장음표시 사용
51쪽
Hs erae sed potius voletes demostrare petiit eas si Vc edsie veras. Caput quatist de primis coclusionibus geometriae Q pertinet ad lineas Sangulos figurari sim pisciurectilinearu . AGNITUDIN IS palliones quasgeometrici co siderant In genere quide pauci irimae sunt: ut distensio.dsuisibilitas. repletio occii patio Sc. sed in speciebus plurimas inuestigant.hoc est de lineis. superficiebus. corporib' a solii tres sunt magnitudinis I species in genere qu1titatis. Immo nec de liness aliquas dem cistiant passiones nisi in ordine ad superficies corpora solae si gurae sunt de quibus ipsi mari me curant. Incipiemus igitur dicere de lineis ad angulico currentibus in hoc capro. deinde veniem ad superficies lineis terminatas: octande ad corpora superficieb'claudiitur. licent strua bini ordine rectit κnirnis p media ad maκima deueniendo. Sit igitur Oim coclusionigeometris carum haec prina a licet euesides ab ea non inceperit. Prinia conclusio. Si recta linea super alia recta lineam steterit: duo anguli in quolibet latere aut sunt recti aut duobus rectis aequales. Εκ quo patet. Totum paci lim P circunctat aliquem pulictum in plano quattuor angulis rectis esse aequale.
Nam si super linea a b incidat linea coici 1 seper ea mendiccularito cadesvel non: si sic traberie
duo anguli recti in larma P diffinitione angilli rem . si nos perpendiculariter cadens. dico erunt anguli eqtiales duoluis rectis: licet nosint in fomia recti. quod osterulo sic:sit alia linea e dimidiuculariter super ara linea: cratcriduo anguli a de re ob recti per distinitione anguli recti ripis ea duo anguli a dcetc deinde illa imi angulo a de per prima aninit coceptione ergo id duo ansiliae an loco oliteqtiales duolius rectis per tertia animi conceptione. quare oes illi tres anguli sunt equales inrob'rectis. ERd anguliis c d bobtusus est equalis talo is ex illis: qt uni oes eius rarus: ergo per quinta animi coticeptione angulus colobiusus maligulo ad c qui est accutus est equalis duobus rectis. et l)oces quod uolii titiis .icorrelarisiit quo quo melictas vacira est suo puncisio valci duos rectos. alia medietas stiniliter instrior valet duos rectos: ergo tota pacia ua stet quattuor recios.etu Elasin illud spaci si diuulatur in inultos angulos si oes illi anguli sint paru es Ilvas pacis totius oes preost valent quattuor rectos:m Pt per prima colinitu scientiam.
Oim duarii lineariu sein uice sequantiu es anguli cotta se positi sunt aedle .
Ista patet per premissamina nio anguli a ec et si colunaimrant equales duoriis rectis. similiter ouo anssilicebet bed simul iuruli sunt equales duobusrectis ergo duo anguli primi simul suiueqtiales duobus postrentis. plo ergo angulo comuni puta ce reiidua erunt equalia. s. ae e et d ei per sex am comuncili scinitiatri: et isti sutit anguli coirile positu ergo anguli coiitra sepositi suntcquales quod erat demonidiandu. et simili modo proba de reliquis duob: angulis con a se positis.
Τertia conclusio. Si duabus lineis equedistantibus tertia linea superuenerit Gales quantos vla una illarii lacetit angulos: tales tanto'; faciet super reliqlia. Eκ quo manifestuestu omnis angulus eκtrinsecus angulo intrinseco sibi opposito est equalis .ctu quilibet anguli coalterni sibi inuice sunt aequales. Set qui is duo anguli intrinseci Neweade parte costituit duo b rectis laut aequales.
Supponamus ibic diffinitioiia linear.equedistantia quas greci paralellas vocant sunt eni lineolatum a stipis distanico in principio sicut in medio et sine cartim. rant grue litice equedistὁtes a b et e qii ibi linea et sinperueniat dico et quales et quatos angarios costituit liliea es niper lili ea a b talea et latos costituit super linea ciet eode ordine: ita u an pili superiores ince a b cilitatam aligulis summioribus meec et inseriores inferioribus e cade parte lilice essurriptis Verbi gratia nisu lussu dequatur angulo let angulus lasti nilita angulo in et ita aliis. Labrobatur ita si angultis lnon it equelis ansulo .ergo alio illo crat maior:sit avsiluod iliai sed anzulus si et anauli 's
52쪽
Ibo ctarunt: te consequis nostiliteque distantes contra ipotesim: emn tig ur duo mi V is Jersia,bandae modo arguitur dei et in .seniliter de lim et qui sunt α edi ibit heu, quediscnnbus diciis.αὶ atri gini pina a pars correlari solsi m onedo ter
'Iαitio et inferius dextrὲ et linistra linee cadentis:cuiusmodi sunt lieti .c sint equales Ara divi a 'i ui equales per prima parid correlarii. sed angulus est equalis angulis straui per premissa in ira argutus L est equalis angules per tertia coinuri lci tia ret: in , ibi in et in qui sitsuili angilli coalterni. Tertia pars statun pn.sq6 duo anglisti in cleelidem parte sunt equales duobus rectis puta k et mi in ira: per prima sunt quales tabus rei est qualui riccunda parte co:rclarii:ergo ena k et in valent duos caes. Quarta conclutio.
ci uatur asit nauae rinscciis it costiniitur .ptractione aliculus lateris incontinuli direct5. - ii mi a Trabaturaesus ac uspado. toc angulus d c dicitur extrinsecus: et duobus
ati inta conclusio. Omnis triangulus habet tres angulos equales duobus rectis. inam totus amnilus Nod ex iisecus est equalis duob intrinsectist, b sibi opposito diremissandis Idaeis ibi iii inscco inguia cinnuit secu coi totuerat equalerii ob' rectis Possi indo, o et bili angulo omirinseco sunt eqles duo, rea st mnia coem incntia. Scκta conclusio. Omnis figurae poligoniae Oes anguli pariter accepti tot rectis sunt aequales Quot sunt ipi duplicati deptis quattuor. EXquopt3qlibet seques in ordies uram poligoniarii addit supra praecedente duos rectos in valore.
sitio oriore precedciitra resolueris qualibri tale figi ira iii tot triaiasyllos quot sunt anguli
a sit pentanorius a b c d zdico in eius anguli quinae sunt equales deceni rectis exceptis
es irat i 'Id sunt equales. sistando igitur sigilli aliquod in medio sit .ducatur 2 diu o linea recta erunt quinet irianguli iuxta numera aliaulo: pcntagoni:quor angu
iii valent sex rectos. atri corretariuii indiu nue.
Huic Gioni addis alia de valore anguloru Gtrinsecoria taliu figurarum in ola figurae poligoniae omnes anguli eκtriseci liuor. recti sunt equales.
muniente riseciet inti in cisimul bis tot reciis equalesqt fuerint anguli figure principalis per Criniac clusione intrinseci asit tot rectis sunt equales quot sum anguli duplicari exceptis q.vis
N I i tergo urinsecitavisi. .superaddsit.Duius citemplum babes:si ducas lineam' incisi si et Irta ex parte aret linea ob in partem b. sic de aliis.m patet in figura. Et intelluiniri: Mo te angulis extriu secis simplicue et non duplicitae m
irinis accq iam unus tantam ex riniccus et non duo.
Septima conclutio. Trea sigurae regulares scilicet triangulus quadrangulus δἰ agonus replet
locum et nullae alix. - in icim asit saura regularis .est equiangula et equilatera: reptae asit locsi dicitur di occupare totuvacia 6 circinat alique punauis plano. pars affirmanua.rbamla est dei iangula et Gugono de
53쪽
quadrato mi plansseshqrcsibal torritico anpilos se iri fori narcit .ustiir n. q. simul ponani tot si pac si occii patiunt: in piis ossi locutii repleburit. De exagono it ibatur cu 6.anauli eiusue lint cauales. S. rectis per prcinissa tres erus an Pili valebunt. q. . eae s. iginirn tres erassori potiantur nitivi circa pulicisi ut plano replcbuiit locii. De triangulo simila pixum an nil' ex soni est duplus ad aligula' igoni stium regularistas pr3.qr tres anguli ermoni valent plumeo et sunt 3. tali trigoni. q velex .reci. s.gininiplo plures trigoni redrum ad repletione lociu exagoni: scin escias ireplent: aso Gisgoni replebsit. Conrina nar ur tres aliaulii' ivalem duos rectos. g. o. valcbunt. q. et sic repleburii locv. locu crsio replere icsitur. exagoni p. tetragoniet. 6.trigoni equi lateri. Neganua Parsitatur.cu uulla alia figura regularis sit apta replere loci: supposito uel sequens figura balin iliatores angillos in prior precederis: de p3 ex coarciario premisse: na quel polloior addit per correlaristicedetiris supra precedente in vat ne os rectos et vii alit ut uinero. sed nullus angulus vim pol valere duos reciosi diffinitiori ari miliplarii: qradussore duo:ureaorsi requiritur cotarius lutearsi directias: cussi triedietas Paci platilistrati sinittitur alid ad reliquos. sed id nisi ad qr anguli sunt equalos in tauris regularib de qui, hic loquimuri quareois aligulus figure posterioris maior est uiroi3 angulo p:io iis ire Ex quost et nulla figura post exagoitu nata est replere lora qrvi accipiatitur resaliatili reai Arisngure posteragoitu illi sepoabudaiit. milliena duo anguli replent octa . sicut liecitae line emulsit Iuperlicie:q em nullus ansiritus u nanciatim magnus valci duos rectos: ergo ne cduo anauli valent uuattuor recios per diffiiiittolle liguli plani. I iamragonus mTllo repla.qr. Langiali cius no ualetia uattuor recios: alioqui ibat angillos ita magnos sicut etagonus: et quatinor eius anauli milia quaturor rectis valent.qr sequitur tetragonsilli ordine figuram si e se T. coctussones sit de isto capso:quaru nulla est mno depelideat a meden et ad cutici no assutriatur excepta primara ex line
Caput quin tu de angivis figurarum regressientium angulorii
ita FIGURIS planis duo posuimus genera. s. figuras simpli
ces quae solos intrinsecos habent angulos. dc figuras copo et sita simultplices angulos ostendulta intra J Atra figuras Has pectiliari vocabulo figuras egredienti uianguloruio/cant. de quib'rarus est sermo apud priscos geometrscos: na prini eoru qui de hac materia locuti sunt fusi Campaniat comentator Eucludis qui sua coclusione primi libri de solo pentagono egredientiu anguloni parii te tegito hoc no nisi satis casualiter: hac de causa de tali by figuris pauca trademus 5 valde generaliter questigia antiquorum insequi stat nimias in his nostris introductionib' Dicis ergo si rura e redi e
iiii auguloni illa plani poligonia aut rectilinea uepria a Item in utrari
parte sunt protractaeκtra figura done iteri cocurrat bina ct bina. Et cum
dictatu figuraria possint qda esse regulares aliae irregulares inpraesentiarii et solis regu harib agere intendina'. premittentes modii generale descriptio
figuraru regularui. Cui eni circul sit in figurar ptim Iae, inde si ἰnaa si descripto circulo occulto.i .no colora in papiro: ciminci euti
quolibet illius sectionis pucto ad altero in ea colorata duκerimns: habebimus figura rectilinea regulare . hac Tri obseruata differentia: i in descriptioequentem . sic deinceps nullo pia sectionis medio dimisse. Sed in fi ruris egredientiu angulorii linea stlibet, ad proximii punctii sed ad tetitum vel R duertendu das figurae regulares egredientium angulorum multiplices
unt Sper varios ordines distributituran primo enis ordine sunt te π
54쪽
an pilos intrinseco sigurae simplicis habet singulos aegredsentes angulos: id est super unum angulti initin secum vnim angulii aegrediente: in lacndo ordine figure habent duplices angulos aegredientes: ital superinii anguis Irim intrinsecti figure simplicis habent duos angulos aegredientes: in tertio Ordine tres: in quarto quattuor: S sic per infinitos ordines procededo. Erugo qui super circulo occulto Sin plures partes equales diuiso voluerit dea scribere figuram aegredietium anguloru primi ordinis: lineas laterales pro trahere debet puncto ad punctii uno tantum pucto sectionis medio inter scalarirer dimillio in liguris secundi ordinis duobus punctis mediis relictis: in tertio tribus: inintrario quattuor: S sic deinceps. His praelibatis ponamus
Paucas conclusiones. Prima conclusio.
Figurarum egredientium angulorum pentagonus est prIma simpliciter.
Ista proba ex principiis nunediatio: lili ante petiti a Solia linplice ito sint, in dire figurat si spescies triangulus quadrangit lus ex correlario diate peti noli adiu licto Mnem triangulus nem quaradrangulii fieri egredietui innatigii lora figura de qua pud utilitati risi penta laus est pina dura modi figura z. Iitria trigonsi citi no fit aliqua figura egredientia angulor ahq in in eo via siquodq; Iaruma Niob et id lateribus intersccassilii a propter iiii possibile est viili illosi uerat, si reliqtio cooarrere u citata periti ite alias due recte lineoladficiein claudaerit. De tetragonolde probat: nam sint regularis ira impla: latera ei' opposita iunt linee paralelle quas inpossibile est cocurrere Prema preced tis capri: alia voeo laneinet cocuri eruit nec possunt iterli Murrere. Si vero sit tigri ra irraregulario masnae exiit debita latera positione latera oppo: Ira cocilrrent cide exterius in altera die tantast quarta petitione: naitio alis: Ii interiores ex Ola una parte eruit ililliores duobii sitatis: altera rotriviores eis: qllare nollet sic ligura integra eyclicii tiliangulara. tae pnitagono auternu eande uria peritione deducis polst esse ligura nil hau miscera egredi ciuili anguloru: q. sexta Precedrus capsi: eius tigriti intrinseci oessunt obtuli: δ latera exterius it mi in cocurrunt bina et bi stra ad omne parte figure. est ergo pentagoniis prunali in figurarum egredientiuin ΠSilomin.
In quolibet ordine figurarum egredientium angulorum prima ordinis ses
quentis sumitur eκ tertia ordinis praecedentis.
mclaratur bocmo inductive: nasicut triangli Ui:la figuram'inplici poligonia: ex tertia linea recta columito inima petitione: et p&agon pria figuras egrediam angulo irronita peragotio lilii, Plici crua figilia ordine simpliciti ita p:ia figura soli ordinio egredienti angules silini ab eptagono uerat terti irrio ordine: et pina terni ordini sudariti non agono erat tertia figura sidi: et uconrinali sordinibus ni reline. dotadecoctusto dononstra resumpta donostratione precedetis naP:obatio de n iangulo aptissima erit pine figure ordinis precedetis er illa no possit furi figura ordi α iis sequens: eo ς' una o lat' cius iam tetigit quo litin aluid aut cocurredo aut secado: ideo tina misi tale est aliq6 illor iteracii alio cocurrere u quinta petitione 2 atio vero de quadrangillo con cludri a de secunda figura orditus precedetion, io possit cise plecta figura ordinis sed ii ii aeqr I sit regulariol abet latera equi distana que no possunt coairrere: li irregularis ex una tantsi parte con Gcurrent et nos alia. Sed Nitiostratio de pentagono ex angulis preced ubi obnita cocti idei dea crram si gura angulos sequeris ordinis ci in ea possibiles: nildila obitat veritati nu buius coclusionis.
Pentagoniquini anguli aegredientes sunt praecis equales duobus rectis.
Sit tragonus. a. b. c. d. e. in quo lanis. a. c. sectaura lineae b. e. in puncto. f. et a linea. b. d. in punctos mergo anguliis. sequalis duobus angit lis. e. et.cicui linteririnsectis ad eos in mangulo. f. e. c. pcrquam in precedentis eapsi. Eandem ratione angillus. g. erit equalis duobus anssilis. d. et.a. Isit mrinsecus ad eos in maligulo. g. d. a. sed duo predicti anguli. f. r. g.cum angulo. b.sulitizecise equales duobus rectis et iliata precedelitis capsi: ergo stini liter illi quatilior anguli .a. c.d. e.equales duobus. Let. Rililicii simul cur an pilo. b. valebunt duos rectos per octauacbem scientiatu quiae Quali trusinitantitatibus additur idem commune: scilicci angulus. b. ergo i corcina propositulum verum. x quo sequinar o siciit ordo sitnplicium figuraruit inrepit a duo litia rectis in valore:
V p;obauit quinta conclusio precedcillis capitis citatris: unus ordo figurarum egredientium an*s ogonus p:imi ordinis. tagonus prinis linis. et ei irasonus primi ordiniscExasonus priini ordinis.
55쪽
Eptagonus secundi ordinis. octagonus inundi ordisiis. Aonagenus secundi ordinis. Nonagonus teri . linis.
lorum incipit a velore ducuunt rector uni tmodo probauimus. Immo et quilibet ordinum Bequentium uicipua figura cuius onus anguli Fcdiciu es in tali ordine valem Precase duos rectos.
In eode ordine sigurarii egredientiu enguloru quaelibet seques addit supra
suam proNimo precedentem duos rectos in talore.
Imid licci muta et demosti a intrinac sic persuadon'.sum ossis erit in prima fis orbiis ordinio. io penti agon' valeas duos recros a illa dia bracii umera impar angulora: sequens dabebit anguestos suos oes in numao pari. s. a genus. sed ille stribitur ex duobyci tanguli sibi mutuo inuola qui ualent quattuor rectos: eadcin ratio est de octogono qui Micrabitur ex duobus quadrans valis tibiis octo rectooo sexta Dcdcratis captu ergo eptagonus limcdlo rclia validit sex rectomca maiores sint ei' anguli u exagoni et minore, ocre otii similiter ederint ad octagona ii valet duoes decim rectos costins ex e uobus pentagonis simplici : ergo nonagora' valebit dec rectos rone icta. su de aliis tibus figuria primi ordinis cyedimii anpilosi me creddita est esse vera in aliis ordinibus equentibus. l. Q prima cuiustibet ordinis figura valci duos recios irast. et . quelibet seu quens addit lupra suam prorimo prcccdente duos rectos in valore queadmota supra dice in defiguris simplicibus . in quia aristotcles in ei dicas par cassisse putat ab oratore demollianonrexigere: et a natimnalico persuasione reciperrino coleri predicta suasione addenius alia in coclusione in qua omnia quem l 3 capso diximus valeant demonstratione probari.
Cuiust ibet ligurae aegredientium angulorum omnes anguli sequentes pariter accepti valent tot rectos: quot valebant omnes anguli praecedentes parister accepti demptis quattuor.
Vocatim hic an ii equentes anguli egredietes ordinia seqvlais anatili inedentes sunt anguli flusure simplicis vel anssali Medimates orditiis precedentia. Uerbita illa. eptagonus simplo per saratam precedentio captavatri dec rectos: sed epta tuis egredicii tillangulorum primi ordinis valerabit sex rectos. Issonus vero egredientia anguicuas di ordinia valebit duos rectos: vri descidie
per qu arma amos decrescoedo. et sic de aliis figuris et ordi tribus suo modo. et ester asesita rui' coclunonis valde generalis que cotvdpendit tota scienna butus capri: et cui demonstrano peridet ex quarta et sexta coclusionibus succedin aer cuiuslibet trianguli angillus cin insicus equalis et duobus iii triti Iccis sibi oppositis .et vita an ii extrinseci ci illislibet fi Iire simplicis valent pcile qua tali ior rectos Tectu arguitur.quilibet anssil' prccedis in imo fissario σὲ extrinsecus in quoda mangulo ad angesu Miumonet ad una ansulae arinsessi figure simplicis: ergo equivale est a leuitalis illis duobu quare omnes anguli meredentes simul au natant preci se equales a noulio sequeties pariter acceptis: somniinis eririnsecis iurare simplicis. Ogo anguli sequnites valent minus in preeccdentes prccise quamloricaos.quod praedit nostra conclusio Uam miti agono egredientia eugulorum quos supπior tertia cociusso duius capd: angulus inmtiscedi re simplicis qui est super punctu eduralis enaliguli si et g. quora virus est egrediens primi ordinia: et alter Ottruises fissare simplicis: equalis tu qua: qa est emuiscar ad eos in angulos,b. Eaderatione quilibet aliorum anguloruin eiusdi pentagoni simplicis ec litu alta viai egredimii prum ordinis et uni extrinitio mi ire plicis ergo omnes quinu anguli figure simplicis amul accipn sunt equales omi di egredi ciuibus primi ordinis et quini exu nsecis pentagoni simplicio. rapto ergo Glore uisl num quinq; extrinsccorurn: qui sinat ullattuor per latram capituli precedetis: reinanci vasore imesedientium primi ordinia scilicri duo recti. Iam quini anguli pentagoninmplicis valebant intrictos. a quibus Amplis quattuor recns clinquutitur duo recit. Eadem probatio currit de exaucono es e clientium angulo viri primi ordinis.1.et valeat quattuor rectos nam exragonus inpice valebat octo rectos: militer eptagonus simplex valebat cim rectos: a quibus demptisqitatiuuor reinanentiri recti valor leptem angulorum egredientium pruni ordinio: sic Saliis. Ergo vere sunt omnes predicte proposinones in figuris, edi nitium an lorum primi ordinis scilice in p:ima earum valet duos recios: et tu quelibet sequens addit supra suam proximo precedentem in e demor line duos recios in valor in ali mota uia bus eadem est probatio. na quilibri angulus egrediens primi ordinis equalis est an lo egredienti secundi ordinis sim superposito et viii angulo extrinseco figlire simplicis: quia est extrinsecus ad eos in quodam triangulo facile Ignabiliremo omisnes anguli eptagoni prinii ordinis simul sun euitales ibi a nautis eptagotii fecitdior is et stipualigulis emitecto eptagonismplicis luale quatinor recios. Ob deptis a valore eptagoni sordinio. s. a sex rectis: rcinanti duo recti si est valo eptagoni scii ordinis .s Ll ergo sies clientium
angulorum incipua duobusrectis. ut superitis Wonc batur. Ite ac gomis egredientium anguloruni primi ordinis valebat octo reciofra quibus ocinptis quattuor ratione la dicta: remanent quat
56쪽
Lbtrit GEquattuor rectoua quat ordecisionagora simplicis:ergo non agon stat ordinis ualeri,
sex rectas. et M de ali ameeli eordine: v clariis me costat*qlibetngura seqti is addit lupia sitas arilino precedente duos rectos in valore: id superius noctu erat demonstratu sed soluin pei Iuasui nudio tertio ordine figurarsi egredimitia angitior baud aliter xbalniis a pones prius dicias. narduptis quattuor rectis a valore noriagoni caedi ordinis qui eralit sex reai: remanet duo recti valor nodi tragoni terni ordinis a quo ille ordo incipit. quilibVeni angulus egredita scdi ordinia est equalis alignio egredieriti tertis ordinis sibi superponto et uni angulo extrinseco nonagoni simplicishqr est otis trinsecus ad eos in quod1 triangillo facile reperibili Ocinde eade via probari posta. 3κcagonus tertis linis valet quattuor recios. vndecagon' sex rectosinc de aliis per contii tua additione duo; recto: si .Daa uso de imprimo libro qui erat de conderationib'sornetrie conuulidi'. I Si trit ad moris aptare licean diceni' in geometrae principia ii coplexa corres iident priinis pucroratio inde bono et malo quas )abent prefectas sp ad lepidii tui. Comunes uidite:priina delicidi iuris naniralis principia per se nota: ut declina a malo et fac bonii etc. Coclusiones septicone te deIgulis figurara simplicia: virtutes ostendili lumine ronis naturalis acquisitas ritu sua comitione Plaeti orto euadat:diaciat beato ambrosio super luca conoe su i sunt cocatenateca virtutes ut qui vita l)araheat plures 'abere videatiar consonat ei gregoriiis in moralibus Virtutes uuauit si sint dissutiaeno poliunt Me perfecie.nec prudelia vera est que iis a. teperans. et fortis no est. et de subdit de aliis. Unde limatre dicitur et quclibet talisi mraru ac dit sit per precedent e duos rectos. l. duplice iudicierectinadmeri est ad se et ad alist. 'porro gure egredientier angillorsi: ad virilites intusas: ad dona spiritus lancti. ad beatitudines talangelicas: et ad frui cibaritatis Ptinere videtur sci miliersos earii mordines.na in eis ordo sequens no aum sed dimimilia precedente: q,hulnilitate alist. Unde ons aptis in supino Placitonis statu collocatis dicebat.d maior est vestia sit alio minista: etssim'potis ei:
strii struo in se notar.et e tria mota bis alia supradere cuilib3 ingenioso erit valde facile.
Eiber siccudus nostri copendii geome
triae defigirris planis correspocles quattuor primis libris eu clidis. Habet simiTr capita' ustac sicut praecedens.
Caput primum est de diffinitionibus terminoni ad hac geor
ONSEαVENS ERIT post lineas angulos ad figuris
plana transigere ut dicamus de eis lacundum considerastionem specialem faciendo propria capitula de triangulis: quadrangulis Scirculis secundu ordinem quem obseruauit
leuclides: addemus 3 aliquid de figuris isoperimetris quas ille
lpraetermisit. sed habebimus compendiosum sermonem di, missa antiquorum vastitate: qilia introductiones tantum mathematicas in hoc opere nos tradituros cise promisimus: non ipsa scientias integras Et more solito ante demonstrationes praemittemus dis initioneso diuisiones vocabuloru3: specialiores tamen illis quas in principio libri prioris prelibauimus. Repetitis igitur diffinitionibus trianguli. quadranguis,Scirculi.diuidemus haec genera in suas vel species vel partes. S singularum partium dis finitiones subnectemus quae erunt media in demonstrationibus passion uniquas inquiremus.Triangulus est figura plana tribus restis lineis contenta. Triangulorum .alius omnium triti laterum aequalium: di vocatur, sopier' graece: aequilaterus latine filius autem duorum aequatium later umidi vocas rvrysocheles graece: equitibiarum lattine. Alius trium laterum in equalium Nvocatur an socheles vel scalenon graece: latine vero gradatus: δ isti diuisio sumiture pie late; PE parte aut anguloria diuidstur in orthogonii qui ha bsvnn angulum rectum: Sin ampligonium qui habetvnu angulum obtusus di duos acutos .disnerigoniu qui habet omnes angulos acutos. Dicitur etia
57쪽
quadrangulus ortogoni 'moes eius angulistin recti S quadr1gula diciturysopieriis cum omnia eius latera sint aequalia di omnis figura equi latera insuenitur ab auctoribus iso plerus dicta. Osdrangulus est figura plana quatuor rectis lineis contenta. Oaradrangulorum alius paralellogramus.s.aeque distantiu laterum alius disparalellogramus i .snequedistantium lateria Paraaleslogram orti allus est haben somnia latera aequalia di votatur quadratna vel quadratii alius tantii oppositorii laterii aequalium di vocatur altera parte longior.auadratoriim alius ortognius: Suocatur proprie quadratus Auus inequalium an guloni di vocatur heli malim quia habet semper opposito
angulos aequales sicut demonstrabitur.Altera parte longioriam alius orthos gonius qui ab aliquibus tetragonismus appellatur alius in equalium angugulorum 6 vocatur similis heli malim S dicitur similis heli malini quia hasbet opposita latera Soppositos angulos aequales. Omnes vero quadranguli non aequeditantium lateru sunt helim alim. i.irregulares figurae: S istae ira regulares nominantur non et aliae omnes sint regulares: quoniam sol 9 quaadratus est regularis in genere quadrangulorum. sed qm istae figurae plus irregularitatis habentcbalii quadranguli eque distantium laterum.Circuli vero diffinitio data est prius: resumedo tamen breuiter diffinitione circuli. dico
et circulus est figura planaeκ medio aequalis sicut sphera est figura solida Gmedio aequelis. ut dicit Aristoteles. 7. methaphisice .quia habet omnes linea
as a medio ductas aequales: S. s. methaphisice dicit , circulus est figura agona .i. sine angulo qui circulus quia figurarum uniformurima dispecialissima
diuisione no recipit in species: sicut ne dialiqua regularis ligura: sed ciuidiis
tur solum quantitatiua diuisione siportiones.Omnsa aut portio circuli aut est semicirculus aut portio malor semicirculo aut eo minor.Semicirculus es figura plana diametro di medietate circunferentiae contenta. Portio vero circuli vidistinguitur contra semicirculuest figura plana una linea recta mira centrum cadente di parte circularentiae contenta: haec quidem linea recta corda dicitur. pars vero circiiserentiae arcus nominatur eum igitur circulus se diuisus laetit per corda in portiones duas: portio in qua radit centrum diaeitur maior semicirculo. portio autem in qua non est centriim minor sem sciem to appestatur. Est etia alia divisio circuli in sectiones sectio circuli est figura quae sub duabus a centro ductis lineis rectis di sub arm qui ab is compreshenditur continetur angulus enim qui ab eis lineis ambitur supra centrum consistere dicitur Angulus semicirculi dicitur quem diameter cum circunserentia constituit. Angulus portionis dicitur quem corda cu arcu constitust. Angulus contingentiae dicitur quem lsaea circulum contingens constituit. Circulum autem linea contingere dicitur quae circulum tangit S in utramo parte protracta non secat circuli1 .haec sunt quid nois de partibus circuli: modo de ipsis circulis dicendu est. Circuli se cotingere dicuntur qui se coungentes se inuice non sectant. Cocentrici circuli dicum qui super sde centru deo
latitatur. Eccentrici vero dictatur quom centra distant cu sic situsit circul' intra circulii. Shae diffinitiones nobis sufficiant.
58쪽
Caput secundu de passionibus triangulorum Xcerpens paucula
eκ primo libro geometriae Euclidis. EcLVENDO ordine naturale figuratisi prius fuisset agendii de ciras culta ij de aliis speciebus. tu quia circulus unica linea cotinetur: aliae vero figurae sicut sunt poligoniae ita Spolitineae. i. pluti linearu 3: unu aut prius est multitudine .lii quia circillus est figurarii persectissima simplicissima. regularissῖma. pulcherrima. pacilis ma. Sui vis addere quod pro ipue ad phisicii pertinet: ipsa est ad motu aptissima aliae vero figurae sipdiae ctis Oibus valde a circulo deficiunt. sed quia multa sunt qde circulo dem 6strarino possunt nisi Odem 6 stratis circa figuras rectilineas: quarta prima est trianguliIs ideo necessiariu fuit permutarem'ordine: quead modii fecisse tuenitur euclides. De triangulis igitur sit haec prima Conclusio. Si unus angui uni'aiiaguli aequalis fuerit uni angulo alter triaguli fuerit duo latera dictu angulu cotinentia aequalia duo naterib'alteri 'simile angulii connetibus: residui anguli unt' residuis agulis alteri' equales erut basis
viii 'basi alteri aequalis erit totust tria gul: toti triangulo aequalis.
Illam cem lusiotia prima in noem no m)endet nisi ex vinina c&imn Gentia. pona eritvnsi tria uniri alterii:quo: a unus sit a b c alius die Let applicabo angilla d angulo a d per potentii sunt equales iii diuersio triangulis: ergo latus d ferusi per latus a cet et lanis os lud latus a b.n aut no erit arimitus t maior aut minor angulo a vel 'tauerib d est cotra petram. csi ergo latcra laterib sint edistia' erit necessario basis e super basim liciet per fis totus unus magiiliis erat super torsi alia manculum iee ercedens nec creelsus alioquin due recte mee superfici ni clauderet ille.s quas notangercitans trianauli vel forte loci ultur de illa sum ficie et Onanaci inter imas bases trianguloru3 qrvis unus illoru triangulorii costaret ex duabus lata lineis eparata ab eo lua usu vel inter duas has ut in tangit lorii casulit linee recte coierintne inter eade duo Pimcra. remanercisiadficies diam clausa.. est incoiieniens cotra tuinta petitione. et ita illi duo tria li errat eii lates si nuicetis is asi partes per ultima conuine scientia. Ex isti edam ulternis ad ostendenduisqualitate inter angulos ciuiae trianguli paedualuate latasi. et sti decisida coclusio.
Omnis trianguli duum aequalium lateruangulosqui super basim sunt equales esse necesse est di similiter angulos qui sub basi constitiuntur: si ei'prima
rito cum ad ea adcin preveniuntiiugam capiunt .sc. me dem ilige occasso ostriadam eam brmiter et ostensiorie leui que uiscit adi mn: et erat medium deinonsti attonis et talis triangulus diuiditur: vel diuidi potest in duos u langillos equales.Sit ergo linea a b hasis cul insistat illeat secans ea3 hostialiter.idest ad angulos recios: r per equalia in puncto .et ducantur lateraci et Gamlie requalia: erim trianaitius duuin equalium laterum a b c. I anguli lilper basim sunt angulus b. et angulis aquos dico ei Iecipiales. Triangulum enim totaleii illudam per equalias linea in coperperidionarem in duos relangulos partiales qui sunt triangulus dat et da erit mangulus cob in primo mangulo equalis tigillo clam sectando triangulo: quia trem eorum est rectus et latera istos angulos continentia sunt equalia eripotes:et laniabdestequale da .et latus coincommune:quare per premissam concludonem indui anguli unius residuis angulii alterius minis ira Ies: ta angulus a cocti cd. et iterum anguli arii quod titit propositum 'patet citain or anguli sub ban similiter sint equales: quoniamduo liguli qui sunt apud Miunt equales duobus rectis per primanc equiris rectis. uini liter duo anguli qui sunt apiadi sunt equales duot ustaciis ergo deraptis supcrior idiis qui sunt equalcf. ut protiamin est. reluauiumrequales csse qui sunt in serius per simam conantimem seientiain. Ex ista demonstratione patet e triangulus equilaterus est quian stilus et econilerso qui aequalitas quorumlibet duo: uni lateruin cor cliulit equalitalcm anguloru3nta correspol dcimus n. et ex ista sequitur conclusiol a. scilicci quod ex l)abinadme anguloruin accmur trabitudo laterum inter se.
59쪽
Omnia trianguli logius latus maiori angulo oppositum est: Neconuerso.
Verbi grati Ihs iii triangulo boanssilus a sit inaior angulo et angulo b: erit talusciniatus la stere a b. Quod si aut igitur erit illinus aut clauale. Reiluale ergo per prece item angulus ierit equalis augulo c.m est coiitrat imin. Ut aut lat' bc est miti' et ab inae: rvices ad equalitat esst, b in pulicio e .utm latus do equalech: ergo diremissam erit angulus bit equalis anculo b dic. sed angitiuo b d c cit naior angulo ora c. qr ei tetrinseciis adisi in triangulo da c.ergo angui me qui est equalis ei erit maior eodi dia c. sed a ponebant maior toto c.ergo angulus dici est malor toto c.quare maior est pars suo toto scure c*s est impossibile ut sequitur ecbuerso lγα latus estinatus:ergo angulyci opposio est malo: eqs facile ostetidi ex poricbucio. Iste tres cocli assones sunt de triangulo sci, se collueratomac pona ali diras coclusiones de triangulo Lest pars aliata Maraiaret primo t-ribitur in circulo et est pars circuli.et sit idec priina conclusio.
Omnis trianguli insem scircillo super lametrum collocati angulus apud cir
culi serentiam eκ istens rectus est. Q lam triangulus ab emper diametrsi a clinitumaedicon angulus Dest rectus in quaan
parte circularentie natur: Mna mi abi an grato in cerin ulmeabo:eterunt duo manguli quili traditiaequaliu latera perdiffinitione circilli: Gunim invito illorsi duo anguli quales inter se. soa et die secundidus capituli. simis et in attreo triangialol et cerunt equales per eandE sed anguilo due u equalis duobus primisso arit: q: est extrinsectas ad eos iii mangulo a d h. et angulus a dori equalis dii obuo secundis sc3m et c.qr extrinsecus en ad eos in triaripilo c d b.quare otio anguli qui sunt apud Vlunt drupli ad ditos angulos qui lint apud'.qrvalenta et angulos a focisividaequales: sed dii angilli pudi sunt equales duobus rectisso prima capi nil de lincis. go anau us'. inalis est recius: im est medietas illou quattuor qui valciat duos rectos.Elim ostciidit ictor citi dabita avi dispositione figure:-abatur iis. ad ceramus. πiunanssilus a die equalia duomis angulis a et c. scd duo angulidimnscci apud h lunt equales duobus angulis a et c.m deduractu et t. ergo angii liis a be extrinseciis est equalis duobus anatilis intrinsecis apud b. hoc est totali aligulo b.ergo utri me test rectus in diffinitione aligulatam.st . tame Φλο uinta conclusio. Omnis trianguli in portione circuli super cordam Iocati si sit portio circuli semicirculo maior: erit angulus apud circularentia mistens recto minor: disssit portio semlairculo minori erit angui' apud circitferetia recto maior: Suniuersaliter isto portio malo tanto angui' minor.&econuerso.Q68bo R. st portio sonicimalo maior a b c cordia c.dico crangulusi trianguli a die coloratii in corda qui est apud circsiseritiam: est recio minor Ducam citi diam qui e sum centri Vim ebducam et qrpo prcinissam angillum totalis est rectus:quare angui' abcen inmorore secta; comun sciciina, sit eius par s. ncutit,lensi. Secunda parte os ciuio sic: sit portio scinicircillo nistior a b c cordia c. dico ingultis bin ianguli locansuper pancri eda est recto maior ducatur ni per centra diati cici a d e. ducaturiv linea die. Gitet yerpullus Mn salus a die rectus quare αgulus a b c. m maior recto. Sangulus a die reci uos a pars pres: nda comun ti 'pars pn accipied pinnones maiores et ininores scinicirisuo: sit portion Orib . N vclis aduertπe in hiis duab'-ib' dies diffaetias agiliou.sori onis Ioze
Omiis triangui' cuius rata latus est semidiameter duoru circulom: Sanaulus oppositus est apud sectione orside est equilateriis. - ' '' Res in h)m'or si occiipando tota linea a b. Itisupci putiuit '-ia litica a d si semidiamcire duorsi circii lotura a co muct 2. 'angulus qui lateriis. Nam pG iisnitionem circialia mediam et ca sunt uales quia ta
ntum a communici nn o ad circiinis nam 'trinc bri a sunt equales pari ratione era, rines erunt intri te equales 'imiam commiincinorianam.
Septima conclusio. Omnis triangulus cuius unu latus est minus semidiam e duorum circumrii terminatu ad eoru centra: cui'oppositus angul=est in sectione eorude: Digit Ze dy ic Ob
60쪽
est tisan gui' duom tantii equaliutatem, hius oppositus annitus est erit a
sectione eorundem est cim inaequalium laterum.
Ut suamea da die. miratur suda punctu circialuo statinduinquantitate lincta Ne iton super bpunali describana alta circulus equalis initiinitali utare linc ba d. et rci tacem se in pectoc dico in linee a o Vbi sunt equales. iiiii uiri seriit diamen i circulora equalisi: Q a b linea sit minor eis: pninrca veritata cerim non attingit circus in J:sicut aceti ci oest minor eis. pn ergola, triaratus a b c est duo: si talitu equalia latera. et sic erit sed cito G Rursus sit alitis tria ut a b Leti puria sextra lectione. dico ia latera sunt inequaliarita latus bicu sit e lualis bi. a semidiaunicier eiusde circuli: eru maius latae a b. et latus a scii sit pi'u seinidiameter eqtialis circuli est itiai' larere t. naas est b0 tiale.qrinnidiainciri duoru circulo:licqualia quare cicutaasuiu meu qualia. L Eunc ponam conchasiones de tria iiSilo proiit era pars quadrauiluli.
Quilibet duo trianguli insuperficie equedistantium latenim iuκta lineamesagonalem accepti sunt aequales.
Est mi linea plagoiulio que ducitii ab angulo ad angula: et rest in quadrato: vocam divincier. isti osuda in auaaragulis latin altera die loquores equalia latersi i qui b in in re sito' uidi fisura a b c d. ducat ab agulo ad agula mea. c. b. dicosi triaguli a b c et di sunt eqles. na agul bidior ari Vc infinio sunt equales. cir coaltemii liter equed illines liveas atri ci et latcra coniicii tractooduos angulos sunt equalia: qramea odiequalis ei dia et mea b c est comunis: quare residii sansuli sunt equales: et tot tria lus toti tria lo equalis est 2 pruna coclusione dui' capsi.
Non a conclusio. Si duo trianguli super bases aequales ait inter duas lineas aequedistantes ceciderint aequales crunt necessario. Pint duo trianguli a b c et es inter lineasequedistantes. dico eoaese equalcs. Et si drniniliter cidat linea de inter equedistantes lari cadit linea a b noci istucile arguae e prima mitis capituli: qiii anguli e.:uales crsit a b c et des et latera tales angulos con nentia fuit equales: a , hasta sunt eu quales ex pricii: istinuiter lineoque inter lineas equedistantes ventui sulat equales et tila sequamosi:li ex prima huius capituli. d si in trianΘlo a b c. angulusi sit rcclus: et in trialigulo alio dies aligulus e no sit rem dico er tunc similiter equitur et imaguli unt eules si sint iter ecaiiedistates lineas et upra bases equales: tuida mi irpaficiei est duo media: lincam m. et ducit equedillates lineas equalitate et i .et lica noluedit antea'. l abebollam duas lii rficies paraunogramaoaiciat hel squas suppolio Me equales.qroia Iazerasulit equalia: critisutur superficies hel diuisa in qmor tri malos cules Plinin 3 et a b c nam i duos euies .gilio de illis valet vita de istis sed trianUuluam ei conliel duos de ilirin: igitur est e ilis tui agulo a b c il est illedictas altcri' supertis ciei paralellogranac: boc est q6volui incitdere. LII e noue coclusiones ad psens de magulo stillicianu quarui inicia messaria es in inest apbissca et logica et naturali scietia apud Aristoteu.
Caput tertium de quadrangulis: correspodens. a. si bro Euclidis. in quo primo ponitur una propositio. VN dicendii est de quadrangulis de quibus paucas pona coclussiones quib' premitto una descriptione 4 Spremittit euclides ii, bro. 2.de gnomone S desu plementis ut praesciatur qd significae per terminos S est talis. Omnis paralellograna spatii ea quidemque diameter secat per mediii paralello grama circa cande diametri colistere dictitur. Eorum vero paralellogranaoru quae circa eande diametru consist ut: quodlibetvnum duobus supplementis gnomo notatur. Diuidatur ergo. a. bc. d. paralellogramu per diametrii a d S in puncto. K. in diametro,seccent se Ortogonaliter duae lineae. e. s. S. g. . aequedistantes a duob lateribus paralellogram sc3.b. d. c. d. eriti totii paralellogranati di ulla in quattuor parallelograma quom duo dictitur cosistere circa eande diametrii. a.d. i diameter diuidit i tria gulos . reliqita dioetur supplemeia 23. g. v. c.f. N. c. Κ.b.h.tria aut pasralelograma. duo id dicta supplemeticii alterutro cote seccanes diametru