장음표시 사용
61쪽
Τ est ad t sicut area sap ad aream sθρ; sive ut illius duplum s p , a D ad hujus duplum s pabd. Postia ergo, loco rationis ' ejus
er se' ad Uis igitur in s ad s tendens est reciproce ut Solidum sc. nascens vel evanescens. Quod erat demon
Unde, si detur figura quaevis, sui A PA) & in ea punctum s. ad quod Vis centripeta dirigitur; inveniri potest Lex Vis centripetae. qua
corpus a cursu rectilineo perpetuo retractum in figurae illius perti metro detinebitur, eamque revolvendo describet; modo Vis harecomponatur cum idonea Ui secundum figurae tangentem impressa. Quippe Lex quaesita est sper Prop. hanc XXXVII.) ut Vis sit reciproce ut nascens Solidum ex data figurae natura computandum. Hujus rei dabimus exemplum illustrius ab ipsa rerum natura petitum.
quota p, O huac per centrum c ducatur parasielia diameter I x; rectae s ri focorum alterutrum sui s) ct contactas punctum jungentis, portis Ap inter dictas parauetas interjecta, aequalis ect Elbi is semiaxi m ori C A. Per Dcum alterum s ducatur F H ad ν R parallela, ipfi s P occumrens in Il. Quoniam cper Prop. XLVIII Lib. 3. H. Conis. Amiam mi ) anguli F p Ζ, Η p R sunt aequales, & hisce alterni P F H, P H Paequantur; unde P Η aequalis P F. Rursus per IL El. 6. erit s E aequalis Ε Η, quia S c aequalis c F; cumques si sit disserentia rectarum P S, P H, erit eadem & disserentia ipsarum P s,p p ; & Ε Η semi-diiserentia earundem. Et igitur P R conflata nempe ex minore & semidisserentia) aequalis est semissiummae ipsarum P S, P P. Sed per Prop. LII. Lib. 3. H. Contob rectae SP, PF simul sumptae aequantur axi majori: Quare & semisumma ipsarum hoc est. ipsa Eri semiaxi majori e a aequalis est. Quod erat demonstrandum. PR D itigod by Corale
62쪽
RE Batur corpus in Ellipsi ; fuseritur Lex Vis centripeta: Iendentis ad Focum Euh is.
Sit Ellipsis A P M, cujus perimeter a corpore re luctato describitur; hujus focus sive umbilicus alter s, ad quem dirigitur Vis qua corpus a motu rectilineo retractum in Orbita Elliptica retinetur: Quaeritur hujus Lex. Ducantur Ellipsis axes conjugati TA, GY, in centro c se invicem decussantes. Et per quodlibet in ejus perimetro punctum ν ducantur recta pZ Ellipsin contingens, & diameter PM, & huic conjugata 1 cx ad PE parallela, ad quam ex P demittatur normalis p N. Compleatur parallelograminum P cIH. rectaque I HEllipsin continget per XVII. Lib. I. Couis. Jungatur s p secans I K in E. Per B ips p proxi-nitivi ducantur BR ad ps, & as
tiam cst computandum. In T ' S M l
Rectam Principale, sive ad axem majorem T A pertinen vocetur L. Ratio ipsius M L BR ad B Dq componitur L
praeced. P E aequalis A c: Ergo ratio ipsius L. BR ad Lxpo aequalis est rationi Ac ad p c. Porro, ratio G so ad Mo,po est eadem cum ratione L ad Mo. Et ratio ipsus Mo,po, sive M op rectam
guli, ad Boy cadem est per XXI. Lib. I. Conis. in cum ratione rectanguli Mc p hoc est c p q) ad Ic q. Et, in casu praesenti, ration og ad Bxq est ratio aequalitatis; nam, coeunte puncto B cum P, Bo fit ipsi B x aequali S. Denique, ratio axq ad BDq aequalis est rationi p E q ad PNy Triangula enim BDx, pN E sunt aequiangula, ob angulos ad D& N rectos; & ax D, pD N alternos in duabus parallelis a x, E N itidem aequales. Et P E g est aequale e A q, quia ipsae reine per praeced ) aequantur: Ergo natio axq ad B of eadem est cum ratione c) q ad pNq. Porro, sper Pro . LXXII. Dis. φ. Gregorii a SVincensiol) rectangulum sub G c & c A aequale est parallelogrammo FcIHς hoc est, rectangulo sub t e & p N Quare sper Di iii od by Cooste
63쪽
ui 1cq ad G cq: Et igitur ratio BXq ad BDq eadem est cum ratione I cq ad G cf. Quoniam igitur ratio ipsius L, BR ad BDqcom
ad Bog, Boq ad B XL &BXq ad BDq; componitur etiam ex rationibus hisce respective aequalibus; nimirum ex rationibus A c ad PC, L UMO, CP f ad Ic λ
aequalis erit rationi Acu Lupcq ad P c, Mo xacq: Sed per Prop. m. Lb. I. Conac)AcκLm 2Geq. Posito ergo hoc illius loco, erit ratio L. BR ad BDq aequalis rationi 2Gcq κ Pcq ad P cxM κGc , hoc est, rationi 2 p cad Mo: Atqui in casu praesenti, cum punctum a est
ipsi p proximum) punctumo minime distat a P puncto; hoc est, Mo aequatur 2 pc; & igitur, in hoc casu, Lx BR aequatur BD q. Quoniam ergo, in Ellipsi, BDq i L BR, erit - -Τg CUm) s pqkL: mic ergo Solido Vis centripeta est reciproce proportionalis; & L cst recta constans & invariata. Ergo Vis centripetae ad Ellipta umbilicum tendentis, qua corpus a cursirectilineo perpetuo retractum in figurae istius perimetro detinetur, eumque revolvendo describit,in ea est Lex, ut sit Quadrato distantiae loci P a centro s reciproce proportionalis. Quod erat inveniendum.
Si Ellipsis socus s. ad quem Vis tendit, una cum vertice proximo T maneat; alter vero F, ad hunc appropinquando, tandem cum illo coincidat: Corpus P, eodem modo quo prius in perimetro Ellipsis, nunc in Circuli perimetro detinebitur am centripeta ad s tendente, & eadem qua prius lege urgente. Et sicut Circulus potest a corpore destribi, urgente Vi qualibet centripeta tendente ad pumetum situm extra rectam secundum quam sola Vi insita moveretur, sut Hop. XXIX. dictum:) ita Recha describetur a corpore quod urgetur a Ut nulla tendente ad punctum extra dictam Rectam situm: Nam, si manente utroque Ellipsis vertice foci ad illos accedant, Ellipsis in Rectam mutabitur. Ad reliquas omnes Lineas, praeter Rectam &Circularem, describendas, particulari opus est Lege Vis centripetae.
64쪽
. fossissipstasicus s. ad quem ceu centrum Vis dirigitur, una cum Vertice proximo T maneat, alter vero secusF m gis magisque elom getur, & tandem in infinitum abeat ; stili lcorpus p eodem modo quo prius in peri- - tussi Gl l tametro figurae T p detinebitur a Vi centri-. DO J ni mPeta ad s tendente, cujus Cadem est quae I suis; 1 noI prius Lex. Atqui in hoc casii Ellipsis mu- Tl l' 11 'DHrra' mi':ύtatur in Parabolam: Et igitur Lex Uis Gob Eu Irii. 8 inulo lcentripetae tendentis ad umbilicum Hra- Illi is mbolae, qua corpus in hujus figurae perime-- M ltro detinetur, ea est, ut fit Quadrato distan- lillat rites Z Uz- luesiabiumbili inureciNoeulproportionatis ta m2biiq
ge Vis centrii tae agitatum qui, si i ,Π M, nempe ut Vis illa eugeatur 'sui , i . Ninratione qua uidratumdistantiae 1 al: a centro diminuit δε in perimetro hutin Hyperbolae moveri perget COROLLARIUM Quod si Ellipsis superioris maneant lacus P, eique proximus rex A, dum interim 1 cua allier si ad quem Vis dirigitur, magis magisque elongatus, tandem in infinitum abeat, thoe est, si Ellipsis vertatur in Parabolam;) Vis centripeta, ' D:: .i ρ quae dirigitur ad punctitui s infinito di- : ' ἰνstans, sive secundum rectas Parabolae axi Nn F starallelas, quaque urgetur corpus in Q i perimetro motum, evadet aequabilis: Nam i l distantiae 1 centro infinito dissito, quarum s F jintnrvalla sunt finita, aequales sunt. Adem que Vis, quae est reciproce ut Quadratum 1 illius distantiae, aequabilis est. Et . com . , t verso, corpus quod urgetur a Vi aequabili l , tendente ad centrum infinite dissitum, quaeque proinde dirigitur secundum rectas datae cuidam parallelas, motu suo describet Ρarabolam, cuius axis praedictae rectae parallelus est. Atque hoc est emlabre Galilaei Τheorema de Projecti semita. G CORO
65쪽
COROLLARI seras Reliquis ut in Corollario praecedendi manentibus, fi socus s
tiam abeat plusquam in- lfinitam, ut in Corol. 3. t
bitur in perimetro figu- ' . o rae fic mutatae, per Vim quae secundum rectas sp t , quidem dirigitur, & quae Quadrato distantiae loci a centro s est reciproce proportionaliν; sed quae respectu puncti s est centrifuga, quia Curva Ap est verius illud convexa. Si eut Ellipsis describitur a corpore quod urgetur a Vi ad icorum alterutrum quia internum) tendente, & secundum legem Propositionis praecedentis agente; & Hyperbola, dum Vis centripeta ejusdem Legis ad secum internum tendit, vel dum dicta Vis centripeta mutatur in centrifugam tendentem a seco exteriore: Ita Ρara-hola, inter sectiones dictas quasi intermedia, naturam utriusque etiam hic participat; destribiturque urgente Vi centripeta ejussiem Legis ad secum internum tendente, ut in utraque praecedentium,in& etiam urgente Vi centripeta ad focum alterum, vel centrifuga ab illo altero tendente, sad morem Ellipsis & Hyperbolae respective; prout nimirum inus iste alter ad partes Curvae cavas vel convexas positus censetur: Potest namque utrolibet modo considerari, cum sit infinite dissitus
Ex hac Propositione cum suis Corollariis sequitur, quod si corpus quodvis secundum lineam quamvis rectam PR quacunque cum Velocitate exeat de loco quolibet ν, & smul urgeatur a Ui centripeta, quae sit reciproce proportionalis Quadrato distantiae loci a centro S, extra praedictam rectam sto; movebitur hoc corpus in aliqua Sestionum conicarum, umbilicum habente in centro ad quod Uis tenditi Nam in nullam Lineam praeter Rectam & coni Sectiones poterit sper motum alterutrius soci in axe eove producto) praec dentis Propositionis Ellipsis mutari Et Sectionis hujus latus rectum principale ad axem mmorem pertinens) sive L, ex ipsius Propos tionis demonstratione inqua ostensum est Lxa in BDqὶ est tertia proportionalis ipsis BR&ED nascentibus. PRO-
66쪽
SI corpora plura revolvanIur circa centrum commune, eo Hiscentripeta ηit reciproce ut Suadratum dictantiae ra centro ; dico quod Suadrata Temporum periodicorum in Elsasibus sunt ut Cubi transversorum axium. Sint dine quaevis Orbitae A PT, api circa communem secum is, in quibus superior constructio manere supponatur. Harum latera recta, sive L & per Corol. 6. Ρropositionis pωcedentis,) aequantur si respective; coeuntibus nempe B & p, item Θερρ. Sed R a est ad ν δ cum simul generentur) ut Vis centripeta in P ad Vim centripetam in ρ; hoc est, ex hypothes, ut spo ad sp a: Et igitur L . I::
bdρα sp q. Et BD, sp est ad bd, sp ut ipsorum semisses; hoc est, ut areae a corporibus p&ρ simul de
sunt ut Quadrata arcarum quaS corpora, radiis ad commune centrum S dinctis, eodem tempore describunt: hoc est, dictae areae simul descrip sunt in subduplicata ratione laterum rectorum. Cumque integrae Ellipsum areae uni ut harum particulae simul desicriptae, ductae in respectiva tempora periodica ', erunt areae illae integrae inter se in ratione composita ex ratione subduplicata laterum rectorum, & ratione temporum periodicorum. Porro, per Prop. cxcI. Lib. 4. Gregorii a SVincentio, in Ellipsis ΑGΤY est ad agis ut AΥκGY adat κ . Adeoque etiam rectangula sub axibus Ellipsium sunt in ratione composita ex ratione subduplicata laterum rectorum, & ratione temporum periodicorum; hoc est, ut L ε . tempus periodicum in a P T ad is x tempus periodicum in api. λrro, ex natura Ellipsis, GY cst media geometrica inter L & ΛΥ, & gy inter & at; sive
gr uat: :ὶ L εα tempus periodicum in A p T . I ου tempus periodicum in a p t. Applicando ergo antecedentes ad L 3,& coinquentes ad I ,& quadrando terminos inde resultantes, fiet AT Cubus ad at Cu-bum ut Quadratum Temporis periodici in Ellipsi A PT ad Quadratum Temporis periodici in Ellipsi apt. Quod erat demonstrandum.
Quoniam Circulus in Ellipsis species; nempe ubi secus uterque G α cum Diuili co by Corale
67쪽
cum centro coincidit, & axis maior aequalis cuivis diametro; patet Quadrata Temporum periodicorum corporum in Ellipsi & Circulo circa idem centrum revolventium esse ut Cubos transversorum axium: Adeoque si axes illorumque Quadrata fuerint aequalia, mporum periodicorum Cubi, ipsique proinde Tempora periodica, aequabuntur: hoc est, cum idem est centrum Virium, Tempora puriodica in Ellipsibus eadem erunt atque in Circulis, quorum diametri aequantur majoribus axibus Ellipsium.
Ex demonstratione Propositionis patet, quod Orbium quorumcunque a corporibus circa commune centrum revolutis, & a Vicentripeta, quae est reciproce in duplicata ratione distantiae a centro, agitatis, descriptorum latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore describunt: Hoc enim ostensum est universaliter de quibusvis Orbibus,
sive Ellipticis, sive Parabolicis, sive Hyperbolicis, antequam ad Ellipses ratiocinatio est restricta; in quibus solis Tempus periodicum
circa commune centrum revolventium, Helocitates in quibus viis punctis sunt inter se in ratione composita ex ratione subduplicata laterum rectorum Principalium. pertinentium ad Lineas quas describunt, O ratione inversa perpendiculorum a c&mmuni centro demissorum in rectas tangentes ad puncta ubi versantur corpora. Revolvantur corpora P & p circa commune centrum s in Lineis quibusvis PB, b. Quoniam corpora, ex hypothesi, urgentur a Vicem tripeta, quadrato distantiae loci a centro reciproce proportionali erunt sper Corol. 6. Hop. xxxIx.) Lineae me Sectiones coni, quarum secus est s. Vocentur illarum latera recta principalia L &LAb s demittantur SN, Sunormales in rectas P p r in P dcρ tangentes. Dico velo. citatem corporis p esse ad velocitatem corporis p in ratione composita ex ratione Laad I, , & ratione s n ad S N; sive ut L, kS n ad IsκS N. Sumantur arcus p B, p δ e dem minimo tempore destripti; & per a ducatur B Xad R P parallela, & B D ad s pnormalis ; simileque fiat ad b. arcus P λ ρb; quippe viae simul percursie: hoc est, ut hisce aequa-
68쪽
Lib. I. & GEOMETRICAE ELEMENTA. sy
les PR, p r redis. Porro, ob triangula rectangula BDR s Nil habentia angulos B XD, SPN aequales propter parallela S B Np; est s N. sp:: BD. Ex; dc ideo B x vel huic aequalis pRα Et, propter similis rationes, ρ r- --. Sed sp . BD, sp, b d sunt inter se ut eorum semisses, nempe trilinea spM Sρδ; hoc est,sicut areae ii corporibus p 8ep simul descriptae, quae rursus ex Cor. 2. Prop. praec.) sunt in subduplicata ratione laterum rectorum L &I; sive sicut i .: ad Il. Et igitur pR est adpr, sive Velocitas corporis in P ad Velocitatem cor-
poris in ρ sicut s n. lixsN: hoc est, in ratione composita ex ratione subduplicata laterum rectorum ad figuras pll, p, pertinentium, & ratione inversa perpendiculorum a centro virium s in tangentes demissorum. Quod erat demonstrandum.
Hinc Velocitates corporum, in maximis & minimis ab umbilico communi, circa quem gyrantur, distantiis, sunt in ratione composita ex subduplicata ratione latcrum rectorum, & ratione inversa distan. tiarum a dicto communi umbilico. Nam, in maxima vel minima distantia ab umbilico, perpendicularis in tangentem est ipsa distantia. Si distantiae hae ii centro fuerint aequales, Velocitates, in isto temporis articulo, erunt in subduplicata ratione laterum rectorum; altera ista distantiarum inversa in rationem aequalitatis mutata. Et si figurarum altera sit Circulus, erit Velocitas in Sectione conica, in maxima vel minima ab umbilico distantia, ad velocitatem in Circulo in subduplicata ratione lateris recti sectionis ad distantiam duplicatam.
In eadem figura, & etiam diveriis, quarum latera recta sunt sequalia, Velocitas corporis est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico, sive virium centro, ad tangentem: Nam subduplicata ratio laterum rectorum est in hoc casu ratio aequalitatis. Adeoque Velocitates corporis in Ellipsi gyrantis, in maxima & minima ab umbilico distantia, sunt inverse ut distantiae. Nam, in hoc casu, distan tiae sunt ipsa perpendicula in tangentes Orbinam.
Motus apparentes corporis in orbitae verticibus principalibus A & P, e centro virium s spectati, sunt in reciproca dupli.
cata ratione distantiarum s A, s P. Sumanatur enim ad vertices A & parcus minimi Α ο, P p, a corpore circa S revoluto aequalibus temporibus minimis descripti; &jungantur S a, Sp. Erunt corporis motus CX S apparentes, anguli AS a, Ps p. Angulorum A S a, P sp ratio componitur ex ra-
69쪽
tione Α a ad pρ cum arcus hi minime disterant ab arcubus circu laribus centro s descriptis & ratione sp ad sh; nempe inversa radiorum. Sed quoniam Α a, Pp aequalibus temporibus describuntur, erunt illi ut Velocitates in A & p; quae sper praeced. Corol ) sunt ut fp ad 5 A. Et igitur As a est ad PS p ut fpq ad SA q.
Et hinc rursus sequitur, si orbita ad Circulum proxime accedat, este motus corporis apparenita ex centro s spectatos in ratione reciproca duplicata distantiarum ab eodem quam proxime. Nam, in isto casu, rectae ab s in orbitam cadentes sunt omnes proxime ad O bitam perpendiculares.
Ex Corollario χ. sequitur quod si corpus, in quavis Sectione conica A D p ut dictum est) motum, Velocitate quam habet in quovis ejus puncto P, relicta curva, progrederetur uniformiter in recta p ucurvam in P tangente; area S p cu quam radio ad s ducto describeret, aequalis esset areae s A D, quam seodem vel aequali tempore) in Sectione conica retentum describitidem vel aliud corpus. Sumantur lineolae A a, P R, eodem minimo tempore a duobus mobilibus descriptae; & a Sectionis umbilicos ad tangentes AH & pQ demittantur perpendiculares s H, SN. Per Corollarium et, Velocitas in A est ad Velocitatem in p ut s N ad SH : Sed ut Velocitates in a & p, ita spatia eodem tempore a mobilibus percursa ; nempe A a & ΡR. Et igitur A a cst ad pst sicut s N ads Η. Unde triangulum s A a triangulo s p R est aequale. Cumque istud ubique obtineat in triangulis minimis trilinea S AD & spuconstituentibus, & porro spatia s A D, s PQ ex aequalibus numero triangulis conflentur, quia aequalia insumuntur tempora in Percurrendis lineis A D & P α; patet triangulum S P aequale esse areae SAD.
ΡLanetae primarii ct Cometae hac lege circa Solem movemur, ut motus cujuslibet ex illis componatur ex aequabili secundum rectam tangentem Orbitam, O altero ad Solis centrum tendente, in quo Vis accelerat, est quadrato distantiae a dicto centro reciproce proportionalis. Quilibet e Planetis primariis sper Prop. MII.) urgetur a Vi tendente ad Solis centrum, & sper xx Iv.) describit perimetrum Ellipsis, cujus umbilicus est Sol; quae de Cometarum quolibet sper Propositiones Disiti Cooste
70쪽
. Lib. I. & GEOMETRICAE ELEMENTA. sypositiones riv.& XXxv.) etiam Vera myt; vel fallein Cometa quivis, dum urgetur a Ui tendente ad Solem, aliam quandam eodem socogaudentem coni Sectionem describit. Et igitur per Prop. xxxIx. ejusque Corollaria horum quilibet urgetur a Vi aequabili secundum rectam tangentem Orbitam impressa, & ab alia, qua a dicta tangente retrahitur & in Orbita curvilinea retinetur, quae ad Solissentrum in sectionis umbilico positum tendit, & est quadrato distantiae ab illo reciproce proportionalis. Quod erat demonstrandum. Concipiendi igitur sunt Planetae primarii & Cometae quasi totidem Projecta, quae nempe a duabus Viribus urgentur: Nam hoc modo, eoque solo orbitas describunt, quales observata produnt. Et Vis, quae Projectilia haec ab motibus rectilineis retrahunt, haec est Lex, ut augeatur prout minuitur quadratum distantiae projecti Ρlanetae vel Cometae a centro Solis: quam esse legem qua Planetae ad Solem tendunt, etiam aliunde quam ex figura semitae, Prop. xxVIII.
PROPOSITIO XLIII. O nium Planetariorum Nodi O Apsides quiescunt.
Quoniam per Prop. xI. Planeta quilibet in plano immoto revolvitur , binorum quorumvis planorum communis sectio etiam im mota manet: Sed cujuslibet intersectio cum plano Orbis Telluris
est Linea Nodorum istius Planetae. Istius igitur, similiterque omnium, Nodi quiestum. Porro, Planeta quilibet destribit, in plano immoto, Ellipsin perpetuo eandem sive immotam, sper Prop. xxxiv. & proinde ejus Apsides etiam quiescunt. Quod erat demonstrandum.
Cum stellae Fixae cujusvis simile sit ossicium squantum hominibus conjicere datur) atque ipsius Solis; nempe ut circa illius corpus
immensum alia minora corpora tanquam manetae circumrotentur;
similes erunt & affectiones aliae: nimirum illarum, sicut & nostri Solis, nullus aut insensibilis erit motus; quod ex earum constanti& perpetuo eadem distantia mutua ulterius liquen Unde idem erit situs Nodorum Apsidumque Orbium manetariorum ad Fixas.
riopositio haec vera est, si spectetur sola Vis centripeta Planetarum in Solem, ut hucusque factum: Verum si considerentur actiones Planetarum & Cometarum in se mutuo, paulo secus res se habere deprehenditur; ut suo loco manifestum net. At actionum istarum effectias propter virium producentium parvitatem exigui admodum, & quasi nulli sunt; ideoque hoc loco negligendi. Immo tam parvi sunt motus Nodorum & Apsidum manetarum primari O-rum, ut etiam in calculo Astronomico a magni nominis Viris penitus