장음표시 사용
511쪽
Cap. XXXI. puncto, linea, O superficie.
nans, & non siimul continuans : non autem datur linea aut punctum pure terminans, sed sit terminet, simul continuat. Hoc itaque Suarius n'. o. in responsione ad argumenta largitur , nimirum, punctum aut lineam nunquam reperiri naturaliter pure terminantia: quod inquit o non inde provenit, quod
ad terminandam intrinsece quantitatem non sit necessariin terminus
postivus , sed ex eo, quod non reperiantur in rebus lineae ct super- scies separatae a eorporibus : in eodem autem corpore nulla et i pars tineae aut superficiei quae non si conjuncta aliis partibus ex utroque extrema. Inter super icies autem ὰatur aliqua pure terminans, ut supra dictum est. De termino positivo quantitatis infra videbimus : hic recipimus vulgarem puncti disti notionem, in terminativum, & continuativum , & similiter lineae ac superficiei Sed de hac quoque distinctione paucula infra advertenda sunt : hic tantum cum Suario agnoscimus, punctum& lineam in rerum natura nunquam esse purh terminantia. Nihilominus, quCd fallem punctum& linea, tam terminativa qu m continuativa, sint in rebus conjunctim, quanquam ea seorsim non dentur, cuivis fas est de utrisque, perinde ac de superficie, scorsim tractare. Quae enim ratione tanldm, aut ut in adaequati conceptus ejusdem rei, differunt, diversos tractatus frequenter merentur. Seorsim itaque puncti cujus eκ hac parte fortunas tam linea quam superficies secuturae sunt ) non sollim continuativi, verdm etiam terminativi, rationes investigabimus : sed paucula de iisdem in communi praelibanda. . Dico igitur punctum, sive continuativum sive terminativum, dupliciter considerati : vel in ordine ad usum quem in mathesi aliisve scientiis praebet vel in ordine ad entitatem propriam, qua formaliter in se constituitur. utroque modo paucis e X pendendum. Primo, in ordine ad usum ab Euclide
describitur, eius partes nuta sunt. Recte quidem ni fallor μειον, seu notam dc signum, vocat: sed explicatilis forte, si uia, rem signatam apposuisset, ejus rationem dedisset. Est ergo res ipsa hoc signo signata, locus si modo locus hac latitudine accipi permittatur) sive ubi indivisibile,nempe prae cise ab omnibus partibus sumptum, pure enim hic consideramus punctum, Praecisa omni consideratione partium , o est, inquam, locus aliquis in linea, planitie aut corpore signatus,
512쪽
De tribus indivisibilibus, Cap. XXXI
cujus partes nullae sunt, sive cujus partes non considerantur, nempe mente praeciduntur, ut locus eκactissime designetur. Si enim punctum habeat partes, ne3uit fatis accurate locum lineae intentum notare. Siquidem nescire forte potes quam puncti partem is qui signat intelligat. Clim verd punctum partibus plane careat,eii nota certae & minime dubiae indicationis,& pure sive caste intentum lineae locum declarat. Est itaque hoc respectu idoneum mathematicae demonstrationis instrumentum. Recte itaque dicitur punctum m ων indivisibile , quo certus lineae locus Praecise 6c absque ambiguitate designatur. Atque haec generalis est descriptio puncti respectu usus ejusdem. Usus hic multipleκ esse potest: ut I'. designare tibi linea incipit , et '. ubi desinit ἱ 3 R. ubi continuatur , Q. ub Isecari potest,aut actu secatur , 5'. ubi plura puncta confluunt. Atque hae de lignationes totum puncti usum in artibus eκhau-xiunt. Quoniam vero linea eosdem usus resipectu superficiei,& superficies respectu corporis, praestat , satis fuerit in solo puncto eos, ut supra, eκplicuisse. 3. Ρroκime ad punctum deveniendum est quatenus in se oonsideratur. Aliqui enim eXistimant punctum esse modum ratem pro- quendam realem & positivum quo materiae elitensio vel ter- p μφ' minatur,vel continuatur : alii potias putant esse puram negationem. Sed forte fatius fuerit ipso limine rationem puncti terminativi ab ea continuativi disterminare. Haec enim duo plusquam ratione inter se differunt, eorumque differentia ab
aliis vi κ fatis advertitur. Clim enim hactenus unitatem eκ- tensionis entitativam ab unitate continuitatis non distinxe-- etint, terminum eκ tensionis a puncto continuativo propria
differentia discriminare non poterant. Idem enim signum utrique puncto tribuitur: schinc dicit Suarius, non dari in
natura punctum terminativum, quin idem sit continuativum. Punctum Non quod punctum terminativum & continuativum idem
terminati- plane significe ut : sed quod eodem signo seu eodem ubi sig- ζ;hisai suis Πλx0 u gixζntur alioquin Verd negationem quam punctum terminativum extensioni addit continuativum praecidit, &aliam sibi propriam, atque sub ea rationem positivam, addit.
Quaeres quam negationem aliam, quamque entitatem positivam, punctum continuatiVum terminativo addat. Respondeo, negationem quam punctum terminativum eκtensioni addit
513쪽
Cap. XXXI. puncto, linea, o superficie.
dii esse, non ultra extendi G punctum quippe terminativum
fgnificare, lineam hucusque, hoc est, ad signum datum, eκ-
tendi, δc non ultra : punctum vero continuativum hanc negationem praecidere, dc aliam, quippe lineam in ubi signato non dividi, insinuare : imo sub hac negatione non distri Jrealem &positivamentitatem cum dicere, nempe ipsam per- feeitonem quam continuitatem vocamus , quae ut dixi )negative licet facililis eAponatur, est in re perfectio positiva. Assero igitur, punctum terminativum in entitate eXtensionis,3c punctum continuativum in entitate continuitatis, fundari. Unitas enim eXtentioniS entitativa seu transcendentalis, &entitas ejusdem, in re eadem res sunt, & sola ratione differunt. Entitas extensionis finita est, & siua entitate, hoc est, seipsa,qua finita, positive terminatur. Entitas enim lineae ad quodcunque signatum punctum intrinsece & per seipsam eκ- tenditur' non ultra , quod eXtra seipsam,seu eXtra entitatem suam, non vagetur. Quare entitas eXtensionis seipsa terminatur, tam positive, quam ut fundamentum terminationis negativae. E contra, punctum continuativum fundatur in entitate continuitatis. Destructa enim hac, punctum continuativum una perit: sed puncta terminativa partium eκ- tensionis divisae adhuc supersunt, εc ipsae partes extensae divisae permanent. Quare punctum continuativum saltem ex parte rei a terminativo differt. Insuper punctum terminativum includit diversiam negationem ab ea quam continuativum insinuat. Terminativum enim dicit lineam non ultra exteηdi , continuativum Vero, lineam non dioidi in Ioeo signato rquae diversae negationes sunt, & a diversis fundamentis fluunt. Negatio enim, non ultra extendi, fundatur in extensione qua finita, quae sua entitate ad non ultra ut dictum terminatur et negatio autem, non dividi, manifeste fundatur in continuitate. Plurimi enim definiunt continuitatem per negatiovem diviso-Μis: & profecto negatio divisionis facilitat eXplicationem continuitatis : sed haec, sub negatione divisionis, perfectionem positivam, quae est fundamentum istius negationis, ut supra probavi, occultat. Posita enim continuitate, ea ne
gatio fhou diuidi J necessario resultat sublata, aeque necesi
Lario tollitur. Tertio, punctum continuativum negationem
quam punctum terminativum dat, non considerando prae-Mmm cidit,
514쪽
De tribus indivisibilibus, Cap. XXXI.
cidit , 8c similiter punctum terminativum conceptum continuisivi rejicit. Negationes enim quas includunt in eodem conceptu dili incto vix consistere possunt. Etenim noη ultra extendi quodammodo repugnat concep/ui continua=rdi. Nam continuari est ulterilis protendi, dc negatione non ultra non occari seu non limitari. Partes enim continui in unum totum inter se confoederantur, hoc est, sibi invicem communicantur , nec lineae productio in loco lignato sistitur, atqui adeκtremitatem ejusdem e Xcurrit. Quare non ultra extendi Jquodammodo supponit lineam sic terminatam in loco signato occari: non ergo simul complectitur negationem divisionis ibidem. Similiter continuari, seu ulterilis produci, non simul considerat non ultra produci, seu non ultra extendi. Quapropter alteruter conceptus ab altero abstrahit, Jc ambo in eodem conceptu distincto consistere nequeunt. Quarto, processus horum punctorum, sive ab ente ad non-ens, sive anon-ente ad ens, quodammodo oppositus est. E. g. st linea
a b c. Supponimus primd lineam continuari in b: punctum itaque b est punctum continuativum, dc connectit partem lineae a b parti e b. Supponimus secundo lineam ab e dividi in puncto b: destruitur itaque punctum continuativum b, 8c
processum ab ente ad non-ens patitur et simulque duo puncta terminativa eκ ejus ruina resultant , nempe punctum d, terminans partem lineae a d , 6c punctum e, terminans partem lineae e e : ut in linea 'rpi cernere est. E contra, jam stupponamus puncta terminativa d e iterum confluere, dc partem lineae a d parti e e re-uniri , eodemque momento duo puncta terminativa d e corruere εc absorberi in lineam continuam a b c. Patiuntur itaque processum ab ente ad non-ens ;simulque punctum continuativum b suam entitatem remmit,& processum a non-ente ad ens sortitur : ita ut haec puncta quasi per vices occumbant dc restituantur, &, quod aiunt deformis, corruptio unius eorum fallem per consecutionem quandam est generatio alterius. Dices, in primo processu punctum continuativum 8c terminativum simul destrui, & eorum loco elisurgere duo puncta terminativa nova : in secundo processu duo puncta terminativa coalescere seu perire, &unum inde, quod tam terminativum quam continuativum est,
515쪽
est, resultare. Resipondeo, primo, punctum terminativum tantum perire qua commune, hoc est, qu mutuatur suam entitatem a continuitate, qua pereunte necessario eatenus perit. Verdat hoc punctum commune, qua pure terminativum, resolvi in duo vel plura puncta partium terminativa, quae non pereunt: siquidem ut termini partium lineae prilis exsistebant ,
tant lim nunc fiunt alteruter terminus lineae totius. Respondeo, secundo, punctum terminativum totius lineae cum continuativo non consistere, clim resultet eκ interitu continuativi. Quid vero dicendum sit de puncto terminativo communi, infra clarilis declarabitur. Ultimo loco, punctum terminativum nihil positivum eX parte rei distinctum eκtensioni seu quantitati addit. Nobilis haec assertio est, & dignas quoniam praecipuam inter punctum terminativum & continuativum differentiam complectituro quae ulterilis eXpendatur. De ea itaque proXimo loco inquirendum. 6. Suarius tres sententias medias de entitate indivisibilium Continuati- recitat. Verdm prima media quam tertiam, quod apud eum τδ' duas extremas sequatur, Vocat ) videtur aliam sibi quodammodo oppositam admittere, quam, Ob Oppositionem tertiae, lie, j. quartam mediam de hac re nominare licet. Nam sicut ejus tertia, puncta terminantia, sed non continuantia, eκ natura rei distincta agnoscit , ita haec quarta, continuantia, sed non terminantia, eo modo distincta admittit. Fundamentum hujus sententiae esse potest, quCd cuilibet uni materiae
duo accidentia, eXtensio & continuitas, necessario in sint. Εκ- tensio enim, ut materia ad certam dimensionem determinetur, continuitas, ut parteS eXtensae inter se uniantur, requiritur. Materia nuda variarum dimensionum capax est, & modo condensari, modo rarefieri potest : ut ergo determinetur
ad certam longitudinem, latitudinem & profunditatem, opus habet certa e Xtensione , quae est ipsa positiva atque actualis ejusdem terminatiO,sed accidentalis,& mutabilis. Si autem quaesiveris quo termino haec terminatio terminetur, facilis estiesponsio intrinsece & positive terminari per seipsam ; extrinseceti negative, per negationem a se resultantem, se non ultra e X tendi. ' Dico, primo, extensionem essentialiter seu intrinsece & positive terminari per seipsam. Chm enim iit ipsa terminatio dimensionum materiae, non exspeetanda est
516쪽
De tribus iudivi sibilibus, Cap. XXXI.
terminatio terminationis, nisi velis introducere processium in
infinitum. Quare eXtentio terminatur positive per seipsiam hoc est, per entitatem suam actualem, nec requirit aliam positivam terminationem. Secundo, terminatur negative nernegationem a se necessario & immediate resultantem nimirum te non ultra erctendi. Videtur Suarius fingere punctum
positivum, quod terminet & claudat lineam: sed si ita esset negatio non ultra e X tendi J resultaret non immediate ab extenuone, ted ab eo puncto sieto quod stupponitur extra eκ-
tensionem lineae apponi. Hoc enim dato, ea negatio Primo denominaret punctum, & deinde eκ tensionem : Ced aliter multo evenit. Ea enim neSati O non ultra extendi primo dc proprie ipsit extentioni, & non puncto terminativo tribuitur. Qaod enim non omnino e Xtenditur, cui ustui dicatur non ultra extendi λ linea autem terminata ultra siuam intrinsecam terminationem maxime proprie dicitur non ultra extendi. Nihil ergo positivum inter lineam & hanc negationem intervenit : & consequenter, Punctum terminativamentitati extensionis nihil positivum sui prima pars assertionis statuit J addit. Secunda pars est, punctum continuativum extentioni aliquid positivum eκ parte rei distinctum addere, scilicet continuitatem ad certum indivisibile ubi determinatam. Duo his asseruntur : primo, punctum continuativum aliquid positivum eκ tensioni addere: secundo istud positivum quod addit esse ab extensione eX natura rei distinctum. Ad primum quod attinet, certum est, punctimi continuativum denotare negationem divisionis in loco signato quae negatio in re est forma positiva. Dicit enim perfectionem
quar ut supra probavi in re est entitas positiva, utcunque
negative facilias e X primatur & concipiatur. Ad secundum quod id positivum qAod puinctum continuativum eX-tem soni addit, est ab ea e X natura rei distine u Etenim extentioni addit continuitatem ad certum ubi restrictam quae non solum est entitas positiva, ut dictum, Verhin etiam eκ parte rei ab eXtensione quod stupra quoque fuse Drobavimus ) distinguitur. Quare utraque pars hujus sententia
stat, oc nova opimo media, de qua verisimile est Suarium non cogi tas Ie, Ob Oritur, caeterisque palmam praeripit. Eadem
quoque ulteritis manifestabitur eκ infra dicendis de nonnullis divisionibus
517쪽
Cap. XXXI. puncto, linea, ct sepe ete.
di Visionibus seu distinctionibus puncti terminativi, earumque
differentiis a puncto continuati Vo. . Primo, punctum terminativum est vel totius lineae, vel partis. Terminativum tot ita S lineae in rerum natura non datur. Siquidem non datur linea tam abstracta aut tam terminata, ut non vel recte, vel oblique, Vel angulatim, vel circulariter suis partibus continuetur : ut e X Suario supra declaravimus. Quare punctum hoc genus e X tra animum non reperitur : datur tamen in rebus sufficiens fundamentum cure κ cogitetur. Nam primo, absque hoc puncto Mathematici neque de linearum longitudine, neque de earundem inter se aequalitate, inaequalitate aut Proportione, quicquam statuere possunt. Coguntur itaque puncta fingere quibus tam extremitates linearum in se, quam proportio inter se, inveniantur ac demonstrentur. Secundo, datur aliud ejusdem fictionis iundamentum: quod ,nimirum, ii linea recta chartae inscribatur, & ea charta Poti modum transverse laceretur aut secetur, partes lineae una dividantur, & alterutra pars novo termino seu pundio terminati VO claudatur. ParteS enim non continuantur ut prius. Siquidem, quam Vis in re eX tremitas uia triusque partis lineae aliis partibus linearum continuatur ; respectu tamen partis abscissae dividitur , εc novo termino ab ea disterminatur. Atque idem accidit in omni lineae divisione. Utcunque igitur in re non detur punctum totius lineae terminativum, datur tamen in re sufficiens fundamentum cur tale fingatur , quod pars rectae manens actu separetura parte resecta, & consequenter novo termino ab ea discriminetur. Quomodo vero hic terminus lineae totius a termino partis discrepat, infra Videndum. 8. Secundo, distinguitur punctum terminativum in principians, 8c finiens. Haec distinctio leviuscula est, & potilis ad distinctam de alterutra lineae eXtremitate locutionem, quam ad veram earum differentiam enodandam, e X petitur. In-- terest enim Mathematicis, quo distincte intelligantur) unam lineae extremitatem esse principium, alteram esse finem, si p- ponere. Imo applicari etiam potest haec eadem distinctio tam terminis lineae totius, quam partium. Sed primo applicanda est terminis totius, dein partium. Puncta duo terminantia totius lineae vocari Possunt, alterum, principium, alterum,
518쪽
De tribψ imBoisibilibus, Cap. XXXI.
finis: sed hae denominationes eX parte sola rationis ratiocinantis inter se distinguuntur. Principium dicitur terminus a quo linea incipit , finis, terminus in quem desinit. Quod verb hi termini inter se plusquam ratione ratiocinantis non disserant, monstrari potest. Pendent enim ab arbitrio denominantis. Ut pote, si supponas lineam a b duci sinistra dextram versds, punctum a est principium, dc punctum b finis: e contra, ii jubeas eandem lineam a deκtra sinistrorsum duci, a sanis erit, & b principium. Quocirca hae denominationes pendent ab arbitrio ducentis , adeoque sita ratione ratiocinantis disserunt. Similiter in terminis partium lineae di-ninctio est ejusdem sortis, ut in linea a b c. Punctum b, si ducas lineam a simistra, est punctum finiens ruspectu partis lineae a b, 8c punctum principians respectu partis ber e contra, idem punctum si ducas lineam a de Atra, est punctum principians respectu partis lineae b oc punctum finiens respectu partis e b. Et consequenter haec quoque differentia pendet
ab arbitrio ducentis,& est rationis ratiocinantis. Quamobrem hae disi motiones, cum tanthin sint entia rationis, nihil contribuunt ad probationem positivae entitatis punctorum terminativorum. Quin & rejiciuntur puncta totius lineae terminativa ab hac entitate, quod non sint in rerum natura , &dubitatio quae superest soldm ad puncta terminativa partium lineae reducitur, de quibus proκime inquirendum. 9. Tertio loco, terminus partialis seu punctum terminativum partis lineae est dupleX, vel commune, Ve I proprium.
Non quod haec sint duo puncta, sed quod idem diversimode
considerari atque applicari possit. . Nam in linea a b c punctum b est tum commune, tum proprium, prout applicari
potest. Si enim applicetur soli parti a b, est proprium istius partis & similiter si applicetur soli parti eb, huic quoque
appropriatur : sin tribuatur utrique parti simul, est utriusque punctum terminativum commune. Quare haec quoque ditiinctio a varia operatione intellectus provenit. Si enim punctum terminativum partis integre concipiatur, est punctum commune: sitia inadaequate, quatenus uni soli parti tribuitur, consideretur, vocetur terminus proprius istius partis. Nihilominus punctum partiale commune , ubicunque signatur, innumeris linearum partibus commune est. Est enim
519쪽
Cap. XXXI. puncto, linea, o superficie.
quasi centrum ad quod lineae undique confluunt: ut eκ hoc asterismo cernere est. Seorsim quoque idem centrum cuilibet radio sic confluenti applicari potest, eique H pio priari. Veruntamen apud authores ut plurimum punctum tam commune, quam proprium, strictitis accipitur, nimirum quatenus partibus unius lineae, sive rectae sive alterius i peciei, tribuitur : & hoc sensu est vel duabus partibus lineae commune, vel alterutri appropriatur, ut modii eXplicuimus. Atque eodem siensis dehinc accipimus, ne alioquin multitudine partium linearum quae Omnes, quoad rem praesentem, elui dem rationis sunt, obruamur. Quaero igitur, an punctum partiale, silve quatenus terminus proprius, live quatenus te minus communis,aliquid posivivum eκtensioni addat: & primo inquirimus de puncto proprio 1 o. Punctum terminativum proprium partis duo manifeste connotat , quorum alterum politivum, alterum negativum -- est. Positivum est, partem ad terminum sigii tum e X Vndi , prium quid negativum, non eXtendi ultra. Haec duo totam rationem signibeat. puncti terminativi partialis proprii exhauriunt. ut exempli causa, punctum terminativum b in linea ' ξ, respectu solius partis a b, est terminativum proprium. Significat ergo partem lineae ab adb extendi, & non ultra. Certum est hoc totum signi fi cari, dc nihil praeterea. ad hujus puncti proprii conceptum nihil insuper requiritur. Dices, simul significari partem lineae e b ad b produci, & hon ultra. Fateor, si terminationi istius partis similiter seorsim comparetur : sed hic soli parti lineae a b comparatur, & consequenter hic nihil aliud quam quod supra exprimitur significat. Insuper,perinde est sive punctum uni, sive alteri, sive utrique parti simul applicetur. Tantundem enim ubique denotat , nimirum, partem lineae cui applicatur usque ad punctum b extendi, & non ultra. Dices, punctum b significare praeterea punctum commune, ut 8c continuativum , quae puncta aliquid positivum extensioni addunt. Verlim haec Objectio potids spectat adegamen termini communis, quid extensi0ni addat, de quo
proxime dicendum. ori. Punctum terminativum commune, quatenus simul pun- --μctum coutinuativum includit, proculdubio aliquid e3tensioni is uaddit: λ
520쪽
De tribus indivi sibilibus, Cap. XXXI.
addit sed punctum hoc dupliciter accipitur i, vel strictilis
quatenus duos aut Plures terminos partium proprios simul complebititur , vel latilis, quatenus praeter eos includit etiam continuitatem. Priore sensu, duas assirmationes, duasique negationes, partem lineae a b,6c partem e b, ad b eXtendi, & neutram ultra, complectitur. Quare Praeter assirmationes, negationem, duabus imo omnibuso linearum partibus ad'cen trum signatum confluentibuS communem, ea S non ultra extendi dicit. Est igitur, hoc sensu, communis negatio ulterioris extensionis partium lineae in centro concurrentium. veth in in posteriore praeter assirmationes & communem negationem, continuitatem in loco signato denotat, quae, ut supra monstravi , est perfectio, 6c consequenter res positiva. Haec omnia sequente eXemplo illustrari possiunt. Supponamus tria corpora quorum superius sit cubus dupiblongior duobus inserioribus ) se mutuo tangentia , prout hic quoquo modo obumbrantur. Linea a eduplo longior est d e, aut fg. Sed duae lineaed e & fg, si simul sumantur, respectu eX ten- ὰ1ionis aequales sunt toti lineae a e. Verlim re- spectu continuitatis, superior linea a e aliquid continet quod non continent duae lineae inferiores, etiamsi simul sumantur: nempe punctum continuativum b, quod duobus punctis terminativis respondet. Nam duo puncta proxima es se tangunt secunddm se tota ; hoc est, nihil spatii occapant, nec mutuum δc immediatum contactum duarum linearum d e dc fg in punctis e & f impediunt. Ιmo ultima eκtremitas lineae d e a principio lineae fg non longilis distat quam pars lineae a b distat a parte lineae
e b: quae tamen partes puncto continuativo b nectuntur: ita ut unum punctum continuativum duobus actu terminantibus aequiparatur. Quaero igitur primo, cur duo puncta terminama e fc f in unum commune quemadmodum in superiore linea pars ab&eb in unum punctum b coeunto non coa- Iescant. Profecto nulla ratio reddi potest, nisi quod duae lineae de dc f g non confoederentur in unam lineam totam, nec sibi invicem communi centur ut partes ejusdem totius' sed suis terminis seorsim claudantur. Si enim supponas eX- tremitates linearum de dc fg se mutuo tangere, dc in unum