장음표시 사용
461쪽
quantur c D, 2e2D ad focum tendentes inter verticem & chordam interceptae, ipsae chordae sunt in subduplicata ratione rectarum s c, sae ; & superius est ostensum rectas cD, χcχD esse sere aequales, spatia nempe per quae Cometa cadendo versus Solem in diversis ab illo distantiis eodem tempore percurreret, & etiam vestigium Cometae in Observatione secunda proximum esse vertici arcsis A c B, Qvestigii portionis Trajectoriae a Cometa inter observationein primam & tertiam descriptae. Sed & punctum et e hoc modo inuem tum non pro accurato Cometae vestigio in plano Eclipticae venditatur, sed pro sere vero & ab accurato non nimis remoto. Eadem methodo determinabitur punctum g c ex 2 c quo 2 ceXc, si tria puncta invenire libeat ut Prop. praec. factum; sed hoc modo operando vix ultra secundam operationem necesse erit procedere: Et recta conjungens bina puncta F & χF, ex assumptis c & 2c per praec. determinata, secabit τB in puncto o scui propinqua admodum land accurato Cometae vestigio in observatione tertia, rectaque P a p similiter ipsam T A secabit in puncto x ejusdem Cometae vestigio in Observatione prima, ut supra ostensum est oportere fieri cum c & ac sunt punctis veris proxima. Determinatum igitur
est punctum quod cin praxi Prop. praec.ὶ prima, secunda & tertia vice
commodissime assiimitur pro vestigio Cometae in plano Eclipticae. In punctis c & χc modo praedicto praeterpropter determinandis, non raro in operationibus graphicis methodo tentativa procedendum erit, ubi accuratior aut saltem plene Geometrica deficit; neque opus est Curvas minus parabiles, quibus in constructione opus esset, hic adhibere.
ΡROPOSITIO XXVIII. Positionem Laneae Nodorum Travectoriae Comesae, Tempusque
quando Cometa Nodos tenet, determinare. Iisdem manentibus & per easdem literas designatis atque in prae cedentibus, rectae Ox, αξ producantur donec concurrunt in R: jungatur so, sX, S R. Prius data is in ierant omnia puncta s, o & fadeoque trianguli sox tam f
latera quam anguli; & pro- inde angulus sx δὲ illorum II /uni deinceps. Porro, si per e
ovi Misserentia notarum recta- , Immo o&ξx) una cuin angu- ωπ ua1o recto ωοξ innotescunt reliqua latera & anguli, innotescent & anguli trianguli ξxa: Sed datur in hoc triangulo latus unum xξ; dabuntur Diuiti oti by Cooste
462쪽
dabuntur igitur & reliqua, nempe x in & ξ n. In triangulo deinden xs dantur latera xs, xn cum angulo interjecto sxa; non latebit igitur angulus xs R. Sed, ut prius dictum, datur positio rectae s sive angulus quem haec secit cum Τx, cujus positio est Observatione nota, inam in triangulo XΥs dantur latera aes & Tx, & angulus xTs distantia inter Locum Solis cognitum Locumque Cometae primo observatum, unde TXs innotescit; in & igitur positio rectae . svnota erit, sive Nodorum Loca e Sole vita. Quod si rectae ovi, xξ fruerint aequales, Nodorum Linea parallela est ad OA ideoque posit,
Ad determinandum Tempus quo Cometa Nodum tenet, sit οξΤrajectoria Cometae per Prop. xxvI. destripta per puncta . & L in cujus plano reperiuntur rectie s ., S: sitque superius reperta Nodorum Linea ns UTrajectoriae in a & V occurrens; erit per 'op. xIv. Lib. I. intervallum temporis inter observationem primam & momentum quando Cometa ad Nodum nappellit ad intervallum temporis inter Observationem primam & tertiam ut area οξns ad aream ωξs: Sed arearum ἄξns & ωξs ratio est nota; quippe ipsae areae cognitae sunt ex Prop. XXIV. Archimed. de Suadrat. Parab.) igitur & Gmpus quo Cometa Nodum n tenet. Pari modo innotestit Τempus quo Cometa ad Nodum alterum V appellit. Q. E. F.
Iisdem manentibus, ex puncto o ad Usa Nodorum Lineam ducatur perpendicularis om& jungatur . U. In triangulo . SU praeter rectum ad N dantur sex Prop. praec. angulus Og U & 1atusos; innotescit igitur odi In triangulo deinde rectangulo MON dantur latera circa rectum o. &ΟΥ; & proinde notus erit
angulus oUω, qui sper Def. 6. H. xLὶ est Inclinatio plani Trajectoriae ad planum
TR ectoriae Cometae Latus rectum principale, Perihelium, Tempusque quo Cometa is Perihelio vier satur, determinare. co S per puncta α & ξ describatur Trajectoria Cometae per Prop. XXVI; centro S per horum alterutrum sputa H describatur circulus Trajectoriae denuo in v occurrens; jungatur ae v, ad quam eX S puncto demittatur perpendicularis sp, quae producatur dO- nec Ρarabolae occurrat in .; erit . Trajectoriae Perihelium, &proinde Distiirco by Gorale
463쪽
proinde ipsius sπ quadrupla est ejusdem Latus rectum principale.
Primum patet; nam cum focuS S in Parabolae axe reperiatur, circulus centro s descriptus Parabolam ssi omnino) in duobus punctis
secabit ab axe aequaliter remotis, &proinde intersectiones conjungens recta . v erit axi normalis: unde S pest axis, & π Parabolae vertex sive Trajectoriae Perihelium, & quadrupla S π parameter diametri cujus πest vertex, hoc est, ipsius axis ) sive Latus rectum principale. Capiatur Tempus cujus intervallum ab observatione prima, cum Cometa esset in ο, est ad intervallum Temporis inter observatimnem primam & tertiam ut area οπ S ad aream αξ s; eritque illud ipsum Tempus quo Cometa Perihelium tenet. Cassium varietatem, quando nimirum Tempus quo Cometa riri. helium tenet est ante Observationem primam & quando post illam. Artificis judicio permittimus, sicut & innumera alia Problema hoc, de Comeis Traiectoria ejusque partibus definiendis, attinentia
Hinc etiam Comeω Perigaeum ejusque Τempus determinabitur: Nam cum detur Tempus nempe quod interjicitur inter observationem primam & tertiamin quo data area ξοs a Cometa radio ad Solem ducto describitur, dabitur area uno Die similiter descripta ;cumque detur ξ Locus Cometae in Observatione prima, dabuntur Loca Comeis in propria Τrajectoria ad Dies singulos. Sed & dantur Loca Τelluris in orbita sua ad eosdem, & sex praecedentibus) si tus mutuus inter Telluris Orbitam & Conacis Trajectoriam ; unde Locus ubi Cometa est Terrae proximus, hoc est, Cometae Perigaeum notabitur facile, & Tempus quo istud contingit.
metae Trajectoriam per Prop. xxv . inventam corrigere Assumatur postio plani Trajectoriae Comeω Prop. xxvI. determinata, & seligantur tria Loca Cometae exactissime observata, diversia ab illis tribus ex quibus Trajectoriain prius erat definita, & ab invicem quam maxime distantia: Commodum erit ut horum unum a Cometae Perihelio non multum distet. Vocetur Tempus inter observationum harum primam & tertiam interjectum s: Capiatur numerus c, qui sit ad I ut Τempus inter observationem primam & secundam ad Tempus inter observationem secundam & tertiam : Ex his Locis apparentibus, calculo trigonometrico ad normam praecedentium, inveniantur Loca tria Cometae in praedicto Dajectoriae plano assumpto tanquam accurati immo; hoc est, inveniantur tria prius definiti plani puncta in quibus Coemeta eandem Longitudinem Latitudinemque haberet, quam revera habere Diqiligeo by Corale
464쪽
habere deprehenditur; & sper Ρrop. XXIx. Lib. VI, vel sorsan per Prop. xxIv. Lib. v.) calculo determinetur Sectio Conica tranfiens per ista tria puncta, cujus umbilicus congruit cum centro Solis, ejusque areae rectis ad Solem ductis & curvae portionibus terminatae determinentur, harumque proinde ratio: sit nempe ejus area inter o servationem primam & secundam ad ejusdem aream inter observationem secundam & tertiam ut G ad I; & eadem erit ratio inter Tempora quibus areae hae radio ad Solem ducto describerentur a Cometa. Porro, ex cognita semitae hujus ciusque partium omnium magnitudine, respectu semitae Telluris ejusque partium, cognoscitur ex Prop. xu Lib. I in velocitas qua Cometa illam describit; ideoque
Tempus quo Cometa areas duas supra inventas destriberet; voc tur illud T. Si T & G c, erit hactenus inventa plani Trajectoriae positio vera & accurata, nulla indigens correctione; sin secus, erit T-s Error in Tempore toto interjecto inter observationem primam & tertiam, ortus ex minus accurata plani Trajectoriae positione, & G-c erit exinde etiam oriundus Error in ratione Τemporis inter observationem primam & secundam ad Tempus inter observationem secundam & tertiam; quod patet, quia in
utroque casu unitas assumitur pro consequente in terminis binis exprimentibus rationem inter Tempora bina.
Augeatur alterutrius Nodi Trajectoriae Longitudo sper Prop. Xxum. inventa) dicta x, eto aut 3O scrupulis primis quae dicantur P, servata priore Inclinatione plani Trajectoriar ad planum Eclipticae, &similiter atque prius inveniantur in hoc novo plano tria puncta quae tribus praedictis Cometae Observationibus accuratissimis respondeant, & Trajectoria per illa transiens cujus secus cum Solis centro conveniat, & hujus areae duae inter tres Ob1ervationes perrectam ad Solem ductam descriptae quarum ratio exprimatur per g ad n & etiam Tempus totum ι quod Cometa in utraque simul ista area destribenda insumeret. Si Τempus t deprehensum fuerit aequale s, & g ipsi c, assumpta haec plani positio eadem erit cum vera; sin aliter, erit t-s Error in integro Tempore inter observationem primam & tertiam, &g - c Error in ratione Temporis inter observationem primam & secundam ad Τempus inter observationem secundam & tertiam, uterque oriundus ex minus accurata
positione plani Trajectoriae ad planum Eclipticae. Augeatur per Prop. XxIx. inventa Inclinatio plani Trajectoriae ad planum Eclipticae dicta Ι, ho aut go strupulis primis quae vocentur in manente interim Longitudine Nodi primitus per Prop. xxvuL inventa , & similiter atque superius inveniantur in hoc novo plano tria puncta quae tribus praedictis Cometae Observationibus respondeant, ut & Trajectoria per illa transiens cujus secus idem est cum
Solis centro, ejusque areae duae inter tria Loca observata per rectam ad Solem ductam destriptae quarum ratio eadem fit cum ea quam γhabet ad I: Inveniatur etiam Tempus totum τ, quod Cometa in
utraque simul ista area per rectam ad Solem ductam describenda Lli insu-
465쪽
insumeret. Si τ deprehendatur ipsi s aequale, & ν ipsi c etiam aequalis, assumpta taee plani TraJectoriae positio est vera & ipsi rei
congrua; sin secus, erit τ - s Error in Tempore toto inter observa tionem primam & tertiam, & γ-c similiter Error in ratione Τem poris inter observationem primam & secundam ad Gmpus inter Oservationem secundam & tertiam.
Instituatur operatio igitur per Regulam Falsae Positionis, cujus operationis Rhema hic adnectitur, ubi x est una disitio Longitudinis Nodi, & T -s Error hinc ortus in Tempore toto inter obser. vationein primam & tertiam interjecto; κεν altera Longitudinis Nodi Positio, &ι-s Error dicti Temporis totius inde ortus: Fiat juxta dictam Regulam, ut differentia Errorum ad disserentiam sitionum ita alteruter ex Erroribus ad quartam quantitatem; erit haec ipsa correctio Positionis istius ex qua Error assiumptus fluxit. Hoc modo Error positae Longitudinis Nodi, sic. ipsius Ε, in toto Tempore inter observationem primam & tertiam est , n& ejusdem Longitudinis x Error in ratione inter bina Tempora
inter ternas observationes est 6 κ P; adeoque vera & correcta
Longitudo Nodi est x - , P, sive κ P. Similiter, Error positae Inclinationis plani Τrajectoriae ad planum Eclipticae c. Lex primo capite est π α u; & ex secundo est 6' N,& ideo vera & correcta laclinatio plani Trajectoriae ad planum Eclipticae est Ι Φ ita α et, sive I in xu. Eaedemque correcta Longitudo Nodi & Inclinatio plani Dajectoriar ad planum Eclipticae provenient, si in operatione adhibeantur Errores ex Positione
466쪽
Et quoniam considerandus venit uterque Error, tam in toto Τem. pore quam in ratione inter duo Tempora inter ternas observationes inter ecta, Ponamus tam CG κ P quam o P separatim adiquari hoc est, o m: Similiterque ponamus
regrediendo, si tales capiantur m 6cn ut duplum τ-S-mT-m t
adeoque Error Longitudinis Nodi erit m , p, Errorque Inclinati nis plani Trajectoriae erit nisus Unde correcta Longitudo Nodi est x nip, & correcta Inclinatio plani Gajectoriae ad planum Eclipticae est Ι Φ n P. Correcto plano Trajectoriae tam quoad ejus intersectionem cum plano Eclipticae hoc est, Longitudinem alterutrius Nodi) quam quoad ejus Inclinationem ad Eclipticae planum, inveniantur sui prius) in plano sic correcto & nunc accuratissime posito tria puncta, quae tribus praedictis observationibus accuratissimis satisfaciant, & ut priues Solis centro ceu umbilico per dicta tria puncta describatur Coni Sestio: erit haec correcta Cometae Τrajectoria quaesita.
Inventa Τrajectoria correm & accurata, ejus Axis, Latus rectum Axi congruum, Τ pus quo Cometa Perihelium tenet, reliquaque
huc attinentia ad normam superiorum etiam accurate definientur. Si contingat Ellipsin Solis centro ceu soco destriRam non Parabolam) per tria ista puncta transire; hoc est, s Cometae oa-jectoriae pars illa, quae observationi nostrae est subjecta, clare evincat Cometam in orbem redire, non in infinitum excurrere, tum ex
cognito hujus orbitae Axe majore, Cometae Periodicum Tempus innotescet: Est enim sper riopp. XL& XDI. Lib. I. Quadratum 1 poris Periodici Cometae ad Quadratum Temporis Periodici Gl- iuris circa Solem ut cubus majoris Axis Orbitae Cometicae ad cubum majoris Axis orbitae quam Tellus circa Solem describit, sive duplae mediocris distantiae Telluris a Sole. Quod si ex cognitis principalibus Lateribus rectis, v. g. trium Trajectoriarum in tribus planis ante plenam correctionem assumptis destriptarum, Q. primae, ν secundae & ε tertiae, Trajectoriae istius ultimae in accurate posito plano descriptae Latus rectum principale desideretur; poterit illud ex Regula Falsi ad normam superiorum inveniri: erit utique illud aequale R Φ vιν mR Φ nρ -n R. In vera enim & accurata Longitudine Nodi alterutrius superadditur ejus Longitudini in plano primo sper Prop. xxvIII. determinatae Lll 1 excessus Diuili oti by Cooste
467쪽
excessus assumptae Longitudinis in plano secundo supra praeceden tem ductus in m. & in Inclinatione plani Trajectoriae accurata superadditur Inclinationi plani primi per Prop. xxIx. determinatae)excessus assumptae in plano tortio supra Inclinationem praecedentem ductus in n. Cumque Trajectoria eiusque Latus rectum mutetur, cum ob mutatam Longitudinem Nodi tum ob mutatam Inclinationem plani ad planum Eclipticae, Lateri recto Trajectoriae in plano primo sive ipsi R superaddendus est mr-m R, st. excessus Lateris recti in plano secundo supra Latus rectum in plano primo ductus in m; & etiam superaddendus est nρ-nR, nempe excessus Lateris recti in plano tertio supra Latus rectum in primo ductus in n. Atque hoc modo conflabitur verum Latus rectum, st. R Φ mr m R ε ut nR. Nec ablimiliter corrigetur Latus transversum, si illud sit magnitudine definitum.
De Cometae Loco tam Heliocentrico quam Grecentrico in TO-jeclaria superius determinrita ad Tempus datum laetentem do ; deque Tabuhs ad Cometarum x otus expedite δε- iendos neces Is. P Ri posITIO XXXII. LEMMA.
Ex datae Parabo v p, cuius vertex v ct axis v R, foco s educere rectam s A, talem tit area Parabolica V R A s comprehensa iub rectis v s, s A O curva Parabolica ulla aequatis Ait dato rectis lineo, puta quadrato a recta B descripto; rectaeque s Aic eductae longitudinem O inclinationem ad axem v E calculo de ire. Ponatur factum, & per v ducatur recta v F ad vE normalis, sitquec punctum in hac, per quod ducta c A ad vE parallela Parabolae ocicurrit iis puncto A, tali ut juncta s A Ρroblemati satisfaciati Per a ad vE ducatur
normalis A Daxi in D occum renS. Voceturus distantia D. ci a vertice, f; eritque sui vul
468쪽
n, ut in fig. 1 ; vel f D sit inter v & s, ut in P, erit sD ';
angulum sub AD & Ds erit vel 'c proinde hu
jug dimidium, nempe triangulum ASD,ςrit af Et igitur spatium vRAs nempe in I casu aequale vRAD dempto triangulo As D, in et 'aequale vRAD aucto ABD) erit-- ῆγin I casu, & ' - - 1n & idco in omni casu va Asaequale - . Atque oportet hoc aequari ipsi b ideoque x b i 2 x. Et disposita aequatione, ut moris est, erita I 2f' x Φ ΣΦsse . Per vulgatam igitur Regulam Camdani valor ipsius x sive AD quantitatibus cognitis expressus eritricia et , - ψ i 6 Uc: i 2 D' - ψ i b P. Nota vero AD non latcbit V D; est nempe aequalis quadrato ipsius AD ad quadruplum cognitae us applicato. Data igitur est sper 3. Dat. composita ex D v & vs, cui recta SA aequaliS est per Corol. 2. Prop. xlv, & proinde dabitur & haec magnitudine: Sed & data est BA; datur ergo per I. Dato ratio inter s A & A D, hoc est, inter radium& sinum rectum anguli As D, quem SA cum aXe comprehendit. Imnotescit igitur angulus iste As D vel usa: & prius innotuit s Alongitudine. Q. E. F. E converso etiam in data Parabola invenietur area v R A s, quae faciat s A rectam aequalem datae rectae; hoc est, invenietur areae v RAsratio ad quadratum rectae VS, quae sectat s A in ratione data ad us
Superius exhibuimus methodum Calculi in Astronomicis ustatam ad determinandam magnitudinem & positionem rectae A s. Si constructio geometrica arrideat magis, illa facillime obtinebitur, aea quationem Cubicam superius inventam x Τ Φ I 'χ - 1 δ' m omethodo Geometrarum universali construendo per Parabolam propositam R v P & circulum. Vocetur propositae Ρarabolae latus rectum
ut aequatio proposita sit in Q a Scriptoribus usitata x Φqx-r o. Capiatur secum dum vulgo nota praecepta hujuste constructionis) vG - L in Parabolae axe, & GH m
& quidem retro verius verticem, quia est in f hoc est, in nostra Lli 3 aequa-
469쪽
aequatione GH -d sive s quo pacto punctum H in medio puncto inter v & s cadet: Nam quia v a in ἱ L, erit v s dupla ipsius us; & a
malis μ m; hoc est, in casu nostro --; hoc est, aequalis
g m, si ponatur m d, sive re ortae si, per Prop. XLv. H. I. rectilineum propositum applicetur ad Parabolae latus rectuma &ad illas recta v s partes ad quas ducenda est s A. Et circulus centrox per u descriptus dira Iam R v P secabit in puncto quaesito A, eri que AD, ad us normalis, ipsa x sue radix praecedentis aequationis. Haec constructio demonstratione non indiget, quippe constructio vulgata aequationis η θ' in o ex Problematis natura oriundae: Illam vero facillime instituere licet praemissae analyseos vestigia relegendo. Pari modo definietur magnitudo & positio resis Αs ex foco seducis, talis ut spatium Parabolicum QRΑs . comprehensum inter hanc & aliam rectam sae positione datam ab su diversam & curavam Parabolae interjectam sta A, sit dato rectilineo Bq aequale. Ducto enim s v axe ducenda erit recta S A, ita ut spatium v R A s sit aequale spatiorum B ρ & avs summae vel disserentiae, prout sv j eet ad easdem partes ipsius su ad quas ducere oportet s A, vel ad
contrarias. S c M o L I u M 2.
Positis duabus Parabolis quibuscunque u P& υ π, quarum soci s& o Verticesque u &υ, positisque areis vas, quadratis B &β descriptis respective aequalibus; si s fuerit ad us sicut ε aderunt AS, αι , VS, proportionale & anguli us Α, υσα aequales. Quoniam enim Parabolae omnes
sunt figurae similes, & soci verticesque puncta in illis simpiter posita;
cumque praeterea figurae v Α' υασsnt in duplicata ratione laterum homologorum us&υσ, nam hisce aequalas B dcερ sunt in duplicata ratione B ad β, hoc est sex hypothesi in duplicata ratione us ad uo; patet&hasce esse inter se similes, adeoque angulas VSA, aequales,& As esse ad sicut us ad ιν. Atque hinc positi su distanti Iverticis Parabolae ab eiusdem seco, numero quovis rotundo expressa, invenientur angulus vfΑ & longitudo redis SA, pro di-Versa ratione inter rectilineum H ρ cui usa ponitur aequale & quadratum ipsius v s. Et magnitudines rectarum As angulorumque v As in Tabulas dispositae cuivis Parabolae inserviunt, cum ut superius ostensum est) As recta eandem retineat in omni Parabola rationem & positionem ad us, eadem manente ratione inter B &VS. ΡRΟ-Diuitiam by Corale
470쪽
AD aerium Te in Cometae propositi Locum H Doentricum, quoad Longitudinem O Latitud2nem, O illius a Sole Diactantiam Invenire.
Sit'v Cometae Τrajectoria, per Prop. xxvI descripta & per Prop. XXXI. correcta, in cujus foco s collocatur Sol; sitque . punctum in ea quod Cometa occupat in aliqua earum Observationum ex quibus Τrajectoria definita fuit. Traiectoriae hujus sit axis v cujus positio nota est per Prop. xxx: Per eandem innotestat etiam Tempus quo Cometa Perihelium v tenet; sitque RU Linea Nod rum per Prop. Xxum. positione cognita. Si correcta Cometae Ga-jectoria avR deprehensa fuerit Parabolica, capiatur spatium quod sit ad spatium . vs sex Archimedis Suadratura Parabolae coges. tum) ut intervallum inter Tempus datum & supra InVentum momentum, quo Cometa Ρerihelium tenet, ad intervallum inter dictum momentum & observationem Cometae in O; Vocetur spatium hoc Bq. Ρer Prop. praec. ipsi B ponatur spatium Parabolicum v RAs aequale, & inveniatur tam positio quam magnitudo rectae S A respectu s v, cujus positio & maynitudo respectu Distantiae Aphelii
Terrae a Sole ex praecedentibus innotuit. Sin Cometae Trajectoria inventa fuerit Elliptica, ducatur sper
op. m, VI Vel VΠ. Lib. III. ut in
Planetarum orbibus factum) rectas A, talis ut area vRAs sit ad integram orbitae Cometicae aream ut intervallum inter Τempus datum &tenet, ad integrum Cometae Tempus Periodicum, ex noto orbis ejus axe majore cognitum; habebiturque recta sa tam positione quarta magnitudine. In utroque casu, ex A ad Lineam Nodorumn v ducatur normalis AN ipsi nU occurrens in N; ex eodem A ad Eclipticae planum demittatur perpendiculum huic in α occurrens; jungantur αN,αs; erit angulus AN α Inclinatio plani Trajectoriae ad planum Eclipticae, & proinde per Ρrop. XXIX. cognitus. Quoniam noti sunt anguli us A & vs N, notus erit horum summa vel disserentia Ns A angulus: In triangulo igitur sNΑ rectangulo ad Ndatis sex Prop praec.) latere s A in partibus mediocris Distantiae Τelluris a Sole expresso, & angulo Ns Α, nota erunt latera SN & NA. In triangulo Να A rectangulo ad a notis latere NA & angulo ANα, nempe per Ρ p. xxIx. inventa & per Prop. xxxI. correcta Imclinatio plani Trajectoriae Cometae ad planum Eclipticae,) innintestent reliqua latera N α & A α. Rursus, in triangulo s N α sin plano Eclipticae) praeter rectum ad N nota sunt latera sN& Nα; quare dantur latus sa & angulus Nsα: Sed sper Prop. xxv.) datur positio