장음표시 사용
271쪽
siti sileris ad alia elemet laidictis signata,illic ad
totam radicem loco digitiqi r di pone ciliarii, deinde per totam radice multiplica triplatu, Per P Productu diuide eas figuras quae post elementu sis
quOriente apparebit digitus quaesitus, aut unitate interdum ves etiam binas xi, nor,quemadmoduci i quadratis accidere dixi. hue igitur ita, num venis sit probabis .Repone digitu illum indocti fictae illius mirae ad radice. at Per totam radicem hac, multiplica triplatu, ac rursus productu per solidisgitum inuentu, adem Phune ipsum digitia due cubice in seipsum. bu ei adde priori numero Pro ducto, adiecto sicut in qseratis limite a des xtris. demum si hie numerus totus semel subtrahi ab omnibus figuris, quae post elementi puc cinctatarum uni cu ipso lignasto elemeto Pollit, aeqirus ruit digitus inuentus.Siri autem non Possit subtrao at,unitate minor quaerendus est,aut laltem bina. rioiae rursus operandum
ut prius, sicis deinceps, donee totii negocuim a solueris.
PRACΥ. Nati sub proxima tertia figura locetur,fc secundum subsequentI R de aliis pari modo. Deinde iterum operaberis ac prius usquedum deuentum fuerit ad primu elementum a quo radix cubica cxtrahi debet 5 si nullum fuerit residuum immis ille est dicendus cubus,cuius radix est numerus inter lineas repertus:ubi vero residuu contingat essemunicius ille non est cubus Munious inter lineas habitus dicedus est radiis maximae partis illius numeri mixti,cuius radicem cubicam inuenire quaeris. Cosyderabis tamen ut
in mel abito dissinito,iaaec duo documeta. Primit est et semper digitus.quado in se cubice ducitur,debet inter lineas eis positus sub signato elemeto. Secundu est, uotiescunq; in media operatione cotingit digitu inveniri non posse sub aliquo signato chara cter qui simul cii aliis numeris inter meas positis in triplatum ductus. deinde per se in proueniente,totum deleat suprapositum respectu triplati:& postea in se cubice duictus totum respectu sui suprapositum deleat:poneta esto inter lineas sub signato charactere,&deteris intactis manentibus totum mi mersi inter lineas repertum triplabis.&sub proxima tertia figura versus dextram eundo manu,triplatum infra lineas debitis locabis sedibus ita videlicet ut illa quae est triplati prinia figura diametraliter sub pro. Mina tertia figura ponatur,xita de reliquis suo ordine procedas in si in operationis fine digitum non posse inueniri accidat, inter lineas sub proximo elemento signato, pone:quo expedito, fine operationis habebis. ro regula insuper in hae parte tene bis:residuum operationis quadoq; esse aequale radici,quadoq; minus,quadm autem maius, tam in quadrata quam cubicio ratione. Sed ut istorum practicam habeas, tale tibi pone exemptu:i36z369, cuius si radicem cubicam inuenire intendis. Elemen ta locis millenatiorum posita, Pariteret primum, scilicet, .8 o,8 3,punctis signabis: sub quibus duas protrahas lineas Parallelas secundum quod praesens figura ostendit. Deinde sub ultimo clemento signato β60. 69
scilicet i, reperies digitum inter lineas Iocandum sub eodem '-----Heinento,qui in se cubice ductus,deseat totum supraposit5.
respectu sui ει illa digitus erit i. duc igitur a in se cubice,& proueniet idem digitus scialice i. quem si a supraposito elemeto subtrahas nihil remanebit:cancellato igitur Hesmeto signato,digitum triplabis, triplatum cumerum, qui
erit 3,infra lineas sub proxima tertia figiti a pone:&opera. s
tio sub tali dispositione manebit. Postmodum operari incipis es δε reperies digitum sub praecedenti emento signato,sci, licet o,nmae4 sequentibus scilicet seca, qui quidem dio, tus, una cum mori inter lineas posito duisis in triplatum, deinde per se in producta ductus,totum suprapositum respectu triplati deleat, vel quantu vicinius Potest postsea in se cubice ductus deseat totuna respectu sui suprapositum inuenies Φ digitus ille est 2 quem intre lineas sub Oione:ducas igitur 2 simul cum i,in triplatum, scilicet 3,dicendo duodecies ter, siue ter II, faciunt 36 deinde dicas bis 36, constituunt τι. quem numerum abas, subtrahe, residuum desuper ponendo sipris. ωψ supra G,
cancellatis prius sic s. Deinde dicas bis 2 bis, componunt 3:quem a supraposito eles mento, videlicet O ,subtrahcie non potes,ideo at cedentinumo initatem accommodato habeas δε cancestato q,desiper pone. postquam unitas accommodata valet io in loco ei e unitates,ab illis subtralaea,&residuum, scilicet 2, supra o Ponatur, o prius cancellata:quo facto,numerum ter lineas repertum videlicet i2,triplabis,&mplatum infra lineas pone,sic triplati primum elementum sub pioxima tertia figu.ra ponaturae aliud subsequenti scancellato tamen prius priori numero triplato,d ta lem reperies dispositionem. Postremo autem inuenias digi tum sub primo clemento signato, scilicet v,sinulo sequen tibus,qui una Cum caeteris digitis intra lineas repertis,ducas tu in inplatum:d de per se m productum ductus totusuprapositum respectu triplati deseat,ves maximam quam Potest partem:postmodum in se cubice ductus,totum respem
sin deseat, via matum vicinius potest: di digitus ille it 3.
272쪽
ducas igitur 23 in triplatum, sciricet proueniens numerus erit 4 23: deinde presolum vigilum, scilicet i, praehabitum numerum multiplicia.& resultans numerus erit 132 sq,quem a mincio supra triplatum Posito subtrahe, residuum si quod fuerit deo
super ponendo, ita quod id, subtrahes.&343,8 2at,scs ab su&416, desuper
ponendo 2.prius autem cancellatis ν,3,2,3,5: deinde digitus repertus in se cubice duacatur,&proueniet numerus 2T,quem a suprapolito subtrahe, videlicet Lari,& as.& residini videlicet x,quem virgula obliqua significabit,supra, Pone,9 prius cancellato:quibus ternumtis,talem operationem habesiis. Numerus a quo radix cubica
Lineae Parallelae. CD quoniam in tali operatione aliquod est residuum:ideo numerus,cuius radicem euhicam inuenire quan ebas non est dicendus cubus: Mita numerus inter lineas repertus non est radix illius suprapositi numeri,sed solum maximae illius Partis in qua potest inueniri radix. Et si scire cupis quisita sit ille numerus,cuius ille inter lineas locatus sit radix: illui timem videlicet 23 in se cubice multiplica, proueniens numerus erit 136o30.
cui radix est numerus inter lineas locatus,scilicet 23 Sed quonia longe plura pro huius divisit rei enodatione requitiatiu,qua ira pro prius habitis,ideo opus est sis in iam dictis promptissimus, xime in multiplicatione. Te ut plenius praesens diffinitum intelligere valeas, ad iuxta posita exempla tuum iungas inteste m. TERTIO NOTANDUM EI T in praesenti dissimi tres esse probationes aelii precedentibu . Quarum Prima est, secunda . tertia vero per multiplicationem Prisa habet fieri. Pro intellectu rems,est aduertendum P a numero,iquo radix cubica exst trahi debet est primo accipienda nota,quam in capite lineae antepositae operationi pones,deinde a numero inter lineas reperim quem quotientem,sive radicem appellant notam pariter accipias, quam in se cubice multiplicabis,& a consurgente numero nos tam sumes ante lineam directa sede locatam:postmodu a residuo operationisi si quod fuerit notam capies ante lineam suo loco Ponendam:deinde ab illis duabus notis,nosta habeatur quae in altero irae: trem Ponatur:quo facto,videbis an extremales nostae sint similes,vel non:si Primum,bene, ratus es:si secundum contingat,iterum de nouo operari incipias. Vbi vero nullum Operis residuum suerit. accepta a superiori numero nota,& capite lineae positi ut dictu hini sumenda est nota 1 radice relineae anteponeda, quam in se cubice multiplica,& a producto notam accipies, quam in alte, in virgulae fine locabis re videbis an extremae illae notae sint ae, quales, vel non. Si primum detur, bona est operatio: secundo autem dato,nulla. Exemplum respicere vales. Hunc probandi modum ex precedentibus nullum esse notum relinquo. CSecunda probatio,quae septenaria ditariu ,eodem modo freti habet, ac praecedens hoe solo dempto ut videsicet notae accipiantur eodeni inodo 'quo tertio notabili secundi diffiniti in probatiόne secunda dixi, mus: ideo pro hac parte soluminesens eplum sufficiat. Hare quidem probandi via nulla est:quemadmodum nec mecedes. Et si in me sorte aliquis insurgat hoc pacto arguendo, postquaigitur duo, habiti probandi modi nihil valentes,& cassi dicti. tur:sufficiebat eos tactos fuisse secundo diffinito,nec oporteret
toties probationes non valentes citerari. Ad hoc respondeo, 'um Me probrat modus est. quid in quadrMtis, nisi quod hie residua
non ferriel tantu in se diis estur sed his seu semel ira suum quadratu. id cli per Omnia probationsi gene ra obseraandu est. Caetora conueniunt cum FVdratis.
ni specie ibatione,qui vel per u lper, vel etiaperri fit, ut unotet sint dispares, falsam esse operas
stedatur,no tame semper bona quantuuis pares fiaerant noti Suel igi mulstia, fidei parum abere deo bebit in quolibet probastionu genere, otaria coocordia, sed earside discordia totam negabit operationε. Plus fidei habebit duaria probationii si terotia non repugnet unani/me testimonisi .mim si Actertit a bationi videlicet quinarii aecesserit consonalia,plae . quide ope rationis veritate conuinocetiario semperila caiis
273쪽
sa sunt esse multiplices, si aliquado laetant negle
ctis, errore nymediocre faciut, Isaarnetbationunon omni genere semper
sentitur.Utide id piatioonu certissimu genus est, quod per cotrarias specioc fieri eonsueuit,quo in dubie additio subtra tione, multiplicatio divisios ne duplatio dimidiata ne dod esitrariorbant se hinc mutuo. Radicu item extramone tam i quadratis et in cubis, cu diuisios
nisquodda genus sit,multipbcatio probare eosu
ctio radicum,multaplica tionem probare potest.
redisssionis modopotusset concludi, nisi author nos exercere magis idocere voluisset Paucissi omos noui, qui alias spescies norint,ti hane ignos raret Praxari,quae nec specie nec diffinit nomen meretur,nulla arte,sed solo usu ο exercitio conten
PR AC T. dato illos probandi modos esse nullosi uti visum est quia tamen iuuenes incipientes
facilius multo cum illis operantur: ideo mihi congruum visum est non omnino omit tendos esse Insuper multa salsa scribere penumero licet, ut quae vera sunt,apotiorare oculatiora videantur. Ad tertiam probationem accede,quae instantiam nullamia, titur,xaduerte,quod si vis cognoscere an bene operatus fueris debes numerum inter lineas repertum cubice multiplicare,&producto residuum operationisi si quod fuerit addatur: quo facto, videbis an numeriis resultans sit aequalis numero cuius radicem quaeris:quod si contingat,bene operatus es, si autem oppositim occurrat, nillil oporatio valebit ubi vero nullum esse residuum accidat, duntaxat videbis utrum proue. mens ex cubica radicis multiplicatione sit aequale supPosito, vel non: primo dato,bo, na erit:secundo reperto,nulla.
Operatio numerorum mixta, est debita mixtorum numerorum se
elidum aliquam,aut aliquas prius habitas species reprssentatio. Opes rati vero cum numeris mixtis, est debite numeros mixtos secudum aliquam,aut aliquas prius habitas species repraesentare.
Exempli gratia, vis significare,seu per claaracteras rem entare centum ducatos,cum quindecim duodenis,hoc pacto facies. zo ducati, is duodem. Item si vis addere quinquaginta ducatos,& septem duodenos,quadragintaquinque ducatis,cum nouem duodenis, repotes pro summa,s ducatos,ici duodenos. Si vis etiam abstrahere tri instaquim duratos cum octo duodenis, quadraginta ducatis,cum nouemdecim duo denis: invenies pro residuo, ducatos cuin i duodetas,8 in exteris speciebus est pasti modo operandum CFinis huius diffiniti, est debita in mixtis numeris operatio,sescundum prius habitas arithmeticae species. CSeruit autem mesens diffinitum iis omnitius quibus praecedetia diffinita deseruilint, idelicet astrologis physicis,calculatoriabus,mercatoribus,traperitis:&breuiter quibusvis laominu statibus,ac conditionibus. PRIMO NOTANDUM EST duos in hac Parte numeros esse aduertendos rquoriun alter simplex nuncupatur,alter Vero mixtus dicitur.Nam eum numerum simplicem appellamus cui unica est denominatio Exempli gratia, numerus i 3s ducastorum dicitur simplex, cum solum viram habeat denominationem, videlicet ducatos rum:idciti esset dicendum ubi scutorum,stancorum, es duodenorum diceretur. Hi vero numerum multum dicimus,cui plures Partiale Insunt denominationes, quem, admodum est numerus 13s ducatorum cum 326 mmcis: aggregatum istoruin duo, rem numerorum mixtus numerus nuncuPatur, ex eo quod in ipso plures sunt denos minationes partiales: estera eius Pars ducatorum dicitin, altera enim stancorum ap,
pellatur. Est insuper virum, hac parte Potissime aduertendum,& est numeti mixti qualitas: hoc est an duarum sit denominationum, trium, aut plurium in speciali austem multa sunt con*deranda quae inserius in conclusionibus videbuntur modus insuper scribendi m hac part pariter ωoperandi ,sequenti notabili declarabiciu :quod in nouem conclusiones erit diuisum: in quarum qualibet odus operandi alicuius spes oci prius habitae,significabitis . SECvNDO NOTANDUM EST Ionge aliter in hac parte esse operandum, quam in meliabitis diffritis. Pro cuius clara intelligentia sit prima conclusio pro numeratione. ESi numerus mixtus sit solum duarum denominationum,eo Pacto scribatur, ut eius pars minoris denomiirationis ante scribatur,altera vero pars,cuius denominastio est maior,retro locetur:capio ante aeretis,uti in primo diffinito declaratiun est.Si autem numerus mixtus mi aut plurium sit denominationum postquam aequales esse nequetuat secimdum ipsiuum ascensus scribant , sic Φ minimae denominationis numerus pruno loco scribatur, ε maximae denominationis numerus ultimo ponarint fine,mediarum vero denominatiomun numeri,secundum ipsorum qualitates locabuntur. Verbi gratia. Vis scribere mille ducatos,cum quindecim duodenis illos taliter dis
Pones,loco ducatios duodeni, Si quingentos quadragintaquinq; ducatos, cum octo
274쪽
decim duod is,&nouem trumnis scribere velles:est hoc modo laesum um,s ς dura. u. is duodeni. sturoni:&de ascendetibus Pariter dicendum est. Si enim alicuius mixti numeri valorem exprimere velles,ab illa arte incipere debes cuius denominatio est maior,versus numeros minoris deno murationis Procedendo. In tris facile est exemplas citrida assignare CSecunda conclusio pro additione Si numero muctos vis .addere,illos eo. 'ci' deminodo disponas,ut maioris denominationis numerus loco supremo ponatur qua. uis non sit necessarium deinde caeteri supponantur,sic'ubd in aliquibus communicet denominationibus, illis limites siue loca respondeant eadem, secundum ipserum exi. gentiam fe incipias operari a minoribus versus maiore mimo numeros. Uerbi gra. tia. vis cognoscere summa quae ex his numeris mixtis emergit. scilicet, s scuta, mitanci. σε duodeni, 63 scuta, 23 sanci,TIO duodeni Miscuta, o franei,si . duodenu illos numeros tali ordine locabis,sae quibus duecta Protedatur linea: Hime. sens figura ostendit.
Nempe duplici modo potest datorum
scuta. standi duodeni. 6s scuta. fiandi duodeni. 3 o, scuta oo Da duodem .haberi: o modo per reductionem ipsorum ad scuta:alio modo per redui onem partialium numeroru iisdem denominationis. Si autem Primo modo illorum summam morari quaeras:id facies iuvamine septimi diffiniri, in quo de reductione sufficienter declaratum est: 8 pro eorum summa habebis 29 3 scuta, stancum, induodenos. Si autem secundo modo su inniam quaeras dari, reperies zz6v scuta, si fiancos, sis duodenos. Pones igitur sub linea summam in ordine, sic ut duodeni sub duodenis, hanci sub stan ,scuta sub scutis ponantur,limitibus coriespondentibus & operatio Tertiae nem completam lubebis inertia conclusio Pro subtractione Triplici contingit dis, Husi x latentia subtractionem in mixtis numeris reperiri Primo modo .si a simplici numero mixtus subtrahatur numctus ut si aris 43 scutas, subtrahere velles, sicula,116 fiancos is duodenos. Secudo modo ,si a numcio mixto,simplicem subtrahas numerum rvt si a qsjoscuris .92io hancis,is duodenis,subtral antur scios scura. Tertio modo. Ra mixto mixtus subtraliatur numerus: ut si a s scutis,s2-fiancis i duodetvs. subtrahantur 936 scuta 893o franci, is duodeni In qualibet harum differentiatuni opus est reductione. Si vis in primo exemplo operati,dispone numcios quemadmordum presens figura ostendit. ι scuta , Numerus a quo lubet fieri subtractio. Subtrahendus s' ua standi duodeni
Deinde vicique numerus tam simplex quam mixtus ad duodenos reducatur: quosa cto,proueniens duodenorum suinmanumeri ibtrahendi subtrahatur a prouenienti
duodenorii summa,qiue ex numero a quo habet fieri subtractis ,resultat:&completam operatione habebis. Et si velles scire quot supersunt scuta: residuum duodenorum Per 3ς diuidet postquam scutumas valet duodenis Mnumraus quotiens, remanentium stiliorum numerum propalabit. Eodem modo operandum est in secunda subtractio ius differentia pariter R in tertia:nec opus est maiori uti discursu pro his omnibus co maria inoscendis Cauarta cocliisio pro multiplicatione In mixtis, plici differentia collas
I : digit multiplicationem fieri. Primo contingit niunovin multiplicandum esse simplicem,
opitiatio multificanti existente numero mixto,ut si preMs6 scuta. 6 siranci, is duode , - in ii iuroni multiplicentur. Secudo modo euenit permunictum inixtu, limplicem multiplicari: ut si per 3 6 3 scuta, qs s rancos, duodenos, Dis scuta multiplicentur. Tertio modo accidit ut pre mixtii mixtus multiplicetur numerus: ut si pre S scirata 6 sistancos, 4 duodenos,sus scuta, 9S sianci, 6 duodeni multiplicentur. In quolibet istorum exemplorum utendum est reductione. Si circa primum istorum velles Operari:oportet tam numerum multiplicandum quam multiplicantem ad minimae denominatior numeru, videlicet ad duodenos reduci:dcinde per inalore numes
rit,minor multiplicetvita facta multiplicatione, si cognoscere velles quot proueniunt scuta,illam duodenorum prouenientem summamm,s dissides. numerus quoties
275쪽
illud significabit .Eodem modo in secuta multiplicationis differentia procedendii est.
paritero in tertia. Exe a perinde sunt clara,vi non sit opus longius evagari. Eduins νῖraeota conclusio pro diuisione. Duplex in dilutione reducendi modus liabetur. Quoru pra or est reductorius,& hoc modo fieri habet. In minus numerus diuidendus ad minore αμ βψ eius denominatione reducatur: deinde per diuisorem, productus numerus diuidatur. Nam pro documeto tenendum ci mullum numerum nuxtum posse esse diuisistem. sed duntaxat simplicem diuidendus tamen numerus Potest bene mixtus esse num tus. Unde satis conuenienter hicitu rus Indelicet illis scuta. .6 franci tu duodent,inter intromines dimabui,seu diuidi potest: quod facies facillime,si prius totum nuinctum ad duodenos reducas, ε inde summa proueniens per diuisorem tam dimim diuidatur Acilicet per D Et si deinde velles cognoscere quot scuta quilibet illorum liciminum pro sua parte habebit, numeriun quotientem per 3s diuides: qua peracta dia uisione, quotiens numerus, quod cognostrae petebas, ostendet. Posterior diuidendi modus est sine reduetione,& hoc diuidendo quemlibet numerum determinate deno minationis per diuisorem:quod facile est facere in P assumpto exempla. Sexta co seriae clusio pro progressione In utraque progressione vultacet arithmetica vi geometrica usioprocum numeris inixtis possumus eo pacto procedo ac in precedentibus cum simpli, cibus operatu est:& pro trac Parte iton est opus nouis uti regulis,& documentis post, ' 'quam ex prius habius omnia saluare possumus. Veniunt autem proportionabilestiua meri eo ordine scribendi ,ac praesentes formula indicant. Secunda formula.
In prima istarum authmetica procedimus medietate:in secunda geometricam mediotate norificamus. In arithmetam Progressione huius Primae formulie duplicem discurssum facies:primus erit francorum Mundus scutoria. qvibus factis,sec dum primam regulam sexti diffiniti,summς prouenientes, Vnum miscium numerum component qui talis erit, videlicet 2 o scuta,ro stanta. Consimili modo operaberis in secundo exemplo,
prout secum regula sexti diffiniti docet,duas geometricas progressiones faciedo quas
rum summae siti ut acceptiae componunt numerii, videlicet is scuta.qostanes isto mos do in Ceteris progressionibus,qua mixtas appellamus, procedamus CSeptima con ti, ima lusio pro reductione In reductione mixtorum numerorum,diffinito septimo sufficien secluso ter admodu est declaratu inrideo non opus est impraesentiaria itreum quae alma sunt res iterare. Ad alia igitur uicinora est pertranseundii. Octaua conclusio,pro radicum in quadrim extractione. Est autem aduolendum in quadrata radicum extractione dupli onclusiocem inmixtis operandi modum inueniri. Altra est reductorius,qui eo habet fieri mo prora do,ac in quilua coiiclusione dictum est:ita videlicet a si mixtus proponatur numerus, cuius radicem inuetur quaeris,ad eius minimam reducendus est denominationem tita: I- ut si tutonorii iiifiina sit denominatio adiuronos reducatur desnde inauronorii stimuma,radix quadrata inueniatur,vel saltem radix maximae iuronorum Partis in qua inueniri potest:qua inuenta ,operatio ficta manebit. Alter est operandi modus in quadra. ta radicunt extractione qui nulla praesupponit reductionem,sed immediate operatu ni in periride ac in simplicibus fiebat numeris, ε est talis Dato numrio mixto videbis an duarum,triumve sit denomurationum:deinde a maiore incipiendo denominatione, in eadem radicem inuenias quadratam.quae sit eiusde denominationis, ves saltem maximae illius partis:demde consequenter ad taeteras ibis denomitiationes ad ultimam usque inclusu id idem laciendo,& radicem mixtam Procreabis, quam inter lineas pasrallelas debitis locis siue lanitibus locabis. Vcibi gratia. Huius numen Mi scuta,ro stanci, i duodeni, radix reperiatur minia:quae ex tribus simplicibus componatur nusmeris , postquam tres in numero mixto reperiurur denomurationes Ee inurities radicem
esse a scuta, 3 scilici, duodeni. de sub tali dispositione operatio manebit.
276쪽
scuta 3 x anci duodeni Noria es morea conclusio pro radicti in cubis extramone.Si in mixtis numeris cubam velles tu Ix extrahere adice, id duplici via fieri potest, queadmodum in mari edenti conclusioner ea dictum est Primo numerum mixtum ad minorem eius denominationem reducendo: in ruta, deinde ipso reducto numero,operando ac in simplicibus dictu est: se udo sine mixti numeri reductione potest cubica radix haberi: ita ut videlicet tot partiales radices G. trahantur quot in mixto numero existunt denominationes, siue simplices mimente
facies modo assignato in praecedenti consur 44 a scuta standi duodeni. sione:&, prisens des 3 6 ----- monstrat figura. Mureorsi TERTIO NOTANDUM EA Tinnumeris mixtis easdem inueniri probatio
φρου - nes,qui in simplicibus numeris habebatur. Additio enim in mixtis pers,per , preb irum.. subtractione probari potest queadmodum subtractio Pers,Per , ter additi emfieri liabet:& de aliis speciebus est pari modo dicendum. Quadere in assignandis cusiunibet speciei peculiaribus probationibus,diutius esse immorandum,mmus utile res Putam .Haec igitur de primo huius libri tractatu dicta sufficiant. PRIMI PRACTICAE TRACTATUS FINIS. DE NUMERIS INTEGRIS SECUNDUM CALCvLos xvi.
Putatorios, tractatus secundus. Nummo immeriis sumpsit nomen, ut refert Isidorus tertio e . mologiarum libro Nummus enim,pro tertia talenti parte coma putabatur,ut author est Pollux .loquor de immino aureo:sed Plinii authoritat nummiam drachmam ess hoc est denarium,consat.Ex his igitur verbis lacile comprehendi potest hac supputa. toriam artem altera esse priorem , quae per characteras operari ostendit .Et si posteriorem illam faciamus, non de venimus axandi:quoniam ut in fine Procimis,praehabiti tractatus enuclea. uimus doctrinae ordine in praestiari libro insequimur,pro iis praesertiin erudiendis scholasticis,qui nostrae artium facultati student Era autem P eiis raelatus,vi quo de nustueris tam simplicibus,tmixtis per supputatorios nummos pertractate intendimus. viilis admodum is omnibus, quibus charactou cognitio deficit ut sunt plo siser. catores trapezitae,caupones,&alii quSplurimi Parin conditionis viti. Erat igitur piar. sens tractatus in quinque solum diffinita diuisus,in quibus modus operandi in quintarithmeticae speciebus secundum calculos significabitur. DIFFINITA.
CNumeratio supputatoria, si numeri per nummum, aut competem tes nummos artificialis expressio. Numerare supputatorie, est nuine
rumper nummum,vel nummos competent declarare.
Finis numerationis, est quecunq; numerum propositum nummis onuenientibus, Grilasti siue locis propriis locare,& quantus sit,quaerenti debite declarare CSeruit lia spe putatoris cies iis omnibus, qui eorum negligentia, vel ingenii tarditate literas ediscere nonio tuerunt:quemadmodum multis hominum conditionibus contingit.
277쪽
πmia linea. . Secunda linea aerima linea.
PR AC T. PRIMO NOTANDUM EST quadam inter nummos supputatotios, Zceas racteras similitudine reperiti quemadmodu enim character primo limine positus inscitur unitas,5 si secundo limite ponatur,dem:tertio celena, R ita ascendendo calcus Ius aute prima domo politus in quintuplo valet magis j isse qui prima ponitur linea. Sin duplo minus illo quisere da linea ponitur .videsicet s. Eodem modo calculus sescunda domo positus,in quintuplo valet magis illo qui secunda linea Ponitur:&inaeus
Plo minus calculo tenuae affixo linear,videlice. o.& de ascendentibus dic consequen. ter. Vnde pro intelligetia nummorum lue calculorum dispolitione,aliquas lineas Pasrallesas in latera opposita transeuntes protrahere oportet:quandoq; fures,quansi Hypauciores,secimdum qu bd numerus est magnus. Quarta linea.
Lineam inferiorem primam dicimus, secundam it Tettia domus. lam appellamus quae statim ascendendo reperitur hoc paeto cosequenta .Spactu aut inter duas Pri Secunda domus mas lineas medians, prima domus appellatur: &id quod inter tertia,& secuta habetur,domus secuda Prima domus. dicitur:&sic de reliquis pari modo. Exempli gracia. SECUNDO NOTANDUM EST tria in hac parte esse documeta, quae huicam deseruiunt. Trinium est,super nullam linea plures et quatuo calculi ponaturetcin nulla domo duo,aut plures calculi reperiantur: sed si calculus liabeatur, tantum sit unus: postlin prima domo unus calculus valet quinq; eorum qui prinia ponutur linea,& unus in secuta linea duobus videli, cet in prima domo. 8 sic consequenter Progrediendo Frustraeni per plura fieret,quae pos ent fieri per pauciora. Secundudocumentu es . Si quempia numerum pono e vestes, ab inserio ribus incipias lineis ad superiore procedendo:ecouerso autem est faciendu, sique numeria velles explicare. Neritu documestum. Postil indiae parte nulla liabemus figura, aut calculiqui cisis liabeat virtute,loco tars linea maneat absq; calculi positio.
ne. Vt autes dicta sunt in lius intelligere queas ad prosens aduertas exemptu. Vis enim scire qualiter 3siducati veniant disponendi protractis quatuor lineis parallelis,supra prima dulos calculos pone:& in prima domo unum calculii locabis des inde in secunda domo unum etiam calculum Pones di in tertia linea tks posticino in quarta 8 vltima linea unus calculus ponaturire tale calculorum dispositione habebis. TERTIO NOTANDUM EI T sepenumero usu veni ire lineas parallelas in binas partes secari a linea ortogonaliter ca dente, quandoque a duabus lineis, re quandoque a tribus δε ita lascendendo:&hoc ideo fit quia mulis varissunt monetarum lappellationes, multi pariter lium eri mixti, qui ex diuersis denoi minationibus consurgunt Si enim a te petatur qualiterio caliculos hic numerus mixtus veniat disponendus,videlicet 7 ducati,i duodeni: protractis tribus lineis parallelis, linea perpediculariter cadente in duas aequas partes secentur,ri in Ialoe sini stro ducatorum numerus poliatur in dextro vero duodenorum ioceti numerus: ut praesens ostendit figura. Si aut ex te qu atur,disponas precalculos 23 ducatos a 3 fi ancos, is duodenos: dispositis tribus lineis parallelis,dus ortogonaliter prim vic .secua vac . teriasvic . descendent etia parallesae,quae alias tres, metres tertias dividant:quo facto,tres reperies ascendentes vicos,in quorum quolibet due reperiuntur doni': in primo dua
torum numeruS Ponatum, in secundo stancorum, Rin tertio duodenorum numerus locetur; Praesemis ira ostendit.
278쪽
Additio supputatoria,est unitatum, vel numerorum in unam sumaniam facta per calculos collecti o. Hinc addere supputatorie, est unita.
tes,vel numeros Unico colligere per calculos numero.
Ninis additionis in hae parte est per supputatorios calculos numeros expedite e5. prehendere:qui diuersis pii nutus lineis concipiebantur Seruit addicio calcularis praecςtetis,trapezitis mercatoribus,de cauponibus seu tabemariis,& omibus infimi eo ditionis homninibus. PRIMO NOTANDUM EST duplice esse additione supputatoria:alteram simplice altera vero mixta. Sinifice eam dicimus:cuius omnes numeri. vescamoneatam speciem intercipiunt,uti esset illa quae ex his duobus numeris resultaret videli. eet xu ducatis &τ 2 ducatis a quonia duo illi numeri sunt ducatorum ideo facta
ex ipsis additio simplex nominatiu:idem etiam esset ubi quilibet illorii esset staneori ,
vel duodenorii numerus. Mixta vero additione ea esse significamus cuius numerus, vel numeri diuersas monetaru species cotinent: ε illa adhuc est multiplex,secundunt quod monetarii multiplex est vis. Quaeda est duplata:quaeda triplata:&ira ascendendo. Duplata additione ea vocamus, cuius numerus, Vel numeri duas monetaru coli. net species. Triplata aule,cuius numerus,Vel numeri tres diuersaru monetarii c5tinee
species:&de aliis ascendetibus pari modo est dicendii. dare in his exessit,est facillimi,.s BCvNDO NOTANDO EST in additione calculari tam simplici .mixta. operatione incipienda esse ab infimis lineis,& domibP versus superiores eudo. Cosy. derabis igitur an ta numerus cui additio fieri debet a numeri addendi sint simplices. vel mixti. Si simplices extiterint, isto modo operaberis:in Primis disponatur linearia. ralleis ut declarati est diffinito praecedeti resonatur numerus cui additio habet fie. ti in lineis,& domibus secundu eius exigentia deinde primu addendorii numerorum addas Gabinserioribus lintis incipiendo versius superiores bis postmodii secundum
numerum addendum si quis talis fuerit,addas resultanti exprima additione numero:8 deisteris si laciintinumeris eo dem modo facere licet. quo ficto , ea erit omnisi numeroria summa quae in operationis fine manebit Obseruabis tamen inter operandia tria illa documenta, quae in prs habito di ito posita mersit. Declaratur ista omnia familiari exesso Sit numerus cui additio habet fieri q3τ ducata:primus numerus addendus, 23q:secundus aute numerus sit q32 ducata:disponatur numerus cui additio fieri liabet, in tens figura oste,dit. Deinde primu numerii addcndu eo modo adiicias:initimis quatuor unitates duabus in prima linea existetibus addedo:ex qua additione sex proueniet unitates. Sed cii dicta sit primo documeto praecedetis diffiniti no posse plures ealculos reperiri sit pra lineari quatuorta ideo ab illis sex unitatis, vel calculis,qui premoueas, io uno calculo manente supra Primam lineam,&do . eo illoru quinq; ablatom, si in prima domo locabis: in qua va, let quinqi:sed quonia in eade Prima domo unus calculus repetiatur,xpeririinii docuinentii esse no possunt plures,lduo: ideo illo ablato,prosecuta linea mis calculus seruetur, qui ibide destia dicitur: copuletur igitur ide calculus tribus denis numeri addedi,&inde quatuor denae cosurgent, quae tribus calculis insecuta linea existentibus addantur δε prouenient septe, quibus quin que semoveas,loco quorum in secinda domo unus calculus ponatur. Deinde duae denae numeri addendi per duos caeculos adidatur quatuor suprapositis calculis,& proueniet calculorum nusmerus 5. depone igitur quinq; quorum loco unus calculusissipa posita una linea parallesa in tertia domo Ponatur quo peracto,
talis resultabit lanum atque calculariun dipositio.
279쪽
PRAC T. Deinde secundum numerum addendum illi producto numesro addas .procededo eo modo a declarato &pro summa omnium illoru in numeroru ito 3 ducatos liabebis:& sub tali copositione illorum summa per supputatorios calculos apparebit. Patet igitur opeiadi modus in numeris simplicibus e Si
aute in mixtis numeris velles operari,debes primo eoru qualitates cosydoare hoc est an duaria pluriumve sint denominationsi: si solum sint duarum per duos vicos operaberis,sactis lineis in domibus conuenientibus:si trium ρ tres,&de aliis
huiusmodi est pati modo dicendum CPotes igitur duplici ire,
via mixtos addere numeros:primo modo Per reductione eo talaulai rum ad infimam eoru denominatione, ita videsicet, omnes
numeri mixti addendi reducantur ad turonos si infima eorsi denominatio sit turonorum deinde eisdem reductis, numeri prouenientes addetur,xposta erunt simplices,debent addi aedictum est. Exepli grastia. Sint dati mixti numeri ducati ,34s iaci, is duodem.&434s ducati,s 39fames,t duodeni: si ipsos vis addere, prius quemlibet ipsorum ad duodenos reducas:de inde numeros prouenientes addas:& proueniens numerus,erit summa datorum nu merorum. Et si vis cognoscere quot ducatos habeas in illa sumna, aut quot francos: utendum est diuisione, uti ultimo diffinito princedentis tractatus visum est Sed quo niam in hae parte non est adlaue datus modus diuidendi nec multiplicandi,qui requiruntur pro reductionibus faciundis: ideo ad alium operandi modum est pertransem eum. Secundo modo,& clariori potetis illos duos numeros addere sic, ut dispositis per vicis tribus,cum copetentibus lineis,&do bus: numerus cui additio fieri debet,prismo ponatur secundumn primo diffinito declaratiun es: deinde ducatis ducati addatur. cfrancis franci, R duodeius duodeni sic-tres partiales additiones compones: quo facto,summam numerorum Procreatam repeties. EPotest insuper alius operadi
modus assignari in mixtis nimieris,qui talis est. Disposito numero cui additio fieri deahet per suas domos,& lineas:caeteri numeri mixti eo veniunt addendi modo, ut a nusnorhus incipiendum sit,versus maiores procedendo numeros, R simul cum additiosne reduetionem facies,quemadmodum praesens exemplum indicat. Sit numerus cui additio habet fieri ,3 23 ranci, is duodeni,iituroru :nutrierus addendus si fiam , duodeni, muroru . disposito igitur per calculos numero cui additio ficii habet secu. dum mus conditionem incipias addicionem sacrae a turonorum vico, sicis septE tu rota numeri addendi addantur illis is turonis muncii cui additio fieri habet,& prouomen Mauroni positis igitur duobus uronis supra primam lineam eiusdem vicit os pro duobus computabis duodenis, qui simul cum duodenis numeri addendi scilicet ii addantur duodenis secundo vico existentibus:ex qua additionet emanahunt duodeni :resictis igitur in illo duodenorum vico 16 duodenis, 2 oesis componen tes francia doco unitatis cum taeteris fiancis immeri addendi computentur,qui secum dum assignatum modum staneis secundi vici addantiu :xcreabitur numerus syssas corum isto igiti discursu peracto, reperies pro illorum duorii mitius assignatorum numerorum summa, 's' Siracos,i duodenos, Liuronos Vbi autem multos esse M. dendos numeros contingat,est consimili Processu operandum. TERTIO NOTANDVM Es T supputatoriam additionem probadam essem subtractionem,ita scilicet, prouenienti summa addendi meri subtrahanturAE si manens numreus fuerit aequalis numcio cui additio fieri habet operatio integra di cetur:occurrente autem opposito,additiorus discursus inefficax & nullus reputabitur.
Haec probandi via pro hae supputatoria specie sufficit:ideo Probationum copiam minus bene nobis visum est impr sentiarum esse adducendam.
Subtractio supputatotia,est debita minotis,aut aequalis numeri, ab aequali,vel maiori calculatis ablatio. Inde sequitur subtrahere suppu
280쪽
Duplex subtinctio calculatoria.
tatorie, esse minorem, aut aequalem numerum ab aequali vel maiori
Finis huius species est propositis duobus numeris, alteru ab altero ausore: residii si si esse contingat per calculos ostendendo. Seruit hare species ijs omnibus quibus Rirteedens ciffinitum seruiebat. PRIMO NOTANDvM EST duplicem esse subtractionem supputatoriam:
alteram simplicem .alteram vero mixta. Mixta etiam subtractio multiplex est, secundam in ipsa multiplices numerorum denominationes ponuntur, Ut primo notabili Praestentis di titissum est. Sut igitur in hac specie coniyderata, numerus a quo fieri trahet subtraimo:numerus subtrahendus.& numerus resistiis qui in fine operationis dos mibus ae lincis decentibus secundum supputatorios calculos dispositus appareat. SECUNDO NOTANDUM ES in utraq; calculari subtractione operanssimodum inchoandum esse ab infimis lineis, ε domibus ad superiores progrediendo: dc in primis cons*derare oportet an numerus a quo habet fieri subtractio sit simpi
aut mixtus, pariter 8 numerus subtrahendus,vel quilibet Illorim is tu repralatur,
aut eo habeatur modo,ut alter simplex,alter vero mixtus inueniatus. Si enim Primdetur eo pacto operaberis disposito prius num reo a quo subtractio fieri habre, secus dum quod pomittit, unitate ab unitate subtrahe,denam a dena AE a celena centena, uniformito ascendendo: euenerit subtrahenti ei nummi unitate ab unitate numeri, a quo fieri debet subtramo,subtrahi no posse,habebis accosmodato a num iubtrahendo unum calculum,
qui dena nune patur: idem faciudum est,si subtra hendi deni, locati num rei dena subtrahi no posset,ita ut mutuadus seu accomodandus sit caleualus a tertia. vel a quarta lineas si millum in tertia esse contingat 5 sic consequeto. Potest etia qua . doq; calculus in domo repostus, qui quinq; valet, in inserioris lineae ealculis inscitotibus accommos dari. Exempli gratia sit nummis a quo habet fies risubtractio 3ςS2,qui eo modo disponatur ac Pr sensis a indicat Numerus autem subtrahet -- eus sieris N a digitis autem inferioris lineae, videlicet a duabus illis unitatibus per duos ealculos signatis,digitus subtrahedi numeri qui est q=subtralii non potest: ideo a se da linea n qua tres calculi locantur,miam pro prinia linea accommodato has hebis calculum,qui decem in ipsa unitatibus valebit:8c ita 12 numerum complent caloculi existentes in prima linea,&calculus accommodatus, qui virtualiter decem valet
unitatibus: subtrahe igitur .ab illo duodenario num , ε manebita pone igitvi in prima linea unum calculum qui cum duobus existentibus 3 efficiat numerum 8c prima domo unum etiam calculum locabis: desnde calculis manentibus in secunda lineisqui duo sunt tres denae sub ψtrahendi numeri subtrahi non possunt ideo calculus secundae do. mus sit accommodus secundae lineae calculis,ciun quibus iumes. rum componit, quos optime potest subtrahi H in eadem fecim, ea linea remanenti: hoc igitur facto, subtrahe a s centenarum terstia domo existenti s numeri subtrahendi, quod facies pre solam calcuIi ablationem pos temo autem a tribus calcaeis tribus mille, ni valentibus in quarta linea, duos subtrahe calculos, siue duas millenas quod idem est: Municus manebit in quarta linea calcus Ius hoe igitur terminato operationis finem sub sequenti disposi, tione repeties. Et eodem modo in aliis numens simplicibus ope, randum CSi autem uterque numerus mixtus fuerit, vel esto sol