Astronomiae physicae & geometricae elementa. Auctore Davide Gregorio m.d. ..

251쪽

umpta igitur majore Axe Orbitae Τerrae sive huius semisse Ultu.

ris Distantia media a Sole) habebitur magnitudo Orbitae Ρlanetae: penitus igitur determinatur Planetae orbita. Et Tempus, quando Planeta hic Aphelium tenebat, similiter determinatur, atque idem in Haneta Tellure Prop. XIV. Binim. Quoniam orbitae Ρlanetae Ellipticae Species sola ex datis determinatur, sui ex Hop. XIV. constat,) & ejus orbitae magnitudo respectu Orbitae Τerrae ex comparatione Temporum periodicorum horum Planetarum per praec concluditur; idem poterit aliunde inferri: fa ciendo nempe ut orbita certae Speciei sex tribus Locis Centricis de. terminatae) ex Sole ut Umbilico descripta, transeat per ipsum Lo cum Ρlanetae in linea Nodorum per Prop. XIX. hujus inventum: Hoc namque punctum, in Planetae Orbita datum, tantundem valet ad illius magnitudinem respectu magnitudinis Orbitae Terrestris determinandam, atque essusdem Axis maior supra definitus: Istius enim puncti Distantia a Sole in partibus linearum Orbitae Telluris determinata est; potestque alter horum modorum describendi orabitam per alterum examinari & corrigi. Et hinc motus Apsidum cujusvis Primarii definietur; nimirum

eodem modo quo priUS Nodorum motuS.

PROPOSITIO XXVI. LEMMA.D Astis umbilico O longitudine axis majoris, describere

per data duo puncta transeuntem. Sit s figurae describendae umbilicus, AP longitudo axis maioris, L& l duo puncta per quae Ellipsis transire debet. Centro L distantia aequali excessui rectae AP supra rectam L s describatur circulus cp-& similiter centro I distantia aequali excessui rectae Ap supra Isdescribatur circulus Ap priorem secans in F; erit s Ellipseos describendae umbilicus alter: Hisce igitur umbilicis s& λ&axe majore aequali rectae A P, descripta Ellipsis

erit ea quae quaeritur. Quoniam enim L Faequalis est ΛΡ -Ls, erit L s LF aequalis A P. Pari modo AP aequaturis ἡ-Ip: Unde

per Prop. LII. ω. teri. Conicorumὶ Ellipsis umbilicis s & p descripta, axem majorem habens aequalem rectae Ap, transibit per puncta L & I. Facile est ex hujusi nodi constructione Geometrica calculi modum Astronomiae accommodatum excogitare. Ex datis enim tribus punctis ML & I, hoc est, ex datis tribus lateribus trianguli sLI. innotescunt anguli. Rursus, in triangulo L is dantur omnia latera; nempe L I ut prius, LP differentia datarum rectarum Ap& Ls, &Is differentia ipsarum Α p, Is; innotescit igitur angulus FL I: sed

priuS notus erat sLI, ergo dabitur angulus sLF. In triangulo igitur S L F, e datis L s, L F cum angulo sLF innotescet latus f F distantia focorum, & angulus L sF inter L s positione datam & axem majorem Diuitiam by Corale

252쪽

Lib. III. & GEOMETRICAE ELEMENTA. 237

majorem; datur ergo axis hic positione; sed & magnitudine datus est: unde omnia ad Ellipsin pertinentia eliciuntur.

cum ejus periodico Tempore, Orbitam Planetae deterimetriare. Sit s Sol; sint Planetar duo Loca Centrica data in rectis Q, s positione datis, & Ranetae Distantiae I Sole sint rectae s L, s I magnitudine datae. Unde L & I sunt puncta por quae Ellipsis transire debet. Porro, ex Τempore pertindico noto sper Prop. XXIV ) determinatur PA Axis major orbitae Ellipticae. Describatur igitur sperpraec.ὶ Ellipsis, cujus Focus s, habens Axem majorem longitudinis datae, quae transeat per data puncta L& I Loca Centrica Planetae ejusque Distantia a Sole vel in oppositione aut Conjunctione cum Sole determinantur, ut Prop. xxI; Vel ex obse atione ubivis secta, ut 'op. xxII. Ille tamen assumi poterit, qui determinatus est Hop. xlx, dum orbis planetarii situs Eclipticae respectu definiretur. Quod si plura quam duo Loca Centrica cum Distantiis , Sole coria respondentibus suppetant, tum ex quibusvis binis definita orbita. videndum num sic definitae congruant, illaque retineatur si dic crepent) quae a pluribus Observationibus probatur; ut in calculo Astronomico fieri consuevit.

AD Esii eos ALP majorem axem A P ex umbiticorum altero seruatur normatis sR M si occurrens in R. per quod acta recta DR Ellipsin contingens cum axe Ap producto concurrat in G, O ex G ad axem ducatur perpendicularis G p. Hisce possis, si exquisis mi eos puncto L inclinentur duae rectae L s, LE. altera L Sad assumptum umbilicum s, altera L E ad FG normalis; dico LResse ad Ls in data ratione sp ad Ps. Ρer punctum L ad axem AP ducatur normalis L c axi occuprens in e & tangenti Det in D, & huic ex P parallela P N : Eritque t D aequalis rectae s L per Prop. cxxXIX. Lib. N. Gregorii a S . Vincentis & pNipsi ps. Sed sc est ad c D in data ratione, nempe sp ad pK; & igitur EL est ad L sin data ratione G P ad p N, sive G P ad P s. Hinc sequitur Ga esse ad As in eadem dicta ratione sp ad ps; qui est casus particularis huius Hopomtionis, nempe cum libere assumptum punctum L coincidit cum A : Et hoc exinde etiam patet, quod sex Prop. xxxIv. Lib. I. Conicon ob RG contingentem, A S est ad 3P ut AG ad G p; unde permutando

253쪽

& invertendo G A est ad A s ut G P ad p s Ρropositio haec etiam obistinet in reliquis Coni Sectionibus.

Di rex circa datum umbilicum describere, grue transeat peri u dasa tria pancta. Dentur puncta L, k λ, & secus S. Iungatur recta L I, & producatur ad p ita ut sit L p ad ip ut sI ad si Item juncta λ I producatur ad ut λ f sit ad V ut sλ ad SL Jungatur recta Ff in quam ex L& sdemittantur normales LM EG, dividatur sa in P ita ut GP sit ad ps

sicut L E ad Ls, & producatur ad A ita ut G Α sit ad As in eadem ratione: verticibus A & P & foco s; hoc est, axe majore pA & latere recto quadruplo ejus rectae quae est ad s P ut s A ad Ap, sper Prop. Lis. Didi: I. Conis j desicripta Ellipsis transibit per puncta L, I & λ.Rx I & λ in FG demittantur perpendiculares te, M. Quoniam ex constructione est L p ad Is ut sL ad sI; erit etiam parallelas LE, Ie) LE ad te ut sL ad si, sive L E ad s ut te ad si Sed ex constructione est etiam GP ad ps, item GA ad As ut L E ad SL; & igitur

ut op ad ps ita est Ie ad si Pari modo est per constructionem λfad V shoc est,

λι ad Ie)ut sλ ad st; adeoque λε ad sλut le adst; hoc est, ut modo demon. stratum, ut) LE ad sL. Cum igitur sLad LE, item si ad te, & etiam sλ ad λε, sit ut fp ad ps, sive ut GA ad AS, atque haec sit Ellipseos proprietas Lem. praec. demonstrata ; patet puncta L, I & λ esse in Ellipsi, cujus secus s & axis majoris extrema, sive vertices, A & p. Atque hinc facile constat, quando Ρroblema est impossibile, & quando loco Ellipseos Parabola aut Hyperbola exit. Si desideretur calculus Astronomis familiaris, illum ex praec dente constructione facile erit elicere, modo ex. gr. sequenti. Quoniam sλ est ad si ut λ fad V; erit dividendos λ -s Iad s I ut λ I ad V: dantur autem ex datis punctis s,c λ priores tres termini analogiae; inriotescet igitur quartus V. Similiterque, quia SL. SI :LF. IF, dividendo erit sL - s I. SI: : LI. I F, & ex datis primis tribus

notuS erit quartus terminus; nempe IF recta. Porro, ex datis trianguli si λ tribus lateribus datur angulus sIλ, & ex trianguli s L lateribus notis innotescit sIL; ergo datur & angulus LIλ horum differentia vel summa, & huic ad verticem aequalis P V In triangulo igitur p datis lateribus Is, Vmodo inventis, una cum angulo comprehenso F V; invenietur angulus Ff & proinde hujus complementum ad rectum fle. Sed ex prius noto sIL angulo innotescit ejus complementum ad duos rectos si i dabitur ergo angulorum notorum s Q e Vsumma vel differentia eis, ac proinde illius sproepter parallelas et, as) ad duos rectos complementum Is G; nempe inclinatio axis majoris ad rectam Is positione datam. Porro, in triangulo Dissilired by Coral

254쪽

triansulo se I rectangulo ad e dantur omnes anguli, una cum I tere I ; innotescit ergo et, sive GM, posita lM ad cis normali. Similiter in triangulo rectangulo sML datis angulis & latere s datur sM ; ipse rum autem GM, M s summa Vci differentia est G s. Rursus, quoniam per Lem. pr. . ei. IS:: GP. PS, CTit componendo e IΦIs. Is : GS .s P, & datis tribus nimis huius analogiae terminis, notus erit quartus sP: Similiter, quoniam e . Is V GA. As, erit dividendo et Is.ls:: G s. Λs; unde innotescit AK: Ipsarum pS, SAsumma est Axis major. Alter Ellipseos Focus tantum distat ab A, quantum s a p. Datis Focis & Verticibus a & P, reliqua non latebunt.

Orbisam Eltiplicam descrihere. Dentur Loca Planetae Centrica, ejusque a Solet Distantiae corre spondentes; nempe, posito S Sole, recta S L, S l, i λ positione & magnitudine. Per praecedentem describatur Vel cab i. i/, χχculo determinetur Ellipsis, cujus secus S, transiens

per puncta L, I, λ. Erit haec Orbita quaesita. Hu- , gj autem respectus ad Telluris Orbitam ideo no- I tuSest, quod lincarum s L, si, sλ magnitudo datur in partibus mediae Distantiae a Sole, & situs plani , Z Orbitae respectu plani Eclipticae ex Prop. XIx. &

xx. determinatus 1upponitur.

Huic Propositioni innititur methodus Cl. Halgeti Planetarum orbitas determinandi, Transact. PBUU. M. I 6 6. N'. Iχ8 tradita. Si nempe Planeta quivis in eodem Orhitie suae puncto squod quando ficri contingat, ex ejus Tempore periodico praeterpropter noto satis innotescit) ter observetur e Terra, habebuntur tria Loca Τcrrae e Sole visa,& tres Distantiae Telluri S a Sole correspondentes in partibus Distantiae Plimetae a Sole expressie; adeoque ipsa Telluris orbita per praec. determinata: Qua cognita, si Plancta quivis bis in eodem Orbitae suae puncto e Terra observetur, ac proinde per Prop. xi K.) ejus Locus Centricus & a Sole Distantia determi-nciatur, atque hoc in aliis duobus ejusdem Planetae Locis repetatur; habebuntur tria orbitae planetariae puncta, ex quibus una cum FG corum altero Solis nempe loco) datis ipsa orbita sper Prop. praec. determinatur. Si periodicum Tempus satis exacte sit notum, idem conficietur ex duobus Ia cis Centricis & a Sole Distantiis notis, quae ex bis binis observationibus Planetae in iisdem duobus punctis quibuscunque observati per Prop. xxvn colli re licet: Eademque opera Locus Nodorum & Orbis Inclinatio ad Eclipticam per

Propositiones xlx. & XX determinantur.

PROPOSITIO XXXI. LEMMA INvenire diametros conrugaias Edibeos, quae per data quinque

puncta transeat. Sint data qtunque puncta N, M. L, K, Η, per quae transeat Ellipseos

perimeter ;

255쪽

perimeter: invenienda est Ellipseos istius diameter quaedam pE, ejusque conjugata TY, magnitudine & positione. Ductae intelligantur rectae data puncta conjungentes, sui in schematea quarum duae qumdam aut parallelae sunt, aut duae nullae. Hoc autem facile perspicitur; cum enim dentur puncta N, M, L, Κ, Η, dantur rectae omnes ea omnifariam conjungentes, & anguli inter rectas istas comprehensi. Si ergo deprehendatur angulos duos alternatim positos sex. gr. ΚMH, MΗN) esse aequales, concludetur rectas duas MK, NH, in

quibus praedicti anguli alternatim sunt positi, esse inter se parallelas. Cas. I. Ponatur primo duas quasdam M K, N Η esse parallelas. Bibsecentur hae in B & A, & juncta E A producatur, donec Ellipsi ocicurrat in F & Ε; erit haec ex Elementis Conicis) Ellipseos diameter, & quidem per 26. Dat.) positione data; quippe per data puncta B & A transiens. Ducatur per L ipsi EF parallela Lx, Ellipsi in x.

rectae M x in D,& NΗ in c occurrens. Et junctae x K, LM occurrant rectae MN si opus est

auctae) in punctis P & s. rir Prop. XVII.

. m. Elem. Conis. Apollonii est rectatam. Ium x DL ad rectangulum MDK ut Z Fg ad ZYq. Item Xc L. NcH::ZFq. ZYq. Et igitur X DL . MDK :: xc L. ΝcΗ. Sed sui infra ostendetur in est x D L. MDΚ:: xc L. scp. Et igitur sper Prop. IX. Elem. v. est Neu rem angulum aequale rectangulo G c P. Atqui rectangulum Nc H datur, quoniam ejus latera Nc, c H dantur; tota enim N H initio datur tam

magnitudine quam positione, item recta L c positione, sper ra. Dat )quare per χς. Dat.) dabitur & c punctum: item recta G c, quippe cujus termini ci & c dantur; datur ergo sper 3 7. Dat.) c P magnitudine : sed & positione; ergo ipsum p punctum datum est. Datur etiam & x punctum; ergo & puncta illa conjungens recta κ Ρ mstione datur, & proinde sper et s. Dat.) punctum x in Ellipsi subi

sitione datae L c, x p concurrunt) etiam datum est. Jungantur rectae N LΗ diametro EF si opus est productaein occurrentes in R & s: eritque per supra citatam Prop. HII. Lib. m. Hem.

rectangulo EAp aequale est. Sed Ras datur, scum tria puncta A, R& s dentur, A quidem ut supra ostensum, R & s per χς. Datorum; nempe datae positione rectae EF cum postione datis rectis X N, HL concursus;) rectangulum igitur EAF datum erit. Simili ratione invenietur EBF rectangulum: & dantur puncta A& B; ergo &ipsa E s magnitudine, ut deinceps ostendemus: Sed prius inventa erat ejus positio; quare diameter EF positione & magnitudine data est. Porro, T Y g est ad E F q ut N c H ad x c L, ut supra ostensum est; hoc est, per I. Dat.) in ratione data, ob data NcΗ, xc L rectangula; quare & prioris subduplicata ratio, nempe ratio T Y ad EF Per 24..

256쪽

mi) etiam data est: sed datur EF, ut supra ostensum; ergo per t. t. dabitur TY magnitudine. At possitio eius datu per 28. Dat , quippe per datum punctum Z medium datae positione & magnitudine rectae E F, ad datam positione rectam N H parallelae: igitur danatur, tam positione quam magnitudine, re E R TY, diametri nempe conjugatae Ellipseos per dλta quinque Puncta N, M, L, Κ, Hiranseuntis.

CU. II. Sed non sint parallelae rectae lineae M ' N Κ, neque aliae quaevis duae: hae ergo MMNκ productae saltem) se mutuo secabunt, puta in I puncto, quod per Dat. dabitur. Ducatur per Lrecta Luipsi MΗ parallela, rectae NK occurrens in a, quod sper 28.&-Dat.) itidem datum erit: Eritque ratio rectanguli Nox ad rectangulum L V data; eadem nempe sper Prop. xvII. Lib. m. Elem. Conie) quae est dati rectanguli N I K ad datum M I Η. Sed rectangulum Noc datum est cum ejus latera Nu&o dentur, & igitur rere angulum L v v etiam est datum: Unde, cum data sit L Q. per m. Dat. recta Qv magnitudine data

est; sed & etiam positione, quippe per datum

punctum o datae positione rectae M H parallela; ergo ipsum V punctum, per et . Dat; cum detur rectae . magnitudo & positio & altera extremitas Q. Quare devenimus ad cassim priorem; dantur nempe quinque Puncta 'Μ, ΠΗ, Vel M, Κ, ΠΗ, per quae Ellipsis transeat, talia tamen ut rectae duae LRMΗ sint

parallelae. Ex praedictis ergo inveniantur istius Ellipseos diametri conjuga . E. F. Sint με rectae inter se paratis sp, MX, in quas incidatrem Enea x e DL, O a qui Hore ejus punctis x ct L ducam

tur utcunque rectae LM G, XPx paralistis occurrenses in M, G, po x: dico rectangulum x DL esse ad MDK ut xc L ad se Prectangulum. Rectanguli x DL ad rectangulum MDΚ ratio sper Prop. XXI Hem. φὶ componitur ex ratione X D ad DK i& ratione L D ad D M ; & ratio rectanguli B'κxc L ad rectangulum scp ex rationibus xc o G -- --

ad cp & Lc ad c G. Sed propter parallelas IM DK, GCP est X D. DK: : xc. cp; item L D. IDM: LC.c G. Cum igitur rationes compo- nentes aequales sint erunt & compo, aequales; hoc est, x DL ad MDx sicut xc L ad G c P. Si detur utrumque rectangulum E AF, REF, O data mi A OB puncta , dantur etiam R O P puncta, posta RABF recta. Rectangulo enim EAF aequale ponatur rectangulum B A c, & rectangulo EBF rectangulum A B D : Adeoque, cum ex hyp.) E A F & B Adentur, datur. per ς . Dat.) A c. Similiter ob data BEF & AH dabitur A D. Propter priorem aequalitatem erit sper xvi. Elem. H

257쪽

Rursus, propter posteriorem aequalitatem est EB. BD:: AB. Bs, &componendo ED. BD: :FΑ. BF. Unde sper

Prop. xLEI R) Ac .cE:: ED. BD:& idcirco it g A Us rectangulum contentum sub Ac & BD aequale est rectangulo sub c RE D. Atqui rectangulum sub Α c & a B da tur, sutraque enim recta data est;) ergo datum est etiam rectangulum sub c E E D. Et quia datum hocce rectangulum applicatur ad datam rectam cD nempe ex datis partibus cA & AD constantem) defi ciens figura quadrata, dabitur sper s8.2 M.) cE; & consequenter A E sper O Dat ) Et propter datum ab initio. E AF rectangulum dabitur etiam Ap recta; hoc est, ipsa E & F puncta data erunt.

IMenire umbilicos vertices Mi eos, quae per data quinque puncta transeat, o Em is proinde per data quinque puncta

transeuntem describere.

Panus in Lib. m. Coia I. Math. hoc Probi. & praec in usus

Architectonicos proponit & construit; ut nempe portione superficierecti Cylindri data, cujus nulla pars in circumferentiis basium in tegra servatur, inveniatur Cylindri crassitudo. Haec Astronomi deinceps in usus suos converterunt. Per praec. Lem. inveniantur duae quaevis diametri conjugatae Ellipseos, quae per data quinque

puncta transeat, sintque hae A B, c D se mutuo bisecantes in centro A. Producatur BA in H, ut sit RAH rectangulum aequale quadrato ex

DE; unde sper ς8. Dat.) datur EH. Ex hujus medio puncto x

erecta normalis KL concurrat cum M AG recta per Λ ad Dc parablela, in L puncto, quod proinde datur ob rectas Mλx L positione datas. Centro L per E vel H ducatur circulus rectam M AG in M &Gintersecans, cujus proinde diameter MG datur tam politione, quia per a punctum datum datae positione rectae c D parallela est, quam magnitudine. cum sit dupla rectae data

puncta E & L conjungentis )Junctae rectae GE, M E etiam dantur, tam positione quam magnitudine. Harum autem positio eadem est cum positione axium quaesitorum: Nam quoniam rectangulum E AH sper xxxv. Elem. m.) 32- quale est rectangulo MAG, & per constructionem EAH aequale quadrato a DE; erit E D qaequale M AG, sive sper Prop. XVII. Elem. VI.) ED media proportionalis inter MA & As; ac proinde sper Prop. LXxxvIII. Lib. m. Greg. a S ''. Himentio) Ellipseos super coniugatas diametros AB, CD descriptae axes simi in Es, EM rectis. Axium autem magnitudo sic expedite determinatur. Per A ad EG, ΕM demittantur normales Au, AN, quae proinde dantur. Sumatur in EG recta Eo media proportionalis inter Es, Em item in EM, ER media inter EM, EN: erunt rectae E O, E R per Μ. Dar. dat Ellipseos semi axes per Prop.

258쪽

xlxv11. Lib. I Couis. Si in GE producta capiatur κν aequalis κα& in ME producta ET aequalis ER, erunt positione & magnitudine datae op,RT Ellipseos axes, dataque puncta O, R, P, Τ ejusdem vertices principales. Ρorro, si axis major P o ita dividatur in s & p, ut rectangulum sub P s & s o, item rectangulum sub p p & p o aequale sit quadrato ab R E descripto, erunt sex Prop. LΠ. Lib. m. Elem. cinis.) puncta s & P Ellipseos umbilici. Haec vero punctasic inventasper s8. Dat.) data sunt. Datis autem axibus & umbilicis. Rllipsi, destribitur per Prop. LIV. Lis. I. ciuic. Apolismi Non opus est hic subjungere formam calculi Trigonometrici, Problemati huic accommodati: Geometris enim satis est notum, quae per Euclidis Data cruuntur facillime per calculum eodem prorsus modo progredientem similiter erui, di quidem plerumque Gigonometrico quod hic accidit: Et revera investigatioΡroblema. tis cujusvis ope Datorum Euclidis universialis est modus illud de terminandi, Veteribus familiaris.

ejus Octitam describere. In praecedentibus, dum Hanetarum orbitas determinaremus, nihil supposuimus quod non sit observationibus exacte institutis, aeque ac causis Motuum physicis Lib. L demonstratis, congruum: Quod nempe Ρlanetae cujusvis Orbita sit Ellipsis, cujus Focorum alter est immotus Sol, quodque Planeta hanc ita percurrat, ut areae seu sectores inter rectas ad Solem ductas & arcus Ellipticos comprehensi sint proportionales temporibus, quibus dicti arcus a Raneta describuntur. Licet enim Prop. XIV. supposuimus aliquanti L per cum Celeb. Mardo Planetam Orbitam suam ita destribere, ut aequabilis sit motus angularis ad Ellipseos Focum a Sole diversum; hoc ideo solum sectum est, quod in orbita Telluris haud valde excentrica ista sit approximatio non contemnenda ad aequabilem arearum descriptionem a radio ad Solem ducto, ut Prop. v. ostensum est : Et Telluris Orbitam ex ista hypothesi definitam sequenti

Prop. xv. quantum libet correximus: In hac autem Prop. ne istud quidem supponemus, quod Sol in umbilico cujusque Orbitae collocatur; sed orbitam describemus ex datis quinque Locis Cen. tricis, totidemque a Sole Distantiis, etiam independenter ab illo: Sic enim praecedentium veritas clarius elucet, cum Sol in Orbitarum sic destriptarum communi Foco collocatus deprehendetur. Ex datis Planetae Locis Centricis dantur positione rectae, in quibus hic e Sole videtur: Sint

dentibus Distantiis a Sole dantur per et . Dato puncta N, M, L, Κ & H. Per puncta haec sope praec. Lem.) destribatur Eldpsis, quae erit Ρlanetae Ombita quaesita. Et per idem Lem. invenientur Ver.

259쪽

tices, Foci, disitio Axis majoris & reliqua quae in Planetae onlata quaeruntur. in E. F.

D datum Tempus Planetae propositi Locum Centrismn O DLsantiam a Sole determinare. Hano Orbis Planetarii, Politione Lineae Apsidum Specieque Otibitae planetariae ex praecedentibus determinatis; hoc est, ipsa Orbita in proprio situ circa Solem descripta, quae sit

ex gr. ALP: eX cognito praeterea sper Prop. Xxv. in momento quo Planeta aliquando Apsidem tenebat, & Planetae Tempore periodico per Prop. XXIII ; notum erit Tempus elapsum ex quo Apsidem v. g. A) proxime tenuit, sive nota ratio dicti Temporis ad Τempus integrum periodicum; hoc est, ex lege motus Planetarii Lib. I. demonstrata, supposito L Ρlanetae Loco. nota est ratio Areae ALs ad integram Ellipsin ALP A. Inveniatur ergo angulus Α S L per Prop. m, IV, H vel

in. Recta igitur sL datur positione, cum in dato angulo inclinetur ad pa Lineam Apsidum positione datam: Sed & magnitudine per easdem, scum haec detur in partibus Distantiae Apheliae s Α, quae supra definita est in partibus mediocris Distantiae Terrae a Sole, quae pro harum linearum communi mensura habetum, hoc est, Planetae propositi Locus e Sole visus & ejusdem a Sole Distantia. Vicissim Tempus invenietur, quo Planeta datum Locum Helio. centricum occupabit I ex data Anomalia coaequata sex praecedentibus mediam inveniendo, cui Tempus est proportionale.

AD datum Tempus Locum Planetae Gocentricum, quoad Longi-itidinem O Linitudinem, O Planetae a rima D viant tam

invenire.

Ad Tempus datum inveniatur per Prop. xvm.ὶ Locus Telluris Heliocentricus in propria orbita, & per praec.) propositi Planetae

Locus etiam Heliocentricus in sua orbita, cum respectivis a Sole Distantiis. Reserat s Solem, T Locum Τerrae in sua orbita, L Locum Planetae in sua. Planorum harum orbitarum sit recta SN communis intersectio, quae per Solem extenditur, quia Sol est in utroque plano,) cujusque positio per Hop. xu. datur. Porro, ex Telluris co T dato, dantur recta s T & angulus aes N in plano Eclipticae;& ex Planetae Loco L, recta sL & angulus L s N in plano Orbis planetarii. Ducantur per L & s atque per L & Τ plana circulorum Latitudinis Eclipticae plano recta, quorum communis intersectio LErecta sper Prop. xIx. H. M.) est Eclipticae plano normalis. Ducatur

, in

260쪽

in plano Orbis planetarii recta LN ad S N perpendicularis; juncta ERerit per Comes. Prop. XI. H. M. eidem S N etiam perpendicularis. In triangulo sLN rectangulo ad N dantur sL & NsL; unde dabutur latus L N. In triangulo LEN rectangulo ad E dantur latus LN modo inventum & angulus L NE, qui sper l, DefvI.H. xI. in aequalis est Inclinationi Orbis planetarii ad EcIipticam, per Prop. XX. inventae; dantur igitur LE&EN. In triangulo porro LES rectangulo ad E dantur latera LA&Ls; ideoque datur latus sE, Luctantia Planetae a Sole Curtata. In triangulo ES Npraetor rectum ad N dantur Es & prius inventum E N ; dabitur ergo angulus Es N, Planetae Longitudo Heliocentrica in Ecliptica a Nodo N computata: Sed datur Nodi Locus in Ecliptica; quare & Planetae Locus Heliocentricus in Ecliptica notus erit. Rursus, in triangulo et sΕ data est sT ab initio, & modo inventa est s E; datur etiam angulus aes E, aequalis summae vel differentiae datorum ansularum T SN, ES 'quia tres rectae ST, SE, SN sunt in plano Eclipticaeis qui& Antilus CommNtationis dicitur: Et propterea dantur reliqua, nempe angulus TES Paraltaris Orbis nuncupatus, & s TE Elongario Planetae a Sole; hoc est, positio rectae TR sive Planetae Locus Geocentricus in Ecliptica, &ejusdem TR magnitudo. Denique, in triangulo TEL rectangulo ad E dantur latera TE & EL; im testent igitur ΤLDistantia Planetae a Terra & angulus L TE Ρl, netae Latitudo Geocentrica.

Dissi Planetae Elongationem a Sole maximam, e dato superioremfam, eis ue Tempus deseminare.

Sit s Sol, TR Uanetae remotioris Orbita, VP propioris. Ducatur utcunque propioris Planetae radius vector sV, atque huic normalis v T remotioris orbitae occurrens in T, quae proinde sper XvI. H. III. Orbitam circularem v p continget in v. Inserior in v a Sole maxime elongatus superiori in T videbitur: Nam

recta ab alio quovis orbitae p v puncto sut v) ad

T ducta minorem angulum cum T S comprehendeL In triangulo igitur Tus rectangulo ad v datur laterum s Τ, sv datorum nempe Planetarum Distantiarum a Sole) ratio; innotescunt igitur reliqui anguli T s v, s T v, quorum hic est manetae

. Η h a Elongatio