장음표시 사용
451쪽
quod Cometa eam versus Solem revera describeret, semisse temporis quo Terra destrabit orbitae suae arcum aer, hoc est, seniisse temporis quo Cometa describit Gaiectoriae siue arcum, interceptum inter duas Longitudines T A & τῖ : & igitur punctumho est in arcus istius chordae Et ideo si tam arcus Trajectoriae praedicti ατε, inter binas extremas observatas Longitudines ΤΛ & τB intercepti, quam puncti in concipiantur vestigia in plano demissione normalium ad Eclipticae
planum signata, nempe Ac B & D; erit punctum I in chorda ilrcstsAcs. Sed chorda arciis Acs talis est i per Corol. 2. Prop. Xum 3 ut
haec ab sc dividatur sere in ratione temporum quibus Cometa ad Eclipticam reductus describit arcus Ac, ch; & per constructionem in hac eadem ratione dividitur ducta A D B, recta, estque haec unica quae in histe conditionibus duci poterit. Cum igitur oporteat cho dam arcos, qui est vestigium portionis Τrajectoriae Cometicae inter extremas Longitudines ΤΛ, του interceptae, a rectis TA, τ B terminari, &per D transire,& in D dividi in ratione temporum binorum inter tres Observationes; cumque recta ADB habeat omnes hasce
tres conditiones, solaque sit & unica quae illis lauitur; constat rectam Ana ductam ut superius) esse chordam dicti arcas, adeoque puncta A & A esse proxime vestigia Cometae in plano Eclipticae inobservationibus prima & tertia, si c sit verum ejus vestigium inobservatione secunda. t Quoniam vero assumptum est punctum c vero non setis propin quum , & licet verum fuisset, tamen puncta A & A inde deducta non sunt accurate satis definita; libet ex histe praeterpropter dote minatis omnia demum corrigere. In quem finem in sthemato μquenti ubi eadem constructio manere intelligitur, omissis tantum iis quae a1 demonstranda superius posita fuere necessaria, in post rum vero confusionem parerentin ad M medium punctum re Ripsi An erigatur normalis M I, cui occurrat in I recta o I, acta per c ipei BA parallela; jungatur SI secans AB in x, & compleatur parallel grammuti MI v Κ, & sumatur Min tripla ipsus M K: Iungatur as& producatur ad E donec is sit aequalis 3 os ε 3 Ix. Ρuncto E determinato; deleta intelligantur signa sive liter A, M, D &E; jungatur ea B, i in qua Versus B sumatur novabo D in duplicata ratione
rectae s E ad nectam aequalem ipsi s v*i I x, & per punctum D no viter Inventum iope p. - ducatur nova an ad T A & τE temminata, rari ut Ati fit ad DB ut tempus inter observationem primam & secundam ad tempus inter Observationem Mundam &tertiam: Erunt puncta A & a magis accurate quam prius vestigia Cometae in plano Eclipticae in observationibus prima & tertia, fipunctum c recte assumptum sit ejus vestigium in Observatione fecunda. Concipiantur demissa a sngulis Trajectoriae Cometicae punctis perpendicula ad planum Eclipticae, sive quod eodem redit intelligatur super planum Eclipticae normaliter erecta stiperficies cylindrica per Cometae Τrajectoriam transiens; punctis ii dictis petapendiculis signatis in Eclipticae plano conficietur sive communis i i sectio Cooste
452쪽
sectio dictae superficiei cylindricae cum plano Eclipticae erit, Curva
Parabolica a ca cujus secus s, vel ab hac parum abludem: hujus arcus AC B inter rectas ΤΑ,τB comprehens chorda sex supra ostensis est quamproxime recta A B prius ducta, cujus medium punctum M. Cumque in dicto arcu sumptum sit punctum c non procul λ -- menti Aca vertice, nam in hunc finem capta sunt tria obser vationum tempora, aequalibus sere intervallis ab invicem diastantia, ita tamen ut tempus istud sit paulo maius ubi Cometa tardius movetur,) ductaque sit recta ad ΗΛ parallela cum normali ad Α Β ex M excitata concurrens in I, &juncta sit s I secans A R in κ, completumque parallelogrammum IMxu; cumque porro. Ob immeniam Solis distantiam, punctorum M & v distantia prae illa evanestat, aequalis Iri & ideo ipsi Mκ: Sed ex construm o est Maetripluimus M x, unde & ipsius xv tripla est, adeoque & reliquae v etiam tripi ; & igitur sper Corol. x. Hoμ xum.) juncta ius inlis est qualis as in Prop. xvm ejusque Corollariis, hoc est, in cis producta ad partes s reperitur punctum quo ducta quaevis re ιιehordam
AB arcumque Aca secans, chordam secat in rimenta eandem habentia rationem cum temporibus, quibus alaeentes arcus a Cometa destribuntur. Porro, ex constructione est QR aequalis 3 Q S- 3I K, &Iκ aequalis M sunt utique diametri ejusdem parallelogrammi re-ctvnguli;) unde o E aequalis est 3 ΟΦ q M v. Et igitur per Corol. 3. Prop xum.) punctum E supra determinatum illud ipsum est,ex quo
ducta utcunque recta chordam Aa dividit in segmenta eandem habentia rationem, quam tempora quibus arcus A B binae partes ab eadem recta producta notatae a Cometa destribuntur, quod prius perperam licet non nimis erroneo de ipso soco s supposuimus.
453쪽
Delata igitur ad vitandam confusionem) priore cD versus f dum, acta est nova versus B, quae est ad priorem ut quadratum ipfius se ad quadratum ipsius a v in i Ix, hoc est propter aequales I x & M v ad quadratum ipsius sv ΦέMri & sc est quainproxime aequalis sv:
Quare nova e D est ad priorem c D ut quadratum ab s v ad quadratum descriptum ab sL, posita v L triente ipsius Mu sive Iis, ut inconstructione Prop. xx & xxx. Sed sex Prop. XLII. Lib. I. gravitas acces ratrix versus Solem in loco L est ad gravitatem acceleratricem versus eundem in loco e diei v) ut quadratum ab sc I svj ad quadratum ab sL: Et ut gravitates acceleratrices versus Solem in distantiis diversis, ita sunt manentibus dictis viribus) spatia eodem
quocunque tempore cadendo versus Solem percursa; & igitur novac D est ad priorem c D ut spatium cadendo percursum versus Solem, urgento vi acceleratrice quaeis loco L urget, semisse temporis quot Cometa destribit arcum inter longitudines TA& interceptum, auspatium eodem tempore cadendo percursum versus Solem, urgente vi acceleratrice quae in loco u urget. Sed hujus .analogiae cons quentes aequantur, aequantur igitur & antecedentes; hoc est, novitas ducta c D aequatur spatio a grave cadente versus Solem percurso, semisse temporis quo Cometa arcum Ac B in Ecliptica destribit, urg nte gravitate acceleratrice, quae in distantia sti a Sole obtinet, uniformiter continuata. Sed sper Hop. xxI.ὶ spatium per quod corpus versus Solem decidit, semisse temporis quo Cometa arcum Avadestribit consideramus enim nunc motum Cometae tanquam in Eclipticae plano factum, loco Trajectoriae Cometicae ejus vestigium in plano Eclipticae intuentes cum urgetur ab uniformiter continuata graVitate acceleratrice versus Solem quae in loco L obtinet, aequale est v x segmento rectae us inter verticem v& chordam an intemcepto; adeoque quamproxime aequale ipsius cR segmento e D im
454쪽
punctum D est in chorda ΑΒ multo accuratius quam antea; hoc est, chorda arcus, qui est vestigium in plano Eclipticae portionis Ἀψει ctoriae Cometicae inter Longitudines T A & τ B interce , per pun- ni D ultimo determinatum quamproxime transiti dirro sper Prop. xvIII ) chorda praedicta per D traducta eum inter ΤΑ, τ a itum obtinere debet, ut AD sit ad DB sicut tempus quo Cometa destribit Eclipticae arcum inter Longitudines T A & ic ad tempus quo arcum inter ic & τB interjectum describit: Sed An ita sope Prop. viri.) acta est per D, ut AD sit ad DB in eadem illa ratione, nempe sicut tempus inter observationem primam & secundam ad tempus inter observationem secundam & tertiam; rite igitur acta est ha& uti oportet, nimirum per D transiens, & divisa in D uti dictum. Et ideo, posito punctum c recte fuisse assumptum pro Cometae vestigio in observatione secunda, puncta Α & Η sunt ejusdem vestigia quamproxime in Observationibus prima & tertia. Restat nunc ut dignoscatur an punctum c in media Longitudine fuerit recte assumptum Cometae vestigium; quod si non fuerit, ut
error hinc ortus corrigatur, reliquis quae hactenus recte sunt facta manentibus. Deleto priore parallelogrammo IMxv ad priorem minusque accuratam chordam AB constituto, constituatur alterum ad posteriorem & accuratiorem ΛΒ, eadem adhibitii constructione atque prius. Ad A, M & B erigantur ad AB normales Aa,Mμ& Rh
455쪽
Trajectoriae Cometicae: Ideoque recta αβ est chorda arcsis Τrajectoriae Parabolicae a Cometa percursae inter observationem primam & temtiam, & sα, sa sunt distantiae Cometae a Sole in Observatione prima & tertia respective; hoc est, distantia vcra cujusvis puncti Trajectoriae Cometicae a Sole est hypothenusa trianguli rectanguli, cujus alterum latus est distantia a Sole vestigii illius puncti in plano Eclipticae, alterum Vero perpendiculum ex isto vestigio normaliter ad planum Eclipticae excitatum & ad punctum Τrassectoriae terminatum. Cum quaedam ex istis perpendiculis sint longiora ut quaedam breviora ut A α, sumatur medium inter haecce, Q. hic';& universialiter loquendo distantia cuiusvis puncti Trajectoriae Cometicae a Sole erit proxime hypothenusia trianguli rectanguli, cuius alterum latus est distantia analogi puncti in vestigio Trajectoriae descripto, & alterum ipsa recta Mμ. Quo posito, in Ma eave producta, sumatur M H aequalis sv Φ l Ix, hoc cst, a qualis sR, posita LRaequali Lu, & jungatur Hu; erit haec quamproxime aequalis puncti
Trajectoriae scujus v est vestigium) distantiae a Sole auch besse rectie interjectae inter punctum istud & chordam arcus Trajectoriar, ipsam
se. αβ in erecto trapezio ABβα; id est, recta Au aequalis est rectar in plano Trajectoriae Cometae, analogae ipsi sil in ejus vestigio in plano Eclipticae; hoc est, H A adilualis est rectae s R in Parabola Prop.xx. Per Corol. Prop. XvII. conseratur velocitas Cometae, dum in Parabolica sua Trajectoria movetur ad distantiam a Sole aequalem rectae H cum velocitate Telluris circa Solem, & definiatur linea quam Cometa dicta cum velocitate aret biliter motus percurreret toto tempore quo Tebius arcum Τ tτ describit, sive toto tempore quo Cometa arcum Ac vin Ecliptica percurrit, in partibus arcus Τιτ a Tellure interim pem
cursi; quod iacillime sit modo sequenti: Calculo subducatur longitudo arctis Υστ a Tellure descripti inter observationem primam
456쪽
& tertiam, posito quovis numero rotundo pro mediocri distantia Τerrae a Sole; longitudo sputa Zὶ quae est ad hunc arcum in suta duplicata ratione Diametri Orbis magni ad rectam notam H μ, quaeque proinde datur, cst ipsa longitudo quaesta, nempe quam Cometa aequabiliter latus ea cum velocitate quam Trajectoriam suam Para-holicam destribens habet ad distantiam a Sole aequalem ipsi H μ percurreret tempore, quo Cometa arcum cujus chorda α β revera percurrit: Nam sper Prop. xvΠ.ὶ velocitas Cometae ad dictam distan tiam An est ad velocitatem Telluris in ratione supradicta. Sed sperri . xx.) dicta longitudo Z aequalis est chordae arcus quem Cometa revera isto tempore describit; igitur si deprchendatur Z aequalis chordae αε, certissimum est indicium punctum c in Longitudine se cundo observata recte fuisse assumptum pro vestigio Cometae; adeoque h. c & R esse tria Loca sive vestigia Cometae in plano Eclipticae. Quod si Z non deprehensa suerit aequalis rectae αβ, hoc est, si punctum c non sit recte assumptum in t c Longitudine secundo O, servata; capiantur in αβ seave producta si opus st) αφ, B π aequales ipsi Z, capiantur etiam AP, BP aequales αφ, B π, ita ut F & φ ad ea Ddem partes rectae Αα. item P & π ad easdem partes rectae B β jaceant. Ρraeterea eadem methodo, qua ex assumpto puncto c inventa sunt puncta A, B, D, RP, ex assiimptis aliis punctis hc & 3 c inveniantur nova ΣΑ, ΣΒ, 2D, 2 F, 2 P & 3 A, g B, 3 D, 3 F, 3 P, ut in schemate annexo, ubi iisdem manentibus iisdemque literis notatis atque supra, ea tantum omittuntur de quibus postea non est sermo. Quod 1i 2 minor fuerit quam αε, aut AP vel BP minor quam AB ut in annexo schemate accidit) punctum Σc sumendum erit ipsi. puncto
in quo Ta&τB concurrunt) propius; & ita porro, ita ut saltem
457쪽
3 A g F major fiat quam 3 Λ 3 B : Si vero e contra A F major fuerit quam A B, suinenda erit tχ c major quam i c; atque ita porro, ita ut saltem 3 A 3 F minor fiat quam 3 A 3 B. Per puncta F. Σs & 3 F describatur circulus, qui rectam τB secabit inter B& 3B, puta in O, si puncta nova 2 c, 3 c sumpta suerint secundum prius tradita. Similiter, per puncta P, Σ p & 3 p describatur circulus rectam ΤΛ in x intersecans; erunt puncta o & x Loca Cometae ad Eclipticam reducta sive Coemetae vestigia in Observatione prima & tertia. Nam supra fuit demonstratum puncta A & B esse vestigia Cometae in plano Eclipticae in Observatione prima & tertia, si c sit Gusdem vestigium in Obseravatione secunda: idemque similiter obtinet in G, ΣΗ& χc; item in 3 Α, 3 s & 3 c. Demonstratum quoque est c esse revera vestigium Cometae in observatione secunda, si Z aequalis sit αε; hoc est, si rectarum A s & ΒΡ quaelibet sit aequalis ipsi A B ; hoc est demum, si puncta B & F coincidant, item A& p. Et igitur si, reliquis manentibus, puncta B & F coincidant, tale B erit vestigium Cometae in Observatione tertia: Similiter coincidentibus A & p, erit tale A ejuLdem vestigium in Observatione prima. Ad quam coincidentiam conciliandam per tria puncta legitime reperta P, et F& 3 F tradu sest circulus, hoc est, linea simplicissima per tria puncta transiens, rectam τΗ in o intersecans. Cum igitur punctum o sit tam in laco punctorum B, nempe recta τ B, quam in loco punctorum rinempe circulo; quando punctum B reperitur in in punctum P in itilo etiam reperietur, hoc est, in isto casu puncta a & scoincident;& ideo punctum o est verum Cometae vestigium in plano Eclipticae in observatione tertia, quippe cui conveniunt omnes conditiones requisitae. Similiter & ob easdem rationes, punctum X est verum C
458쪽
metae vestigium in Observatione prima. Igitur si ex puncto o ad planum hujus Rhematis, Eclipticae planum reserens, erigatur per pendicularis recta ori aequalis tangenti notae Latitudinis in Observatione tertia ad radium το; erit in Cometae Locus verus in sua Trajectoria. Similiter, x ξ perpendicularis ad planum Eclipticae ad punctum x excitata, aequalis tangenti Latitudinis in observatione pruma ad radium T x, Ostendet punctum ε alterum Cometae Locum in propria Trajectoria. Foco S per puncti ο&ξ per Ρrop. xxN.) destribatur Ρarabola; erit haec Cometae Trajectoria quaesita. Quoniam vero duae sunt Parabolae seco s descriptae, per puncta bina ω Sc ξtranseuntes, utra ex histe sit nostri Cometae Trajectoria, patebit ex
alia quavis Cometae Observatione: Locus enim ejus ex altera harum Parabolarum deductus Loco observato conveniet, ex altera vero nequaquam. Ex observationibus igitur determinavimus Trajectoriam Cometae in Parabola moti. E. F. Licebit etiam in T A vel in τB puncta ad libitum eligere sicut in te hic factum, & puncta in reliquis duabus hinc resultantia simili
ter tractare atque puncta in T A, τ B superius tractata sunt.
In praecedente investigatione, sive Arithmetica sive Graphica sive ex utraque composita, nulla habita est ratio Parallaxis menstruae Solis exinde oriundae quod non Terrae centrum sed commune centrum gravitatis Terrae & Lunae in orbe magno seratur; haec namque menstrua Solis parallaxis, triplo major quam diurna. sensibilis est in quorundam Cometarum Orbitis definiendis: Observata igitur
Cometae Loca per hanc corrigantur.
Si Elliptica orbita Cometae melius congruere deprehendatur, illa sc destribetur: Reperiatur vestigium Cometae in plano Eclipticae in servatione secunda; erit utique illud eodem ordine situque inter puncta G 2c, 3 c quo Punctum O inter B, 2B, 3 B, Vel quo X inter A, ΣΑ, 3 A: ex vestigio sic invento excitetur perpendicularis ad Ha num Eclipticae, quae est tangens Latitudinis in observatione tacunda ad radium aequalem distantiae inter ι dictumque vestigium; erit dicti perpendiculi extremum punctum in sublimi Locus Coemetae in propria Trajectoria secundo observatus. Foco S, per puncta ω, ξ & punctum mox inventum destripta sper Prop. XXIx. Lib. m. Ellipsis erit Cometae orbita quaesita.
Methodus supra adhibita ad punctum o vel x determinandum universalis est, & insignis usus in plerisque myficis approximandis.
Convenit plerumque tria puncta, ut hic A, 2 Λ & 3 A, ex tribus assumptis c, et e & 3 c secundum artem reperta, ita esse posita ut punctum quaesitum inter illorum extrema A & g A jaceat, quae est ratio cur h tribus punctis p unum ex altera parte correspondentis puncti A collocatum volumus:) sic enim certius & proximius detem
minabitur quaesitum punctum per intersectionem circuli cum recta A Σά in qua illud necessario versatur, quam si quaesito existento Kkk x ultra
459쪽
ultra A & g A illud determinandum veniat per intersectionem rectae cum circulo ultra puncta a & 3 p ; ob similem prorsus rationem atque ex observatis aliquot Cometae salteriusve cujusvis secundum quamvis regulam moti in Locis ejusdem Locus & Tempus intermedium quodvis certius definitur, quam ad Tempus aliquod ante primam Observationem aut post ultimam. Aliquando suffecerit, in hujusmodi investigationibus, duo puncta qualia sunt p & χ p determinare, si nimirum horum utrumque a vero non procul absit,in & illa recta conjungere, cujus intersectio cum altera A ZA Verum punctum quaesitum determinabit. ANque hic rursus puncta P & χP ad contrarias puncti quaesiti Bartes jacere commodum eriti
mnae uestigio in plano Echpticae assumere commodi mam erit. Problema praecedens universaliter constructum est: Verum in praxi non quaelibet puncta c, Σ c pro vestigio Cometae in Observationest unda commode assumuntur, sed veris proxima eligenda, si illa
praeterpropter internoscere quovis modo concessium fuerit. Hoc autem ope Ρrop. XII. fiet per quatuor Cometae Observationes. Ducta etenim recta, cuius partes tres inter quatuor rectas positione datas interceptae eam habeant rationem quam temporis intervalla tria inter quatuor observationes interjecta, non multum diversa erit a Τrajectoriae Parabolicae portione a Cometa tum percursa. Adeoque
hujus intersectio cum recta, Longitudinem in observatione secunda reserente, aptissime pro vestigio Cometae in ista observatione secunda assumetur.
Quod si angulus innotescat praeterpropter, quem vestigiu in orbitae Cometae continet cum recta Grram & Cometam in Observatione secunda conjungente,sive huic per Prop. XVΠ.Lab. I. Conis.) aequalis
A in i, quem chorda A Bcontinet cum te recta,
quod fiet vel ope Prop.ra. vel accuratius per Schol. Prop. XIII; tum punctum e primo assumendum hoc modo determinabitur: Ducatur recta AB ad rectas positione datas TR,
τ B utrinque terminatassectam tu etiam positione datam in angulo aequali dato ad δ' intersecans,quae sit ad Q x , T τ chordam hoc est, proxime ad i T τ) in subduplicata rab
460쪽
Lib.V. & GEOMETRICAE ELEMENTA. q. yone si ad Sin; & agatur per S recta SDc, cujus pars DC a cruribus anguli Ainc interjecta aequetur recta tN, quod est Veterum Pro. Hema universale de inclinationibus, conficiturque per eorum Methodum, vel per g. vII. Lecit. Optic. V. aut S. III. DEI. Geom. vI. Bamromii: Ρunctum c sic determinatum est illud ipsum quod commode prima vice usurpatur pro vestigio Cometae in plano Eclipticae. ει- natur c esse vestigium Cometae in plano Eclipticae, & arcum Ρarabolicum per A, B & c transeuntem esse vestigium arcus Trajectoriae
inter observationem primam & tertiam destripti: Quoniam igitur in hypothesi quod gravitas acceleratrix versus Solem eadem sit vel aequalis in di1tantia Telluris a Sole atque in distantia Cometae ab eodem, hoc est, in hypothesi gravitatis quam Galilaeus sevit,
quaeque a vero non multum abest,)c D& tN sunt aequales; quippe spatia cadendo versus Solem eodem tempore percursa a Cometa &a Ullure, erit sper Prop. xxv.) AB chorda Ρarabolae ad kχὰ Techordam circuli, cujus centrum cum soco Parabolae congruit, in subduplicata ratione rectae si ad sD rectam. Sed facta est AB ad 1κ Tet in subduplicata ratione si ad s si & etiam ΑΒ secat rectam te in angulo debito, & porro cD aequalis est ipsi ι N: Recta igitur Aa habet proxime omnes conditiones requisitas ut fiat chorda arcus qui est vestigium Τrajectoriae Cometicae interjectae inter Longitudinem primam ΤΑ & tertiam τB; punctumque proinde chabet omnes conditiones ut fiat proxime vestigium Cometae in O, servatione secunda. Recte igitur assumitur punctum c vestigium Cometae spostea quidem corrigendum) in dicta observatione secunda. Determinato puncto c prima vice assiamendo, quae deinde assumuntur puncta nempe et c& 3cὶ non sunt absque consideratione assumenda; nec sumit Prop. praec. data cautio, quod nempe Punctum χc sumendum sit propius puncto o cum linea Z minor est quam AB, & e contra : Sed cum eo tandem deveniendum sit, ut Asrite ducta aequalis sit congruae Longitudini Z; in ic capiatur punctum Σc,ea lege ut distantiao 1 c sit ad distantiam σ c in ratione composita ex ratione Z ad Aa & ratione subduplicata scad sh c. Causa, cur prior ratio componens adhibetur anifesta est ex praedictis: nam cum imvenienda sit AH quae sit congruae
et aequalis, si illa hac fit major
augenda donec aequales fiant; serent autem aequales per selam priorem rationem componentem, si Z esset constans & invariabilis: cum vero pro diversa a B diversa perpetuo proveniat longitudo T, ideo secunda componentium necessaria est. Constat autem lex Prop. xxm. in quod in Parabolis, arcuum ac B, Σ Α ΣcΣB, in quibus a '