Astronomiae physicae & geometricae elementa. Auctore Davide Gregorio m.d. ..

81쪽

SI corpora duo s ct ri viri ου quadrato dictantiae sitae reciproce

proportionalibus, se mutuo trahentia retolvantur circa gravi. tatis centrum commune; dico quod mi is, quam corpuου asteru-rrum p hoc motu circa alterum s defribit, simodo Prop. L. descriptoda vis maior erit ad axem majorem Aia sis, quam corpus idem p circa alterum s quiescens, ut Prop. LI. J eodem tempore periodico

describere pset, in subtri sicata ratione sumn De corporum s O pad corpus quiescem S. Si Ellipses, circa mobile & quietans s, a corpore p destrinae krent aequales, tempora periodica in histe per Prop. LI. & LIII. in essent in subduplicata ratione corporis S ad aggregatum corporum s & p. Mutari intelligatur haec ultima Ellipsis, donec corporis p hanc circa quiestens s describentis) periodicum tempus aequale fiat tempori periodico corporis P circa mobile s revolventis; sui in hac Ρropositione supponimus; hoc est, donec tempus periodicum in illa diminutum sit in dicta subduplicata ratione corporis s ad summam comporum s & p. Quoniam vero, sper Prop. XL.ὶ in casu praesenti, quadrata temporum periodicorum sunt ut Cubi transverserum axium, ipsa periodica tempora erunt in dictorum majorum axium ratione

sesquiplicata. Axis igitur maior posterioris Ellipsis minutus est in ratione, cujus sesquiplicata est subduplicata ratio s ad s in P; hoc est, in ratione subtriplicata s ad sΦΡ: Mamὲ de ἐπέ:) Et proinde est ad

invariatum Ellipsis alterius, circa mobile corpus s destriptae, aram huic antequam diminueretur aequalem) in ratione subtriplicatas ad s Φ p. Et igitur invcrst, axis major Ellipsis, circa corpus s mobile de iptae, est ad axem maiorem Ellipsis, eodem vel aequali tempore destriptae circa quiestens s, in subtriplicata ratione summae corporum s - p ad corpus quiestens s. Quod erat demonstrandum.

Μ Mente eadem attractionis lege, dico corporis p Orbitam papropius accedere ad ipsem, cujus iocus e Ic commune cem trum gramitatis corporum so M, quam ad Elli is, cujus focus esIcentrum ipsus s; , quod areae radiis ad c ductis descriptae sunt' temporisus magis proportionales, quam areae radiis ad centrum Usitis s ductis descriptae. Nam corporis P attractiones versus s & M componunt ipsius ab tractionem avitutam, quae magis dirigitur versus c commune illorum gravitatis centrum, quam verius ipsum maximum S; quaeque quadrato distantiae pc magis est proportionalis reciproce, quam quadrato distantiae p s: Nam ultimum hoc tum tandem praecise Otatineret, si nullum prorsus esset M ; & haec eadem vera essent de M,

82쪽

si illud cresceret, donec immensiam excederet s. Quare constat vires sin casu praesenti) in punctum aliquod inter g & M intermedium & maia rjori propius dirigi, quale est commune illorum centrum gravitatis c ; quod etiam punctum illud est, ubi gravium circumcirca positorum vires quaelibet Physicae uniuntur di concentran- tur: ibi enim jure censetur ex gravibus Pluri- MIe. bus aggregatum, ubi est illorum commune cen- xtrum gravitatis; ut Philosophis notum cst. Con- stat igitur propositum. Quod erat demonstrandum.

interiorum s O M commune gravitat y centrum c, radiis ad centa irum illud ductis, describere areas temporibus magis proponionales , ct orbem ad fomam Fiat is umbilicum in centro eodem habentis magis accedensem, si corpus imimum ct maximum s his attractionibus, pertude atque caetera, agitetur, quam Π ves non attractum quiescat, vel musto magis via multo minus attractum aut multo magis aut multo mistis agitetur. Ex praecedente liquet centrum, ad quod corpus exterius P urge tur, proximum Esse centro gravitatis interiorum s & M. Si coinci deret centrum illud cum hoc centro communi, & quiesteret commune gravitatis centrum trium S, M dc P ; destriberet P ex una parte,& ipsi tun s & M commune centrum ex altera, Ellipses accuratas circa commune trium centrum gravitatis quiescens tanquam umbilicum communem, per Corol. 1. Prop. D. Et proinde minima

erit dicti sin Ellipsibus) motos perturbatio, ubi praedictum commune centrum gravitatis trium S, M & p quiescit: Quiescit vero illud, si

corpus S perinde atque caetera agitetur , ut superius dictum est. Et igitur minima erit perturbatio, ubi s lege Geterorum attrahitur. Quod erat demonstrandum.

Eodem modo, si corpora plura minora reVolvantur circa maximum, colligere licet quod Orbitae descriptae propius accedent ad Ellipticas, & arearum descriptiones fiunt magis aequabiles, si compora omnia viribus acceleratricibus, quae sunt ut eorum massie directe & quadrata distantiarum inverse, so mutuo trahant, nam hoc est agitari perinde atque caetera, posita lege attractionum, quae in Propositione ponitur;) & orbitae cujusque umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium interiorum, quam si corpus maximum quiescat, & statuatur communis umbilicus in

hilarum omnium. i

83쪽

Corpora plura, quorum vires acceleratriceI ad se mutuo sum in- u verse in duplicara ratione in antiarum ab eorundem centris,

moveri possunt in Ellipsibus circa magnum, ct radiis ad ilAd ductis

areas describere temporibus proportionales quamproxime. Supponantur corpora plura minora P, p, π circa magnum aliquod srevolvi: & quoniam omnium commune centrum gravitatis, ab actionibus corporum horum in se mutuo, non mutat statum suum in

tus vel quietis; sui superius explicatum,) & illa ab omni externa agitatione aut impedimento immunia supponimus ', quiescere poterit illud centrum. Si jam ponamus corpora minora P, p, π tam pama esse respectu , magni s, ut hoc nunquam distet sensibiliter j, o I a dicto communi gravitatis centro, tum magnum illud s quiescet quamproxime; minora autem revolventur circa hoc magnum

in ElIipsibus, in quorum umbilico communi magnum istud locatur: atque ideo, radiis ad illud ductis describent areas temporibus prinportionales; nisi quatenus orores inducuntur, vel per aberrationem maximi a communi isto gravitatis centro, vel per attractiones minorum corporum ad se mutuo. Diminui autem possimi corpora minora, donec aberratio ista & attractiones mutuae sint datis quibusvis minores. Et igitur corpora plura moveri possimi circa magnum in Ellipsibus, & radi is ad illius centrum ductis areas describere temporibus proportionales. ita ut errores commissi squominus 2. ista exacte fiant, in sint datis quibusvis minores; hoc est, quamproxime. Quod erat demonstrandum.

deseribis Elgi m. cuius umbilicus ect commune centrum gravitatis Solis O ium Planetae. Ex actione vero Planetartim primari rum in se mutuo, cujusque Orbita in quamproxime Ellipses, cujus umbilicus in commune centrum gravitatis Solis omniumque Planetarum se inferiorum. Si Planetae primarii graves essent in Solem; non autem Sol in Planetas, Planeta quisque describeret Ellipsin circa immotum Solis centrum, ceu umbilicum descriptam; ut Ρrop. Xin. ostensum est. Et, si Planetarum massae prorsus essent insensibiles respectu massae Solis, idem obtineret quamproxime, per praecedentem: &hunc esse fere camin systematis Solaris liquet ex Prop. XxXIV. Quoniam vero per Corol. Prop. X TI.) non tantum Sol gravis est in Ρlanetam, sed etiam Planeta in Solem, & porro Ρl neta non est massae prorsus minimae respectu Solis; Planeta quivis per Corol. 2. Prop. LI.ὶ describit

84쪽

Lib. I. & GEOMETR ICAE, ELEMENTA. 69bit Ellipsin, cujus umbilicus est commune centrum gravitatis Solis& dicti Planetae: & per Prop. LIv. major huyus Ellipsis axis excedit axem majorem Ellipsis, quam Planeta circa immotum Solem eodein vel pari tempore describerct, in subtriplicata ratione summae mallarum Solis & Ρlanetae ad massam Solis. Porro, quoniam sper praedictum Corol. Prop. XLvII.) Planeta etiam graves sunt in se mutuo, & Sol iisdem attractionibus agitatur quibus Planetae; Mercurius sper Prop. I.. quamproxime describet Ellipsin umbilicum in centro Solis habentem; Venus Ellipsin, cujus secus est in communi centro gravitatis Solis & Mercurii: &ita porro, quisque Primarius describet Ellipsin, cujus secus est in communi centro gravitatis Solis & omnium se inseriorum. Atque

hoc modo actiones Ρlanetarum primariorum in se mutuo conside rantur, & ad normam reducuntur.

De Motu Systematis corporum circa corpus aliud re Aentis; quae omnia ad fsi a Solis, es Planetarum stramariorumo' secundariorum applicantur. PROPOSITIO LIX.

STRematis gravium duorum ves plurium circa se mu:uo revolven tium in Ellipsibus, commune centrum gravitatis moveri potessis mi i, aut alia Sectione coni, circa aliud maximtim in UZipsis iambitico RHIum, radiis ad umbilicum ductis, areas describrre

temporibus proportionales quam sex s. Ponamus Systema corporum duorum circum se mutuo ut in Cor. 1. Prop. II. revolventium, aliudve corporum minorum L, I λ, moedo Prop LviI. destripto circa magnum P revolventium Sustema progredi uni riniter in directum, quod fieri poste palam est; hoc est, eius centrum graVitatis commune progredi secundum rectam putap st;) & interea vi corporis alterius maximi, &ad magnam distantiam positi sputa sin urgeri

ad latus. & a recta pR retrahi & in curvam pH cogi. Et quoniam aequales Vires acceleratrices secundum rectas parallelas inapresse non mutant situm corporum ad se invicem; sed ut Systema totum, servatis partium motibus inter se, simul transseratur, effciunt: mani sestum est quod, ex attractionibus in corpus maximum s nulla prorsus orietur mutatio molsis attractorum inter se, nisi ex attractionum acceleratricium inaequalitate, vel ex inclinatione linearum ad se invicem, secundum quas attractiones fiunt. Augeri vero potest corporis maximi

I a distantia,

85쪽

distantia, donec rectarum ab illo ad corpora Systematis moti nempe magnum P,& minora L, I, λ) ductarum differentiae, respectu ipsarum ductarum, & inclinationes ad se invicem, minores sunt quam data

quaevis. Cumque attractiones omnes acceleratricta versus s. ex hypothesi gravitatis, sint reciproce ut quadratii distantiarum; hae sinhoc casu) disserunt a viribus aequalibus, disterentia minore qualibet

data: & ideo perseverabunt motus partium Sustematis p cum suis L, c λ, inter se eodem tenore quo prius, antequam maximum s Systema istud attraheret; saltem errores erunt quibuslibet datis mi nores; totumque Systema ad modum corporis unius atl radium,

sui centro gravitatis. in quo totum Systema gravium P &L. λ, ut in aliis casibus phylicis, unitum & contractum intelligitur;) describet Sectionem conicam, cujus umbilicus cst s; & radio ad maximum illud ducto areas destribet temporibus proportionales: I t errores qui adhuc supersunt, per auctam corporis S distantiam, possisnt pro libitu minui. Moveri ergo potest centrum gravitatis Si stematis corporum p&L, έ λ in Ellipsi quamproxime. Q. E D.

COROLLARIUM I.

Cum Systema corporum duorum circum se mutuo revolventium, vel corporis magni cum minoribus revolventibus. circa maximum

movetur; eo magis turbabitur motus partium Systematis inter se, quo propius accedit corpus maximum ad dictum Systema: propterea quod linearum a corpore maximo ad partes istas ductarum major est inclinatio, majorque rationis inaequalitas; &, uno Verbo, quia magis receditur a cassi ubi perturbatio est nulla; nempe quando corpus s infinite distat.

Unde e contrario, si Systematis corporis P& minorum revolventium L, I, λ partes in Ellipsibus vel Circulis sine perturbatione in ligni

moveantur; manifestum est, quod caedem a viribus acceleratricibus, ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur nisi levissime, aut urgentur aequaliter, & secundum rectas parallelas quamproxime.

SIcorpus minud L circa magnum Τ reto atur, sui in Corol. 1. Prop. LI.) ct horum S ema revolvatur circa maximum s. stit inpraecedente,)-in tribus isse corporibus, attractiones acceleratrices δῖnorum quorumcunque in tertium sint inter se reciproce ut quadrata distantiarum ab eodem; propostum set generatim ostendere Errores a corpore L commisos, Borumque causas ct rationes ; nempe qum minus corpus Ita, radio ad r ducto, areas describat temporibus p portionales exacte, O percurrat perimetrum Elli is, cu7us focus alter T. Quoniam corpus L nunc magis nunc minus distat a corpore s, sits x ejus mediocris distantia; quae etiam exponat attractionem accoleratricem corporis L versus f in ista media distantia Assumatur ad Disiti Cooste

86쪽

Lib. I. & GEOMETRICAE ELEMENTA. 7 Iad libitum L locus corporis minimi in sua orbita se GD : sumaturque in s L, eave producta, recta S a talis, ut haec sit ad fg in dupli

cata ratione ipsius S K ad SL, quae proinde exponet attractionem acceleratricem corporis L veriuS dum in puncto assumpto L versatur; quia, ex hypothesi, vis acceleratrix in L est ad vim accelera tricem in x in duplicata ratione ipsius sK ad SL; hoc est, sper constructionem,) ut s A ad SK. Jungatur T L, & per A huic parallela duacatur A M, rectae S T occurrens in M.

Corporis in L Vectus s attracti O s A restivitur sui notum est) in attractiones Α M, M s. Quare corpus L urgebitur vi acceleratrice triplici : una tendente ad ri & oriunda a mutua attractione corporum I. & T ; hac vi sola, corpus radio L T ad centrum corporis T ducto, describeret areas temporibus proportionales, & percurreret Ellipta, cujus umbilicus alter est in dicto centro. Vis altera, qua L urgetur, exponitur per A M, estque ejus directioni A M parallela; quae, quoniam tendit ab L ad Π adjuncta vi priori unam cum illa conficiet, qua fiet, ut areae radio ad T ducto etiamnum temporibus proportionales describantur, per Corol. I. Prop. LL At quoniam Vis haec ut A Mnon est quadrato distantiae L T reciproce proportionalis, Vis compo

sita ex illa & priori talis non erit; sed ab hac proportione abludet, idque eo magis caeteris paribus) quo major est vis haec nova per

A M repraesentata, quae priori superadditur. Proinde corpus L quod a composita hac vi urgetur, non describet perimetrum Ellipsis, cujus secus est T : ad hoc enim requiritur vis ad T tendens, quae fit quadrato distantiae ab illo reciproce proportionalis, per Proe. xxvx.ὶ sed faciet ut orbis LG B aberret ab Ellipsi, cui umbilicus T ; idque m magis quo magis aberrat vis haec composita, qua L urgetur,) a vi quadrato distantiae a T reciproce proportionali; id est, sui hactenus ostensum, quo major est. caeteris paribus, vis superaddita quam resert a M, respectu vis primae qua L ii T attrahitur. Rursus vis tertia qua urgetur corpus L, quam exponit recta Ms, secundum

hujus dirinionem; nempe .undum L p ad πι parallelam) agens,

' viribus

87쪽

viribus prioribus superaddita componet vim quae non dirigitur ab Lversus T; sed secundum rectam inde versus P declinantem magis aut minus, pro ratione tertiae hujus vis ad summam virium priorum. Et ideo, vis integra ex tribus composita qua L urgetur, cum ad T non tendat; per Prop. XI. faciet ut corpus L, radio LT, areas tempori-hus non proportionales destribat. Atque aberratio ab ista similitudine rationum inter areas descriptas & tempora quibus describuntur tanto erit major, quanto mador est ratio tertiae hujus vis secundum LP agentis ad vires priores. Porro, superadditio vis hujus tertiae desermitatem etiam in figuram Ellipticam orbitae duplici de causa inducet, cum quod non dirigitur ab L ad ri tum quod non est reciproce proportionalis quadrato distantiae; deformitasque tanto est

major, quanto, caeteris paribus, vis haec Ms major est. In recta sae

ab s versus Tin sumatur sN, quae sit ad sx in dupliciata ratione ipfius

S K ad ST; exponetur corporis Τ attractio acceleratrix versus S per rectam S N. Si attractiones acceleratrices s M, s N aequales sint, sui in M. hae, agendo in corpora T & L aequaliter & secundum rectas parallelas, nil mutabunt eorum situm ad se invicem: sed, corporibus f & T lactis propioribus, ipserum T & L iidem erunt motus inter se, ac si istae attractiones prorsus abessent. Verum si attractio acceleratrix sN minor sit attractione acceleratrice sM, ut in M. r, illa, hujusque pars illi aequalis se mutuo sui in casu praecedente dictum est,in ad eum statum reducent, ac fi abesset utraque, & maneret harum disserentia, sive vis acceleratricis sM p ars per M N exposita; quae proinde arearum & temporum proportionem, & orbitae ac BD figuram Ellipticam perturbat. Sin s N excedat s M, ut in fig. 3, illarum intervallum MN denotat ditarentiam illam virium acceleratricium, qua dictae arearum destriptarum & temporum destribendi proportio, & orbitae scBD sorma Elliptica perturbantur. Et igitur.

per attractionem Ns,attractio tertia sM semper reducitur ad MN,quae ab M ad N, sive ab I. versus F, vires suas erit, prioribus viribus pro sus immutatis. Atque hae sunt vires generatrices Errorum corporis L.

88쪽

Lib. I. & GEOMETRIO AE ELEMENTA

IIsdem positis, propositum iu corporis minoris L circa magnum ae

r o verutis, non in eodem Hauo is quo Ῥ circa maximum a re eoisitur, Errores quosdam, ex dictarum planorum inclinatione ortos. eorumque causes O rationes exponere. prop. praec. demonstratione patet Errores omnes corporis Lex viribus perrectas AM, MN repraesentatis oriri. Quia autem harum altera ΑM agit kcundum rectam LT, quae in plano Orbis corporis L jacet, vis secundum illius directionem agens motum ipsius L in latitudinem nunquam perturbat. . Porro, si talis fuerit orbitae corporis L situs, ut corpus S reperiatur in communi illi .us sectione cum plano orbis E T E, quem T describit circas; hoc est, in phrasi Astro. nomica, fi Nodi orbitae ipsi Cus L fuerint in SyZygiis corporis s;ὶ MN etiam in plano orbis corporis L jacet; quippe in communi sectione: ac proinde vis secundum illius

directionem agens motus hos non perturbat.

Reliquis manentibus, supponatur corpori S I. orbitae planum G c B Dad planum s Eae inclinatum, ita ut ejus pars cs D supra illud elev tur, pars vero e B D infra idem deprimatur; eodem centro T &aequali semidiametro, intelligatur circulus cbDg deseriptus in planos A n & Nodi erunt e & D : supponantur hi, ex T spectati, aspectum quadratum cum corpore S obtinere; hoc est, supponantur angulis Τ D, ST c recti. In casu motus corporis L per semicirculum cs D, vid. fig. I. corporis L vis ut MN, cum directione MN hoc est, asL ad F) agens trahit corpus ex sua orbita cGD versus cgD; id est, Latitudinem corporis L a plano cgD computatam)minuit: & corpus L, recedendo perpetuo versus plagam S a plano cGD, usque dum perventum fuerit ad Nodum proximum, non transit planum Ars sive cgD in puncto in quo illud prius transierat, sed paulo citra illud; Nodumque orbitae, a se nunc descriptae, essicit paululum in antecedentia respectu Nodi D orbitae cGD, quam absque hac vi MN descripsisset. Similiter in transitu a Nodo D ad nodum c Per sem, circulum DBc, scui casui fig. χ. est accommodata,) vis ut M N agens secundum directionem MN, sive ab L versus F, facit ut corpus L pe petuo recedat ab orbita DAc, aliamque describat ad D bc in minoriangulo inclinatam, & ut planum Dyc transeat citius quam in c; hoc est, quam secisset si vis M N non adfuisset; & hoc pacto fiet Κ novus

89쪽

novus Nodi locus in antecedentia vermos rursusque peragrando orbitae suae partem co D versus conjunctionem cum corpore S, NO-dus proximus in antecedentiam medet ud prius. i Porro, designet soculo nempe in linea Nodorum producta ccillcato, fgTb planum orbis corporis T circa st revolventis, G DB HR- num orbis corporis L, dum hoc angulo miniino,gnena o D g vel H Db, ad illud inclinatur; quod c tingit sui ha- l, , ammis est ostensum) ubi corpus L ex T visum est in syZy- : flgiis corporis s. Cumque etianr hactenus sit ostensum -- dos orbitae corporis minimi L vergere in antecedentia; ι orbita quam corpus L, discedens E G ubi ex T visum con- 6 Igjungebatur cum S, porro describit, occurret ipsi gub ci. tra D respectu ipsius s, eritque linea G d. Et orbita quam describit idem L, discedens a B ubi ipsi s opponebatur, nempe BJ linea, occurret plano g Db in in ; sic. ultra D rea spectu ipsius s. ritetque G d vel B δ lineam angulum ma-

90쪽

Iisdem legibus, quibus corpus L circum T revolvitur, fingamus corpora plura circa idem T ad aequales ab illo distantias serri: de inde ex his multiplicatis & tandem contiguis factis conflari Annualum rotundum & rigidum caDG corpori T concentricum: & sin gulae Annuli partes motus suos omnes qui a rigiditate non impediuntur, ad legem corporis L peragent. Et ideo AnnuIi ea Dci Nodi e & D quiescunt, quando sunt in SyZygiis corporis s: S extrahas movebuntur in antecedentia, velocissime quidem in Quadraturis, tardius aliis in locis: & Annuli inclinatio mutabitur, soscillante ejus axe,) prout de Orbita sic BD ostensum est in Propositione. Si jam Globus T eundem habens axem cum Annulo cBD G, &gyros suos circa illum axem iisdem temporibus complens, concipi tur eousque auctus, vel Annaeus caeteris manentibus) eousque diminutus, ut Globus superficiem Annuli contingat interius, eique inhaereat ; quippe illo arcte cinctus: Globus T quem ad impressiones omnes supponimus prorsus indifferentem) participabit motum Amnuli, & utriusque compages oscillabitur, & Annuli Nodi sive interistationes ejusdem cum plano Orbis corporis T circa Sin regredientur.

Corpus L, radio ad T ducto, describet areas temporibus magis proportionales, O riguram ad formam Euipsis, custus umbilicusT, magis accedensem', ii T eadem lege, qua L, vers- s attrahitur, quamis multo minus aut musto magis attrahatur.

Nam, per praecedentem, pertubatio proportionalitatis arearum &temporum, & deformitas figurae orbitae oriuntur praecipue a vi per MN repraesentata. Et igitur areae ac tempora ad proportionalitatem.& orbita aca D ad figuram Ellipticam tum maxime accedunt, ubi M N Vel nulla est, vel quam

fieri potest parva: hoc est,

ubi corporum L & T attractiones acceleratrices SM,S N

quarum differentia MN sunt sere aequales; sive quod

non multum abludit, ubi Ecorporum L & Τ attractio. nes acceleratrices factae versias S accedunt, quantum fieri potest, ad aequalitatem:

Nam etiam altera pars attractionis acceleratricis coo . .

PoriS L ads per s A expositae, nempe A M, quamvis dictam proponimnalitatem omnino non turbat, tamen Ellipticam figuram deformem reddito id est, ubi sN, attractio acceleratrix corporis T Versus S, non est nulla; nam ex superius ostensis attractio sM ad minorem MN Κ a. reducitur. Disitigod by Cooste