장음표시 사용
291쪽
rio.superiori adiice,PIO inictuini substitue, atq unitatε ad proxmie cratosiore fractionem rasi errvbi subtrahas illam. id .
Per omnes physicas stas ctiones,quae sexagenae fuerint quales di apud Alph uni signorum sunt te obseruasta non poenitebit, quisquis es studioru
In physica miltiplicatione notabas . si gradus per gradus multiplices, Pr ueniet numeru esse graduu .s gradus per minuta, prouenisi minuta. sigradus per secsida. pro ueniunt T. si gradus per tertia,Proueniunt 34 c. Si vero minuta per minuta,prouenista. si minuo raperfecitda, ruentuli. si minuta per tertia, pro Dentui . Ite si a peris , Prouenisi sese sis quese vitaris p denomi natiorisi marrieris additis ad denominatore produs
gradus,Proueni sit milliasma. si malliaria per minuta gradus Puentutis .mauuariti. si mi millianu permad ,*uenistisi. millia risi,Sc si mi nailliari si per mi gradus mula plicaues ris,puenies mamemserit semidoriam milliaris.
PRAC T. sta lineam ponesido videlicet g deinde quia iri mancisti. subtrahendus est aequalis, ideo ad gradus eundum est: ε operaberis consequenterit dictum est. 8 hoc peracto, talem, qualis sequitur,completam reperies operationem. 16 Gradus. Minuta qs Secunda.
Gradus. 3 Minuta secunda.sECvND NOTANDUM E alterum posse assignari subtrahendi mo dum,qui videtur in parte clarior. Et est dispositis numero a quo fieri subtramo habet,&numero subtrahendo, reducantur ad subtiliorem fractionem in ipsis repertam qui hus reductis secundum documenta secundi diffiniti,facillima erit subtractio. TERTIO NOTANDUM EST eadem omnino via esse operandum in fratctionibus temporis, monetarum. Raliorum huiusmodi, ac iii astionomicis fractioni,hus dictum est. Probari autem potest laaec species per additionem: de si subtrahen, di numeri, & subtracti proueniens summa extiterit aequalis numero , quo subtractio fieri habet,bona erit operatio: si autem oppositum corvingat, opus est ut iterum ope randi sumas laborem.
Multiplicatio astronomica, est procreatio numeri compositam denominationem multiplicatis' multiplicadi habentis,qui ad multiplicandum extrinseca appellatione in eadem proportione se habet,qua multis plicans etiam Ytrinseca denominatione ad unitatem se habet. Hinc fascite constat quid sit astronomice multiplicare.
CSi elum per quatuor tertia,tria secunda multiplices proarabis duodecim quinta. Nam ter quatuor duodenarium constituunt:deno natio multiplicandi intrinseca,estimarius,extrinseca vero cst quateriamus: mulii Plicantis numeri extrinseca denonii natio est ternarius Mintrinsecabinarius. Collecti Sigitur duabus intrinsecis denominastionibus,repeties quinarium:quare numem Proueniens ex talium fractionum niuitis
plicatione, quinti nuncupationem habebit denominabitur igitur numerus duodena, rius qui ex multiplicatione cdsurgit, duodecim quintae: ius numeri intrinseca denos minatio est quinarius extrinseca vero duodenarius,quae si ad extruasecam multiplicandi denominationem reseratur triplam proportionem generabis 8 consimilis habetur proportio si multiplicantis extrinseca denominario ad unitatem comparetur. PRIMO NOTANDUM EST triplicem in hac specie multiplicandi modum inuemti. Primo modo contingit ut tota, quae signa dicuntur, per gradiis, qui integra appellantur, multiplicentur taut per fractiones secundo modo gradus per fractiones possunt multiplicati tertio autem modo, fractiones perfactiones multiplicantur. Si igitur primo modo fiat multiplicatio, numerus prouenies sumet denominationem gradus aut fractionis. Uerbi gratia:si decem signa, per viginti gradus multiplicentur .pros ueniens numer is erit ducentorum graduum:u si decem signa,per viginti minuta multiplicentur, crescens numerus erit ducentorum minutorum . etiam si'tundecim tota per triginta tertia multiplicentur,numerus consurgens erit qso tertiorum .dide caete, risim modo. 5ECvNDO NOTANDUM ES Tigradus persi actiones multiplicentur i. merum proiienientem appellationein fractionis habere Exempli gratia. Si cetum gra/dus, per triginta minuta multiplicentur, consurgens numerus eritam minutorum. Et si quadragintactumque Πadus, per quinquagintasex secunda multiplicentur, prosti oriens nunierus eritas essecundorunt. Quod si centum 6 viginti gradus, in qua, draginta tertia ducantur, profluens numcius erit qso tertiorum: diis caeteris consi mili modo est dicendum. TERTIO NOTANDUM ES . Si fractiones perfactiones multiplicentur. numerum consurgentem appellationem ambarum tactionum obtinere. Exempli gratia. Si per quindecim minuta,vurdecim securida multiplicentur, contaget numerin
292쪽
11 4etfiorum. Nam minuti appellatio est unitas.& denominatio secundi est binarius, ε amborum simul ternarius: uia proueniens numerus compositam multiplicantis, eiemultiplicidi denominationem sumit Pari modo si viginti minuta per quindecim teratia multiplicentur. proueniet numerus 3 O quartorum Et si viginti tertia per trigintas quinq; tertia multiplicentur, Proueniet numerus O sextorum,& hoc pacto deinceps. Et secundum hune tertium multiplicandi modum,diffinitum venit intelligendum.
Diuisio astronomica, est procreatio numeri eam denominationem habenitis,quae relinquitur eX subtraetione denominationis amoris fractionis a denominatione maioris, qui eadem Proportione extrinseca nuncupatione ad unitatem se habet, qua diuidendus etiam extrinseca
denominatione ad diuisorem. Hinc facile potest deduc quid sit assio.
am si octo tertia .per duo minuta diui dantur,procreatnmtur quatuor secunda: eo b d subtracta minoris fractionis denominatione, quae est unitas, a maioris denomi nation quae est temarius relinquitur binarius, a quo fractio sqtrae dieitur quoties insu mie appellationem:& in eadem se habet Proportione numerus quotiens ad unitatem extrinsera denominatione,qua diuidendus ad diuisorem extrinseca etiam denomina. tione: utrobique enim quadrupla Proportio inuenitur.
τδη- PRIMO NOTANDUM E triplicem in hae parte diuidendi modum in dioidedi ueniri. Primo modo contingit signa per gradus, aut per raetiones diuidi Mediue I p gradus per sima etiam&fractiones. Secundo modo gradus prefractiones diuidutur. uenis ediuerso Tertio autem nodo, stactione pri fractiones diuiduntur. Si igitis prisorie, trio modo libet operari,pro numero diuidcd accipiaturis numerus mi extrinseca de nominatio est maior pro diuubre vero is cui minor est denominatio habeatur:& fa diuisione modo assignato in quinto diffinito Primi traetatus, numerus quoti Is sumet denominationem integri,aut fractionis. Exempli gratia. Si duodecim signa per quas tuor gradus dividantur. prouenient tres gradu pro numero quotienti:etiam si duodecim gradus per quatuor signa dividantur nummis quotiens erit tres gradus auod si duodecim signa per quatuor minita dividantur,numerus quotiens erit trium minatorum sediuersio etiam si duodecim minuta per quatuor signa dividantur,ma minuta producentur pro quotienti. Et pari modo in reliquis operandum es . Id sECvNDO NOTANDUM EST ,si gradus perfractiones. vel ediuersissea. mones per gradus velles diuidere,nu inerus quoties raetionis appellationem sumet. Exempli gratra. Si viginti gradus Per quinque secunda dividantur,numere ς' trotienserit quatuor secunda: etiam ediuerso, si Viginti secunda per qui mi gradus dividantur. consurget pro quotienti numerus quatuor secundorum. Ut tamen unu potissime consederaridum in hac hecie, si facta Prima diuisione contingat aliquot esse residuum. id per sexagenarium est multiplicandum,d productum per diuisorem diuidendum renumerus quotiens secundae diuisionis,denominationem sequentis fractionis accipiet. qubd si adliue seanda diuisione facta aliquod inuemri residuum eontingat id per nu. merum sexagenarium est etiam multiplicandum,& productum per diuisorem diuidendum:quo facto huius tertiae diuisionis numerus quotiens sequentis denominationem suscipiet xconsequenter hoc modo. Exempli gratia. Si nouem gradus per' minuta dividantur. numerus quotiens eritis minuta cum is fecitndis D si i secunda per ς gradus dividantur,numerus quotiens eritis secunda cum vigintiquatuor tertiis. Et si quindecim gradus per septem tertia dividantur,quotiens erit 2 tertia cum octo quartis. 34 quintis,& i sextis: re adlaucaliquod est residuum quod qualitercunque multi plicetur per sexagenanum ad sensum datum non est possibile terminari diuidendo: Domine quoniam ut facile est reperire diacies circulationem in infinitiim protensam Tenen xum igitur est pro documento .in hae parte tune esse cessandum diuidere,cum in ali qua sequetium diuisionum ,residuu in mὶuale denominatione extrinseca, residuo Pri
293쪽
cet. Si facta multiplicatione residui primς diuisionis per sexagenarium,proueniens, in metus non potest diuidi per diuisorem,est nulltiplicandus totus numerus productus Per sexagenarium, d proueniens numerus per diuisorem diuidatvi ,ε numerus quostiens sumet denominationem sequentis fraetionis mica interiecta. TERTI NOTANDUM EST ,sistamones perfractiones dividantur,hoc dupliciter eum re aut diuiduntur fractiones perfactiones ciusdem denominationis ut per fractiones diuersarum denotninationum. Si primo modo contingat,numerus quostiens integri nuncupationem liabebit: si residuum manserit,per sexagenariu in nimierum multipli cetur, produitas inde numerus per diuisorem diuidatur:quo facto,nu meres quotiens,minuti denominationem habebit. Et consequenter iuxta prius dicta. Exempli gratia. Sios term Per que tertia diuidamur, ninnerus quo ciens erit septem gradus με minuta δε-o secunda.Si vero fractiones per fractiones diuinarum denos minationum dividantur . nummis quotiens sumet appellationem a numero relieto me subtractione minoris denominationis fractionis a maiore ramonis denoniinatione. Verbi gratia Si sex tertia per tria secunda dividantur: vel sex secunda per 3 tertia, nu merus quotiens erit duo minuta quoniam subtracta minore denominationes actionis quae binarius est a maiore fractionis denoniinationei quae est ternarius ,relinquitur unitas, qua numerus quotiens minuti denominationem sumit Et si nouem sexta Pertria decima dividantur,quoties numerus erit trium quartorum. Si ver i minuta Perfitolia dividantur,consurget pro quotienti numerus duorum secundorum,di decem tertiorem:8 in isto sensu ultimo,textuale dissiturum est intelli gradum.
Operatio astronomica in progressione,& duplici radicum extractio ne,quadrata scilicet & cubica: en debita, ac proportionata operatio addicta in primo traffatu inexto,octauoad nono cliffinitis.
eculiares dimirutiones assignare pro progressione,& radicum extractione superua caneum esse censemus postquam parum,aut nihil diffraunt ab his quae in pruno traactatu dicta fuere:sub contracta igitur breuitate in hoc septimo linus uariciis vitismo diffinito de his tribus speciebus disseremus.
PRIMO NOTANDUM EAT duplicem impraesentiarum progressionem imaeniri,perinde ac in integris,uidelicet arithmeticam,R geometricam:inquarum utraque
operandum est per additionem. vel conformiter ad duas regulas positas dissinito sexto Prim tractatus. Uno tantuni documento obseruato: scilicet,nullae fractioties progressi.
uo Quae se habentes,diuersarum denominationum possunt esse .sed tanrum unius si igitur duo minuta, tria, quatuor, quinq; sex, quae progressivo ordine se habent, ademq; arithmetico disponantur ae decet,& simul addantur,aut per primam regulam
in his operetvi ,consurget summa viginti minutorum. Pati modo si unum, duo,qua tuor, cto,sexdecim secunda ,recto ordine disponantur,postquam geometrico ordine se habent, operandum est per additionem, vel iuxta tenorem lecundae regulae: β Pro summa habebuntur triginta,& unum secunda. In reliquis est eo modo faciendum.
SECUNDO NOTANDUM EA Tradicum extractionem in quadrati m. rum admodum differre ab ea quae habita est octauo diffinito primi tractarus Est inamen in hac parte illud documentum potissime obseruandum. Si aliqua: Pro Ponantur stactiones a quibus quadrata radix extrahi debeat, oportet s si diuenarum sint denos
minationum Iad fractiones eiusdem denominationis reducantur, ad ea inquam fra. mones quae numero pati denominantur, ut iunci ecunda,quarta ,sexta consequenter. Deinde operaberis quemadmodum in integris declararima enaad tame reperta, subduplam denominationem habebit ad illam qua denominarurnum eruccuius radiscem quaeris. Et si aliquod residuum elle contingat, id denominabitur eadem denomis natione qua numerus cuius radicem quaeris, denominatur Exepli gratia. Si a Mimatis, quadratam extrahere cupis radicem, operabens omnino ac in integris dictum est,
reperies Pro radice in citra, residuum erus sexta:radix enim a ternario,denomi.
294쪽
nantur tertia, eos numerus a quo radix extrahi debet, a s sumit denominationem. De radi TERTIO NOTANDUM EST radicum extractionem in cubis esse eosa, cu extrahendam ne in integris dictum est: hoc seruato documento, ut numerus cuiustas talis radix extrahi habet .in tres aequas partes sit secabilis:* si aliqua reperiatur radix.
rumetu citius radicem quaeris cubicam,quae in tres diuidi parte aequales non potest reducatur ad eam stactionem quae in tres partes aequas posset diuidi: deinde ab illa hictione eu.hicam extrahe radicein,modo ac arte signatis nono diffinito primi tractatus. Et radix inuenta sumet denominatione tertiae partis numeri, quo talis radix extrahitur. Exempli gratia. si a x quartis extrahere velles radicem, illa erit tria nona eo ca, tertia pars Em quartorum, est numerus, Et si a 2i6quultis, bam extrahas radicem,ea erit sex septuagesima secunda. Nam tertia par 2i6,est L. in caeteri e Pacto est operandum.
Q ubd si in mixtis secundum has tres recitatas species operari libet si quae dicta sunt in hoc tractatu debite intelligantur facile admodum id factae potes. TERTII TRACTATUS PRACTICAE FINI s. DE FRACTIONIBUS,sE MINUTII s
nam ut labore constantiam esse adhibendam. praecipit Bias ille Prie.
nensis,qui unus ex septem Graeciae sapietibus fuit. Vt igitur post costantem laborem,quietem adipiscamur quae pulchra res est, ut inquit Periander inceptum continuabimus laborem in hoc enim quarto tractatu,fractiones quas minutias dictit vulgares enucleabimus. Hae sum stactiones quas potissime mercatores
summopere venerantur,quarum opitulamine perquam multas diuitias consequunt . Ne igitur Inercatoribus habear inuisus,
eis non abscondam quas sunt consecuturi diuitias,hac parte intellectarait enim Picta. Picticus cus Ne diuitias abscondas,cu veneris in eas aperiam ideo pinseptem solum diffinitas postquam debitus se offert minutiarum locus isodu operadi in fractionibus eisdem. inis huius tramctus est debita secundu fractiones vitigare operatio. Seruit magnis mercatoribus, iis breuiter omnibus qui diuersis mercium fragmentis utuntur. DIAE FINITA.
CNumeratio in minutiis vulgaribus,est resta talium minutiarum repraesentatio. Et minutim numerare est debite vulgares minutias r
uo numeri potissime in irae parte sunt consederandi quorum alter numerator,al ter vero denomitiator appellatur. Numerator, est numerus, qui integri partem, vel partes aliquota repraesentat:& talis numerus breui linea venit desuper locadus. Denominator est nurnerus partium aliquotarum,integri denominationem repraesenatans:8 talis sub linea semper est scribendus. Exempli gratia . Numerus ibidem figua ratus reptiesentat quinque tertia unius integri .s enim significat numerum 4,dat numero denominationem. Si autem unius integri quatuor septima scribere volueris,la cies hoc pactori unde eisdem in hac parte utimur ementis,quibus primo tractatu utebamur quamuis alia eorum positione atque usu.PRIM NOTANDVM Esraliquam impresentiarum denominati fiastione: aliqua vero fractionum amo appellatur:8 utraq; istaru est duplex, videsicet simplex,&mixta Fraimo simplex ea dicitur, cui unica in recto est denominatio siue in qua unus
tantum denominator inuenitur:xeo pacto venit reptiesentanda:eius numerator in sua periori parte locetur,sub quo suus denominator ponatiu ,inter quos parua linea mediari.Exemplum.Si vis salere unum secinita,& unum Pariter tertium,similitera duo
295쪽
-Quantitas e5tinua quae vel in lineis,vel susPerficiebus.vel etia eo porib' mathematicis costitit,ob varias ato multiplices suas proportio nes quado diuiditur,exioit ut nueris fractis, te
Proportionum varietas te cosnoscere cupiam trema Primis necessaria
ta mechanicis artibv os Peram suam locare eo init perutile rils, quishus negociationes quaer n. midio esse solent.
id quod luce clariusia tebit, ubi ad tractatum untu te cotulerisiector, que sane citramur' opesta intelligere nequeas.
quartaud facies hoc pacto Mixta aute stam, ut ad praesentein materiam spei
ctat ea est, cui in recto plures denominationes sunt quemadmodum sunt illae quae in pnesentibus figuris ostenduntur =:eodem modo Prior istarum mixtarum stactionum est septem secunda OG quinta quinq quarta unius intem:& posterior est 'centum quadraginquinq; tertia .ducenta triginta duo quinta integra. Fractio fractionis ea est quae alicuius stactionis est pars aliquota:ut est unum tertium unius quarti :quod se habet repraesentari Omnis enim stactionis fractio duas ad minus habet deno. minationes:quarum prior solum est in recto: rteretes si plures fuerint in obliquo repetriuntur. Et illae eo modo debent repraesentari:fractio qua est in recto,in sinistra parte ponatur,inter cuius numeratore,& denominatore parua linea mediet:aliae autem fractio, nes,quam denominationes sunt in obliquo,Versus dextram manu locentur,absq; lines interposition solis punctis insertis si plures fuerint. Dcemptu scribatur unum tertium
vnius quarti isto modo Q. Simili modo scribatur quatuor secuta duors tertiorum 8choe sic Item repraesententur tria quinta unius secundi duorum tertioru hoc pacto tu: .Et de Ceteris pari modo est dicedum mixta raetionis hamo ea est quae plu resfactionu fractiones intercipit: ut est tria secuta unius tertii quatuor quinta duo ii tertioru :quae sic habet repraesenti n. Facile est in multis aliis exempla assignare. sECUNDO NOTANDUM EST maxima in simplicibus posse dari fraetio, nem:minima vero non . Illa dicitur maxima fratrio,qus integri est maxima pars aliquo ita videlicet medietas,quae alio termino secunda dicitur:& quemadmodum non est dabilis minima pars aliquota salte in continuis ita minima factio non est repetibilis est tame inter simplices fractiones idem ordo,qui ct inter cotinus Partes aliquotas reperitur. Post medietatem,tertia est maior:deinde quarta, consequeter In mixtis autem nec maxima,nec minima est reperibilis fractio. Est insuper eon 'derandii in mixtis fraettio, nibus scribedis,eam latere sinistro esse ponenda,quae minoris est denominationis,quas uis maiorem numera efficiat:ea vero laetio in dextro latere locetur,osi maior est de. nominatio. Exepli gratia. Vis scribere duo tertia, pte quarta hoc modo ventui disponenda Pi Quando autem econuerio poneretur, nullum esset inconuenies:queadmodu si ui integris operado,iracos sinistia manu poneremus ducatis dextra sede affixis. TERTIO NOTANDUM EST tria esse in hac specie documenta pro cogni tione valoris fiam numeri,siue frictionis. Primum documentum. Quandocunq; nus merator, denominator alicuius sunt inluales: talis fractio integro uno duntaxat vallet. Exemplum uaelibet istarum trium sta monum integro valet:& ita adinviicem sunt aequales. Secundum documentum. Quotiescunq; numerator fuerit ma ior denominatore,fractio valet magis integro:& hoc in ea proportion qua numerat tot ad denominatorem se habet,ve per tot unitates,per quot denomii citorem excesssit. Exemplum auotlibet datarum trium fractionum valet magis integro:pri. ma vero in proportione superbipartienti quintas: 8 secunda in porportione dupla su
perbipartienti tertias tertia vero in Proportione sesquialtera inertium documen. tum Si denominator fractionis est maior numeratore eiusdem, talis ramo minus in,
tegro valet, per tot unitates Per quot datum numeratorem excedit. Exemplum P a. Perinitates in proposito,integri partes aliquota intelligimus.
Reductio in vulgaribus minutiis, est integri, aut grossioris minutiae
inminutiam subtiliore,vel subtilioris integru aut grossiorem ambi tio. Reducere minutim, est integrum,aut grossorem fractione in subtiatiorem,vel subtiliorem in integru aut grosliorem fractionem ambire.
eductoritim in vulgaribus fractionibus modum aggrediendo qui praesentis tracta tus basis' fundamentu in nuncupari potest, tria seriatim per tria notabilia discutieamus. In primo notabili modum reducendi integra ad simpliccinfractionem tibi voluntariam. Medium fractionem ad integra ostendemus similiter reducendi prossiorem stactionem ad subtiliorem tibi pariter voluntariam:xediuerso subtiliorem, scilicet sta
Fractio fractio. Fractio fractitas
296쪽
ctionem ad grossiorem mani Testavimus. In iecundo notabili declarabunus modum re, ducendi simplices stactiones diuersarum denominationum,ad fractionem unius denominationis ostendemus pariter reducendi ni odum earum stactionum, quae fractiones fractionum dicuntur. ad simplicem fractionem. In tertio notabili declarabitur modus reducendi integradcfractiones:similiter integra tractionum Daltiones ad simplicem smistionem: 8 in fine aliquid de mixta reductione dicetur. Psi V M EI T, si integra ad fractionem tibi voluntariam re, ducere vestes, numerus integrorum est multiplicandus per denominatorem talis fra. etionis,f proueniens numerus,reductionis summam ostendet. Exempli gratia. Vis reducere nutri integrum ad tertia, multiplica unitatem pertemium,& producetur . qui est numerus habitus ex reductione integri in fractionem. unum enim integrum est tria tertia δε ediuerso Pari modo si tria integra,ad quinta velles reducere. multiplicas bis ternarium per quinarium,& producetur hi qui est reductoria summa. Nam tria in
tegra quindecim quinta emciunt δε ediuerso. Quod si septem integra. ad sexta redii,
cantur prouenient quadraginta duo sexta,& consequenter laoc pacto. Si vero ali, quam fractionem tibi voluntariam,ad integra Velles reducere:debes numeratorem ta lis fratrionis per denominatorem eiusdem diuidere:quo facto, numerus quotiens, in. tentum propalabit. Exempli gratia. Vis reducere quindecim tertia ad integra diuidenumerum quindenarium,qui est numerator, Per temarium denominatorem data fra,ctionis,& generabitur , qui est numerus integrorum: dc sic habebitur qubd ex redu, imone quindecim tertiorum ad integra,quinque integra consurgent etiam si triginta quinta ad integra reducere vestes, habebis pro integrorum numero, senatium quod si qmdraginta septem quinta ad integra reducas,nouem integra generabis:& duo quinata pro residuo manebunt. Nam quotiescunque nummio fractionis per denominato atem eiusdem sic diuiditur quod aliquod esse residuum Oportet, illud debet denomina, i a denominatione datae raetiorus. Si autem grossiorem fi actionem ad subtiliorem tibi voluntatiam velles reducere, debes numeratorem grossioris Per denominatorem subtilioris multiplicare, iumerum Productum per denominatorem grossioris diuis dere:quo laeto, numerus quotiens propositum manifestabit. Exempli gratia efflagi, ras reducere decem secunda ad talia multiplicabis numerum denarium per ematiis, R proueniet numerusamque per binarium denominatorem' grossioris diuide:& pro quotienti habebis quindecim tertia:decem igitur secunda ,reduetorie,quindecim teritia efficiunt. Eodem modo si octodecim tertia ad quinta reducantur, multiplicabis is Per quinarium,&proueniet vo,quem si diuida Per denominatorem grossioris fratrio inis,scilicet per 3 pro quotienti habebis 3 quintata sic reduetori es, is tertia, o quinta constitu ut . ubd si viginti tertia ad quarta velles reducere,multi cadis vigenarium per quatemarium,&proueniet numerus so quem si Per ternarium diuidas, pro quo hienti habebis viginti sex quarta:& residuum erit duo tertia unius quarti . Nam quando cunque in tali redueti one residuum esse contingat,id tale,tamonis fiamo appellatur, quae suam denominationem in recto sumit a denominatione grossioris fractionis,&alateram in obliquo a denominatione subtiliorisfactionis habet CSi autem subtiliorem smetionem ad grossiorem tibi voluntariam vestes reducere: debes numeratorem substitioris per denominatorem grossioris multiplicare. 8 numerum prouenientem diuis dere per denominatorem subtilioris: quo facto, numerus quotiens propositum decla arabit. Exempli gratia. Si duodecim quarta ad tertia velles reducere: multiplicabis duo,
denarium per ternarium,ac proueniet numerus 36 quem per quatematium divide.&pro quotioui generabis nouem tertia duodecim igitur quarta,nouem tertia ,reducto
rie efficiunt. Eodem modo si duodecim sexta ad quarta reducantur: numerus duodes narius per quaternatium est multiplicandus, prouenit q8 quem si per denominatos rem subtilioris rationis videlicet per senarium, diuidas, pro quotienti habebis octo quarta:quare deducitur duodecim sexta,in quarta componere. udd si octodecim quarta ad tertia reducantur numerum offodenarium per ternatium multiplicabis, RProducetur numerus sq: quem per quaternarium diuide, retro quotienti consurgenti. q.
297쪽
PRAC T. tredecim tertia,& residuum erit duo quarta unius tertii. Nam quotiescunque in tali re ductione aliquid est residuum, id fractio fractionis nunci: patur, cuius denominatio in recto sumitur a denominatione subtilioris fractionis, ta denominatio in obliquo a dea nominatione grossioris habetur. sECvNDO NOTANDUM EST. si duae fractiones diuersarum denominatios mim, siue diuersos denominatores habentes quod idem est tibi proponantur,veas
ad fractionem unius denominationis reducere velles,debes in primis denominatorem unius per denominatorem alterius multiplicare,& numerus productus,denonimator communis dicetur:deinde numeratorem prioris fractionis in denominatorem posteri. oris ducas, etiam numerator secundae fractionis in denominatorem prioris ducaturi
quo facto, numeri Prouenientes ex iis duabus multiplicationibus simul addantur. 8c
proiicniens numerus, numerator communis dicetur: quo terminato,datas fractiones
in aliquam fractionem reductas habebis. Exempli gratia, proponantur tibi istae duae fractiones reducedar in primis multiplicabis denominatorem prioris,qui est 3 per denominatorem posterioris, qui est so& proueniet numerus pro communi denos' minatore. Postmodum,admodum crucis numeratorem prioris in denominatorem po
33 sterioris, Mnumeratorem posterioris in denominatorem prioris multiplicabis,&nu. o meros prouenietates simae conitingas, consurget numerus a L pro communi num estatore Habes igitur si ad fractionem unius denominatoris,sive unius denomina rionis reducantur, ea erit i. Et si cognoscere velles quot sim in utraque datarum
fractionum decimaquinta oportet diuidas denominatorem communem in cuiustitiet fractionis denominatorem peculiarem,& numeri quotientes multiplicentur per nu meratores Proprios:quo ficto, numeri producti intentum manifestabunt. Verbi gra tia vis cognoscere quot sunt in priori fractione decimaquinta 'divide coinmunem dea nominationem videsicet is, per 3. qui est denominator eiusdem prioris fractionis,&numerus quotiens erit, , qui per numeratorem proprium, scilicet per multiplice tur, consurget io. decem igitur in priori datarum fractionum dices decimaquinta in .
ueniri. Et si in posteriori illarum fractionum velles cognoscere quot decimaquinta hasbentur. facies consimili modo & repeties duodecim decimaquinta inueniri Potens hoe idem cognoscere longe facilius, si numeratorem prioris per denominatorem sescindae multiplices,&numeratorem fecitndae per denominatorem prioris:nam si arus merator prioris fractionis pers denomiratorem secundae multiplices, prouenit io. Et si numeratorem secundae,puta quatemarium,per denominatorem prioris incilicet pertemarium multiplices,duodenarium procreabis:initiori igitur fractione decem deci maquinta inuenies, R in posteriori duodecim CSi autem plures quam duae extitorint minutiae, eo modo procedendum est. Dispositis initimis per ordinem stactioni,
hus, ci ominatores adinvicem multiplicentur sic ut primae fractionis denominator Per denominatorem secundae multiplicetur: ε prouenien ex multiplicatione nume rus,per denomitiatorem tertis fractionis multiplicetur:& numerus productus in denominatorem quartae minutiae ducatur,4 consequenter si plures fuerint fractiones: quo facto,prouciliens ex talibus multiplicationibus summa, coinmunis denominator aps
Pe habitur:deinde numeratorem communem sie produces ,facta in primis duabus fra,
ctionibus operatione ac dictum est, illarum numeratorem communem per denominas. torem tertim multiplicabis,4 numerus productus per denominatorem quartie mulsa tiplicetur: & consequenter hoc pacto quibus terminatis numeratorem communem reperies,& ex consequenti completa erit reductio talium si actionum. Exempli gratia. Sint istae tres fractiones quas ad etiam simplicem fractionem reducere cupis. Primo de duabus primis te expedias modo prius declarato:& habebis Deinde hu,
ius denomirator denominatorem tertiae ducatur,&Proaeabitur os, pro cominu ' ni denominatore:postmodum numerator istius fractionis in denominatorem tertiae ducatur, & numerator tertiae in denominatorem istius multiplicetur: deinde numeri pro ducti simul addantur, re consurget numerus 24 , qui communis numerator dicetiir:
habes igitur si ista tres stactiones det ad unam simplicem stactionem reducantur,
298쪽
eri In caeteris consimili processu operaberis. Quorundam incuria neglectus est modus reducendi Dastionum fraehiones qui se
ad hune fere modum habet Ducantur nimieratores in numeratores,s denominatos
res in denominatores, resultabunt fractiones unius species seu simplices, ita ut ex
ductu numeratorum numeratores resultent 8 ex denominatoribus,denominatores.
Exemplsi,sint reducenae isti fractiones ad simplicem, videlicet multiplicabis his unum per Α, resultabita numerator fractionis. Et deinceps ter quatuor per 3 ,haabebis sodenominatorem Damonis liac formi et . α'Fractiones mixtae,sse reducuntur ad simplices: in primis duc Damotus factionem ad eandem ductu numeratoris in numeratorem dc ut iam docui denominatoris in denominatorem deinde factis simplicibus fractionibus, eas ad unam 8 eandem siri.
plicem reducere potes persecundi notabilis doctrinam. ut G. frit Qxq. Generalis est8 regula admodum utilis iecessaria neglecta de abbreviationisus stactionum. Est autem huiusmodi abbreviatio nihil aliud.quam paucissimis innis te.
praesentare valorem fractionis alicuius, quae multis figuris offertur,4 quo pluribus. tanto fit obscurior intellectui. Difficilius enim apprehedet intellectus hanc nactionem quam si hoc modo repraesentetur cum tameri Vtriusque sit mira potestas. Vna de nane notabis regulam. Quascunque oblatas fractiones diuide per maximum nua merum, qui tam numeratorem, quam denormnatorem numeret 8 quotientes facialiorem prodent fractionem ut si datam stactionem diuidas per soo, habebis in quoariente pro numeratore unum,di in altero quotiente Pro denominatore Σόquos sic dis, ponas I id est, medietas. eodεmque modo in iniquis omnibus operare Altera item est regula qua abbreuiari possint ractione mamae, nempe per dimidiationem contionum, si fuerint numeri pariter Par Gut Pra alterius digiti paris diuisionem, aut de natissubtractionem,aut cuiust quin imeri diuisionem, qui modo utrunque numea te numerum, videlicet numeratorem re denominatorem, sed hoc uno obseruato, venumerus quotiens numeratoris Pro numeratore: ε denominatoris pro denominato, te semper statuatur. exempla assignare facillimum est,quare transeo.
TERTIO NOTANDUM EST ,si integra cum simplici laetione reperiatur. hoe pacto ad simplicem tactionem debere reduci. Numerus integronii multiplice,
tu per denominatorem tactionis ,ε Producto numero addatur tactionis numerator: inde consurgenti numero supponatur idem denominator virgula interposita. Exempli gratia vis reducere cintegra,&- tertia sed simplicem fractionem ipsa hoc pacto essentetur, a deinde multiplica numerum integrorum, Puta , per denominato νrem da factionis, scilicet Per 3, ε consurget is: cui numerator tactionis addatur,
B proueniet is,numerator commums, cui suPPonatur denominator illius fractionis.
videlicet 3, 8 sub hac sorma reductionem completam habebis . Caubd si intea sta. 8 plures simplices raetiones in unam simplicem fiactionem educere velles inprimis de numero integro Π, α Prima fractione modo iam tacto te absoluas dein. de fractionem simplicem consurgentem simul cum aliis sequentibus ad simplicem fiactionem reduces,modo assignato in mecedenti notabili. Si vero integra,&fractio. ni, Dactio simia reperiantur,ic ea ad simplicem fractionem vesIes reducere, debes inprimis stactionis fractionem ad simplicem stactionem se modo prius neglecto,pernos reposito reducere:Postmodum operaberis ut iam dictum est. Et si integra cum
muris tactionum tactionibus comprehendantur reductis iis fractionum stactioni,hus ad simplices fractiones:operabens modo iam dicto. Ex omnibus his qiue dicta sani sequitur quibuscunq; fractionibus praesentatis, qtialiter ad simplicem tactionem sunt reducendae. Potant enim prope infinitis modis combinationes fieri ac risdem sa.ctis, videre qualiser ad integra sunt reducendae,aut adfactiones simplices, vel si sim.plices extiterim,qualiter ad subtiliores fractiones reducantur. De istis mi ibus pecu. tiarem sermonem efficere,minus utile reputamus:quare ad resiqua eundum est.
Additio in minutiis vulgaribus, est vulgarium fractionum in unam
299쪽
summam collectio. Et addere minutim,est minutias vulgares in unam summam colligere.
I luna in praesenti diffinito se offert difficultas pro additione ,si debit quae in praece. denti diffinito dicta fuere, apprehendantur,nilailominus succincte aliquid de hae spe.
P RiM NOTANDUM EST, si simplices fractiones eiusdem denominatios nis velles addere,solanumciatorum fiat addicio,&sub numero producto, denomina.
tot talis fractionis locetur,virgula inserta siue interposita. Exempli gratia, siue pinsistam,
addere solos numeratores addas a uicem,& Producetur numerus ii,sub quo deno timidai minator,videliceto,Ponatur laoc pacto LI&completam reperies additionem. Si vero duae,aut plures simplices fractiones diuersorum denominatorum proponantur ad. dendae debes omnino eodem modo operari,ac declaratum est in secudo notabili praeseedentis diffiniti:sic ut denominatores earundem adinvicem multiplicentur, proueanies numerus, communis denominator appellabitur: demde numerator primς perde, nominatorem secundae multiplicetur, re numerator secundae per denominatorem pri. mae:quo facto,numeri Prouenientes sinu addantur,xconsurget numerator communis duarum primatum fractionum: demde consimili modo operando, in caeteras rasmone, si plures suerint procedendum est. Exempla dare,est facillimum. sECUNDO NOTANDUM EST. si plures fi actionum tactiones proposnantur addendar,tas esse reducendas ad simplices tactiones,modo prius signato:des
inde addantur ac dictum est.Nam si has duas factionum stactiones velles addere: sci D: I. licet reducatur ptius ad has simiplices stationes νυ':deinde istae duae simplices ura
fractiones simul addatitur, re proueniet II id est i id est unum integrum cum dimia inbia dio. Quod si plures quam duas stactionum stactiones addere vellestacies conformi, deride. ter ad prius dicta in praecedenti diffinito. TERTIO NOTANDUM E Su,si integra re simplex fractio proponatur ad i. denda:debes numerum integrorum per stactioni denominatore multiplicare, ε pro HAM, ductus numerus,numeratori stactionis addatur, disic comunem numeratorem gene cti,.adstabis deinde sub eo denominator stactionis locetur quo facto,terminatam additio. nem habebis β hoe si unica simplex factio cum integrorum numero sumatur Cingues,aut plures inplices fi actiones cum numero integronim sumantiu:te in primis ab integrorum numero, pruna tactione absolue deinde genitam fiactionem caeteri, sequentihus modo iam dicto adiicies Vbi autem integra, in actionis fractio inopo, nantur addenda: aut integra,&fractionum fractiones: vel integra,&simplex Hictio intactionis tactione:& consequenter imxtiones ordinando, OPoaberis iuxta ea quae in
praecedenti diffinito dictaru unx ri.
Subtractio in minutiis vulgaribus, en debita vulgarium stactiona φὶ nut1j vulgaribus ablatio,vi relicta inde summa nabeatur. Et substrahere minutim est debite vulgares minutias a fractionibus vulgaris
Un huius diffiniti operatione certa inuenitur eonuenientia cum operatione tertii disefiniti primi tractatus. Nam ut illic dictum est minorem numcium a maiore, vesabae, quali aequalem subtrahendum esse,& non maiorem a mnore, Praesentiarum minor hamo a maiore. vel aequalis ab aequali submalai Permittit:maiorem vero a more desduci siue subtrahi,possibile no est. Et si petas,qualiter potest cosnosci aliquam fiam. 'x'. onem altera esse maiorem, aequalem, aut minorem dico generalitra hac Ma Posse dii μά-gnosci. Reducantur ambae fractiones,adfractiones eiusdem denominationis.& tunc ea auiaeda dicetur maior,cuius numerator maior est: Mea minor,cuius minor est numerator. Est insuper in hae materia pro documento obscirandum, eam fractionem maiorem esse, cui minor est denominatio,ia eam minorem, cui maior, teris Paribus. Nam unum tauum,maius est uno quarto: di quartum,quinto: Multum exto consequenta.
300쪽
ι tractionuqualiter Iubtrahes filia A. Bactionsi
Fract. ab integrista motra ubtra
am Caeteris patibus dici t quod pertinet ad numeratores. si enim numerator maioris denominationis, id est subtilioris staetionis sueti multo maior numeratore minoris deno mutationis id est grossiori, ut ante vocavit factionis, nullitum signu esse m. test illam sta monem esse minorem altera,scilicet in qua minor est denominatio Cer. tum enim est non posse subtrahi quavis in hac grossior sit denominatio, in Iaautem lubtilior. Nam cum reducuntur ambae fractiones ad sexta, videbis ex D sterio. re Φ,ex priore vero/ε G proueture unde id intelligendum est,ubi numeratores sunt
aut aequales,aut saltem non multum cxcedentes.
PRIMO NOTANDUM EDT,si duae proponantur fractiones simplices,eu.dem denominatorem habentes, quamn altera ab altera subtrahi debeat, hoe modo esse operandum: subtrahatur minor numerator Unius a maiore numeratore alterius si inmitiales extiterint de residuum supra denominatorem Ponatur, virgula interposita. Exempli gratia ,si a 2 subtrahas k pro residuo habebis. Vbi vero numeratores 8 deo nominatores aequales extiterint, si ibtracta una fractione ab altera residuum nultu erit. Quod si duae proponantur si actiones simplices diuerso denominatores habetes,morum denominatores multiplicabis,& consurgens numerus,denominator communis erit:deinde admodum crucis, prioris tactionis numerator in denominatorem postes rioris ducatur,&numerator posterioris per denominatore Prioris multiplicetin quo facto,sicosurgentes numeri fuerint inaequales,minor a maiore subtrahatin ,κresiduusupra commune denominatorem, linea intermedia, Ponatur Exempli gratia. si vis , ad subtrahere,inultiplica in primis denominatore Prioris putat 2 per denominatori posterioris, videlicet per cosurget 36 pro denominatore comum:deinde multiplisca prioris fractionis numeratorem,scilicet S per denominatorem posterioris, videli. cet 3, cotisurget q. Postmodum posterioris fractionis numerator,scilicet , per de nomisiatorem prioris, utpote i 2,xproueniet numerus S , qui maior est, . ideo ab
ipso numerus 24 subtrahatur δε residuum,videlicet So,supra communem denominatorem ponatur,linea interposita,& factam subtractionem reperies.
SECUNDO NOTANDUM EST ,si aliquam fraetiorus stactionem abest rasa 'tionis tactione subtrahere cupis:oportet prius ad simplices staftiones reducantur: dein Ie operaberis omnino ac dictum est in praecedenti notabili. 2ubd si duae stactionimi mamones proponantur,in eodem modo faciendum. Hoc dixerim propter differentiam qiiς reperitur inter tactionem fractionis,&siasti onem fractionum. Nam Proprie eam fractionem fractionis dicimus,cui unica est denominatio in rino,& mi. ca in obliquo,ut est isti I. Eam vero frictionem fractionu appellamus, cui in recto quidem unica denominatio est, sed duae aut pliues in obliquo reperiuntur. Exemplsill et Nilii Ioiaririus saepenumero termini confunduntur, sic ut eant quae seaetionis fra. ctio est,flamonem Damonum appellemus. Sed hac in parte de terminis contendens dum non est. TERTI NOTANDUM EST ,ssa numero integrotum aliquam simplicem stactionem subtrahere velles, ves econuerso:debet integrorum numerus per denomi natorem fraehionis,multiplicari. Minumerus productus fuerit maior numeratore hamonis, ab eo numerator talis fractionis subtralaatur: quod si productus numes rus minor extiterit numeratorem actionis,ab eo numeratore talis niunerus subtraha. tur & semper utroque modo residuum operas supra denominatorem Ponatur,linea interposita. Eodem modo dicendum est,si ab aliquo numero integrorii Damonis fias ctio subtrahi debeat, & ediuerso lami prius reductione talis fiam nis ad fractionem simplicem. Et si numerus mixtus ex integro & simplici raehione, proponatur subtra hedus ab aliqua inplici stactione:debes prius talon numerum inintum in simplicem mimonem reducere,modo declarato in secundo diffinito. deinde operaberis ora di cta:& consoriniter in caeteris operandiim est, a prius dictis non discrepando. Subtractio in stachisi uinetis sic se habet, generaliter reducantur numeri ad ean dem denominationem tune minor a maiori aut saltem inmali,subtrahatur a uod si
numerus a quo fieri liabet subtramis,su megrorum inactorum, nee possit fieri aliis i. iiij.