cum B q c notum resultabit arcus a b c cognitus:horum duorum arcuum coris das ex tabi ila colligemus sic duo latera triamuli propositir ecti diametri esseculi nota ueniem:erat autem ecbasis ti e respec hi eiusdem nota, undedi ipsa latexares: ehi basis menseratas habebunt longitudines,angulos autem trian lipositi resiquos latere non sinunt duo arcus a b S a c, in quos ipsi cadunt si racircumis entiam consistentes.Contingit autem lineam a li esse diametrum ci ossi quod quando fiet iam comemorata satis edocinunt, conclusimas mim tam ipsam 2 h,Φdiametrum circini respecta balis is e notam habere quantitatem. Potout etiam quispiam dare angulum h a c reet Munde basis is e fieret diameter circaei,dc a d semidiameterinincautem proin erit uarium nisi alia quaeda
65쪽
εo Io II. Dn NON TE REGIO conditio accesseris.In hac auum finitatione arsilum hae acimini sit echnua quire obni os metu quavis fisturatio paxilis per imitaretur , pr citri lamen idem latine ad intentum nos perducet.
Siquis triangulus duo latera habeat inaequalia a qliriussi eommum termino descendat linea angulum per aequalia diuidens, basim au. tem per inaequalia, ipsa linea diuidens nota cum portionibus baliis diuisae utrunq; latus cognitum iri.
Sittalistra angulus a b g , cuius latus
a b brcussis latere a c: a citius angula a descendat linea a d nota angulum quideb a c diuidens permesium, assim autem in duas partialas a d & d c notas.Dico, Q utrunq; laterum a b N a c innotescet. circii miseribatur cium huic triangula circulus a b h c centrum e habens:protensa in a li usi ad occlusum circuserentiae in ii ducant duae cordae b h S c ii, quas costat esse aequales a pler angulum b a cper aequalia diuisiim ducatur riris is dia a meter circuli l h ,quae chim diuidat arciimti e per mediim diludet etiam per tetineordam eius b e per aequalia, Inde&per tertii orthogonaliter eam si abit. Oautem utram linearum b d&d c sit nota erit per terni sextiti primi huius linea d h nota: est autem di d k cognita uidelicet disserentia dimidiae hali Sminoris sistionis:angulo igitur k recto existente linea k h per primi huius nota pronunciabitur c qua demum di dimidia basi cognita iuu primi huius mentiaetur,utraΦ cordarima b h&h c aequalium nota ultabit.quadrangulumitam ah h e circulo inscriptu duas diametros a h S b c notas habebi quod autem
ιλ vis continetur equu est duobus rectangulis quorum alten siil, b h S a c, alterum sub hi a b continetur:hoc enim alibi demonstratum est.Haecautom duo rectangula parallelograma aequantur ei quod sub b h di congerie duoru laisteriam continetur,opter aequalitatem linearum b h di h c. quod 1gitin s ib h hec aggregato Iaterum a b N a c continetur,erit cognitamaande&propter lineam b h cognita primi huius ratiocinante,cogeries duorum laterum nota pro Meniet.est aute*portio b d add c sicut ab ad a c per tertia secti,ct coumctini B c ad c d sicut congeries duoru Iatem ad ipsi im latus a c:cunq; tres huiusmodi quantitatu sint notae,int di quarta scilicet linea a c inuentarii &reliquum
latus a b mili poterit latere. haec pro lateribus cognoscendis, ad angulos autem inmeniendos iam paratum habes ite si huius intento tuo accomodaueris. Poterimus 3 o huius Miter absoluerehoc pacto.Sit triangulus a b c aream hahens notam vim basi bc di angulo h a c. Dico,q, utrunm laterii a b & a e notum prodibit Intelligo enim huic triangulo circumscriptu circulum a b d c, in quo produco cordam a I aequedistantem ipsi b c ,&diametnim d k utrim dictaxum cordarum perpendiculariter incidentem:huic quidem in puncto 3 ,illi autein puncto h a e perpendicularis ac b c ,si oportuerit praeongata. qtionia
igitur aream trianguli cum basi b c notam si cimus, ait perpendiculatis a e
66쪽
DE TRIANGVLis enim in basim dimidiam ducta,
conficit aream trianguli data:hine aequavilis 3 li, eam rem non erit ignota. proater angulum ad nn h a cta ideo arcum c coges cim mi corda b c comita per tabulam sin aut cordarum respeeridiametri circuli: unde di sagitta 3 d eadem Matione nota fiet:cum autem perpendiis cularis a e compta habeatur respe cola
se b c erit θι ipsa res AI diametri estis cali nota,& ei aequalis 3 li: tota igitur tagitta d si respectu diametri circuli nota consurgeto ideo arcus a d cognitus da hi tu i quos idem o arcum b d edi, talem scilicet arcus b c pri&m nothrelinquetur arcus a b notus: hine eorda ah cognoscetur respectu diametri circuli,&consequenter respeetia lineae b g . aracus denicv a b 1am notus arcui h e adiectus totum arcum a d e cognitum strascitabiq&ideo corda eius respeetia diametri circuli,tandem respeetii lineae b c manifestabitur. gulos autem a b c ec a c b propter arcus a b ci a e iam ira
Duobus triangulis supra basim unam notam constituti bina lavitera aequalia ac cognita habentibus,quantum uertices eorum distens
anquirere. Supra basim b e notam constituantur duo trsan gui1 a b c&d b e,quorum utri latera sint cognita:ducatur linea a d uertices eorum coniungens,qua
praesens quaerit problema.Ex uerticibus a & d duae descendant perpendiculares ad basim si opus si ierit, saltis extensiam quae sint a e & d g ,has perpendiculais res quo pae o inuenias,superias comemoratum incisi igitur Herint aequales,distantia duorum uerticu erit per primi elementoru aequalis lineae e g,qiue est aggregata ex duobus careus e c&c g in hac figuratione, quos saperius mensur redoruimus:unde S distantia uerticum nota erit.Si uero perpendiculam nossierint aequales,as Immitate minoris earum quae sit uerbi gratia, a e ducatur a larequedistans basi ct occurrens reliquae perpendiculari inpune o h , rae nota erit quonia aequali lineae e g aggregato duorum castra:llineam quom d h non igno Tabit Geometra cum h g lit aequalis a e perpendiculari notae:hinc ecopter a gulum a l, d reetiam primi huius ratiocinate linea a d laterem poterit, Praehaetenus quaerebatur.Ad linea autem a li cognoscendano se in oportebit ecaligere duos casias quemadmodu in praesetitiarum iusimus:sed non altera ex altero demi,ut relinquatur Iliaea e g siue a li cognita,&sicut hie colum ius sum minorem unius trianguli minori casui alterius ita interclam casam nun rem unius maiori casui alterias coniungere opus erit:quod quando fi tuo inge mordiaquitur discemendum . in .
67쪽
Si duo trianguli supra basim unam notam constituti fuerint, quo
rum unus arquicruris alter autem uarius,α anguli,quos basis subtenis dit,dati fuerint cum distantia duoriam uerticum Bori , b 'a latera eorum cognitum iri., Supra balim datam b c constituantur duo tri
anguli, a b c quidem duo latera a b ec a e his I hensas alia, d b c autem diro Iat habe insin f in 14ec sit uter anguloru b a c&b d e da I f tus, et inlinea ad distantia scilicet duo,ssicaas I Z pitum fit data.Dico Q utrius p eorum duo lateral f e. erunt data.Sit enim pro Iibito angulus h a cmal f ior angulo b d c,demittaturcpex puncto a per
ι diuidet basim per aequalia, qti
haec perpendicularis intellitur utrium indefini quantitatis:inciali itam circumsicripti tria D io d b c circumferentia secet eam superius in g, nisi autem in puncto h:constabit ita lineam g h esse diametrum imi circuli per corollarium primae terri in qua sit citrum circuli e :dueta ridiame
agitur iner triangulorum a b c ec g b c mutaurium habeat angulum notum in his dat erunt per primi huius bina latera eorum nota chara perpendicularibus suis: de etiam tota diameter g h nota fiet quadratum erum dimidiae baissis E c notae aequatures,quod fit ex g k iam nota in k Ii,hinc h h ct consequenter tota g h diameter nota ueniet:dempta autem in entia perpendiculariuga propter ipsas perpendiculares cognita exscinidiametro g e nota residuabitur linea a e scitari ictriangulus a ed tria latera nota habens, amisis iuum e a dcognitum efficie ex quo demptus angulus e ac notus, quonia medietas h a cdaci, inquet angulum c a d mensuratum is donum cum duabus lincis c a
a d notis tertiam quom c d manifestabit.Item dimidius angulas b a c, qui esth a k adieci iis angulo e a d prius cogni t conflabit totum amulam h a d n tum,quicum duobus lateribus a b di a d iamdudum cognitus, lineam h d si se scitabit notamscergo duo latera trianguli d a e dimenta sitim quod libuit a tingere Paulo aliter ratiocinabimur circumserentia circuli b c d g secante perispendicularem inis pinetiam a , Fod reuera contingit, dum angulus b d e maiorangaeo h a c oblatus merit. Quod si duo dicti anguli uales stabiiciatur, circumserentia circuli b c d g per punctum a traivit necesse est:cognita igitdiametro circuli ut ante item duabus lineis a b di a d cpare erui cordae dicto circula inscripta non erit ficile mensurare utran cordam h d & c d si circa cordas circuli meniendas parumper exerceatis. quod igitur in hac re superest, resinquimus inantitae.
Si cuiuslibet trianguli angulum per aequalia diuidat linea ad has nota descendens fuerint sietiones basis inaequales notae: item p ansgulus acutus,que linea diuidens cum ipsa basi continet notus datus, latus trianguli cognitum reddetur. trians
68쪽
In triangulo a b g ducatur Imea a d, diuidens angulam quidem b a e per
aequalia basim autem b c notam per inaequalia in puncto d: sites utra 3 se misisnum b d minor ec d c maior data cum angulo a d b acuto.Dico,qν utrim i tus cognosceti' portet autem angulum a d b,quemadmodum comemorausemus,ciae γῆ rtu. ropter b d minorem sectione cui insidet, erit enim tertia secti ratiocinante a b minor a coideo angulus a b c maior angulo a c b conuin cetur.angulus a d c ualet duos. h a dcta b d . item angulus a d b sequi latduobus a c d dici a c: cuni angulus b a d sit aequalis angulo c a d, reuiltabit angulus a d c maior angulo a d b, di ideo hic quidem obtusiis ille uero acutus enunciabitur.Circii scribatur ergo triangulo a b c circulus a b h c,resiques udisponannir quemadmodu in huius: ex angulo itam a a b siue ii d k noto caangulo h recto tilinea d k differentia dimidiae basis datae di minoris seeuoms, utra linearum d h&h k nota proueniet mm angulo d h h: deinceps utram linearum b h&h c propter dimidiam basim notam cum linea hk cognita da shitur: ni quod sise duabus B d&d c continetur sit aequale ei, quod sim a d dio h concirietur: tres autem harum sunt notae erit per di primi huius linea adnota,sic duas diametros a li&b c quadrangulo a b h c circulo inscripti notas habemus: de ec reliqua sicuti in huius ab luere licebit.
Si siphaera plano secetur, communis sectio superficiei sphaericae Ee
plani secantis erit circumferentia circuli. Vnde constabit pedem perinpendicularis a centro sphaerae ad superficiem secantem descendentis circuli huiusmodi centru messe.
Comunis sed io Bperficieis,literi e&se in eam secantis sit linea a b g,quam dico esse
circumferentiam circuli. anum emis secans aut per centrum sphaerie incedit,aut non. Si acentrum eius,quonia omnes rectae lineae strens
tro sphaene ad ipsam sectionem comunem in plano huiusmodi eductae aequales sunt ditanotione sphaerae id confirmante manifestui planum intra lineam a b g conclusio est circuis his, psa linea a b g circumserentia eius . Si uero planum praetereat centrii sphaerae, demita tura centrosphaerae quod sit 3,adi implanum perpessi aris rei hi linea 3
a cuius pede scilicet puncto h lineae rectae quouibet educantur ad sectionem V dictam
69쪽
gulum uixta 3 rectum habe propter lineam 3 h perptamitari terplano liuidentem,latera autem rceios angulos subicia dcntia,siint semidiam mi liphame de Maales.dempto igitur quadrato perpta dictitaris singulatim a quadratis Lmidiameis troni in remanebunt per penultima primiti comunem scientia quadrata trium linearum ti a ,h h S h g aequalia: dedi lineas ipsas aequalta cile opinici. Non aliter*babis alias lineas quotlibet puncto h ad sectionem comunem eductas sibi di tribus lineis iam memoratis aequales csse.difi initio igitur circilli theorematis concludet ueritatem. Ex his aut didissinitione centri trahinir pedem deamistis perpendiculatistae centrum circuli iam dicti,quod pollicebat corollatis.
Omnis lineareeta a centrosphaerae ad centrum circuli minoris in producita,perpendiculatis est ad stiperficiem ipsius circuli.
Haec conuertit corollarium praecedentis. Sit circulus minor ab g d in sphaera signarus,cuius centrum ii , quod cum cum centro splaaerae 3 copulabo per lineam 3 Λ .Dico,v linea 3 h perpendicitiaris est ad superficiem huius circuli. Productis 1 in diis abus semidiametris a g&b d circuli minoris, terminos earum centro splinae copulabo per semidiametros sphaerae a 3, h 3, g 3 ecd 3 .per Assinitione
igitur circuli disphaerae linea 3 h comunes existente ex 2 primi omnes anguli,quos facit linea 3 h cum lineis sibi in stiperficie circuli minoris conterman libus sirit recti. quare linea 3 h perpendiculariter incidit duabus diametris a g&h Scideo per vindecimi perpessicularis est ad stiperficiem circuli a b g d, quod libuit deducere. autem linea 1 centro sphaerae superficiei circilli minoris perispendicillariter inciden ad centrum ipsius circuli minoris terminetur, ex Processa
Linea recta,quae a centro circuli in sphaera positi, orthogonaliter Kgreditur,centrum sphaerae necessario continebit. Sit circulus in sphaera a b d mmis centnim h .e quo
mediatur orthogonalis linea si h utrun* indefinita.Dico, in ea centrum sphaerae reperietur. Si enim cirruIus iisl , b te maior extiterit cum centrum eius sit centrum etia sphae, J r a quo orthogonalis ipsa nascitu planum est quod ris
posuimus.Si autem fuerit circulus minor,ic centruspla ars extra orthogonalem Datentia quidem aduersiitii ha/σ heatur sit ipsum x ,produe a igitur linea X h, per praesmisiam erit perpendiculatis adsit perficiem circuli a b g d.ab uno ita F punctoli superficies a b g d duae orthogonales mediuntur,quod est impossibile,& coram undecimi quointerempto,relinqvitur ueritas conclusionis nostiae.
70쪽
Omnis linea recta a polo circuli ad eius centrum demissa, perpendicularis ad superficiem circuli conuincitur product at ultra circuli centrum, doeci erficiei sphaericae obviabit, reliquum circuli polum offendet.
Sit circulus d e b g , cuius quidem polus sit a
Ptmetu centrum uero 3 ,demittatur polo a ad centrum 3 Iinea a 3 qua dico esse perpendicularem ad superficiem circuli. arum enim diametronim , d b di e g terminos cum puncto a copulabo per lineas ad , ae,abct ag ,quo fit,ut trianguli a b 3di a d 3 bina latera sint aequalia, a 3 enim commua ne est ambobus, 3 b autem ec 3 d sinit semidiam tri eiusdem clictili suas demum bases a d&a b aeis quales affert poli diffinitio.quare angulus a 3 d arae qaalis est angulo a 3 b-ideo a 3 perpendicularis est ad lineam d b. Similiter probabimus eande a 3 perpendicularem esse ad lineam 3 g. cum ita* tria lineariim conterminaltu una duabus reliquis orthogonaliter insistat erit ipsa perpendicularis ad stiperficiem reliquZrum duarum argumento .undecimi.haec autem stiperficies est ipse circulus d e b q,primam igitur theorematis partem ostendisse videmur. Secum uero parti allenties si linea a 3 usim ad puncta sit perficiei sphaericae h produiscis,ipsum h punctum omnium diametroru terminis coniunges.omnes enim et i trianguli,quibus uertex comunis est,centnim circuli 3 bina latera habet aequalia, li 3 enim commune reliqua uero sint semidiametri et iisdem circuli, sed dianis guli eorum apud pi in m 3 aequales siinquina recti:quare bases dictorum trianis gulorum uniuersae aequabuntur, perdimnicionem igitur ii punctus c1rmili dicti polus habebitur,quod erat lucti brandum.
Omnis recta linea a centro circuli in sphaera orthogonaliter exies, per polos eius utrini continuata transibit.
In figuratione praehabita intelligatur lineam 3 a orthogonaliter 2 centro circuli 3 exiuisse resiquis ut antehac consentatis. Dico, duo puncta adit, esse pol los circuli d e h g .Quia enim linea a 3 orthogonalis est ad superficie circuli per
centrum eias transiens erit ipsa per conuersione diffinitionis orthogonalis ad omnem circilli semidiametra. posito igitur quadrato 3 a communi,cum omnia quadrata semidiametroru sint aequalia,erunt per penultima primi di comunem antismi conceptionem quadrata omnium lineam ab a pune o ad circumferentia circuli demissarum aequalia, ct ideo incilin aequales. per divinitionem ergo poli constabituemias propositionis.Idem similiter concludere de puncto h licebit.
In linea recta centru sphaeraeca centro circuli minoris an ea f1gnati tinuate,si quatu oportet utrinin Ploget,ipsius circuli polos iueniri I Circuli