Astronomiae physicae & geometricae elementa. Auctore Davide Gregorio m.d. ..

301쪽

in orbe quiescente ALP, posterius smilem& aequalem a percurrat in orbe revolvente ala. Per centrum T in plano ALT agatur semper Tl ipsi TL aequalis, angulumque ΑΤ l angulo ATL perpetuo proportionalem essiciens; hoc est, ut hic angulus AT sit ad correspondentem ATL ut alter quivis ΑTl ad suum AT L. Adeoque area, quam Tt motu angulari circa T sic lata describit, proportionalis erit areae quam TL describit. Sit A IE G A Curva quam punctum L modo jam exposito motum, comtingit: Et quoniam una cum L revolvitur corpus quod urgetur a Vicentripeta ad centrum T tendente, area ATL A sper Hop. XI. Lib.I.ὶ

est tempori proportionalis; quare & area ATIA tempori etiam pro. portionalis erit: sed & in plano immobili consistit, eodem nempe in quo corpus L circa Τ revolvitur; hoc est, puncti I is est motus, ut in plano immobili per T traducto perpetuo inveniatur, & areasATIA, radio per T ducto destriptas, essiciat temporibus proportio. nales. Igitur per Prop. xΠ. Lib. I. manifestum est quod corpus, magente justae quantitatis Ut centripeta, revolvi possit una cum puncto in curva linea A IE GH, quam punctum I describit. Datur autem haec linea curva AIE GH,quippe ex data linea ALPA modo constanti & dato genita: quaeratur igitur per Cor. Prop. xxxvII. Lib. I. lex Vis centripetae, qua corpus in illa revolvi possit. Fiat angulus ATa angulo LΤι rectique aea recis T A aequalis; & igitur angulus a TI angulo ATL aequalis eriti Describatur iam figura alae similis & aequalis ΑLT: adeoque punctum I est in perimetro figurae ipsi ALP Α similis& aequaliis circa T revolventis. Corpus ergo una cum I latum, & figuram immotam AIE G H destribens, describit etiam perimetrum a Ista orbis ipsi AL p A similis circa T revolventis; ita ut eodem tempore describatur arcus at in Orbe revolvente alpa, quo fimilis & aequalis A L in ALpA Orbe quiescente ab alio corpore descriptus est. Inventa ergo est lex Vis centripetae quaesita. Q. R F.

DUerentia virium centripetarum, quibus corpus in orbe quia escente O corpuae aliud in eodem Orbe remo ente aequaliter moveri possunt, modo Prop. praeci indicato, es in triplicata ratio edimmunis altitudinis inverse. Manen-Diuit Corale

302쪽

Manentibus quae in praecedente posita sum. dico disserentiam virium centripetarum, quibus corpora L& I agitamur, este reciproce in triplicata ratione coimnunis altitudinis T L vel Tl; sive esse differentiam virium in punctis L & I ad differentiam virium in aliis quibusvis punetis orbis quiescentis & revolventis, ubi corpora eodem momento invenientur, ut cubus altitudinis sive distantiae M. rum punctorum a centro virium Τ ad cubum rectie L T vel μ. Sumantur LB, Ib arcus minimi aequales, qui proinde aequalibus minimis temporibus a corporibus L & I describentur. Ex n& b in T L, Τ I ducantur normales B Ε,b e, quae sicut & LE, Din aequales erunt. In recta be si opus est ad partes , producta, . umatur punctum c, ut sit ce ad be ut angulus ATI ad angulum AT L. Quoniam corporum in locis L& I existen- tium motus singuli distin- o M i a i iguuntur in binos, quorum hi et duritat . . di Mi 1ecundum lineas LT, IT, illi vero prioribus transversi se- ' f AGA. ,si , k I bs i

menta aequalia sunt. Et mo- itus transversus corporis Ierit ' fadmotum transversum com H poris L Ut motus angularis Vn i bim: c. linea: Tt ad motum angula- rem lineae TL; id est,ut angu o 'Ius ATI ad angulum ATL, sive ut ce ad he vel BR Et igitur eo. dem tempore, quo corpus L motu suo Utroque pervenit ad H,corpus I reperietur in loco c. Atque haec ita se habebunt, ubi corpora L & I aequaliter secundum directiones LT, IT moventur; hoc est, aequalibus viribus centripetis urgentur: Ast cum punctum D, locus corporis orbem revolventem describentis, per Prop praec.) reperiatur capiendo angulum IT D ad reb in dicta ista constanti ratione Q. ratione anguli ATI ad ATLὶ &rectam T D rectae Tis vel ΤΗ aequalem, figura a Sc recta IT hic sustinentibus partes, quas illic figura A L p &TA recta sustinebant;) disserentia inter vires centripetas corporis in L vel I & corporis in D est ut ejus essectus cD; locorum nempe intervallum, per quod corpus in orbe revolvente latum, ipsius actione, dato illo temporis minimi spatio transferri debet. Comparanda igitur est haec c D sive huic proportionalis differentia Virium centripetarum, quibus corpus in orbe qukstente & reves. vente urytur in hoc mobilis orbitae situ & hac corporis distantia ae I a centro, ad similem differentiam in alio rerum statu, ubi eadem sive potius similia) omnia laeta & constriictii supponuntur quae hic: IL Ω ur ' uiuet et ri f

303쪽

Lib. IV.

hic: Nempe centro T, distantia T, vel TD destribatur circulus secans Te in N, celari & c D ins: Sitque novissimum trilineum Ibet tale, ut ejus area . radio vectore Tis verratur aequali tempore, quo area haec Ib T ab hac T δ: Unde cum in aequalibus triangulis bases sint reciproce proportionales altitudinibus) haec e , est ad auteram eb sicut altera TI ad hanc TI, hoc est, eb est reciproce ut correspondens Tl; quare & ce seandem perpetuo ad be rationem habens) erit etiam reciproce ut TI: adeoque harum aggregatum c F, & intervallum e B eidem T l reciproce prinportionalia sunt; & proinde

rectangulum sub illis, sc. F cxeb, reciproce proportionale est quadrato Ulius Tl. Porro per Prop. xxxv. vel xxHI EI.

hoc rerum statu est ad analogam eo in alio quovis directe ut hoc Fc, ch ad istud aliud F c k c & reciproce ut haec co recta ad aliam istam cs simul. Sed supra ostensum est esse scac b reciproce ut quadratum rectae T I; & c G est ut huic proxime aequalis DG, vel ut ejus dimidium T D vel T vel ab hac minime diversa TI: Adeoquec D in hoc orbis revolventis situ est ad similiter productam c D in alio quovis ejusdem situ hoc est, differentia virium centripetarum, quibus corpus in orbe quiescente & corpus aliud in eodem orbe revolvente aequaliter moveri possunt, in altitudine TL vel Tl est ad similem virium disterentiam in alia quavis altitudino reciproce ut quadratum prioris altitudinis ad quadratum posterioris, & reciproce ut altitudo prior ad altitudinem posteriorem simul; hoc est, reciproce ut cubus altitudinis prioris ad cubum altitudinis posterioris: hoc est, breviter loquendo de una altitudine, cum de duabus inter se comparatis sermo intelligendus est,) dicta virium centripetarum differentia est in triplicata ratione communis altitudinis inverse. Q. E. D.

Corpus ab apside summa versius imam, in orbe in consequentiareVolvente, motum majore Vi centripeta urgetur quam idem in orbe quiescente. Nam quoniam sin fig. praec. in isto casu angulus ΑΥ I major est quam ΑΤ L, erit de e c major quam e b; quippe in eadem ratione cum praedictis angulis: adeoque punctum c est extra peripheriam circuli ab D. Sed corpus in orbe revolvente motum

reperitur in puncto D; & supra ostensum est, si corpus I aequali Vi

304쪽

centripeta urgeretur atque corpus L, perventurum illud ad c punctum; adeoque non tantum versus centrum T urgeretur.

Rursus, idem fiet si, reliquis manentibus, orbiis revolvens moveatur in antecedentia majore celeritate quam est dupla eius celeritatis qua linea TL in consequentia sertur, ut in . I. Quoniam in hoc casu aTA est plusquam duplo major quam ATL sive a TI, erit A TImajor quam ATL, adeoque sui prius) ec major quam eb, & punctum c extra circulum b DB; & ob eandem quam prius rationem, Vis centripeta corporis in orbe revolvente alρ moti etiamnuin major quam Vis centripeta corporis moti in orbe quiestente AL p. At si orbis hic a. regreditur celeritate minore quam dupla ejus qua linea TL progreditur, ut in in. Σ; corpus I ad apsidem imam de-stendens minore Vi centripeta urgebitur quam L in orbe quiestente. Nam quoniam angulus AT a non est duplus ipsius ATL sive arcerit A TI minor quam a Ti, hoc est, ΑΤ in & ideo ecquam e Θ minor; adeoque c punctum, ad quod I perveniret si pari Ut centripeta urgeretur atque ipsum L, intra circumserentiam circuli ab D. Sed corpus in orbe revolvente motum superius ostensum est reperiri in D puncto remotiore a centro quam est c; minore ergo Vi centripeta urgetur corpus I orbem aὐ destribens, quam illud L quod fertur in orbe quiescente ALP. Atque contraria omnia contingent corpori ab ima a de ad summam astendenti: & per omnia vicissim.

Hinc etiam differentia Virium centripetarum in orbe mobili &immobili sputa in s & b) est ad Uim centripetam, qua corpus motu circulari moveri potest ab N ad B eodem tempore quo corpus L in orbe immobili destribit arcum LB, ut Rc,cbad e,q. Nam di Vires sunt ut earum esse s c D & Ηb eodem minimo tempore producti: nascens vero H b aequalis est ne, & c D ostensa est aequalis 'TU : quare praedi Vires sunt ut & ne, hoc est, ut Rc x ch & cs , ne. Sed recta es minime differt a rem Me, & spero o Prop.

305쪽

Prop. xxxv. H. m.) rectangulum sub Me & en aequatur quadrato ab eb: praedictae ergo Vires centripetae sunt ut Re,c b

tur cognitie quantitates p & G in ea ratione ad invicem quam habet angu-1us AT L ad ATI, hoc est, quam habet be ad ce; erit cR ut G ΦF, & ch ut G - F : Adeoque differentia Virium centripetarum, quibus corpora in orbe

immobili & mobili in a& b urgentur, est ad Vim

centripetam, qua corpus motu circulari moveri potest ab N ad A eodem tempore quo L describit arta

cum LB, sicut G ΦF κ G-F ad F q; id est, ut Gq - Fg ad F q. LEMMA. SI corpus ad umbilicum T ceu centrum tendens describat Enli in AE p, cujus apsides AO P; Vis centripeta, qua corpuου in

apside A urgetur, ea ad Him centripetam corporis alterius, in cimetito ΑΕΗ ad eandem distantiam T A eadem cum melocitate revolventis, ut diameter circuli ad latus rectum Ellipseos. Ρer A ducatur recta AG ad AT normalis, quae tam circulum quam Ellipsin continget. Per punctum G ipsi A proximum ducatur recta GEB versus Τ, circulum in Ε, Ellipsin in a intersecans. Cumque nascentes arcus AB, A E sint proxime aequaloe, corpora aequivelocia ex A simul digressa ad a & E simul pervenient; & illorum vires centripetae sunt ut harum effectus G B, GE eodem minimo tempore producti. Ρorro, ex natura circuli, ΕΙ ' - ΑΙ κ ΙΗ, sive A I , diam. & ex natura Ellipseos, BD qi lateri recto , AD Mesectus quippe, sive quantitas qua B L qisto rectangulo minus est, evanescit in casu praesente, cum BD nascitun) EI vero & BD nascentes lineolae aequantur : Igitur a I . diam. circuli M A D κ lat. rech. Ellipseos: Adeoque AD ad AI, sive Ga ad GE, sive Viscentripeta in Ellipsi ad Vim centripetam in circulo sicut diameter cinculi ad latus rectum Ellipseos. 4 E. D.

306쪽

pο tur Mimas a0 circa immotum umbilicum T modo superim descripto remos vi, O quantitates datae G O s eandem habeant

Iionem quam anguli ATIO ATL;s altitudo cmporis revolsemtissime diuintia a centro, vocetur A: Erit Vis centripeta, qua compus in Mibi misiti revolvi pote II, ut-- ----- O vicissim, urgente hujusemodi Vi centripeta, in hia si mobili feretur corpus Cum Vis, qua corpus in Ellipsi immobili AL p revolvi potest, sit

per Prop. XxSIN. Lib. L) reciproce ut quadratum distantiae a centro

sive altitudinis A; exponatur Vis haec per Ζ, &Uis in apstae a crit. Vis autem, qua corpus in circulo ad distantiam ΤΑ ca cum

velocitate revolvi posset, quam Corpus in Ellipsi revolvens habet in A, est sper praee. Lem.) ad vim, qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in Α, ut semiblatus rectum Ellipseos ad semidiametrum

circuli, sive ut R ad AT adeoque Valet A TE Cum autem sper Corol. 1. Prop. Iv. disterentia Virium in punctis Α R a sit ad vim I praedictam in circulo, ipsi aequalem, ut G g - Fg ad Fq: erit ista disserentia Uiarium aequalis -& sper Prop. IR) disterentia Virium in aliis quibusvis punctis aequialtis subi nempe altitudo est indeterminata A) est addi flerentiam Virium in apside 4 ubi altitudo est ΤΛ sicut cubus ipsus τά ad Aeub; adeoque in quavis altitudine valebit Si igitur ad Vim i , qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobili ALP, addatur dicta disterentia componetur Vis tota qua corpus in Ellipsi mobili a Ip eodem tempore revolvi potest. Q. E. D.

Hinc si vi centripetae, quae est in reciproca duplicata ratione distantiae a centro, qua corpus in Ellipsi immota revolvitur, superaddatur alia quaelibet Vis quae est ut cubus distantiae reciproce compus describet Ellipsia cujus apsides in consequentia seruntur. Nam quia disterentia, quae est ut in hoc insus positiva, Gexcedit F; hoc est, angulus ATI excedit angulum AT L; unde sper rol. I. Prop. Iv.) apsides vel feruntur in consequentia, vel seruntur in antecedentia celeritate maiore quam dupla eius qua corpus L in orbe immobili in consequentia sertur: verum cum ultimum hoc in nullo corporum Coelestium locum habeat, ab hoc casu abstrahimus. At si x Vi, quae est reciprocu in duplicata ratione distantiae, -idos Oo et auseratur Diuitiam by Cooste

307쪽

auferatur Uis, quae est reciproce in ejusdem triplicata ratione; resimquetur Uis, qua urgente corpus describet Ellipsin cujus asides regrediuntur: Disserentia enim Virium - est in hoc casu negativa; & proinde G minor quam F, sive angulus ΑΤΙ quam ATL

Atque hinc rursus sequitur quod si in orbe, a circulari non multum abludente, Vis centripeta in recessu a centro decrescat magis sive minor sid quam pro ratione duplicata distantiae auctae; orbis apsides movebuntur in consequentia. Sit enim immota Ellipsis A L porbis descriptus a corpore, quod urgetur a Vi ad centrum T tendente, cujus summa apsis A duplo magis distat a centro ae quam ima p; non quod talis orbis ad circularem accedat, sed hanc rationem majoris perspicuitatis & tantum exempli gratia ponimus. Supponamus Vim centripetam. qua curpus in P urgetur, esse partium φ , & Vis, qua in A urg tur, erit Ino,& in locis intermediis proportionaliter; illa nempe Vis, qua urgente conpus Ellipsin immobilem ALP describeret,1c. reciproca duplicata distantiae a centro. Si jam praeter hanc Vim, corpus in P urgeatur Ralia Vi quae si ex. gr. ut 6 , & in A Vi quaesit ut 8, & in locis intermediis proportionaliter; nempe sit haec Vis superaddita inverse ut cubus distantiae a centro; in hoc casu sperpraec. Corol.) apsides in consequentia ferentur. Uerum Uis tota in P sive ex binis composita est ut 46 , & Vis in A ut IM, & in locis intermediis proportionaliter; hoc est, in

recessu a centro Vis centripeta minuitur magis quam pro ratione

duplicata distantiae metie: nam si ea minueretur in illa ratione distantiae duplicata tantum, Vis in A seret ut II 6. Et licet requiratur ut Uis nova, superaddita priori illi quae est inverse ut quadratum distantiae, sit ubique praecise sicut cubus dictae distantiae inverse, ut orbis ellipticus circa centrum Virium in consequentia revolvatur : si tamen Ellipsis haec Circulo non multum abludat &Vis talis integra corpus urgeat, quae in recessu a centro minuitur magis quam quadratum distantiae corporis a centro augetur; orbis hujus apfides in consequentia movebuntur. Nam quoniam, in orbe sere circulari, distantiae a centro non multum disserunt; Vis illa cujus superadditione fit ut integra Vis, qua urgetur corpus, minu tur magis quam quadratum distantiae a centro augetur) minuitur in ratione quae non multum differt ab inversa triplicata distantiae. Sequitur etiam, si in orbe, circulari proximo, Vis centripeta decrescat minus quam pro ratione duplicata distantiae avo . hoc est, major sit quam pro dicta ratione,ὶ orbis apsides moveri cin animcedentia. Nam eadem manente Ut in P & a, qua corpus Ellipta immobi-Diuitigod by Corale

308쪽

immobilem describit, si ab illa auseratur Vis reciproce proportionalis cubo distantiae a centro; nempe ab illa in P Vis quae est ut 6 ., & a Ui in A Vis ut 8, & in locis intermediis similiter; relin quetur ubique Vis, qua urgente corpus sper Corol. praec. in desicribet Ellipsin cujus a des in antecedentia moventur. Sed relinquitur in p Vis ut 3 3 6, & Vis reliqua in A est ut 91, & in intermediis distantiis

similiter: adeoque in recessu a centro Vis centripeta minuitur minus sive major est quam pro ratione duplicata distantiae audis: nam Uis minuta in duplicata ratione dictae distantiae foret in Λpartium 8 Unde, ob rationes hactenus expositas, si in orbe a cir culo non multum abludente corpus urgeatur Vi, quae in ejus recessita centro minuitur minus quam in duplicata ratione distantiae auine; orbis apsides in antecedentia serentur. Sed & haec patent ope

Corol. I. Ρ p. IV.

centripetae determinare morum apsidum , O e contra, ex dato a dum motu inmenire legem Vis centripetae, modo Vis centripetast ut astitudinis dignitas aliqua. Si ex data Vis centripetae lege quaeratur motus apsidum, Problema solvitur faciendo ut orbis, quem corpus in Ellipsi mobili re. volvens describit in plano immoto, accedat ad sermam orbis cujus apsides requiruntur, & inveniendo apsides orbis sic destripti. Orbes autem ad eandem accedunt sermant, cum Ut res centripetae, quibus describuntur, in aequalibus a centro distantiis proportionales fiunt. Sit sin quavis Fig. praeced.) punctum A summa apsis, T cem trum Virium. Vocetur AT maxima altitudo T, & alia quaevis indeterminata Α, harumque differentia x. Et Uis, qua urgetur compus in Ellipsi circa ejus umbilicum T revolvente, est per praec.) ut v st . R si 'R ff. sve ut & denique smbsti-

tae, cujus lex datur, valor ad similem frictionem reducatur; hoc est, talem cujus denominator est idem A eub. & numeratores facta homologorum terminorum collatione) statuendi sunt analogi; ex qua collatione eruetur ratio G ad F, sive motus apsidum quaesitus. Detur Vis centripetae lex, puta sit haec ut distantiae ii centro dignitas cujus eXponens est data p, sive ut A , hoc est, ut Loco datae pΦ 3 ponaturn, & loco A in numeratore Τ-X; eritque Vis centripeta ut- . Reducatur hujus fractionis numerator T-x ad se

riem infinitam, nempe ad Τ' na TmXΦn,--' kΥ' x &c; conserantur termini hujus numeratoris cum terminis numeratoris praecedentis, nempe TκFI-xκFq - RκGq-R, Pl; nimirum daticum datis, & non dati sive in quibus indeterminata x reperitur Oo 3 cum

309쪽

,Υ' x M. Cumque Ellipsis, de qua nunc agitur, sit circulo finitima, in qua semi-latus transversum & rectum, sive T & R ara quantur & omnes altitudines sive a centro distantiae Prope eaedem, adeoque x illarum respectu sere nulla; hoc est, termini ab hac affecti evanescentes; per mutuam terminorum destructionem &evanescentium neglectum analogia prior mutabitur in hanc R, Gqad T ' sicut - F f ad n , T '; & ponendo etiamnum T loco Rin primo termino, fiet T κGy ad Τ sicut Fq ad n αΤ ; adeoque sq ad τ' ' sicut F ρ ad παT', & vicissim G q ad Fq ut τ' ' ad n T' '; id est, ut 1 ad n : adeoque G ad F, id est, angulus ATI ad angulum ATL, ut I ad Un. Quare cum angulus, quem corpus in Ellipsi ima mota describit in descensu ah a de summa ad imam, et rectis aequalis sit; erit angulus, quem corpus squod urgetur a Vi centripeta proportionali altitudinis dignitati cujus exponens p sive n - δ) in Orbe propemodum circulari conficit in descensu ab a de summa adimam, ad duos rectos ut I ad kn; adeoque in phrasi arithmetica aequalis : & aequali angulo repetito, corpus ab apside ima ad summam redibit; & sic in perpetuum. Et vice versi, si Vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri potest dignitas illa ex motu apsidum. Nimirum, si motus

angularis, quo corpus destendit a summa apside ad imam, sit admotum angularem semi-revolutionis unius s sive ID ) quo in Ellipsi immota a summa apside ad imam descendit, sive minus totus angularis, quo corpus ab apside discedens ad eandem redit, ad motum angularem revolutionis integrae seu 36o J ut unitas ad numerum Un; erit Vis centripeta ut altitudinis dignitas cuius cxponens estn-3. Posita enim vi centripeta ut per Prop. hujus partem priorem dicta ista ratio inter motus angulares sive inter a & Fprodibit; & igitur haec lex Vis centripetae ex ista ratione inter G & ppendet. Inventa ergo est lex Vis centripetae quaesita. Q. E. F.

Hujus Problematis exempla aliqua dabimus in casibus quibusdam illustrioribus. Quaeritur angulus, quem corpus conficit in descensu ab apside summa ad imam in orbe sere circulari, dum illud ur getur a Vi centripeta uniformi sive cadem in omni altitudine. Quoniam in hoc casu Vis centripeta est constans, sive ut A', sive ut AZ , est um 3, & --ῖ; adeoque angulus a corpore consectus ab apside summa ad imam est sive Io; & hoc angulo rursus descripto ad apsidem summam redit, apsidibus velociter in antece: dentia latis. Si vero Uis contripeta sit ut ipsa altitudo sive Λ', hoc est, ut A Τ; erit u Φ, & angulus inter apsidem summam & imam, sive 9O ': hujusmodi igitur orbis apl,las in antccedentia se-

310쪽

runtur eadem celeritate angulari, qua corpus orbem describens in consequentia sertur. Similiter, si Vis centripeta sit ut 4 2 inverse, sive ut Α't , sive ut At ', erit u m l & ἡπ α ἶ; adeoque angulus inter

summam apsidem & imam, qui est -, cst 36o '; hoc est, corpus, urgente hacce Vi, de a de summa distedens, & subinde perpetuo descendens, perveniet ad apsidem imam ubi complevit revolu tionem integram; dein perpetuo ascensu, complendo aliam revolvationem integram, redibit ad apsidem summam ; & sic per vices in

perpetuum.

Proponatur e conVerso motus aindum datus, & quaeratur lex Vis centripetae: quaeratur ex. gr. lex Vis centripetae, qua urgetur compus quod revolutione integra & praeterea alterius revolutionis parte dimidia de apside summa ad apsidem summam, alterno descensu &ascensu, redierit. Quoniam in hoc casu motus angularis quo co pus descendit a summa apside ad imam est χTO erit quarta proportionalis ipsis 1 OI8o & I, sive QR aequalisl, & ideo nii: Ac proinde sper Hrt Σ. hujus Hop.) Vis centripeta est ut AP ; id est, reciproce ut A sive A ἐ. Rursus, quaeratur leX Vis centripetae, qua corpus urgetur, quod ab apside summa ad apsidem summam conficit 63 hoc est, quod fertur in orbe propemodum circulari, cujus apsis summa singulis corporis revolutionibus consecerit in consequentia 3 . Quoniam motus totus angularis, quo corpus ab apside summa distedens ad eandem redit, est ad motum angularem 36o

ut 363 ad 36O; Un, sive quarta proportionalis ipsis 363, 36o & I, erit , i , adeoque u erit & Vis centripeta ut A 3 sive

ut Aai disi; hoc est, inverse ut A io si, sue inverse ut A P VH agDtur, qui urgetur corpus describens orbem cujus apsides in una corporis revolutione moventur 3 in consequentia, in recessu a centro decrestit in ratione paulo majore quam duplicata, sed quaa plusquam εο vicibus propius accedit ad duplicatam quam ad triplicatam.

Hinc patet, quod si Vis centripeta, qua corpus urgetur in ejus accessu ad centrum, in triplicata altitudinis minutae ratione aut minore crescat, corpus, si incipiat descendere, nunquam perventurum ad apsidem imam, sed ad centrum usque descendere; sin vero ab apside astendat minimum, in infinitum astensurum, neque umquam ad apsidem summam pervenire. Nam quoniam UiS centripeta est reciproce ut A ', hoc est, ut A ', hoc est, p α - 3; erit n ip ε 3ὶ - Ο &, u in O; & angulus quo descripto ab apside summa ad imam pervenit, aut e contra, aequalis - , sive infinitus: nunquam ergo ad alteram apsidem pertinget, sed post innumeras revolutiones vel descendet ad centrum vel astendet in infinitum. Si vero Vis in recessu corporis 1 centro decrescat in majore quam triplicata ratione distantiae, n erit negativa quantitas, & Un impos

sibile