장음표시 사용
561쪽
Cap. XXXIII. ct discreti improportio tis. 497
prima quadrati intimi latus duplicatam conficit diametrum circuli proκime majoris, & latus huic in Ccriptum similiter duplicatam diametrum proXimi , sic procedendo ad circulum
extimum. Verum diameter diametro & latus lateri alternatim tantlim dupla proportione comparantur. Ipsum autem latus cujusvis quadrati circulo inscripti est duplum sinugarcus graduum ejusdem circuli. Ita ut haec omnia accurate inter se proportionantur. Dices, hVc tantdm probare laxam uuandam oc quasi remotam proportionem inter aream quadrati & circuli, non autem dare unam aequalem aream tam circulo quim quadrato communem. Respondeo, probare dari aream proportionaliter majorem dc minorem ea circuli ,& consequenter, insinuare dari in natura mediam seu aequalem. Verlim,ut pressius hanc rem aggrediamur, Figuram tertiam apponimus. Sit circuluS quadrandus A A, quadratum vide Fipua ei inscriptum B B, quadratum e Xtra tangen S C C, quadra- ram tertiis tum medium D D. Per se notum est, aream quadrati inscripti
esse clare minorem area circuli. Haec enim illam undique,& insiper areas quatuor arcuum, sin Sulas chorda yo graduum subtensas, complectitur. Similiter manifestum est, aream quadrati tangentis esse ea circuli consipicue majorem. Haec enim tota in ambitu illius, & insuper areae quatuor angulorum eX-tra circulum prominentium, comprehenduntur. Si igitur velimus quadratum huic circulo aequale invenire, inter quadratum inscriptum & tangens quaerendum est. Nam certo certilis inter ista duo, aut nullibi, continetur. Supponamus iraque, tentandi grasia, aream quadrati medii D D elbe areae circuli aequalem, aut prope aequalem. Duo quidem ad huius aequationis demonstrationem requiruntur. Primum en, ut latus quodlibet quadrati portionem aliquam areae circuli praecidat i Secundum, ut, quantum areae circuli amputat, tantundem e Xtra eundem in se assumat. Primum evidens est, ouod Quadratum circulo aequale necessario sit malus quadrato inscripto B B, & minus tangente C C : quoniam eorum alterum circulo manifeste majuS est, alterum manifeste minus, ut dictum. Si autem quadratum aequale inter haec duo eκ- trema intervenire debe1t, necessum est circulum alicubi te cetiti aliquam portionem areae ejusdem praecidat: ut contLat e X
latere quadrati D D, quod secat circulum prope A A. Hoc . Si s autem
562쪽
De ulti Wis rationibus eonii nui Cap. XXXus.
autem dato, requiritur porro ut tantundem ab e Atra addat quantum ab intus praecidit. Si enim minus ab eAtra addat quam ab intus praecidit, quadrati area erit area circuli minor :fin plus addat quam Praecidit, area ejus erit major ea circuli :neutro modo aequalis. Sin tantum addat quantum praecidit, manifestum est quadratum circulo aequale esse, & hunc quadrari. Quadratum igitur medium D D resium amus. Satis autemesi si modo unum ejusdem latus perpendamus, caetera enim ejusdem rationis sunt. ) Latus itaque quadrati D D duos triangulos mi Xtos, a b, & es, ab area circuli aufert : idem quoque duos triangulos mi tos, c d,&g i, ab e X tra respeetu circuli
addit. Iam sit triangulus a b siit triangulo e d aequalis, profecto triangulus es erit quoque aequali S triangulo gi. Nam ub tie manifeste aequales sint ac ejusdem generis, & sun liter e d&gi: nec opus est hujus aequalitatis probationi ulterilis immoremur. Verdm de aequalitate triangulorum a b 8c e d adhuc ambigi potest. Vel ergo triangulus a b est major e d, vel e d est major ab, vel sunt aequale S. Si sint aequales, area circuli quadratur. Nam quantum areae abscinditur ex praecisis triangulis ab dc es tantundem eidem additur a latere quadrati eκtra fines circuli e X tenso, nempe a rege triangulorum e d&gi, aequales areis praecisis. Manet ergo area quadrati sie qualis areae circuli. Fortasse hoc latus medium in se multiplicatum absque conspicuo errore proli imam circuli aream commonstrabit. Dices, nondum apparere quomodo quadratum medium D D sive circuli diametro, live ejus quadrato inscripto, sive quadrato tangenti, comparandum sita, ut certo modo ejus magnitudo inveniatur. Respondeo, ejus latus esse aequale partibus diametri interceptis inter ipsa quadrati latera opposita, D D, F F, nempe entendi ab E ad Et hoc est, esse
sinum retium arcus graduum 5o duplicatum. Sinus autem hic, fecunddm Clavium, continet partes 866o23 , quae dupli coae essiciunt numerum 1732o3o8, qui inseipsum ductus producit aream quadrati, atque una aream circuli dati. urgebis porro, aequalitatem triangulorum ed&a b absque qua quadratura frustratur J nondum demonstrari. Fateor, sed hoc saltem concedendum est, dari in natura aream quadrati aequalem areae circuli: quod erat probandum. Si quidem hi trianguli, addendo aut iubducendo minuta aliquot arcui sograduum
563쪽
Cap. XXXIII. se discreti inproportimatis. SP ,
graduum, ad aequationem reduci possunt. Eadem enim opera triangulus justo minor sensim augeri, & triangulus justo major, dum ad aequalitatem deventum sit, sensim minui que
at. Hoc autem impraesentiarum scopo nostro sussicit. Meum enim est ostendere, non tantum dari in natura quadratum circulo aequale, vertim etiam hanc aequationem non esse numeris comprehensibilem & consequenter,triangulorum praecisorum iis ab extra admissorum aream numeris eXquisitis eκprimi non posse. Quanquam enim geometrice aequantur, arithmetice tamen demonstrari nequeunt : quod probandum restat.1 o. Dico igitur primo, quatuor triangulos aequandOS e sic Arithme-
mixtos, & ut ita dicam de h7bridum genere. Compo- tice eam
nuntur enim omneS e X duabus rectis lineis, & tertia circulari. Non ergo tractandi sunt ut alii trianguli, nec regulis aliorum triangulorum, sive rectorum silve sphaericorum, subjiciuntur ,
, neque constant eX partibus ejusdem denominationis, ut uno certo numero partium commensurentur. Dico secundo, triangulos duos ed& g i, cum reliquis duobus ab & es comparandos, diversi plane generis esse. Latus enim illorum unum conveXum est, horum concavum. Quanquam igitur agnosco duos conveXi lateris, ab & es, esse inter se aequales, de duos similiter concavos esse quoque inter se aequales: si tamen hi cum illis inter se conferantur, nullum Occurrit medium demonstrati Vum, quo sciatur an aequales, an hi illis, an illi his majores sint. Oculus enim de minutulis differentiis non est
competenS arbiter, nec alio medio eorum magnitudinem fatis accurate aestimare licet. Siquidem nullum eorum latus, nullus angulus aequalis est, ut inde arripiamus ansam eOS aequandi, aut ad numerum partium aequalem utrique generi communem deducendi. Interendum itaque mini est, triangulos ed 6c g i non esse ad eundem numerum partium cum
triangulis ab&e ita ut aequalitas demonstrari queato reducibiles. Quod vero dicitur de latere quadrati medii D D, id esse sinum duplicatum 6o graduum, licet admittatur esse
verum , non tamen probat posse id latus numeris exquilite repraesentari. Ipse enim numerus sinus 6o graduum non est eX-
qui iit us. De quo Clavius p. 119. sic loquitur: Ex hoema nempe eX sinu 3O graduum) per propositionem tertiam cognscetur sinus uomplementi arcus graduum 3o, vempe sinu
564쪽
sOO De ultimis rationibus continui Cap. XXXIII.
E H grad. 6o : f nimirum quadratum sinus 3O OO OOo ex quadrato sinus totius IO OOOOOO auferatur, reliqui numeri radix ouadr at a aecipiat ur , s 866O2 fere. ultima voκ fere fatis declarat ii num non esse plane eX qui illum. Vertim qui eκ periri velit, e X quadrato tinus totius detrahat quadratum g o graduum, remanebunt Partes 7 OOO OOO OO OOIo, quarum radiκ quadrata est 865 Oas , ut recte computavit
Clavius : sed remanet fractio 63 3 8 . Quae quidem fractio
in tanta summa respectu sitnUS cujus I 3ym partem unitatis non aequat o vix conliderabilis est : attamen respectu ejusdem sinus duplicati, sc in seipsum multiplicati, error non contemnendus emergit , ut necessum sit areae productae fractionem duplicatam, vi T. 131O958, addere. Sed eX his fatis elucescit, rationes numeri hic claudicare, nec Passibus aequis rationes continui consectari. Celisura II. Huc quoque referamus quadraturam meuisei, seu lu-qRoaeratura uule, quam Clarissi Magnenus Hippocrati Coo adscribit, ζyisci, qufimque anne κo Schemate accuratissime eXplicat , Iib. de Atomis cap. 5. Problem. 37. pag. 327. Vide Schema primum in Tabula et g calce Libri appensa. Titulus problematis est, Meniseum 'die lunulam quadrare. Sit circulus A B H , ut eunque ducto diametro A H, ct subtendente B A, stat eireulio F A C B, diametro AB. Erit eireultu in diametro A H dupluι eireuli id subiende ite A B descripti per a. 12. Circuli enim interse rationem habent quam descripta a diametris quadrata. Sed quadratum
ιiηee A H duplum est quadrati lineae A B per 7 primi , di enim
diameter ejus quadrati quod per lineam A B conitruitur ἰ ergo eireulin etiam AB H duplus est potentia eirculo A F B C. Erit ergo
segmentum in subtendente A B duplum segmenti A X s in subiende ite A C , sunt enim similes Durae,ctsmiliter descriptae per 31. 6. Uno itaque segmenta minora, lineis B C, A C, comprehens, s sumantur simul, aequalia sunt majori segmenio A E d. nuarta
itaque circuli majoris pars aequalis est semicirculo minoris, ex 2. I 2.
Clim itaque ejusdem circuli semieirculi sunt aequales, ct fabae qualibus ae qualia demas, quae remanent sunt aequalia , sublato segmeηto A E B, manebit mensem sue lunula A si B F. Similiter . ab altero semieireulo A C B tolli segmenta B IC, C X A, munebit residuum triangulum A CB, aequale tu, uiae AEBF: quod erat inveniendum. Ego quidem ingeniosissimi inventoris judicium
565쪽
Cap. XXXIII. se discreti improportionatis.
dicium 8c acumen tum laudo, tum admiror. Veruntamen, chm lunula quadrata iit figura irregularis, nullius prope usus, praesertim in Arithmetica, fuerit. Siquidem dividi tant limin duas aequales partes, linea duo a per medium lunae & centrum circuli, potest. Si ergh latuS quadrati, cui comparatur, partes 12 continere supponatur, totum quadratum 14 , &elus medietas 72, Partes cOMinebit. Fateor lunulam, totam medietatem quadrati ad aequa te comprehendere, eluique mediam' partem capere quadrati partes 36. Sed si ulte illis hasce partes 36, in lunulae medietate alterutra, aequales ocitatis distinctas quaesiveris, non abi inveneri S. Porro, quanquam Docti T. Magnenus unam tantum apposuit lunulam quadratam in minore circulo Ah CB, non tamen dubium est quin ei notissimum quoque fuit, dari aliam ostensae aequalem nempe in altera medietate circuli: prout repraesentantur in ad ' & 3- Figura secundae Tabulae. Tertia Figura exhibet tres circulos, duos exteriores, A, B , alterutrum duplo majorem medio. Medius contistit eli duabus lunulis, CR, DI & duobus arcubus, Em, F u, alterutro 9 O graduum. Chorda eos subtendens G H est diameter circuli minoris, & diagonalis quadrati lunularum unam sui in prima Figura o quadrantis. Eadem chorda est quoque diagonalis alterius medietatis ejusdem quadrati, quae quadrat alteram lunulam , ut in ady Figura monstratur. Lunulae & arcus in partes diametro transverso o p bisecantur , nec ulteriorem di vi sionem in partes, quadrati partibus proportionatas & aeuuales, admittunt. Secunda qu aquc Figura dat tres circulos, A F B C NA BH, N P H O. Alteruter eriteriorum duplo minor est tertio. Ad probandum tetragoni sitarum de κtrae
lunulae A F B Ε, sussiciunt verba Magnent, quibus simplicisimenisci quadraturam Inonstrat, o supra relata, ad hanc applicata. Literae enim dc figurae ab iis primae figurae non al1ter differunt, quam quod a sinistro ad deXtrum latus respectisve transferantur. Eo autem fine a me apponuntur, ut osten
dam hanc demonstrationem quanquam ingeniosissimam )parsim ad veram totiuS circuli quadraturam inveniendam contribuere. Nam reipsa quatuor arcus in ad R Figura,
a, c, singulos 9o grad m, quos quadratum inscriptum C D non continet, haec quadratura plane Omittit, Ita ut Ie-
566쪽
ssa ultimis rationibus continui Cap. XXXIII
spectu totius circuli, curiosum hoc inventum ejus quadraturam non magis promovet quam ipsum nudum quadratum inscriptum. Eosdem enim arcus, quos hoc, illa quoque intactos relinquit. Nihil ergo aliud videtur esse haec demonstratio, niti ingeniosa quaedam transpositio arearum quatuor . arcuum, quOS quadrati circulo inscripti quatuor latera subtendunt in medium ejusdem circuli , ut ita partes areae quadrati dicti exterius trudantur, de duas lunulas farciant. Non quod ullus hic fiat motus, sed per ii militudinem. Nasi quatuor arcus circuli NPHO, nempe arcus a, b, e, d, duobus arcubus, E m, Fu, in tertia Figura aequales sunt & duo
trianguli, N H P, N C H, insicripti circulo NPHO secundae
Figurae, sunt aequales duabus lunulis tertiae Figurae, C R, D L. Ita ut adhuc restant quatuor arcus circuli NPHO secundae
Figurae, viZ. arcus a, b, c, d, non quadrati , tant lim miro arti licio inter duas lunulas inseruntur , nec speciosum hoc inventum plus totius circuli quadrat, quam solum quadratum inscriptum eκhibet. Verum ne longior sim, quadratura circuli desideratur quae tam arithmeticis quam geometricis aut
paulo mi talis illis quam his ) operationibus subserviat , qualis
iupra a nobis si foret exquisita datur , nempe quadratum, ut ibi describitur, medium inter quadratum inscriptum 6c tangens , cujus radiX, ut diκi, est circiter sinus graduum 5o duplicatus, seu subtendens linea arcus graduum Isto. Atque haec sufficiant de secundo modo quadrandi circulum. Fractiones 12. Procedo jam ad fractiones interminatas, quae eviden- continui divisibilitatem exprimunt. Fractio: m hph enim di Visi Onis qu3 dam species est; & quicquid competitiam is, fractioni quatenus dividit, ipsi quoque divisioni competat nebant. cesse est. Verdm ut rectilis de natura fractionis judicemus, tria eam spectantia distinguenda sunt materia dividenda,
numerator, cu denominator. Materia dividenda est vel continuum ipsum, vel instar continui. Consideratur enim ut dividua. Fractio quippe frivola & nugatoria est, ubi materia circa quam versatur non est diviti bilis : ut puncti mathematici. Punctum hoc simpliciter indivissibile est, & propterea fractio eo spectans nihil, aut nihili, est. Sin materia fractionis siti dividua, ies a quoque fractio alicujus momenti fuerit. Quare divisibile, qua tale, est propria materia fracti
567쪽
Cap. XX XIII. se discreti improportionaim. 5 3
onis. Ut plurimum cst residuum prioris divisionis, quod totum complectitur, quodque a divisore, nisi in minutiores partes resolvatur, ulterilis dividi nequit : vel alias, est totum id cujus pars aliqua, aut partes aliquae, quot numerator designat, cuivis uni distribuendae sunt. Numerator enim, facta divisione, cuivis unitati quoti suam residui portionem assignat.
De numeratore non Opus est hic plura ait c Xamus. De nominator est qui poti lii in him ad hanc rem iacit. Ut plurimum eis ipse divisior prioris division js aut saltem est numerus qui dividuum in tot partes, quot ipse continet unitates, dividit, seu dividi supponit. Quare denominator divisior est , & fractio, ipsa divitio , numerator materiam divisam distribuit. Constat itaque fractionem in sua ratione includere divisionem. Veldm quid sibi vult altera vox addita interminata/JUt fractio ipsa divisionem denotat, ita interminata fractio divisionern sine termino, hoc est, potentialiter infinitam, di sinuat. Divisio enim quae usque & usque sine termino seu limite augeri potest , in potentialiter infinita. Siquidem quemadmodum numeri integri per additionem qucd Lern-
per augeri possint o infiniti e tia misi nunquam actu infiniti fiant dicuntur : ita fractiones quod per additionem perpetuo augeri queanto potentialiter infinitae sunt, nunquam licet ad infinitatem istam a diu aspirent- Ιnfinitas autem fractionis est in potestate denominatoris, qui per additionem novae figurae aut ciphrae a de Atra Perpetuo augeri potest, perinde ac numerus integer. Quapropter omnes Arithmetici numeros fractos aeque ac integros per additionem esse infinitos agnoscunt.
13. In memoriam hic revoco responsum Clari T. Toleti, Toleti re-Eiisput. supra citata , infinitam divisionem continui non esset uiri eoum infinitatem, sed extrinjeeam. Enimvero iι fracti' enhilhul ih onis infinitas sit infinitas tantum per additionem, non magis sinitate ex- est intrinseca quam in finitas numeri integri . utriusque e- pontiΗr.nim ratio in eo consistit, quod perpc tuo au.eri queat. Continuum enim divisibile in infinitum dicitur,non ob magnitudinem extensionis, sed ob naturam continuitatis, quae de se semper capa A est divisitonis, ut declaravimus. Dices, infinitas partes ad infinitam divisionem sustinendam requiri, quae intrinsec sie sunt. Partes enim rei sunt intrinsecae, ec consequem ex
568쪽
De ultimis rationibus continui Cap. XXXIII.
quenter earum quoque infinitas est intrinseca. Respondeo, infinitatem hanc consistere in numero partium infinito. Numerus autem sumitur Vel pro numero adluali, vel pro numero potentiali. Numerus partium potentialis eli tum infinitus, tum partibus continui proprius, intrinsecus 8c essentialis : sed de eo non intelligitur Toletus. Est enim de esse sentia continui habere infinitas istiusmodi partes divisibiles, in quibus ejus infinita divisibilitas sum cienter fundatur. Dices, partes ejus esse actu entia, & realiter distingui : non ergo constituere sollim numerum potentialem. Respondeo, non esse entia completa, nec complete eXsistentia, aut complete discreta , nedum esse actuali numero distincta. Quare, sint licet sussiciens fundamentum numeri actualis in intellectu, si modo intellectus talis numeri foret caPaX ,) non tamen esse materialem numerum ultimo actuatum : quemadmodum decem boves sunt decem, & tanthin decem, nec plures, nec pauciores, nemine cogitante. Partes enim adaequa te conceptae unum sunt, & sibi invicem atque toti communicantur : sunt autem numerus quatenuS inadaequa te concipiuntur , praeciso conceptu communionis inter se. Ubi enim partes seorsim ab invicem concipiuntur, earum unio non considerando praeciditur, & contemplamur soldm distinctam, & mente quasi divisam, earum entitatem , E sic sussiciens fiunt fundamentum in intellecta cujusvis numeri actualis : quanquam in re non magis ad eum numerum quam ad quemlibet alium determinentur. Sunt enim in potentia ad omnes numeros, & ad nullum unum prae aliis, aliter quin, ab intellectu & per ejus designationem restringuntur. Numerus vero partium actualis non est intrinsece infinitus, sed per additionem , quemadmodum numerus integer infinitus quoque dicitur. Non quod novae subinde partes divisione fiant aut addantur 1, sed quod partes, quae fuerant antea potentiales, per infinitam divisionem successivam ad infinitum numerum actualem tendant, eundem licet nunquam attingant. Numerus enim potentialis infinitus, divisione
actuali quae extrinseca est ) successive sine fine instituta, tendit in numerum infinitum ae tualem. Quoniam vero a sbia divisionis additione infinita, actualitas hujus infinitatis dependet, est infinitas per additionem rei extrinsecae, videlicet divisionis ἡ
569쪽
Cap. XXXIII. De ultimis rationibW continui, se. sos
di Visionis 1, & consequenter, est infinitas hoc respectu extrinseca, 8c ejusdem rationis cum integro numero infinito per additionem. Quo sensu accipiendus est Toletus.14. Atque hoc fractionibus interminatis seu infinitis diluci- Fracti . de monstratur. Sit itaque materia fractionis massae auri pondo ' in emutium ; sit numerator 12 , denominator interminatus seu in- ρι, finitus , hoc est, per additionem seu Per multiplicationem ivit
Denominator in infinitum, addendo figuram aliam, atque subinde aliam aut plures, a deXtris, augeri potest , & consequenter, ut est fractio infinita, ita declarat materiam ejus esse in infinitum dividuam. Dices, partes, aucta in infinitum diVisione, demum ad nullitatem reduci. Ne metuas. Nunquam ad infinitam divisionem devenire potes; neque unquam continuum ita attriVeris, ut Partes ejus annihilentur. Fuerint enim adhuc aliquid eXtra nihil, & alicujus quantulicunque pretii: pluris certe quam si ci phra foJ aut minor numerus loco numeratoris ponatur. Imo adhuc decuplo, millecuplo, 6cc. ulterilis comminui possunt, addendo figuras quot volueris a deXtris. Clim ergo fractio quantumvis magna nunquam materiam dividuam in nihilum redigat, constat eam esse in infinitum divisibilem : & consequenter, clim nullus detur numerus actualis qui in infinitum sit divisibilis, patet inter ultimas rationes continui & discreti, seu numeri a ualis, nullam intervenire proportionem : quod erat ostendendum.
Sed prolixior jam fui quam vellem. Alias objectiones, de motu, de inaequalitate ejusdem, viZ, de velocitate & tarditate motus, de tempore, ej csque continuo & aequali fluxu, in alium locum, si is forte se aliquando obtulerit, elucidandas reservo. Tantlim hic de Minimo naturali aliquid subjungendum videtur.
570쪽
De ruinimo naturali. Cap. XXXIV.
1. T TOc Caput eorum potissimhm gratia, qui, quod omnia
LX corpora ex minutissimis corpusculis componi agnoscant, in Atomicorum castra se secessisse plane arbitrantur, subteκendum erat. Nimirum ut ipsi, quantum ab aliorum Philosophorum sententiis recedunt,certilis intelligant. Enimvero Peripatetici quoque, Omnia corpora e X corpusculis, seu ex particulis corporeis,numero potentiali infinitis, hoc est, siemper divisibilibus, confici, largiuntur. Verhin dicunt hanc compositionem esse tant lim integralem dari alias quoque compositiones substantiales, ut essentialem & elementariam.
Partes integrantes unitas constituere corpus quatenus continuum , partes essentiales idem conficere quatenus est determinata essentia seu natura praeditum , partes denique elementarias idem quatenus mistum, & elementis quodammodo contrariis contemperatum , componere. Resolvitur itaque mistum in elementa , puta, oleum seu sulphur, mercurium, sialem, phlegma, & terram seu caput mortuum , nimirum in partes diversorum generum, quas haec analysis solas contemplatur. Deinde, solvitur in partes essentiales ; nempe in materiam primam, & formam physicam : hoc est, in naturam seu es sientiam primaevam, perpetuam, per se subsistentem; & naturam seu essentiam adventitiam, additionalem, caducam, qua interim compositum specificatur. Demum, dirimitur continuum in partes integrantes, seu corpuscula' minora : quae divisio non solicita est sive de partibus essentialibus, sive de elementariis , quemadmodum neque Priores de partibus integrantibus. Jam vero qui partes has, nempe integrantes, in corpuscula, usque dum ad minima naturalia deventum sit, dividuas admittunt, non propterea tenentur
Atomicorum principiis statim subscribere : sed iis adhuc liberum est, partes sive elementarias, sive essentiales, simul agnoscere. Quare minima naturalia & atomos quo sensu concedimus, aut negamus, opus est hic pressius declaremus. Inprimis