장음표시 사용
551쪽
Cap. XXXIII. O discreti improportionatis.
in mensurato continetur, notare. Similiter fas est conti nuum in partes plures Vel pauciores, majores Vel minores, aequales vel inaequales , cum vel absque fractione, dividere. Praecipua autem reductio continui ad numerum ea est, qua in partes aequaleS, & certo numero comprehensas, resolvitur. De hoc enim Mathematici potissimhm satagunt, nempe, ut reducant continuum ad definitum aequ alium partium numerum. Sic enim longitudines linearum Optime dignoscunt, &latera triangulorum inter se comparant. In hunc finem utilissimae tabulae tinuum, ut & tangentium atque secantium, suis arcubus respective respondentium, supputantur. Omnes enim partes hoc modo inventae esse aequalis magnitudinis praesumuntur: utpote alioquin scopo proposito non inserviunt, nec linearum aut corporum inter se collatorum proportionem repraesentant. Quamvis autem Mathematici coeptae divisionis suae defectum fractionibus stupplere coguntur : hoc tamen non eo faciunt, quod Partes aequaleS numerosique in te, gros ad opera sua non eκpetant , sed quod frequenter continui partes, quas quaerunt, numeris integris eXprimi nequeant. Omnes enim longitudines ejusdem magnitudinis mensura puta ulnarum, pedum, digitorum, aut aliud genus, com menstrabiles non sunt. utcunque celeberrima ingenia ae reductione continui ad Arithmeticas proportiones, casique in- te ras, quae cui diXi inter se aequales sunt, quantum in iis erat, solicita semper fuerunt. Qilare vastis numeriS certant,& continui subtilitatem multitudine partium, si qua fieri posse sit, aequare nituntur. Clim enim continuum quandam infiniti potentialis rationem prae se ferat, valde imperilacte a nobis & potitis quod sit in infinitum divisibile, quam quidditati vh,sub hac confideratione intelligitur. Quocirca rebus nostris interest, si velimus continui magnitudinem recte aestimare, mediis rationibus uti , idque ad certum numerum Partium aequalium redigere , cujus ope quantum unius dimensio eam ulterilis superat facile judicetur. Prudenter itaque ab iis factum esse arbitror, qui, missa infinita divisibilitate, determinatis partium numeris continuum metiuntur, ut numero
pedum, digitorum, &c. motum similiter qui quodammodo continuus est ) milliaribus, stadiis, passibus , & tempus quoque. annis, mensibus, diebus, horis, & minutis. Haec om-
552쪽
De ultimis rationibus continat Cap. XXXIII.
nia a me nullo modo vituperantur aut improbantur: tant limcontendo, ultimas rationes continui numero finito non esse comprehensii biles.
3. Ad hujus assertionis probationem sum cere arbitror, si
detur in natura proportio inter nonnulla continua, quae certis partium numeris LXprimi nequeat. Proportio quidem aliqua e X parte continui requiritur, alioquin numerus, quod proportionem ubi nulla eii referre nequeat, imperfectionis arguendus non est : sin adiit continuorum proportio quam numerus e X plicare non potest, naturae subtilitati cedere cogitur, sc fateri se non posse ultimas rationes continui assequi. Siquidem cum tota subtilitas continui, qua ultimas numeri
rationes superat, in divisibilitate consistat , sequitur hunc defeeium numeri in eo situm esse, quod ultimam divisibilitatem continui non attingat. Si enim numeri divisibilitas aequhsubtilis esset ac est ea ipsius continui, facile omnem huius proportionem adaequaret. Nemo dubitare potest quin Arithmetici eo fine magnis numeris, puta dccem v ct octo figurarum,insinubus computandis uti lint, ut eo subtilid, sinum totum
comminuant, adeoque proportionem clu S ad arcuum minorum sinus minus erroneam dent. Clim enim proportionis sinuum error nunquam unius particulae medietatem e Xcedat,
fit quo minores sint particulae, eo minor sit error. Hinc quo major est numerus partium sinus totius, eo propilis ad infinitam continui divisibilitatem accedit, & iuventionem verae proportionis elusdem ad alios sinus facilius assequi tur. Quia vero omnis numerus actualis finitus est, infinitae divisibilitatis subtilitatem nunquam attingit , & consequenter, licet absque sensibili errore sit, si pliciter tamen ab que errore esse nequit. Dices, numerum quoque esse multifariam divisibilem. Fateor multos numeros esse : sed numeri, quCs vocant, simpliciter primi solis unitatibus absque fractione dividuntur: Ut v. g. numerus hic, quanquam ingens sit, 999999999999 Micias
itaque de numeris minutulIs, ut de it rnario, quinario septenario, undenario, deni ternario, deni septenario, duninovenario, viceniternario, moleste feramus, si sola uuit a te quae non est numerus) aequaliter dividantur. Quui dc numeri qui maxime divisibiles reputantur, ut duodenarius. se Xagenarius, &consimiles, pauculis, iisque determinatis, divisionibus subjiciuntur;
553쪽
Cap. XXXIII. O discreti improportionatis. 489
untur: continuum vero in partes aequales quot volueris absque
fractione dividi potest. Quare subtilitas divisibilitatis continui eam divisibilitatis numeri longe superat. Perinde enim est illi in quemcunque numerum partium dividas. Clim enim actu unum sit, δc potestate multipleX, non magis ad unum
partium aequalium numerum quim ad quemlibet alium determinatur. Ejus ergo divisibilitas ea numeri multo subtilior est. Non mirum igitur, si nonnunquam partium continui proportio, quae in natura realiter elisistit, numeris comprehendi nequeat. Continuum enim nonnunquam a iubtiliore divisibilitate quam numerus aemulari pote1i suam proportionem partium inter se deri Vat. Quo casu numerus surdus est, & proportionem non eXquasi te eXpedit. Hujusmodi proportiones frequenter occurrunt in tabulis sinuum, ut &tangentium atque secantium , in quadratura circuli ; in fractionibus interminatis : de quibus sigillatim aliquid dicendum est. . Sinus arcuum ad quos lineae tangentes atque secantes Sinis in ob paritatem rationis referri possunt ) in natura eXquisite in- natura acter se proportionantur. Hoc probatur,quod omnium arcuum sinus eκ proportione ad semidiametrum, quam sinum totum C. vocant, quaerantur 6c inveniantur. Nisi enim in natura daretur exquisita proportio inter sinum totum 8c tinus minorum arcuum, frustra esset ista laboriosa disquisiitio quam Mathe malici tanta industria, ad eXquirendum quot partes semidiametri quemlibet sinum quadrante minorem coniiciunt, instituunt. Claris . Clavii verba, lib. de Sinubus p. 129. etiam ii alia occasione adductab hoc ipsium confirmant. stuoniam enim inquit ) fvus intus sve semidiameter ad sinum rectum quemcunque determinatam quandam proportionem habet, sit ut omnes partes lyius, quotcunque illae sint, ad partes bHin inventas, respectu illarum partium fnus totius eandem habeant proportionem, quam omηes partes ejusdem sinus totius pauciores,quam illae priores habent ad partes ejusdem suus respectu illarum partium sinus totius paueiorum: alioquinsnus totus non haberet semper ad eundem sinum eaκdem proportionem, sed aliquando esset majoris quantitatis respectu illius, ct aliquando minoris : quod est absiurdum. Porro,
omnes lineas finitas esse proportionatas, manifestum est ;quod sint vel majores, vel minores, vel aequales. At vero non
554쪽
9o De ultimis rationibus continui Cap. XXXIII.
tantiim aequales inter se proportionaritur , sed & majores
atque minores. EXcessus enim majoris respectu minoris , oc di tectus minoris respcctu maloris, proportio Quaedam es
eique perpetua & invariabilis. Non dubium ei quih
inter sinum totum & 1inis. iminores detur accurata proportio.s, Gosea 3. Super ii probandum, hanc proportionem non perpetuoris j v ex. esse numeris adaequale LXDlicabilem. Fateor quidem imus
a industria, re abique iensibili aut conspicuo errore, calculatos& ad praxin sumienter comparatos: versim illi ipsi agnoscunt non esse omnimode e X qui sit OS. Solus fere sinus arcus graduum 3o ablque omni fractione supputatur : cisteri in st- nam partem e X tractione radicum e quadratis ingentibus non sine magna fractione proliciuntur. Enimvero quadratum
tinus totius continet partes IO OOO OO OO OO COO : qui numerus continet 999999 POCOOSCO num rob surdos, quorum radices exquisite extrahi non possunt, numeros vero exacte qua dratos tanthin io ooo Ooo : ita ut cuilibet uni numero quadrato 9999999 surd i respondent. Non ergo monstri simile est, si plurimis sinuum qui e Atractione radicum inveniuntur tantillum imperfectionis adhaereat. Alii sinus, iique plurimi, per solam proportionum regulam computantur De quibus idem Clavius p. 128. sic judicat, Constat igitur suus
per regulam pro 'tiquum iuveret's oeusibiliter non disse re a νeris nubin, praesertim quando arcus D E,quo arcus cognitorum Muum inter se disserunt, valde exiguus est, ita Vt a recta linea vix differat. Inflabo tantdm sinui arcuS graduum 43, qui est latus quadrati quadrante insicripti, cujus diagonalis est ipsa semidiameter circuli, nempe ipse sinus totus quadrantis. Jam vero omnes fatentur, non dari Proportionem numeris integris evolubilem inter quadrati latus & diagonalem eiusdem: area tamen diagonalis eκaete dupla est ad aream quadrati. unde confiat, proportionem inter diagonalem & latus quadrati esse in natura certam & eXquisitam, utcunque numeris ατ' eXplicari nequeat. Dices diagonalem seu sinum totum, cui latus hujus quadrati comparatur, esse numeris
comprehensum, nimirum continere IO OOOOOO Partes aequales; & latus ejusdem quadrati eidem proportionari nemDe continere partes ejusdem dimensitonis 7o7Io58. Respondeo' ita
555쪽
Cap. XXXIII. se discreti improportionalis. 49 1
ita esse, sed proportionem non esse omnimode exquisitam, sed solummodo proXimam quam numeri e X primere possunt. Certum est, diagonalem seu semidiametrum esse latus quadrati duplo majoris. Multiplicant itaque illam in seipsam,
cujus medietatem sumunt 3OOCOOoooooo oo pro quadrato lateris seu radicis cujus proportionem ad diagonalem quaerunt. Atque hactenus absq, vel minimo errore procedunt. Jam vero, ut inveniant latus hujus quadrati,coguntur ejusdem extrahere radicem. Hoc aggrediuntur: inveniunt numerum 7O7IO57,&una inveniunt fractionem ingentem II 81 1i: quoniam verb fractio eXcedit numerum quotum, seu radicem modo inventam, hanc iterum e fractione dicta semel subducunt, dcconformiter unitatem quoto addunt. Stat itaque radix inventa partium 7O7ΙO68, simulque relinquitur adhuc fractio partium 4 IOψ ψ, quae nulla arte ampl1hs corrigibilis est. Veruntamen latus inventum in seipsum multiplicatum producit quadratum majus quam eX petitur, nempe socco OO266O52 quod verum eXcedit partibus 266o52 . Unde patet, unitatem lateri seu radici eκ tractae additam esse
nimiam , nihilominus recte eidem radici addi. Quoniam si omittatur, & numerus 7o7Io67 in seipsum multiplicetur, producit tant din 9999988318 89 : qui numerus plurimhm deficit a justo, nempe tota fractione supra memorata partium 11 813i I adeoque hic defectus triplo minimum priori eX- cessu major est. Quare latus 7o71o68 cui unitas additur)propids ad verum quam latus 7o7Io6 in quo omittitur )accedit. Utcunque eX dictis constat, latus ti diagonalis ejusdem quadrati quanquam geometrice eAquisitissime proportionentur , eam tamen proportionem arithmetice pari
ακρimia exprimi non posse : quod erat demonstrandum. Hoc etiam passim fatetur Clavius, & hujus sinus arcus graduum 3 proportionem ferὸeXquisitam Vocat, P. I 2 O. 6. Proximo loco deveniendum est ad dissicultatem qua- quadratu. drandi circulum. Verdm quadratura haec dupliciter accipi ra circuli potest vel pro inventione justae proportionis inter diame- opi Nest, trum ti circulum, vel pro inventione quadrati cujus area est areae circuli aequalis. Hi modi inter se differunt, tum qubdproportio diametri ad peripheriam sit tantum simplicis lineae
556쪽
De ultimis rationibus continui Cap. XXXIII.
ad aliam simplicem lineam , proportio vero areae ad aream sit totius plani seu superficiei ad alterius totius superficiem seu planum: tum quod, si detur quadratum cujus area est areae circuli aequalis, illius tamen perimetrum est eo hujus majus. Imo fieri nequit, clim circulus iit figura capacissima, quin ejus perimetrum sit minus eo quadrati, posita utriusque area aequali. Satis igitur fundatur distinctio data.
7. Prior modus quadrandi circulum eκercetur in exacta proportione inter diametrum 8c circumferentiam circuli invenienda. Consiliit autem in reductione circuli & diametri ad certos partium aequalium numeros alterutri respective proprios, & sibi invicem proportionatos , ita ut datis diametripartibus, inde certo colligantur eae circuli, 8c contra. Quod vero datur in natura certa proportio inter diametrum δc circulum, e X eo innotescit, quod quo circulus sit major, eo major proportionaliter est diameter , quo minor, eo minor. Imo
adeo rigida est haec proportio, ut impossibile plane sit dari circulum majorem alio sine diametro proportionaliter majori: ut cuilibet serio consideranti notum est. Insuper datur linea recta aequalis circulo. Datur enim major & minor gradatim, ergo aequalis. Consequentia probatur sic. Sit inter duas columnas, quarum altera si et erecta, altera inclinetur, ea distantia, ut linea a basi unius ad basin alterius ducta sit minor ambitu circuli: at linea a capite unius ad caput alterius sit major. Fieri jam nequit quin alicubi inter columnas linea circulo dicto aequalis inveniatur. Clim enim lineae distantiarum inter bases columnarum, quo Propilis ascendas ad capita earundem sensim augeantur, & a lineis circulo minoribus paulatim eodem majores fiant , necesse est per mediam, hoc est, per aequalem, transeant. Denique, si diameter unius circuli sit dupla, tripla,quadrupla,&c. alterius ; circumferentia quoque ejusdem est similiter dupla, tripla, aut quadrupla, &c. circumferentiae istius : ut facillime eκ Schemate apposito cernere est. Septem circuli totidemque quadrata inter se proportionata exhibentur. EXtimi circuli diameter eam intimi octies superat , 6c similiter toties circuli extimi circumferentia eam intimi eXcedit. Nam ut se habet circulus minimus ad quadratum sibi inscriptum, ita se habet circulus maximus ad quadratum sibi similiter inscriptum. Sed quadrati
557쪽
Cap. XXXIII. ct discreti improportionatis. 493
quadrati maximi perimetrum octies minimi continet ; ut
conferendo triangulos rectangulos , quos alterutrum continet , inter se facillime innotescit. Circumferentia itaque maximi circuli toties minimi complectitur. Verditi quod dicunt aliqui, ubi diameter dupla est, circulum esse quadruplum , intelligi debet de area circuli, non de longitudine simplicis circumferentiae. Circumferentia enim simpleκ linea est, sicut diameter, & non oritur en multiplicatione diametri n seipsam : at area circuli eii, quae eX multiplicatione duplae,triplae aut quadruplae diametri in seipsam cognoscitur, nempe quoties aream circuli simplae diametri continet. ut sit diameter majoris circuli in prima Figura octo vicibus eam minoris contineat, illius area eam hujus 6 vicibus continebit : Sed circumferentia interim erit tantdm octupla. Ιnferendum est, dari in natura eXquisitam proportionem inter diametrum & peripheriam circuli. 8. Superest probandum, hanc proportionem non esse nu- Numeri, meris evolubilem. Vulgo recepta proportio inter diame- non compretrum & circLlum est septem ad viginti duo : vir. sit diametersit 7 pedes longa, circulus continebit 2 a pedes, 3c contra, ii circulus contineat et a partes, diameter 7 ejusdem dimensitonis continebit. Si haec proportio plane accurata foret, non
dubium est quin quadratura circuli hoc genus sit jamdudum
inventa, & quidem perfect stima , quod numeris minutulis& facile tractabilibus eκ primatur. Caeterlim etiamsi ea fortasse absque crasso ac spectabili errore rem intentam consequatur: nemo tamen Mathematicorum pro regula omnibus numeris perfecta habet. Utcunque sit, demonstratione non stipatur : quanquam forte neque demonstrative facile refellatur. Quaeres, cur di κerim, certum esse Mathematicos in hac inventione nondum acquievisse. Respondeo, quod diametrum & circulum ad partes ei conformes hactenus non reduxerint. Circulum enim gradibus, minutis, primis, secundis, 8cc. ut olim o adhuc dividunt: diametrum vero inminutissimas partes aliud genus concidunt, nempe IO OOOOO : neque docent quot harum partium unum gradum aut minutum circuli adaequant. Fateor, si nuum rectorum 8c complementorum , necnon secantium atque tangentium, cujusvis
arcus, proportionem ad diametrum investigant, dc propemo-
558쪽
694 ξ De ultimis rationibus continui Cap. XXXIII
dum accurate assequuntur: non tamen ipsius arcus proportionem ad diametrum eadem opera quaerere Praetendunt. Judicant enim ut credibile esto hanc inveniri non posse. Alio quin enim non dubium est quin dudum reduκissent partes circuli ad eas diametri. Hoc enim factu obvium erat. Nam si proportio 7 ad 22 sit ad amussim vera, multiplicata diametro vulgo recepta 2 OOO OOOO per 7, numerus Productus, nempe I Ooooo Oo, steterit pro diametro proportionali: & similiter multiplicata eadem communi diametro per 22, numerus resultanS, ViZ. OO OOO OO, steterit pro circulo integro illi diametro respondente. Quaelibet enim particula circuli sic divisi ejusdem dimensionis δc denominationis cum partibus diametri erit. Adeoque si nubus ad hanc normam calculatis, simul invenitur magnitudo arcuum, non tantlim ut sunt certae portiones circuli, hoc enim jam factum est ;) sed &ut comparantur partibus sui diametri: nempe, comparuerit quot partes diametri arcum cujusvis sinus confecerint. Porro, si desideres numerum datum ad gradus & minuta reducere, voti compos fias, dividendo numerum totius circuli per 36o, qui gradus erunt , 8c dein dividendo numerum unius gradus per 5o, resultabunt minuta prima. Adeoque numeri secun-dhm hanc proportionem collecti sic steterint :
Si animus sit c quod certe usus postulato partes sinus totius ad solitum calculum revocare, 6c una proportionem ejusdem ad respectivos quadrantis arcus retinere, facile poteris : videlicet, tam linum totum, quam arcum quadrantis, ejusdemque gradus 6c minuta, per 7 dividendo. Hoc enim pacto integri numeri, omissis fractionibus, proportionati sic restiterint.
559쪽
Cap. XXXIII. se disereti improportionatis.
Vethm enimvero, quando haec Omnia a Mathematicis negligantur, pro confesso est, iis judicibus, genuinam proportionem diametri ad circulum nondum inventam esse. Ιmo fortasse haec proportio tant lim mechanice invenienda δc probanda est. Ducatur itaque circulus ingens & accuratus, aut portio circuli, nam eκ portione circuli facillime colligitur totus & filo aut alia mensura fleκili eMacte mensurentur tum circumferentia vel, quod perinde est, certa pars circumferentiae ) tum diameter. Dein mensura utriusque reducatur ad partes ejusdem longitudinis ; & distincte notetur
quot parte S diametrum, quot circulum, conficiunt. Differentia enim numerorum Proportionem inter utrumque dederit.
Verhin clim mensura haec materialis sit, necessum est aliquid incertitudinis, sive a semidiametri intra diabili longitudine, adeoque a circuli imperfecta descriptione, sive ab inaequali mensurae applicatione, sive a majore vel minore tensura illi quo mensura peragitur, sive ab alia quacunque materiae ineptitudine, ali6ve accidente, contrahat. Praeterea adhuc dubium est, an peripheria dc diameter ejusdem magnitudinis partibus commensurabiles sint. Etenim quod diameter &circuli circumferentia nulli arte aliter quam in puncto mathematico ad contactum adduci queant, non sunt invicem applicabiles, nihilque reliquum est quo earum proportiones inveniantur aut probentur. Siquidem clim eAtensium & punctum inter se non sint proportionata, contactus in puncto nihil contribuit ad inventionem aut probationem proportionum extensorum. Punctum enim quantumvis multiplicatum nunquam e Xtensum, aut eXtensi mensuram, producit. De-
est itaque medium quo proportio inter lineam rectam & circularem ita e Xpendatur, ut ad certos numeros reducantur.
Concludo igitur , non dari arithmeticam proportionem eX-quisitam & demonstrabilem inter diametrum & circulum. Atque haec de primo modo quadrandi circulum. Accedo
560쪽
De ultimis rationibus continui Cap. XXXIII.
9. Accedo ad proportionem inter aream circuli & eam quadrati. In hunc finem partem Schematis prioris, nempetres circulos totidemque quadrata, prout in ecunda Figura exhibentur, re sum a mus. Sit igitur circulus A A extimus, C C medius, E E intimus. Quadratum B B e tribus maximum, D D medium, FF minimula. Quadrata tria manifeste inter se proportionantur. Medium D D duplo majus est minimo F F , & maximum B B medii duplum, es minimi quadruplum est: ut e X triangulis redi angulis, quos continent, inter se collatis liquet. Circuli quoque suam
proportionem inter se observant. Nam ut area quadrati maXimi proportionatur areae quadrati medii, &, mediante hac, areae minimi: ita area circuli extimi proportionatur areae medii, &, ea mediante, areae minimi. Clim enim
quadratum B B non tant lim iit circulo A A inscriptum, sed simul sit tangens circuli CC; erit utrique Proportionatum. Similiter, cum quadratum D D sit stimul circulo CC inscriptum, & circuli E E tangens, utrique proportionatum erit. Et quantum circulus A A proportione superat quadratum B B, tantum circulus C C excedit quadratum D D, 8c circulus E E excedit quadratum F F. Quare tres circuli& tria quadrata inter se suo modo, ut dilii, propnrtionantur. ut ergo quadratum maκimum bis continet medium, & hoc bis minimum: ita circulus eκtimus bis continet medium, &hic bis intimum. Haec confirmantur, quod diagonalis cujus vis quadrati sit diameter ipsius circuli, cui id quadratum inscribitur, & aequalis lateri quadrati circulum tangentis. Quare ut proportionatur diagonalis quadrato inscripto ; ita latus est quadrati tangentis, & diameter circuli minimum quadratum inscribentis. Verhm ut circulus circulum , aut quadratum quadratum, ita diagonalis diagonalem, & diameter diametrum proportione eXcedit. Diameter autem
circuli extimi est ejus intimi dupla, simulque lateris quadrati medii dupla. Etenim diametri circulorum ad hanc normam compositorum alternatim dupla proportione sibi invicem respondent , dc similiter quadratorum circulis inscriptorum latera. Diagonalis vero quadrati proAime majoris, ut est diameter circuli cui id quadratum inscribitur, ita est dupla lateris quadrati circulo proxime minori inscripti. Quare in Figura prima