장음표시 사용
261쪽
merus, qui se cundum se e sederat, nessin compara tione ad alte a1u,necli ad fisguras geometricas applicatur atque de hoe maxime a
rioribus desis nitas. Est denumerus ad alta quid sumpt', qui in coparatione ad au rum cosyderatur. Atque inhoe solo emollit omnis P/gressio Ner Portionalitas
Tertius est numerus seeudsi figura Osi derat ,riat adfiguras geometricas applicatur. In quo genere consuit ecquadrat ac ous,de quisbusPaulopost agetur.
PRACΥ. Dcemplum, ,2, 3, , ,componunt is Elia 1, 2,q,s,16,faciunt i Et 2M,6,s,io colle. isti,nuinerum 3o efficiut. In Primo ,8 tertio istoruin em Plorum,semper inter nun eros adem proportionalitas arithmetica repetitur In secundo autem exemplo, eadegeometrica proportio seruatur. CFinis progressionis, in summam in progressionali, tet se habQuibus numeris, pedite assignare. Servit haec species in primis astrolo αgis G calculatoribus,uti xptaecedentes: inultis pariter aliis hominum statibus. PRIMO NOΤANDUM EST pro huius diffiniti claro processu, duo esse in hae parte admodum requisita:alierum numeri progressionales alterum progressio analium summa In genoesi vero tantum tria con*derantur, scilicet duo praehabita, &Progressionis finisecvtilitas In Pgres
-Linea interiecta. interiecta linea CModus autem scribendi est talis pura milia superioribus locis progressionales numeri stris shantur,sub quibus tmea interiecta in rectum protraha qtur,ut praesens forma indicat. Demum sub linea pror gressionalium numeroriunduntina locetur de quasi quenti notabili videbitur. E CV NDO NOTANO V in progressione eodem modo esse opestandum ac in additione declaratum est cum ita sit,omnem Progressionem additione esse,quamuis econuerso dici nequeat:ideo sine maiori processu pro hac specie intela ligenda istud habeas exemplum. Vis autem scire horum numerorrum progressionalia ter se habentium summam, scilicet , , ,9,u,r3 Disponamur ut is declaratu est,&, praesens figura ostendit deinde die, saaciut isS:&τ,componuntis:postmodum addas 9,&24 habebis, postear, sia ut 2s,iterum 3 addas β 25 Procreabis,qui compositus estnns τmerus:ponatur igitur eius digitus scilicet octonarius sub linea pri, mo limite,& articulus in mente seruetur, qui secundum eius deci mae partis denoniinationciri,qiue est 2.secundorti limitum elemen, tis addetur. Adde igitur prosccmdo operando, in mente rePolhun primo articulo, qui emi,& resultabit 3 demde 3 8 Llaciunt Α, qui sub linea secundo limite ponatur: completam sub tali forma ope ii rationem liabebis. Et quamuis iste operandi modus sit effia , Ox:quia tamen ab additione non discrePat, Pro qua non τest opus nouo diffinito:ideo breuius,5 clarius Per duas re νgulas operandi modus significabitur. Pro quo intedigeni do,aduerte duplicem esse progressionem, alteram arithiale ticam,altera vero geometrica EArithmetica Progressio, est Plinii numeroru se eo, de excessu exuperantis,in unam summa collectio. Verbi gratia,3,2,3,ψ, faciunt dece. Nam quemadmodi excedit x Peri,itai cedit 2 Peri.&-,3. ideo inter illos numeros arithmetica proportio inuenitur. Idem de his numeris est dicendum, χές, g, ii. Retiam decimii,3,s, ,9. Vnde illi nimieti in arithmetica progressione se liabet, inter quos idem reperitur excessus:quemadmodivini habitis exemplis contingit. pro ininori tres nunicios esse oPortet. Intellige semper inter numeros unitate nuinciari. qus tame proprie loquedo numerus dici nequit. Progressio autem arithmetica est dii, Hextatera cotinua,altera disium,sive mericalaris. Continua progressione illa appes,lamus,qus iraturale numeroru serie post Primu numciu seruat. Et talis adhuc est multiplex:quida incipit ab ,quaeda a L,quςdix, de ita cosequenter ascedendo. Dceptum istoria, ,2, ,q, 42,3, ,s,5: ,q, 6,T. Disiuncta aule,siue ulterscalare progressione ita lassicinius,quipostitimuiuinerit,alique vel aliquo numeros Praetermittit,8 eolii mile,vel cosimiles post secundu ,totvi,quartu ita cosequeto. Et talis est multiplex, quaeda aba,incipit,quaeda a 2,quae la 3β ita cosequento. Dcempla istoru,i,3,s, , 9:2,s, i, rq 3,T,u, Is 19. Priomandi igitur modo in aritiametica pr3gressione hac regula animaduertes. Datis niunciis arithmetica progressione se habetibus,duo extremi addantur,8 si restillans numaus fuciit par, pomus medietatem, limitu seu Vicium numerus multiplicetur: dx Proucine numaus cutiunum datora inunciorii.
Disium. Regula Pio antis metica Pgressio
262쪽
Si vero die additione extremorum impar proueniat numerus,per medietatem Iocorumultiplicetur,& resultans numeriis erit datorii summa. Exemplum primi:sint numerit dati,i,2,3,q,s,addas I excrescet 6, qui innumerus par: per cius igitur medio ratem, 'id licet per 3,multiplicis,qui est numerus limitum: β proueniens numerus eritis, qui datorum numerorum est summa. Exemplum secundi: sint dati numeri,3, 6,s,i L .is,tS:adde igitur 34 S,Mirabebis Ll,qui impar numerus est:&multiplicabis
2 per medietatem vicium,videsicetici numerus emanabit 63,qui datorum nu, merorum summa dicetur. Ex his sequitur, si intremoruin numerorum ciescens numerus metit par,necessum esse numerum limitum imparem esse in si talium extremorunum riun numerus resultans impar emterit Parem esse nuInerum limitii oportet.
Et liare de arithmetica progressione. eometrica autem progressio, est plurium numerorum secundum aequales proportiones sumptorum in Unam summam collectio. Exempli gratia:i.2,q,S,lacium is . quemadmodum enim ,ad se habet in proportione dupla,iti ad ,αs ad 4:ideo inter datos num os geometrica Progressio inue. nitur. Idem de his est dicendum numeris, ,3,9,2τ α PMiter de istis,2,5,is,sq. . de illi numeri se habent in geometrica progressione, inter quos eadem reperitur pro. Portio mon autem idem numerori excessus, ut mi arassumptis numeris clare collat.
Pro operandi aute modo in geometrica proJrcssione, lix regula habeatur. Datis numeris geometrica proportione simplici multiplici se habentibus,multiplica maiorepo numeriun a quo illa proportio denominatur,ec a producto subtrahe minorem nu
meruin, & reliquum diuides m numerum Hutate tumorem numπo a quo denomia natur propomo:quo facto,numou quoties erat datoram numerorum summa. Hane
regulam satae intelliges instapositis corollaris apprehensis CPruno sequitur, datis numeris in dupla se habentibus proportione,maiorem numerum esse duplandum si, uesct duo multiplicadum quod idem cir dupla enim a 2 de muratur vi a produ,
cto minorem munerum esse subtrahendum: d quod remanet erit numerus intentus: quoniam L,diuidi pernum minitate minorem non potest. Exempli gratia sint dati numo 2-,S,i5,32: multiplica Pra ,seu dupla 32,di exaestit sq:a quo subtrahet,d manens numerus erit 62, qui numerus est datorum numαmuri summa. Sescundo sequitur datis immens in tripla se habetibus proportione,maior numerum esse triplandum seu pre tria multiplicandum, di a producto minorem esse subtrahen dum δε remanens munerus est diuidendus per , qui solum ma est 3 minor quo pG acto numraus quoties erit datorii summa. Exemptu. sint dati numo i ,3,9,2 :mplas his igitura , proueniet immerus Si, quoa subtrahe,manebit So, quem pre 2 diuia deδε quoties numerus eritqo,qui datorum nivnciorum est summa motio sequi. iiii . datis numeris in quadrupla se habentibus proportione numerum maiorem esse quadruplandum,& a producto mininium subtrahendum,& manens numerus est diuidedus per 3 qui est unitate minor Α, quo quadrupla proportio denominatur,&quoaties num reus erit datorii summa. Exemplum:sint dati numerii AE,16,54,2s6:quactu
plabis ergo,siue perri multiplicabis 2 6,re proueniet numerus io , a quo i subtrahere manebit io2 3,quem per 3 diui δε quoties numcius erit 3M qui signatoria numestoriim est summa. Eodem modo est optrandum in numeris se habentibus in quintu, pia proportione,sextupla, aut septupla ec sic de aliis ascendentibus simplicibus mul. tiplicibus proportionibus Possunt parito pro ali is proportionitin generibus regularassignari:sed ne longius aequo immoremur, quae iam posita sunt sufficiant. TERTIO NOTANDUM EST progressionem measdem tres probationes debere probari,pra quas addicio Probatur, scilicet pres, per τι&pci subtractione Si aute per Prima velles Progressione probare:accipe ab omnibus numeris progressionalito se habentibus nota,deponedo semaper, uti in additione faciebas,&protracta recta linea ante progressione in eius capite repota,nota ponatur. Deinde a summa nota pariter accipies, i uua inclines pede locabis:& si inuetς notae sint aequales,bona erit progres siosicio inaequales extiterint,inutilis,re nussa dicatur Exeptu hic literalitra habes. fill,
rium tale esse debet. Si siesri Progredi rates Progressis ne inst Arithmetiea ab impari nuero ordiatur, Mira, mus ille parvstimo addas, resultet ' ex tali additione
di numeri liis mitia fuisse im
rus resultet is Par,limitii namersi fuisse parem. Quod si ab aliquoisie
semper resulatabit numer Par, quatituis
de nihil rei terit, siue per medietate leariet siue pro dum alterustrum multiplices pericula facere potes .
si tabellam Pythagori intuearis, in quilis Deae oes qua quersus arithmetieam in se
263쪽
PRACT. Si per secundam probationem,uidelicet Per , progressionem Velles probare:acci vestria, pes, progressionaliter se habentibus numeris,notas,eo modo quo in riobatis additione dictum est, quas recta linea progressioni praeposita ante eandem limitibus propriis locabis spostmodum ab illis notis,notam adhuc capies remouendo, quoties permittitur.5 in vertice lineae pone . Post emo a summa notam eodem modo accipies, quae alteri lineae extremo adhaerebit Ee si consormes extremae notae inueniantur, bene operatus es : si dissimiles procirentur, iterum de nouo incipias operari oportet. Sed quonia in praecedentibus diffinitis*pe has pro Exemplum. tiones resellimus:idebad tertiam procedo probationem. Si igitur Per tertia pro .hationem cupis progressionem probare,subtrahe a summa progressionales numeros. Bessi nihil supererit,aut desuerit,integra erit operariorOccurrente autem Opposito nulla erit progressio. Et quamuis progressio additionis sit species, quia tamen duas conatinet regulas quae additionem,subtraetionem .multiplicationem,&diuisionem pro pιsaru intelligentia praesupponunt ideo minus inutile visum est post diuisionem de pto. gressione nouum efficere diffinitum.
Reductio, est rollioris numeri in subtiliore,vel subtilioris inuros.
siore ambitio, seu commutatio. Reducere,est grossiorem numerum in subtili orem,vel subtiliorem in rossiorem carnoire,aut commutare.
vis sta, CExempli gratia: vis redducere a scuta ad duodenos pro illorum eambio siue comto, is duode. mutatione. duodenosa abes is .aubd si ad duodenos triginta franci reducantur. mis etiam do inuenies facta reduction numCrum G istancorum pro summa. Etiam si is duodes
2 si di nos in tutonos commutes, numerum is turo rum Proarabis. Finis huius spe, Rhesum.
A s. sub is, Ces,est prouenientem assignare summam,sive mammim, qui ex reductione grossio. onis frarat olim hies iis numeri ad subtiliorem,vel econtra, prouenit CS eruit avem haec species astrolo, tributos iu se sis Realculatoribus,multis etiam hominum inibus quemadmodum mercatotibus, μ'
thmutariis,Mabis huiusmodi hominibus PRIMO NOTANDUM ES duo esse in hac specie aduertenda, alterum . .
numerus reducendus,alterum proueniens ex reductione summa Modus autem scri Aida, hendi talis obseruari debet:loco superiori numerus seu numeri reducendi ponantur uerteia.. sub quibus in directum tecta linea protrahatur,xin latere sinistio denominatio numeri,ad quem fit reduetio per coueniens signum locetur verbi gratia:fficio scuta debeas redi cere ad duodenos,illa scuta sub tali forma dispones post lineam perpediculanter cadente. Deinde sub linea interiecta discursus reductorius fiat:quo peracto, linea subaiiciatur.infra quam numeru reductione Prouenie loca' , -- - ehitur: ista omnia discretius sequenti notabili declarabuntur lsECUNDO NOTANDUM EST pro operationis contracta intelligentia ripis triplicem esse reduetionem. Vna est,qira grossiores numeri,ad lubtiliores reducuntur recta ut si ducati,vel scuta ad duodenos,vel denarios reducatur. Alia est,qua subtilioresita meri ad grossiores reducuntur:ut si denarios,vel duodenos ad scuta,vel ducatos vetales reducere . Alia vero es reductio, qua simulac grossiores,4 subtiliores numeri acimedios reduciatur. Verbi gratia:si ducati δε duodeni simul ad hancos reducantur. Inasuper cosyderabis quamlibet istarii reductionia duplicem esse,videlicet simplice Misiis
Xtam Simplice reduetionem ea appellamus, cuius numerus aut numeri reducendi. Simplex sunt eiusde denominatioms. Exemplu:si is 34 ducati ad duodenos reducatur. Mixtam vero reductione eam dicimus,cuius numerus aut numeri reducendi ,sunt diuinarum denominationu . Exemptu: ut si sq2 ducati,& 26 3 scuta simul ad duodenos reducastin. De his aute mixtis numeras, diffusius ultimo diffinito huius Primi tractatus age
tur. His declaratis ad haec infra posita aduertes documeta,m quae huius speciei nostitia habere poteris. Prina udocumentu est tale. Si sun plice numerii ad subtiliori vel PH Si
te reducere oportet Prim utriusq; nutrieri implicis denominatione cognoscere,hoc
est ii quilibet talis dicatur numerus ducatorum,scutorii,vel aliquod aliud huiusmo
264쪽
dii desiide videndum est quoties unum singularemimeri reducendi continet aut constinetur ab uno uigulari alterius numera ad que debet reduci. Per singillare numeri m. telligo. si numeriis sit ducatoru, unum ducatum: si scutorum,unum scuturn R si duo. denorum duodenum unum,d ita de aliis. Hoc igitur cognito si numerias reducetas sit grossor,eundem per quotientem numerum,hoc est per illum numeriam significan. tem quoties crossior numerus subtiliorem continet, multiplicabis quo facto proue niens ex illa multiplicatione summa,creatus ex tali reduetione numerus erit. Exempli gratia,vis duodenorum summam cognoscere,quam is 34 scuta componunt primo videbis quot contineat duodenos scutum,& re Perim, continere scutorum igiturnus merum, scilicet mimultiplicabis per quotientem hoc est Peris,MProueniens sum,ma erit 360o quae ex reductione is 34 scutorum ad duodenos prouenit. Eodem mo. do operandum est,si adiuronos praedictuin numerum scutorum reducere velles. Deahes enim in ptinus videre quot turonos scutu contineat,quod isto modo facies. post, quam scutum, con et duodenos,f duodenus, i continet turonos,debe peria multiplicare,&proueniens numerus,qui est q2 ,erit summaturonorum contento. rum a scuto:multiplicabi igitur numerum scutorum, Videsicet is 3 per qχοδε prosueniens nummis,erit 6-2go,qui ex reductione, A scutorum adiuronos prouenit.
Si autem in simplici reductione reducendus numerus sit subtilior numero ad quem debet reduci, cognita utriusque numeri denominatione,& cognito quoties unum sin, gulare numeri reducendi contineatur ab uno singulari numeri ad quem fieri habet te. ductio debes numerusubtiliorem per quotientem grossioris numeri diuiderm&numerus quotiens, erit prouenies in tali reductione summa Verbi gratia:vis reducere μις duodenos ad scuta hunc duodenorum numeriam pro diuidendo numcio accipies Apro diuisore numerum ..& diuisione facta numeril quotiens,qui est qi, erit proueaniens summam reductione 43 duodenorum ad scuta. Et pari processu in quibusvis aliis restationibus simplicibus procedendum est. Secundum documentum est,nua merus mixtus in tripla reperitur differentia in eius reductione Primo enim contingie ad subtiliorem reduci. Secundo euenit, ut ad Polsiorem numerum reducatur. Tereio vero accidit,q ad medium reducatur numerum. Exemplum primi.Si reducere velles 34 6 scuta,quem rancos,&4 6 3 duodenos ad turonos. Exemplum secundi,si velles reducere 234 duodenos, 23 cfrancos, Hs6 scuta ad ducatos. Exemplum tertii. Si velles reducere 93 6 ducatos,&4 6 scuta, 76s 4 duodenos ad stancos. Scuta Turonus In primo autem exemplo est operandum laoc pacto dispositis numeris illis, ut praesens docet figura:
Franci. Duodem. Primo duodenorum numerus ad tu rono reducatur, modo declarato in primo docus mento & habebis pro summa fisi 6 turOΠOS: deinde numerus francorum ad turonos reducatur:quod etiam acies stoindum quod declaratum est in primo documento:&pto summa reperies os6oso turonos:d inde numerum scutoru eodem modo ad tu. tonos reducas:& pro summa inuenies sis 2 euronos,& his tribus reductionibus co
meri .ut presens ostendit figura:deinde reducantu tam ranci quam scuta ad duode nos:& summae inde prouenientes simul cum duodenorum summa addantur: R propeniensiti merus erit
Duodem Franci Scuta iiduodeni supersunt.
265쪽
PRAC T. ducatus exqo resultat solidis,& numerus quotiens, videlicet 422τ, erat summa dura, torum prouenientium ex reductione supradictorum nurnerorum adducatos: quo fas .vt est in pnecedenti sorma, reductio manebit Gn tertio ex lo ein hoc pacto operandii dispositis in primis illis numeris queadmos Tertii exdu praesens forma declarat:deinde illi numeri ad numerii duodenotii re, Francus ducantur:& pro summa habebis nu nimi t9 69 duodenom: qui per o diuidatur,postqua ex o duodenis francus obsurvs τε Ducati empho
summa reductoria dicitur:& sub disepositione tali reductionem habebis.
naria.Τertia vero per diuisionem,aut multiplicationem potest feri. Nempe omnis reductio per multiplicationem fieri habet,aut per diuisione,aut mixtim partim per multiplicationem, partim per diuisionem. Si igitur reductio per solam multiplicationem
fiat,probabitur per easdem tres probationes,per quas multiplicationem diffinito quarto probari dicebamus in si aliqua talis reductio per diuisionem fiat duravit: ipsa per
tres diuisionis probationes probabitur. Si vero mixta fuerit: mixtim probationes accipies. Pro intelligentia igitur primae probationis nouenatiae aduerte P si numeri re Pri Pducendi sint eiusdem denominationis,foreducantur ad subtiliorem numerum,ut si isqscuta ad duodenos reducatur,notae sunt accipiendae eo modo,quo diffinito quarto huius tractatus dictum est in prima probatione: videlicet ut 1 reducendis numeris,s abs trahatur quoties potest, nota remanens, factare linea ante operationem, debit ponatur loco: deinde a numero quotiente per quem multiplicati debet summa numerorum reducendorum,nota abstrahatur,per quam prior multiplicetur,xa Productonii mero sumatur nota ponenda in capite lineae:deinde a summa reductionis, nota eosdem modo accipiatur, quam in altero lineae extremo pones,& si illae extremeses notae sint similcs, bona erit reduetio:si dissimiles,nihil valebit CSeptenaria autem probas Secundatio habet eodem modo fieri,hoc solo dempto,ut notae accipiantur,ut declaratum in P Qt diffinito secundo. Sed quonia, ut inpedictum est, isti probandi modi nihil valent:ideo ad tertiam probationem accede: pro qua intelligenda, non est opus magno processu, Tertia quoniam per diuisionem fieri habet,ut in quarto diffinito declarauimus. Si autem vis probare reductione in qua subtiliores numeri ad grossiores reducuntur: vel in qua prossiores,& subtiliores ad medios reducuntur: iam dictis qualiter fieri habeat, constat.
Radicum extraetio quadratis, est numeri inuentio, qui ex co sua seductu, totum numeru, aut saltem maiorem numeri partem, qua dratam efficit Radicem enim quadratam extrahere, est numerum inauenire, qui cum in se semel ducatur, totum numerum, vel maiorem eius partem quadratam, procreet.
CVerbi gratia. Numeri, radix est 3 cum ex duehu,vel multiplicatione 3 in se,nume
rus 9 emanet ter autem 3,numerum s componunt. Etiam Α,respectu i6,xv, respe q,radix nuncupatur. Hinc sequitur quod radix numeri ,est numcius qui in sed Comu, ctus,aliquem totum componit numerum.& ita patet quemlibet numerum posse in rim dicem esse tam quadrati numeri,quam cubi In proposito autem,ad unitate, inu merum extendimus. Est tamen aduertendumssium numerum esse quadratum,qui ns,df, ductu alicuius numeri in se tantum semel, constituitur quemadmodum est numerus tus numeq,qui eri ductu, mi semel .resultat Ei , , qui ex duetii 3 &46,qui ex duetv qin se tantum semet,componitur bis enim χ,numerum tenerant:xtera ,numerum 9,quem
266쪽
mei' quactatus appellatur. Aduine insuperqu6d nummis tubus est ille qui ex ductu alie - maius numeri in se bis tantum, et semel in suum quadratum producitur: ut est numerux 4 μ iφη ' s, qui ex ductu insebis, componitur bis autem bis, unis. idem dicendum est de numero χτ,qui est cubus,cum ex ductu ibis in se solum,procreetur notum enim numerussit soest terri ter, et componere:quoniam ter 3,faciut v numerum,qui est quadratus.&ter ii ius qu/xi
s,eonstituunt Στ:vt fatis costat. Vnde in omni numero cubo reperitur quadratus sed , . . ranon econtra,excipiendo unitatem, quae potestate 'quadratus &cubus est numerus me secudufi citari, CEx his patet binarium quadrati numeri scilicet.& cubi radicem esse. Si autem bina guras geomem rius in se semel tantuinducatur,qnumerum reddit, qui est quadratus: si vero bis inse
- ratione.plura in libro arithmetics specularius tractatu tertio reperies mis igitur tan aliud inmutia quam prooemialibus declaratis, ad Pro Positum deuenire oportet. Est autem indieum P0 v P mn extractio in quadratisivi ex praehabitis factae patet numeri inuentio qui cum in se se z:2'' Tmel tantum ducatur,totum numerum, et maiorem eius partem efficit quadratam flesic patet,ca, radicem extral erem quadraris,est numerum inuenire,qui cum semel tan tum in se ducatur,totum numerum vel maiorem eius partem quadratam componit. Exemplum ubi totum numerum producit, 6, nam is tantum, qcomponit, minuas ter ,i efficiant. Exemplum ubi non totum numerum,sed maiorem eius partem creatos.nam is numerus non est quadratus:ideo quadrata non habet radicem, vitamen est radix maximae partis illius numeri is videlicet i6.Vnde quamuis is numerus non sit inpliciter maxima pars is,cum ijd is maiores sint illius numeri partes:est tamemaior siue maxima pars 6 numem in is, in qua reperitur radix quadrata quatuor sunt quidem numeri partiales is renon Plures, quo in quilibet est quadratus,&ire
consequens habens radicem quadratam Primus numem partialis quadratus est i secundus Α, tertius, y:quartus ,16 primi radis,esti: secundi 2:tertii,3: quarti A. in males numeros quadrato maior est 6 re ita patet qualiter icta diffinitio veniat in es.. tiri , g M. CFinis huius dissiniri est multas conclusiones tam geometricas,quam astro. - i. . Iogicas intelligere: quas dissiculter,imb nullo modo intelligere possemus,hac arte ne. dratis,fi glecta. Seruit autem praesens doetianai pue astrologis, xcalculatoribus aliis
pariter hominum conditionibus,sed raro. PRIM NOTANDUM EST duos muneros in hac parte admodum requisi. Inori tos esse. Quomm prior dicitur numerus a quo radix quadrata habet extrahi: altero. ro,radix quadrata nam pamr. In generali autem sex sunt consederanda:quae penu.s ora mero ix omni radicum quadrata extractione Occurrunt. Primum, est numeras a quo isti radix quadrata habet extrahi Secundum, radix quadrata Tertium, lineae parallelaea tiartii puncta posita sub imparibus elemen is numis..i quo radix quadrata extrahi
debet. Quintu,radix,sive radices duPlicatae Sextum,numerus manens. Modus auid seribessi talis esse debet loco Primo resuperiori,Ponam numerus a quo radix nitas diuta extrahi habet. sub qui si fures a G. limite reperiatur iuncta locentur,eo pacto vi sub primo Elcmento punctum PQΠatur,re secundo metermisso,sub icthio etiam ponatur punctu,5 ita consequenter eundo Per imparem limitum nummi d de sub punctis suppositis duae lineae Parallelae in rectum ducantur:vt praesens figura ostendit. Numeriis a quo radix quadrara habet extrahi i Puncta interposita Lineae parallelae Postmodum radix quadrata inter lineas mediabit, si 'uibus radix ves radices lora, huntur. Postremo autem numem manens,Virgula obliqua significabitur sed de his in sequenti notabili prolixius videbitur. sECVMPO NOTANDUM Es Tincipienduese operant ab ultimis Hemens madi, a tis,versiis prima procedendo,Vti in diuisione visum est:eo u radicum extraimo,quaesradicenti dam specialis diuisio dici potest.Et, idebis an ultimum clementiam sit impar,siue m Et signatum .ves non.Si primum contingat.inuenias digitum,qui in se quadrate dus ctus, numerum illi aequalem costituat,ves cillem maxima illius numeri partem,quam
267쪽
as Hic labor hoc opus est, opti lector,
dum diligenter obserua, cui adde nites usi qui consurgit ex multis Plicatione disgiti in seipsu. sed addito ε
ut unitas illi', dena hui' aescipiat e. at que hunc tostii numeritis il legitima
lege subduces ab ossiusfiguoris quotquot sint ante figuvam puncto signata inclusi Me, ab ipsa si. gnata figura
exorsus substractione. In ceteris autho
operatione aeoderit .vtquatia accipias dii tu nescias, qan duplatu du
du id quod supra post ip/ium est:debes Per duplatum
m PRAC T. componet e potest: minuento is digito,ducatur in se quadrate Mnumerum resilian. tem subtrahe ab illo elemcnto ultimo, punisto signato si aliquod uerit residuum id supra sigilatum esententum pone:q si nil ut remanserit,ipsum cancestabis:quo facto insuentu digitum inter lineas parallelas directe sub ultimo elemento signato pones. Desinde ipsum digitum duplabis, duplatus numerus infra illas lineas directe sub penultimo elemento sedebit:& pro secundo operari imi pies. Sed si secundum eueniat, rides licet ultimum in impari limite non ess nec signatum puncto,inueniendus est digitus, qui in se quadrate ductus, totum numerum duorum ultimorum ementors compostrat,vel maxima quam potest componere Partem:quo inuento,in se ducatur,8 proueniens numerus a suprapositis numeris subtrahatur,residuum si quod fuerit Mesuper Pones do .elemento prius cancestato,& inuentu digitum inter lineas sub ultimo es ento signato locabis:deinde illo digito duplato,consurgente numeru sub lineis correspondenti limite pones scilicet sub antepenultimo elemento superioris numeri,& hoc si rastis numeriis ex duplatione consurgens Per unicuiliaracterem scribatur: et, si duabus figuris scribi debeat,illarum Prima sub ante nultima,& secuta sub penultima numeri superioris ponatur. intellige semper sub Parallesis incis. Consequeter procede operanado,& iterum reperiendus est digit in pnecedenti charactere signato puncto,simulta sequenti elemento non signato qui quidem digitus duplatum numerii ductus,des leat totum suprapositum respectu duplati aut quantiun vicinius potest 5 postea in seductus, totum etiam suprapositum respectu sui, aut mariniam quam potest partem deseat: R ille digitus inuentus inter lineas parallelas ponatur directe sub penultima figura puncto signata:deinde totus numerus iliter lineas positus dupletur.& sub duabus illis lines proueniens ex duplatione nunaerus locabitur:ita ut duplati primum emen tum sub figura immediate praecedenti illum signatum characterem ponatura secun dum duplati sub signata pincto figura δε tertium si aliquod sumi duplati elementu. sub sequenti figura sedebit:quo facto iterum reperiendus in digitus mors cedenti charactere signato si quod tale sit δε est ut prius operandum quousq; ad primum deuentum suerit elementum C Tenenda tamen in hac parte sunt laxe duo documera. quos rum prius est.Nimquam digitus in se ducatur,nisi inter Eneas sub signato emeto ponatur. Secundum est. Quandocul in media operatione contingit non posse insigna tocharactere digitum inueniri qui duplatu ni ductus totum deleat suprapositu, vesquantum vicinius potest ponenda est O inter lineas recte sub Hemento puncto signato, in quo digitiun inueniri quaerebas:& caeteris intactis manentibus,numerus inter lineas
positus scuius o est primum elementum dupletur, productus .siue duplatus numerus sub lineis ponatur,ita ut quae est duplati prima figura sub illo charactoe pomitur,qui immediate praecedit illud signatum ementu,in quo digitus inueniti non po/test:& secundum duplati ementum immediate sequatur deinde tertium.& ita consequenter. Si autem in fine accidat digitum inueniri non posse,ponenda est o inter limesas sub primo elemento signato, abis characteribus intactis se habentibus Hoc igitur terminato,si nihil supra numerum,cuius radicem quaeris ,remanserit,ialis numerus est quadratus,cuius radni est numerus inter lineas repertus. Si vero aliquid supererit, numerus ille,cuius radicem quams,non est quadratus:& ita dicendum est numeru inter linea repertum, esse radicem maxinis partis numeri suprapositi .sic u non est reperibilis aliqua pars maior illo,cuius aliquis numerus sit radix quadrata. Ista, clarius intes. ligatur claro aperiunto Geplo. Vis aute cognoscere an in isto numero 3 239. 3di X quadrata repenti potest .aut notas inprimis illum numerulo pacto describas,ut te in primo notabili docui:ita videlicet in sub ipso duae lineae parallelae Protrahatur,aeims paria huius numeri temeta subsignentur punctis: ut praesens exemplum demonstrat. Deinde in ultimocharactere scilicet ,inueniatur digitus,qui po natur inter lineas directe sub ultimo illo signato emento, R du. ctus in se,totum superpositum deseat, ridelicet ,ves quantiun vir cinius potest:& residuuis quod uolt desuper pones prius tamen cancellato ,xta lis digitus est 2. ducasigitin illiun in se,dicendo,bis 2,faciunt q. quem a subtrahe o
268쪽
s lineas sub proram praecedente figura ponaturi operatio sub tali forma manebit. Consequeter adsecunda operatione procede,&inuenies digitu in 3 elamento signato,videliceto,simul&insequetibus scilicet δε squiquide digitusprimo in duplatu ductus,tota suprapositii respes duplati deleat, vel quantum vicinius potest,& postea in se du ctus,numeria respectu sui suprapositu deleat, vel maxima partem quam potest:& Iedigitus erit ,que inter lineas subsignata n. et ligura,scilicet sub o, pone: Per illum niultiplicabis duplatu videlicet dicendo. quatern laciutas quem a supraposito numero,scilicet,subtrile residuum quod eas supra 3 posteriore ponendo,Prius ramen, cancellato. postmodu digitsi Mummis multiplica,dicedo, septies,,com Pon ut q9:quem numeru a sibi supraposito,int,debsecro, subtrahe initatem quae est residuxi, supra o locabis prius cancellato so. quo facto,numeruiter lineas repertia,Videlicet L .duplicabis,& numerus prouenies
erit sq:que sub luacis pones, sic ut duplati prima figura sub figura immediate praece denti, ponatur.' secuta duplati figura scilicet, sub Oiuncto signata ponatur,ptio, ri duplato numer eancellato. Qui sus peractas ct eo modo dispositis,ut dictum est sub tali dispositione operationem reperies. Deinde ad tertiam operatione procedas orepenes mi modo potest reperiri digitus in praecedenticha Hs iraisere signato puncto videlicet 2, si uiri sequetibus scilicet 6 et 3 π 6 Σε 1 qui digitus in duplatum ductus,numerum suprapositum rei speia duplati deseat,vel saltem maiorem eius Partem:quoniam Σ u quis talis digitus posset reperiri, maxime esset i: sed notum estu, si, in ultimam duplati figuram quae est, ducatur, proueniet
s quia sibi supraposita unitate subtrahi non potest:ideo loco digiti inter lineas pares,lcias olocetur directe sub ignato puncto:& duplato numero infra lineas posito,sci. licet sq, cancellato, dupletur numerus inter lineas repertus, videlicet 2το:& proueamentem numerum qui erit sqo, sub lineis locabis sic ut prima duplati finita sub se, eunda superioris numeri ponatur, secunda sub tertia ,ε tertia sub quarta caeteris eosdem modo se habentibus,& sub tali signatura discursum habebis. Postremo autem reperiadus est digitus in primo charactere signato,qui esti:simul , is i&sequentibus cilicet ς,2,6,inqui quidem digitus in duplatum iductus,totum ima positum respectu duplati deIeat,vel quana . . - - tum vicinius potest drinde in se duetiis, totum suprapositu, vel si maximam quam potest partem deleat digitus lis est x,quem - . Inter lineas pone ubi .Et primo per illum digitum .vltimum dis in plati elementum, scilicet v, diices siue multiplicabis, dicendo ter, , iciunt is subtrahe igitur icissima posito numcio,videlicet is,& residuum, vis delicet i, supra is pone.Prius iis Cancellato deinde eundum est ad digitum, quem per peruillimum duntati ementum, scilicet , multi Plica sic ,te 4 constituunt 2 quem numerum 1 mi suprapolito subtrahe,videlicet i 2 uiuo subtracto,nullum nianebit resis duum:cancellato igitur 2,ad aliam Operationem bis,multiplicando digitum per mimum duplati, mentum,quod est O ,α Proueniet ciues cum a numero supraposito, scilicet ς,subtrahituri, hoc est nair,maneat 3 non cancellatus Vltimo autem, digitus in se ducatur,xhabebis numerum 9,quoniam ter 3,talem numerum efficiunt: quem a suprapositό, kideliceti, suboribe: xcancellato prius, desuper omne. His igitur eompletis,pro residuo operationis, numerum so lubebis quem oblicua vj si gnificabit Istorum quae dicta sunt exemplum respice generale
Puncta supposita quadrata habet trahi,
dividere eumnsierit' supra N post dupla tia est.& dimo
plae runm dioiia ae linenda prodit aut su
i unitate, rasrissime bina viri minorem
imo I duplat maior sit ires ro sibi sapra oposito, nulla poteris rape re disti si v d ad Iocum illum esse oosita aliis tractis ad precedentε figura puncto signata te esio
ubi similiter, diuisionem digitum inuesti abis. id utio luminii ii si te diu leuare Poterit laetor.
269쪽
PRACT. Et quorum in o tione aliquod hin residuu ideo mimetus inter lineas repertus, qui
est 1 M,non eli radix numera suprapositi:est tamen radix maximae partis illius num ri,in quo radix quadrata inueniri non potes Et si velles cognoscere quisnam sit Ge numerias cuius radix inter lineas posita, sit radix multiplicabis illum numerum per se ipsum & reperies 3 2os numeruin, cuius 2 23 inradu quadrata Sed ut locus tius istiud diffutitum intelligere vescas,luec duo inis posita exempla eo yderabis Cis
ta Desida probatione dis uide radice per τ,tesidua in se due si quod fuerit,dc productit rursus per et da
uide,manenti notae aequalis erit illa quae relinque tur ex diuisione per ius meri ex quo venabaris radire,si totus fuit quadra. tus,ut i duobus praecedestibus ineptis licet videre. sed si maxima ei pars sola sit quadrata, reliqu14tεtrarte per sdivide, Ex ressiduum eius,notae radicia adde, vi additae notae ex dant. ab illis austi ras,dc quod manet, aequale erit in bona operati
notae e toto numero resti . Idem sit iudieisi atoque modus, si per 3 Proovare libuerit.
TERTIO NOTANDUM EST in hac specie tres esse probationes, quil, radicum extractio in quadratis habet probari. Quarum prima est novenaria. Secunda septenaria.Tertia vero Per inultiplicarionem fieri debet. Pro primae Probationis instellectu est aduertendum in vis radicum extractionem in quadratis pers probare, 'mo capiendam esse notam a numero a quo radix quadrata habet extrahi:quam spossuta ante operationem recta linea, uti in diuisione factum es meiusdem capite pone:des inde a numero inter lineas positoi quem radicem vel quotientem numerum dicunt notam accipies, quam in se multiplicabis, di a producto numero separabisi quoties Poteris gemanentem notam ante lineam duecto aspectu ponendo:postmodum ab operationis residuo si quod fueritinorum sume, quam pariter ante lineam corresponderati sede locabis:quo peracto residui notam,notae radicis adde δε a consurgente nimem notam acciPes,quamis aetero Eme extremo, videlicet inferiore pone,& si extrema ses notae aequales reperiantur,bene operatus es:suiautem,male. Vbi autem nullum sit operationis residuun caccepta superioris numera nota in capite linere ut dictu esto locetur: deuade a quotiente notam acciPies, qua per δ multiplicabis.& a producto numero notam extralaes, quam in pede lineae pones ,re videbis an sint aequales ves non :si primum contingat ,habitus discurius est bonus:euenienti secundo inefficax,&minis dicetur. Exemplum sume hic appositum. Haec probandi via lacillime inficiati potest: vitii praecedentibus dimitis tactum est CSecuta igitur probatio in examinanda. Pro qua scienda con*derabis omnino eodem modo in illa pro cedendum,ac in praecedenti:hoc excepto,quod notae sunt capiendae quemadmodum secundo diffinito huius tractatus,notabili tertio,declaratum est:ideo Pro hac parte susficiat probationis exemplum quod est tale. Haec autem secus da probatio perinde ac praecedens inficiatur. Ipsis igitur prae , tomissis,ad ter in in hae parte sustmendam probationem ac V descedendum est: quae hoc pacto fieri habet. Numerus quotiens, ' siue radix inter lineas reperta,Per seipsam multipliceturAE nus -- -
mero Producto residuum operationisi si quod fuerit addatur tu res numero a quo radix quadrata trabet extrahi,cosurges sum Qma sit aequalis . operatio bene valet: aliter naccidit, nulla erit. . Vbi autem nullum est residuum, solum videndum est an proueniem ex multiplicatio, ne quotientis in se sit aequalis supraposito,vel non. Exemplum assignare est ficile id quae dicta sunt pro praesentis dimiliti declaratione sufficiant.
Radicum extractio in cubis, est numeri inuentio qui ex bino in seductu,vel unico in suum quadratum,totu numerum efficit, vel saltem maximam eius partem cubicam. Et ita radicem extrahere in cubis, est numerum assignare,qui cu bis in se ducatur,vel semel in suum quadras
270쪽
tum,totum numerum,uel maximam eius partem cubicam componit.
xempli gratia,ubi totum numerum producit 2 in se bis duetus,aut semel in suum quadratum numerii s efficit eos bis 2 bis,sive bis . quod idem est a numetu redudunt' ideo 2,est radix cubicis Idem est dicendum de 3,qui respectu τ,cubica radix truncupatur.quoniam te 3 ter,sive teri,ialem numerum constituunt. Exemplum fas cte inuenire est, ubi maximam partem cubicam componit: unde L,in radix maximae partis s. etiam to et breuiteris,cuius rata est 2,est maxima pars cuiusuis numeri meo quilibet digitus in se cubice ductus producat sesquetem tabulam aspice, quae follendit aperte. Finis huius diffiniti cupraecedentis diffiniti fine idem est videlicet maestas in Geometria conclusiones, patitor in astrolos gia intelligere:quas igno
Nomes, 'hus raro autem aliis hominum conditionibus. PRIMO NOTANDUM EST in hac specie duos esse numeros necessarios. Prior nuncupatur numerus a quo radix cubica extrahi debet. Posterior radix cubicit dicitur. In comin uni sex sunt sepissime occurrentia Primum,in numerus 1 quo radix cubica extrahi debet. secundi ,radix cubica tertium,lineae Parallelae quartum,puns ista locata locis millenariorum,excepto Primo Jub numo a quo radix cubim extrahi debet. quintum radix siue radices triplatae senum,numerus manens. Modus quiadem solbendi, talis est. Primo dupolori loco numerus, quo radix cubica extrahi debet locetur:sub quoi si Dira qui tria fuerint elementa sun tonantur,eo moneo ut sub primo elemento unum ponatur punctum, duobus praetermissis immedia. te sequentibus, sub quarto ponatiu etiam Punctum,& ita consequenter, taliter g sub omnibus elemetis Iocis misenariorum positis puncta locentur. deinde sub numero illo Punim signato,dus protrahantur lineae parallesae,queadmodu praesens ostendit figura. Numerus a quo radix cubica extrahi habet. Puncta supposita.
Postmodum inter illas lineas cubica radix mediabit,4 uti eisdem,radix, siue radices triplatae ponantur. Deniq; manentem numerum obliqua virgula docebit. quae ipsum a cancellato numero diuidet. Ham omnia sequenti notabili clarius videbuntur. sECUNDO NOTANDUM EST modum operandi in hoc diffinito partim conuenire cum praehabito modo in quadratis,partim vero ab eo diisepare Est igitur aduertendum a sinistra manu incipiedum esse operari dextram versus eundo,quemadsmodum&praecedenti diffinito Procedere oportet. Digitum igitur inuenias sub ultimo Hemeto,puncto signato,qui in se cubice ductus, totu deleat respectu sui suprapositsi . vel saltem illius maximi quam potest partea quo merito,inter lineas ponatur directe sub ultimo elemento signato Deinde digitus ille tripletur,&consurgentem numerum sub promina tertia figura versus dextram infra lineas parallelas locabis. Postmodu ite. rum reperiendus est digitusi si quod laetit elementu praecedes signatum puncto & es ponedus inter lineas sit,illo signato elemento,qui quide digitus simul cum priori in triplatum duellis,deinde per se dumis in productu totum.deleat suprapositum respectu triplati, vel quantu vicinius potest 6 postea digitus illa in se cubice ductus deleat totusuprapositu respeetii sui. vel maxima quam potest partem:quo terminato, tot ilem numeru inter lineas repertum triplabis, productum insta lineas sub proxima tertia figura versus d rem eundonianum Ponatur,ita ut Primu elementum producti, siue inim sunmis in hae operatione est difficultra inu niddi digitii qua ire optime lector lauaram, gracia Deo optimo Max habebis. Aiuncipio operatu nis per solam cubita multiphratione reperaria disgitus, quare nulla ibi dis ficultas. At ubi Progres