Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

501쪽

4 6 . Λ MI B R AEmissem,s aequatio suerit secundi gradus, trientem si tertii; quadrantem, si quar ti, atque ita continuδ : Ex quo fit , ut si In aequatione desit secundus terminus, tunc itidem in radice terminus ille defi-elet . Et quoniam facile est , ex qualibet

aequatione secundum terminum tollere, proinde si eas tantum aequationes resolvendas nobis proponemus , quae secundo termino carent , radices ipsarum non Plures poterunt terminos contineres quam sunt dimensiones aequationum suna dempta: adeo, ut generaliter erit monomium radix, quae resertur ad aequationem secundi gradus, binomium radix, quae respicit aequationem tertii gradus,

trinomium radix , quae eruitur eae aequatione quarti gradus ; atque ita deincep1. Haec itaque sunt principia, quibus generalem aequationum omnium resolutio nem oportet instituere , nec dicere vereor,

desectu istorum principiorum, non adhuc fuisse excogitatam in Λlgebra methodum generalem pro resolutione omnium aequationum . Jam ex hisce principiis duplex mihi videtur colligi posse methodus generalis pro resolvendis aequationibus omnibus,quae quidem sunt ipsissimae illae, 'RRs Pro resolutione aequationum cubi

502쪽

earum superius adhibuimus . utram que hic explicabimus , sed tam unius , quam alterius nonnisi in resolutione aequationum quarti gradus , iam alia methodo a nobis instituta, periculum faciemus, nam exigua nostri operis moles non sinit , ut ulterius progrediamur,quum in resolvendis aequationibus altioris gradus calculu crescat in immensum.

Prima metbodus p resehendis aequatio nibus omnibus explicatur. ΡRo generali aequationum εomnium

resolutione prima methodus ex iis, iquas hic explicandas nobis proposuimus, procedit, assumendo radices aequationis indeterminate , V componendo ex iis novam aequationem , quas deinde determinat per comparationem novae istius a quationis cum illa , de qua agitur . Haec methodus neminem latuit recentium Λlgebristarum , sed eam ad aequationes at tioris gradus extendere ausus est nemo, quum omnes ignari fuerint illius principii , quod non omnes aequationes resol i. pollini analytice , sed eae tantum , qu

503쪽

E EM. Lib.II. Cap.9. 4 9h'ntur reales , tunc illa: nequaquam poterant determinari. Et quamquam bene-.ficio quantitatum imaginaeriarum , aἀhunc quoque casum placuerit methodum extendere 3 vidimus tamen radices illas sic expressas oriri , ut tametsi reales hquantitates tamen imaginarias. involve Tunt , nec Proinde legitimas esse earum radicum expressIones . . Hoc idem ostendemus modb in resolutione aequationum quarti gradus , quam alia methodo superiori capite docuimus.

quatio quarti gradus , 2 ponamuIPrimbsequationem ista duas habere radices reaistes,& alias duas imaginarias.Sint 4 a b α Οαx f b in o aequationes sim Plices , quae continent radices duas reales , sintque x f a - -c O , ὀία ' a ' c o aequationes simpli

cra, quae Continent radices duas. imaginarias . Itaque,quia ex multiplicatione prire marum oritur aequatio αδ -- aax ' a --δ O , 2 ex multiplicatione secundarii

mo , multiplicando rursus per ose mutuli duas istas a quationes secundi gradussi prodibit aequatio quatuor dimensionum αε - aa x- -b-x3 l c*x '

505쪽

i Itaque quum aequatio ista sit derivati , va tertii gradus, iacile erit ope ejus qua titatis a valorem invenire: quo utiqua invento . innotescent quoque valores quantitatum b,ge Gquum habeatur apalai faρ-: -- ab ,2 apata 3 4 2ραα ac a Quocirca Per hanc methodu semper pote runt determinari, tum radices duae rea. las , cum radices duae imaginariae proposiviae aequationis κε f pκ- 4r ino. Neque dicas inventam aequationem a 4 fapa' fp a -ra -π te: o utpotu tertii gradus , non semper resolvi posseε quum si contingat illam existere in pro- pria sua sede,omnesque radices reales habe

resper ea , quae superius ostensa sunt , n queat resolutio eius obtineri. Nam notetur velim , casum istum contingere ne

quRquam posse . qnandoquidem posui. mus s aequationem quarti gradus x' lox' ' 8ρx t 4r in o duas habere radice reales , ge alias duas imaginarias. Id autem ut liquidb constet, memoria recolendum est , quod si utique aequati

a quatio cubica per methodum superi ri capite explicatam , haec semper tesolvi

506쪽

methodo superiori capite tradita derium Tetur, consequens est , ut in hypothesi, quod aequatio quarti gradus duas habeanxadices reales. st alias duas imaginarias, inventa aequatio .cubica semper fesolvi possit, nec unquam fieri queat, ut in δἐum incidat irresolu tum.aequationum mis

507쪽

a - . Quare multiplicatis simul duabus hisce aequationibus , fiet V a- pa' fa 6 -- ΑΤq -a-b- - . Erat autem Ap f aa'

- - ψὴ -- c- , hoc est Uaη aa aqh- auec . Itaque addendo partes istius aequationis cum partibus illius, fiet

508쪽

t pya - νβ' - qq- . Itaque quum aequatio ista sit quidem derivativa tertii gradus , sed sit illa eadem , quae inventa est pauid ante , quum

4r duas ponebatur habere radices reales , 2 alias duas imaginarias ; perspicuum est , ope ejus uequaquam posse inveniri valorem quantitatis a , neque idebdeterminari posse radices propositae aequationis . Si enim ex aequatione proposita eruamus aequationem cubicam methodo superiori capite tradita, haec, ut ibidem ostensum est , incidit in casum irresoluistum arquationum cubicarum , quoties- Cumque aequatio illa radices omnes reales habet. Itaque,quia inventa aequatio Cu

transformatur in eam , quae alia illa methodo derivaretur , si utique radices ejus multiplicentur per numerum quaterna rium , consequens est, ut in hypothesi, quod aequatio proposita omnes radices reales habeat, inventa aequatio Cubica iniscidat quoque in casum irresolutum aequationum cubicarum , nec ideo resolutio ejus possit obtineri. Vi

509쪽

E B E M. Lib. II. Cap. 9. 43s Vides ergo , per hanc methodurn, semper quidem resolvi posse aequationes qua ei gradus, quum duas habent radices reales , 2 alias duas imaginarias, sed non

item, quum in iis radices omnes sunt reales . Caeterum hic quoque notetur Velim , in inventa a quatione cubica quan- eitatem a duplicatas habere dimensiones ob tria illa, quae contingere possunt in aequationibus quarti gradus: indeque est, cubica illa aequatio invenia cur quoques quum a quationis quarti gradus radices omnes reales supponuntur . Nam tametsi aequatio quarti gradus , quae radices Omnes reales habet, resolvi nequeat , quum

existit in propria sua sede , 2 assectionem

cubicam continet, attamen resolutio ejus

semper potest obtineri, si in duas secundi gradus sit divisibilis , vel natura sua , vel

etiam beneficio radicalium quadratarum. Itaque qui per hanc methodum resoluistionem a quationem alii Oris gradus tentare velit, is radices ponat oportet tales

quidem, quales esse debent, ut aequatio, de qua agitur , resolvi possit. Ita quia aris quationes quinti gradus unam tantum radicem realem habere debent, qud ipsarum resolutio possit obtineri, cogitandum est,aequationes illas ortas esse ex mu-

510쪽

' in o , 2 x - aa - ac qua uindoquidem in duabus primis continentur quatuor radices imaginariae, in tertia ve- tb radix realis includitur . Atque ita quoque , quia aequationes sexti gradus tunc demum resolvi possunt, quum duas habent radices reales ue proinde in illarum resolutione , putandum est , eas ortas esse ex multiplicatione mutua istarum aequa

Primae continent quatuor radices imaginarias , tertia verb radices duas reales Comprehendit. Verum quidem est, in aequationibus, quarum dimensiones sunt numero pares,

id quod invenitur in hypothesi , quod

duas tantum habeant radices reales, posse etiam in quacunque alia hypothesi reperiri. Sed id non aliunde fit,quam quia in hujusmodi aequationibus varia contingere possunt quibus oportet, ut aeque fatisfiat per analysim , quemadmodum vi de re licet in aequationibus quarti gradus. Res autem longe secus cos perietur in arquationibus , quae dimensiones habent