장음표시 사용
281쪽
PRAC T. Ium mixtus extite in ter simplici existete,antea subtractio stat, numeri tales redu. cantur ad eorundem infima denominationem:deinde subtractio fiat. Nec opus est ut in praesentiari longior fiat processus pro reductionis declaratione: quoniam intellectis duobus sequentibus diffinitis,& iis quae in priori tractatu dicta sunt,facile constat rea ductio. Iste modiis subtrahendi in mixtis videtur mihi clarior quovis alio subtrahendi modo. Notum est mura si numerus a quo subtractio fieri debet,esset iste,98 ducati, si standi, si iuroni id melius fieri non posset,ilo primum uterq; numeroru ad tuaronos reducatur,vel ad aliquam aliam summam: ideo opus est tam inarae supputato, ria arte, in praecedenti quae per characteras docet operari quemlibet arithnieticum promptissimii esse in reducendo: imb maxime requiritur reductorius modus pro quo. et huius libri tractatu intelligendo quoniam ut videre potes impossibile videtur quartum inrelatum,in quo fractiones declaratur persecte intelligi, si reducedi modus obliuioni detur:quapropto inter arithmeticae species no indigne venit num adus. TERTIO NOTANDUM EST hac subtractionis specie esse proba dam peradditionem eo modo ut numerus subtrahendus,& numerus o subtractione inmens ut addantur geli c5surgens immerus ex tali additione fuerit aritualis numeroa quo subtractio debet fieri omatio firnia erit:allici si accidat infirmavi cassa dicetur.
Multiplicatio supputatoria,est numeri calcularis procreatio ad multiplicandum proportionabiliter se habentis , ac ad unitatem multipli cans numerus se habet. Hinc facile constat,q supputatorie multiplica
re, caenumerum per calculos procreare,qui ad multiplicandum nume tum eadem proportione se habeat, qua ad unitatem multiplicans nusmerus se habet. inis huius species,est per calculos siminam prompte assignar quae unius numeri
multiplicatione per alterum procieatur. IS eruit aute haec species supputatoria meracatoribus 8c mundanis holmnibus, ε is numero amologis, ubi accidit eos necta, Pirum,nec calamos in Promptu habere. PRIMO NOTANDUM EAT duplicem in hae parte multiplicationem insueniri perinde ae in pretrahitis diffinitis declaratum est,scilicet simplicem,&mixtam: de quibus in praesentiarum pertractare inici dimus,MPrimo de inplici. Procilius ins lectu induerte nullam esse difficultatem in supputatoria multiplicatione unius digiditi per alternaetiam grandis non est difficultas per aliquein digitum numerum,articuatum ves compositum multiplicare. Difficultas igitur in hac specie solii consulit in multiplicatione articulium compositi numeri,per articulum,uel compositum. Vt tamen locupletius supputatoriam intelligere valeas multiplicationem: primo docebimus per, digitum numerum,articulum seu compositum multiplicare:deinde aniculum 5 coma positum per articulum& compositum calculato te multiplicabimus. SECUNDO NOTANDUM EST pro huius diffiniti clara intelligeria digitii articulu.8 compoliti numraudisponendu esse per calculos,lineis,&domibus deceti,
husi ut dictum est Sisinito primo a ipsis dispositis, incipiendum est operari ab infi,
mi lineis,atq; domibus verius superiores eundo: εc si contingat in prima linea calcu, lum,aut calculos inueniri, timuidis prima domo: numous ille digitus squi multipli,cans appellatur inultiplicet totum numerii,scilicet primae lineae, e prinue domus,ae numerus ex multiplicatione prouentes,si articulus suciit, in mente seruetur,qui secus dum eius decimae partis denominationem numero prouenienti ex secunda multiplicatione addetunsi autem talis numerus copositus suerit,eius digitus addatur digito nustrio multiplicandi articulo in mente seruato pro secunda operatione. Si vcio euenes rititurum Prima domo calculu repenti saliquo pruna linea repoto illii multiplicabis Per multiplicante numerum qui digitus est ex cuius multiplicationes digitus nume. rus cosurgat venit Iocadus seu addendus numero multiplicado secundit quod exigit:
si aute articulus fuerit,sita uadus est in mente pro secuda operatione:ς, si copositus coa
282쪽
surgat numerus eius digitus locetur secudum' ubd permittit,
articulo in mente seruat . quo facto, ad secundam operationeseis:eodem modo operado. Istud exemplo facili declaratur. Sit
mimem multiplicandus, ,& multiplicans sit 3. nunierum ut, tur multiplicantei postquam digitus est hin mente tenebis:mul. tiplicandum vero numerum in propriis lineis Pone secundum quod praesens forma ostendit. CDeinde numeria 4 positii in prima linea per multiplicante numeria videlicet 3 que
in mente conseruas multiplicabis dicendo ter componunt II.
tolle intur a prima inea duos ealculos, sic quod no plures in illa maneat a duo,& articulii in mete servisis pro secuta operatiosne,qui secudum eius deci e partis denominatione quς unitas es calculis secuta lineae addatur multiplica igitur pro seciuida operatione. bina iii calculorii positsi in secuta hinea per 3,dicedo
ter 2 facisit 5. huic numero addedus est nucius in mete seruatus, re proueniet .qui eo modo venit locandus .ut duo calculi dura xat supra secuta linea reperiatur.5 unus seclida domo Ponetur,
re in fine tale reperies operatione. CPatet igitur operassi modus in multiplication qua per digiti compositus numerus multiplicatur pari processu Procedendii est in multiplication qua per digitum numerus articulus multiplicatur. Sed pro intellectu multiplieationis supputatoriae cuius a numerus multiplicadusu multiplicans sunt compositi numeri est aduertenda lnumeros illos eo pacto esse disponedos: dispositi' i 0m Parallelis secundum numerorum quantitate, a duabus i ortogonaliter cadetibus lineis etia parallelis caeteridies
dantur die et ex tali lineam sectione,tres proueniant vi ci .in quor primo multiplicadus numeras qui stas ain Pellatur)locabitiir: Iecsidos medio. multiplicans numerus ponetur:in tertio 8cvltimo ,multiplic Idus numerus quem immanente appellamus in cubiculii suum ha hebit. CHaecinia vi clarius intelligere valeas,clarita
hi aperisitur operatois Geplo. Sit numerus multiplicadus 32 r. multiplicas et . illos sub tali dispositi nocabis. Et incipies operari multiplicado omnes numeros mul l multiplitiplicassi fluentis per omnes multiplicatis numeros,ita Dcad'stas ut per unitates multiplicantis primum multiplicentur. deinde per denas.& consequerer sic eudo, quod facies hoc modo teri sunt 3 ponantur igitur in prima linea multiplicadi fluetis duo alculi,qui cu existeti tres mistates componunt:deinde dic ter 2,componunt ε. ause
ratur igitur 1 secunda linea multiplicandi fluentis unus
calculus altero manente. 8 ponarur in domo secunda: deinde multiplicabis centenas,dicendo ters,coponunts ponam igitur eum illis tribus adhue unus ealculus in tertia icta linea.&vltr1xmsi i tertia domo locabis:& facta Prima multiplicatioe sub tali sorma operatio apparebit. CDeinde ad secsida procedes multiplicatione, multi Plicado omnes numeros militiplicadi silantis . per sere dia multiplicatis numerii videlicet 2, sic dicendo,bis , sunt 2. pones igitur duos calculos in secunda linea multiplicandi fluentis .in qua unus reperirer ealculus.& sic in illa ,3 remanebunt ealetili:& hoe est summe aduolendum, et calculi illic
adduntur calculis prime incie, sed duntarat secundae β hoc ideo est,quia Pri calcu
plicans multipli. cavssuta positi non
283쪽
PRACT.los secunda lino multiplicantis, stans multiplicandus multi catur Deinde ducas
multiplicatis numerum ecundiim in secundit multipli, candi stantis numeria dicendo bis 2,faciunt hos gis tur quatuor calculos in ascenderi linea fluetis niultiplicadi videlicet tertia locabis. Sed quonia in illa etia quatusor reperitatur, per documetu primu primi diffiniti, plures es quatuor calculi esse nequeunt in aliqua linea: ideo illor uicto calculoru.quinq: auferatur .solis tribus manetibus A loco ablatorii vinas calculus in domo tertia de bet poni. Sed quia in eadem unus calculus reperitur accia per primu documentu in nullis domo duos calculos esse contingit:ideo ratione amborii calculorum unus in quarta incisedebit .nulla tertia domo manenti: deinde ad tertia bis multiplicatioM R multiplicabis centenas multiplica di statis per denas multiplicatis dicta his ,
cd onunt 6 pone ergo excalcillos innuenti multipli
rido eo pacto ut unus ponatur in quarta linea cum prius posito,&inus in domo quarta ascedenti locetur:
qin ut primo diffinito dictum est quinque calculorum
Eheae immediate inlatioris valorem continet quo per Die
acto,talem calculorum compositionem habebis. ostremo aute ad tertia accedas multiplicatione,qua per unum calculii multiplica
t tertia linea remnia, o multiplicadi statis calculos vicissim multiplicabis: incipias
iotiar dicedo semes, est, pones ideo unu calculu supra tertia linea multiplicadi fluctis in qua tres inueniuntur, R sic quatuor in ipsa erut:deinde ascede multiplicando, R dic semel ,sunt 2 pone ergo duos calculos in quarta linea,& ad ultima bis multiplicationem:dicendo semes 3Junt 3. Ponatur igitur tres calculi supra quinta multis candi fluentis lineam: & totaloen supputatoriam operaν
sionem sub tali nummorum fabricatione re ries.
Ex his quae declarata sunt. sufficienter patet operandi modus multiplicatione calculatoria secundum simplices numeros. CPro mixtotuit numerorum supputatoria multiplicationet id solum mea documetum. Nunqnumeri mixti multiplicentur, nisi prius ad simplices nu, ineros reducti fuerint: postquam vero ad simplices reducentur numeros poteris eosdemultiplicare. Nec opus est impraesentiatu reducendi modum assignare quoniasi quae dicta sunt primo tractatu recte intellinuatur, facis letalis reducedi modus poterit inueniri. Vnde si huc mi metu mixtii videsicet, i 3 fiscos 23 duodenos ad sim, plice numeru velles reducere:debes pro multiplicado nitero,numerii fiancoru capere, re pro multiplicanti vici numer quot liacus duodenos continet:& cu vigesies duos denti c5tineat fracus, pro multiplicati, 2 o sumes:&operaberis modo prius assignato,&reperies pro suma Σq6o duodenos: si cognoscere velles quot faciut fracos, opus
est diuisioe,de qua sequeti diffinito diceξ. Et quis esse posseti mixtorii multiplicati mod' assignari:nihilominus tame visu est nobis huc ia assignatii placite sufficere. TERTIO NOTANDUM EST supputatoria multipli tione probanda esse per diuisionE,eo modo quo dictu est quarto diffinito praecedentis tractatus: ita vide licet et prouenies ex multiplicatione sit nam a per multiplicante numeru diuidatur. si in tali diuisione quoties numerus fueritiqualis multiplicado,bene valebit calcula ris inultiplicatio:si vero aliter cotingat, oportet licium de nouo operatione incipere.
284쪽
4 Diuitio supplitatori a ,est numeri per calculos inuentio, qui adima
tatem in eadem se habet proportione,qua ad diuisorem diuidedus nua merus se habet Constat e diffinitione quod supputatorie diuidere,nes, hil aliud est, quam numerum per proiectiles calculos procreare, qui ad unitatem inlue proportionabiliter se habeat, ac diuidendus num
Finis huius speciei est expedite numerum quotientem per calculos supputatorios inuenire, qui ex diuisione numeri diuidendi per diuisoron potest procreati CSeruitliaec species in primi argentariis,trapezitis,atq; mercatoribus,Mil omnibus quibus e praehabitae deseruiebant. PRIMO NOTANDUM EST supputatoriam diuisione duplicem esse sim, plicem videlicet & mixtam uti de multiplicatione declaratu est Tractabimus initi, mis de simplici .deinde transcimter aliquid de mixta dicemus.sECvNDO NOTANDUM EST in supputatoria diuisione incipiedum esse operari a superioribus lineis,& domibus versus inferiore descendendo. Et quoniam vis diffinito prς habiti tractatus diximus longe difficilius in diuisione estimandu, ubi pro diuisere capitur numerus duorima , aut plurium elementorii significativom,il ubi unica reperitur signifi,
cativa figura su per se siue iis aut citia adium adeo ut plenius laxe species intedigatis, primo operandi via
aperiemus, i solum digitus pro diuisore accipietur: desinde ad alteram partem accedemus. Pro primi igitiuexpeditione,in aduertendum tres vicos pro quavis diuisione constituendos esse:in quorum primo,diuisor numer rus ponatur: in secudo numerus diuidedus:in tertio quo tim num raus apparebit. Exempli gratia Sit numerus dis uidendus 3 9 diuisor sit 5. illos numeros vis ensiora ma indicat locabis. Et operaberis eo pacto:primo vide, bis quoties diuisor in suprema linea,&domo calculis Oo Patareperiatur,xinuenies esse tantum semel senim uiuiis diuidedus. quinis.
qui diuiser appellatur in supraposito xeantu semel repetitur:ideo ponedus est unus
calculus supra tertiam lineam ultimi vici: multiplicabis igitur diuisore per numctu viocium:videlicet per unitatem,& idem diuiser scilicet 6,proueniet,quifidtrahendus esta supremo numero,videlicet abs,& residuu scilicet 2,tertia linea manebit: deinde ad secividam lineam descende, ε iterum videbis quoties s. qui est diuisor, in numero ciusdem secundae lincie, simul'εc ascendenti inuenitur:& reperies diuisorem quatra inueniri: pone igitur supra seciandam lineam secussi vici . I. culos, domultiplimbis diuisorem pinnumerum vicium. dicendoqitate 5,efficiunt 2 q. quem numerii subtrahe a numero diuidendo posito in secunda linea simulac supra, positis sed cum minactus in secunda linea repertus.& su prapositus simulam componunt, ab illo subtrahatur 24,
residuum scilicet 3 supra illam sectandam lineam diuiden O re
di ponendo deinde ad ultimam accedas operationem & lvidebebis quoties diuisor in numero supra ptimam lineam Sudradi prosito,simulae ascendentibus inueruatur, temtae quod vicium numerus est 6, quem in ultimo vi copone,supra prima lineam unum esculumnedo:&in prima domo virum alterimi:&ici ipsi s multiplicabis diuisorem & prouenientem numerum,qui est 36, numero deuidedo prima linea existeti,inulin superpositis subtrahe:quo facto tres calculi tantu manebimi supra prima linea secundi vici: ε operatio eo Pacto disposita inuenietur. h. q.
285쪽
Patet igitur si nil merus Sm per 5 diuidatur. pro numero quotiente generabituri s. re residuum, numerus 3 erit, qui per si diuidi sine fractione non potest. Si autem in diuisione pro diuisore accipiatur sola una figura significativa, cum cista aut cisiis:om, nitio eodem modo est operandum,ac dictum est:hoc solo dempto,ut scilicet operatio cesset cum primum cista diuisoris ponetur in conspectu primae lineae diuidendi voco impraesentiatum cistam lineam, siue domum B lineam simul,in quibus nullus ponit calculus et hoc quando in aliqua linea calculus reperis itur. Sed quoniam , dictum est longe maior est dis, ficultas in diuisione cuius diuisor est duarum, aut plu, rium figurarum significatiuarum: ideo pro operationis intellegu haec duo documenta con*derabis, qua positta fuere diffinito s praecedentis tractatus. CPrius dolcumentum est. Si diuisori aliquis linearis numerus, si,ue lineatis uomesticus, pluries a novies in sibi supra, positis nummis inueniatur, latum pro quotientemus mero accipiatur. CSecundum documetum est Si post primam operationem eueniat aliquem diuisoris nume, ni linearem,seu domesticii in sibi supraposito vessit,prapositis diuidendi nunam inueniri non Posse, anterio
retur operatio,&in vico numeri quotienus,linea in me diate praecedens maneat absq; calculi positione, pariter ue i in
xdomus illi supraposita. Ut autem milius haec onis nia intelligere valeas ad istud aduertas meniplum. Sit numerus diuidendus q32. numerus autem diuisor 32, numeri illi disponantur ut praescias calculorum disposi, tio ostendit. Deinde incipies operari a suprema domo versus inferiores eudo: f primo videbis quoties posterior diuisoris numerus in numero ultimae domus reperitur,& inuenies'ubd semel tantum:videbis igitur, utrum se mel etiam mor diuisoris in numero di dendi immediate insoloti reperiatur,xmue, Dies ita esse: pones igitur in tertio vico pro numero quotiente unum calculum supra tertiam lineam, per que multiplicabis diuisoris secundu numerum xproueniet idem, videliceta quem a numero in quarta domo diuidendi existete subtrahe, re residuum videlicet 2, supra quarta lineam per duos calculos posne,deposito prius calculo quartae do inus: deinde diuisoris morem numerum per quotientem numerum multiplica δε proueniet idem numerus scilicet 2 que subtra. he a numero tertiae lineae,in qua quatuor calculi ponuntur, 8 supra eandem soli duo calculi manebunt, ε sub tali dispositione operatio reperta erit . Deinde iterum operari incipies, xvidebis quoties posterior diuisoris numerus in numero tertiar lineae diuidendi,& supraposi
to reperitur,xinuenies quod septies sed quia diuisori
Prior numerus nototies in secunda linea,&suprapositis repetitur, ideo una vice minus accipiatur pone igitur Pro nitinero quotiente supra secunda lineam Wium cal.
tum A supra domum secundam unum etiam,& hocio tertio vices deinde multiplica diuisoris posteriorem numeruier quotiente,videlicet peris,Mproueniet nu merus is que subtrahe a numero diuidendo supra tertiam linea simul fle sequenti ressiduu secundu eius qualitatem disponendo facies igitur, Ut in tertia linea quatuor sine calculi δε depone duos calculos a quarta linea,qui 2 valebat posmodsi multiplicarbis per quotietem priorem diuisoris numeru e proueniet numerus 12:que a numerosecudae luice diuidedi,simula sequetis subtrahe:quo facto,operatione talltci disposita
286쪽
reperies. sequeter operaberis,& videbis quoties diui foris prior numerus in numero diuidendo posito in secuda linea simul& supraposito inuenitur xinueniesis descies reperitur:sed per prius documentii non potest ultra novies sumi.& diuisoris secundus mi merus novies etiam repetitur:ideo pro quo riete numerus 9 habeatur,qui tertio vico locabitur,eo pasti ut 4 ealculi supra primam lineam ponatur Munus prima Iocetur domo: deinde mulmultiplica diuisoris posteriorem numerum per quotiens tem, videli ceti. proueniet quem subtrahe a numero diuidendo,videlicet ab illa qui ponitur secunda linea simulae a supraposito. capies igitur tres calculos existentes tertiadiuidis linea quo, supra secundam pone: postea multiplicabis diuisoris priorem numerum per quotien, tem.& proueniet S:quem a numero milenti in Prima linea dividendi 8 supraposi. to simul subtrahe,' pro residuo operationis manebit numerus et squi sine fractione per 32 diuidi non potest hoc igitur discursu pera isto, operatio completa sub tali calculoru compossitione manebit. ECompleto igitur diuidMi mo, do in simplicibus numeris, aliquid transeunter deis, is operemecium est dicamus. Pro quorum intelligentia est aduertendum & pro documento obseruadum nullum numerum diuidendum esse, prius u ad simplicem numers reducatur, ipse austem redueto eum diuidere potes,quemadmodudeclaratum est de simplicibus. Nolo enim negarerimo mihi exploratissimum est,absq; reductione,&
numeroru fractione multos numeros mixtos possse diuiditi sed quom a prolixa, re valde cofusa talisi esset diuisio:ideo no est opus in eostas, i cadmodu proicis operationibus immorari. TERTIO NOTANDv EST diuisionem per multiplicationem esse pro. o isti bandam modo declarato quinto diffinito praecedentis tractatus: sic videlicet, ut mul. Olcii ut riplicato numero quotiente per diuisorem,& summς prouenienti addito operationis ni proba residuo si quod fuerit videbis an prouenies numerus sit aequalis numero diuidendo, vesi5:siiqualis extiterit,bene operatus es: si vero inequalis re natur,nihil operatio HIebit. Et quamuis per supputatorios calculos possemus in progressione,& radicum extractione operari,& noua efficere diffinita:quia tamen ab omnibus ante me scriptoribus omissa fuere, tenuis inde comoditas sequitur,esse omittenda nobis visum est. DE FRACTIONIBUS PHYSICIS, SEU AsTRONO MI
Es vera,simplex sermo est,inquit ripides. sermone igitur simplici,quid veritatis physica fractiones intercipiant edocebis mus. siqua ex parte difficiles videantur, eas utique claras, digestas reddere nitemur. Nam jura sunt quae nos terrent, quam quae premunt ait Seneca . Veritatem igitur insequendo, quae secundum Platonem dulcissimum est auditorium, in eoptem diffinita hune tractatum diuidemus. In quibus operandi modus cum fraetionibus significabitur. TFinis huius tractatus,est perfecta inamonomicis atque physicis computationibus operatio. Seruit haec doctrina apprime astrologis,medicis,naturalibus, iisque Omniabus hominibus qui corruptibilia relinquentes,incomiptibilialc caelesta corpora,ipsosiumque independentem causam rimantur.
287쪽
DNumeratio infractionibus physicis, est debita physicalium fractio,
num repraesentatio. Et physice infractionibus numerare, est debite fractiones physica repraesentare.
I Pli cas enim stactiones eas appellamus, quibus physici, astronomi. Mnaturales Phiniis philosephi in suis operatiotribus utunt',quemadmodum sunt minuta,secunda ter fractiora: a quarta Mita ascendendo. Et quamuis quarto, re quinto diffinitis primi tractatus aliquid de his dixerimus, illa duntaxat transeunter, non tamen impertinenter dicta fuere.Nunc autem debitus se offert locus,atque dispositio ubi ad amussim illa omnia videi habent. p RiM NOTANDUM EST astrologos,&natiuales quibusdatofis.&fias moti bus uti Tota,apud eos,duodecimesti signa dicuntur,quibus duodecim in quo. uis simplicium elemtauorum correspondet tota. Unde totii in ista acceptione, duode Totum. cima firmamenti pars appellatur siue duodecimas plicis elemeti portio Hare autero alto discietiori terrumo, sima dicuntur. Si ii autem multiphariam accipii rotatur. quandoq; pro duodecima zodiaci Parte quadrangulari, cuius longitudo est 3ogia sim duunt latitudo solum L.&m ista acceptione, dupliciter contingit signu imaginari. Pu Primo modo ut sit quadrilatera Pyramis,cuius acuties seu vertex in centro tem diacitur esse basis autem est superficies ad quam tale signum terminatur.Secundo modo ima atur, ut nullam efficiat Pyramdalem figuram, Min hac acceptione tales conaced tu propositiones,sol est sub tauro ,luna est iu libra. Alio modo accipitur signti
prout firmameti duodecima dicitur pars,& adhuc duplici acceptione. Primo .ut imas natur oblonga superficies a Polo uno zodiaci incipiens in oppositum terminata,matiis maxima latitudo ex ea parte repetitur qua ab eclyphica interscinditur ,3 gradus latitudinis liabens:secundi quam acceptionem,quicquid his serioribus est,sub ali. quo signo manet. Secundo modo imaginatur Oblonga Pyramis, quae est duodecimam di pars cuius basis est signum Proximo modo captum, vertex autem supra os diaci axem. His vel consimilibus modis quodlibet simplicium elementorum, i in se continet tota. uodlibet autem signorum in quavis illarim acceptione, o continet gradus,qui integra dicimtur:& quilibet,so fractiones,seu minuta quodvis minutii inso scinditur partes,quarum quilibet secundum appellatur:& de seclidis in tertia de tertiis in quarta:& sic consequenter est procedendu secundi sexagenaria diuisionem. s EcvNDO NOTANDUM EST easde in tepore reperiti tactiones. vel sal. Tempstem his cosimiles,quae & in caelestibus inuentutur corporibus. Unde queadmodum fit 3mamentii in ii diuiditur partes,ita amius in iis dicur mensesuluilibet mensis, pto. portionabiliter ad prius Sela, totu appellari potest: deinde quilibet mensis in o aut 3 diuiditur dies,unico duntaxat excepto,qui vi Nocto residet contentus diebus Ecquilibet dies in .secatur horas:qua libet hora i o minuta distribuitur:deinde quod, uis nuntitum in so secunda prosunditur: re de reliquis dic pari modo, sexagenariam ubique diuisionem obseruando Possent consimiles habraifactiones in monetis, aris
mensuris,quibus pharmacopolae,&Plam que alis utuntur.
TERTIO NOTANDUM ESTmoduisibendi in hac parte tale des ere esse: manu sinistra incipiendii est,uersus dextra eundo:& Primo ora Ponatur,dcinde graciis dus,pomnodu minuta,consequenter secimta:& de cieteris Pari modo. Eande positio is sernem in tempore obseruabis:ita ut primo loco menses locentur deinde dies tertio' sicis. Ne,quarto minuta,& sic consequenter. Haec omnia insta Positae formulae ostendunt.
Quamuis in hac parte duplicem possemus tactionem assignare inlinam simplice,aliteram mixtam:quia tamen primo tractatu sufficieter de numero mixto discussum est, re sequenti pariter aliquid etiam dicetur, ideo pertranseo.
288쪽
nis exem rerum do menoperationis exemr n.
C Reductio astronomica,est integri siue grossotis fractionis insibustiorent,vel subtilioris in integrum, aut grossiorem fractionem commuis ratio. Hinc physice seu astronomice reaucere: est integrum, seu grossiorem fractionem, in subtiliorem, vel subtiliores in integrum, aut grossis
Nempe tota huius tractatus difficultas in reductione tactionum consistit. Ideo pro reductionis clara intelligentia,quatuor documenta ponemus, Per quae clare modus reducendi physicas seu astronomicas fractiones significabitin . PRIMO NOTANDUM EI ,& pro primo documento tenendum Si volueris gradus,quos integra dicunt,ad fraetiones reducere:debes numerii graduum toties. siue tot vicibus per sexagenarium numera multiplicare quoties,seu quot vicibus nusmenis a quo fractio denominatur. Unitatem continet: irouenien numerus erit lastium stactionum summa ex reduetione graduum ad fractiones resultans Imid declaratur facillimo exemplo. Vis scire tres gradus,quot efficiunt quarta multiplicabis,uinerum graduum, videsiceta, per fio quater δε numerus Proueniens, erit 38sso o H tamen unum aduertendum non esse intelligendum, litera sonat:sed illo pacto, ut vi, delicet 3 qui est numerus gradui multiplicetur quater Per fio:taliter ut ex prima mulstiplicatione proueniens numerus qui est, So,multiplicetur Per Ο:dcinde numerum ex secunda multiplicatione prouenientem.qui est ios OO, Per fio multiplices,& producestur 6 Sooo postinodum hunc numerum productum ex tertia multiplicatione perino multiplices &liabebis 333s oo,qui est sumnia proueniens ex reductione trium Iaadutim ad quarta In caeteris eodem modo est operandum. Ex quo in sero ij gradus ad quanta reducantur, proueniens summa erit 3833momo quintorum. sECUNDO NOTANDUM EST. pro secundo documento tenendum. Si velles grossiores ramones ad subtiliores reducere, videbis per quot unitates denominatio si ibtilioris fractionis a denominatione grossioris distat, Ec toties numerum grossioris fractionis perdo multiplicabis:quo facto,Prouernens numerus,reductionis sum smam ostendet Exempli gratia is reduceres minuta ad quartas postquam minutum ab unitate denominatur quarta vero Yq,qui per tres unitates ab idistat: ter igitur multiplicabis numerum minutorum, videlicet, Per o,ad sensum in primo documeto dei claratum . sic videlicet, vis primo po fio multiplicetur:deinde ex tali multiplicatione prouenies numerus qui est 3oo,per fio multiplicetur proueniet isooo:postremo autem hunc numerum per Go multiplicabis:&Proueniet numerus os Io,qui Proue mens summa nuncupatur ex reduetione, minutorum ad quarta. Ex quo facile sequitur si ad sexta, tertia reducantur, numerus Proueniens erit isti Ooo. Et si ex te quisspiam petat,qualiter, minuta ,3 secunda,&- tertia simul ad quinta reducantur: debes primo minuta ad quinta reducere:deinde secunda ad quinta:postmodu tertia ad quinita reducanturAE numeri prouenientes simul addantur: ex quorum additione prouenirens numerus erit datarum fractionum reductiora summa j-62qo quintorum. TERΤI NOTANDUM EST duos esse redurendi modos his primis opipositos 5 hoe pro reducendis fractionibus ad integra,& subtilio ibus ad grossiores fractiones. Pro primi intelligentia tale teneas documentum,quod tertium in ordine erit. Si fractiones ad integra reducere velles:debes in primis cognoscere numerum a quo denominantur tales fractiones,&toties illarum numerus per fio diuidatur,quoties unitatem talium fractionu denominatio continet. Exempli gratia. vis reducere s 93 63 tertia ad integra scilicet ad gradus fici diuides illum numerum perino,eo pacto ut facta prima diuisione numerus quotiens,qui numerus est seclidorum,per clo diuidatur: deinde secundae diuisionis quotiens,qui minutorum est numerus, per so etiam diuidaturiquo facto,tertiae diuisionis quoties, graduum numerum manifestabit Et si in qua, Iibet illarum trium diuisionum aliquod sit residuum:illud in prima diuisione denominationem tertii piet:& in secunda denominationem secundi:in tertia vero minuti des h. iiii. 3 Oogis o ma os o T
G Tot reducedi modus in hoc eosistit, vis grossiores fractioesta subtiliores reducerevelas,ita multiplicatione utaris,ne de nominationes utramno rasgrediaris. tra verosi subtiliores ad grossi res reducas, toties vicis sm diuisione sexagena oria Pus erit, quota furari denominatio grossio iis a subtiliori.
289쪽
PRAGΤ. nominationem suscipiet. Si igitur datum numeru ad integra reducas: aeta prima diui,sione perco,pro quotiente liabebis, 3ωβ supersunt 3 tertia . Deinde illo quotiente numero Wr o diuiso uinerum quotientem ipsius habebis i6ios.& residuum erit qi secunda. Postmodum si hunc quotientem numerum Per fio. dividas,talis procrea. bilin numerus quotiens 258,qui numerus graduum erit,& residuum erit, minuta. Habes igitur si s 9So 3 tertia ad gradus reducantur, proueiuent 263 gradus,cum 2s minutis, secundisini tribus tertiis. Ex isto deducitur,si,S 5s 3M quinta ad integra, indelicet ad gradus, reducantur, emanabitu integrum cum i6 minutis, i se, cundis, 2s tertiis,2 quartas ,re 2 quii iis Poteris hoc reducendi processu quasvis fractiones alias ad integra reducere. Sed quoniam contingit epenumero subtiliores fra. etiones ad grossiores reduc inde Pro alium reductione,istud aduertes documentum. Si aliquas subtiles reducere velle t actiones ad Polliores,animaduertas in primis de Quiris homiliationem illarum subtilium fractionum, re Videbis per quot unitates,subtilioris docim fractionis denomuratio, grollioris fraction; denominationem excedit, Ac toties diui des numerum illarum laurilium denominationum Per εο quo peracto, quotiens nu. metu, ultimo labitus,proPositu ostedet Hoc declaratur facili ex lo. Vis 397M s ohes, stata ad tertia reducere tres diuisione iunt faciendae,modo in praecedenti documen hi tamio declarato:& reperies Pro summa tertiorum qis tertia, cum q quartis, que quin sum. iis,&j sextis. Dc hoc habetur,si, 36O quinta ad secunda reducantur,consurget secunda, cum 26quams,reqs quivitis in
Additio altronomica, et Physicalium fractionum in unam summa collectio. Et addere astrononiice, est fractiones physicales in una sum.
mam colligere. Dissicultatem impraesentiarum pro additione faciunda, nullam sere Iiabemus Est
autem aduertendum, d Pro documento obieruandum, nullas fractiones diuersarum denominationum esse addendas, nisi prius ad fractiones unius denominationis redii. cantur. Iniciido enim dicere gradu non esse addendo mututis,nec minuta secundis, nec secuta emis,antequam reducantur ad consimilis denominationis fractiones ipsis autem reductis secundum quod Praecedenta dissu ita documenta indicant,addi pote.
P RiM NOTANDUM EST Pro talium fractionum additione, fractiones Fractio dissimiles,locis dissimilibus locanda elle, ita P dasPonendae veniunt secundum quod Pi primo diffinito diximus. Primo gladus si ueruit sonalitur:d de minus gro lsae fra dis ..ctiones: ultimo lubtiliores locentur. Si aliquas tractiones addere velles, illas debes eo pacto disponae,ut mutuo correspondeant quae exundem sunt denominationum:ita videsicet, gradibus gradus supponantur:minuta, minuta: secundis ecuda,&ita consequentci. Vnum taliae est adu tendum, tendum elle Unitatibus in hac parte, per inde ac in pnino tractatu utebamur zomitatibus unitate addantiu , denis denae,cen, tenis centerue se sic de singulis: cum autem ad sexaginta deuentum fuerat unitates, il. las in mente tenebis,Pro unitate addenda sequentivus fractionibus diuertarunt deno, minationum semper incipiendum est Perari a subtilioribus fractionibus voesus grossiotes eundo Vt autem clarius haec Omnia intelligere valeas,ad Praesens respice ex, emplum. Numenis cui additio fieri habet sic ligna, 2 gradus, s muta, 2 secvn, da Primus numerus addendus sit L signa, zo gradus, , minuta, i secunda Secunidus numerus addendus sic signum,is gradus, 2 secunda Tertius numerus adden, dus sit lignum,t gadus,i mimula,24 secunda Disponamur illi numeri secundum quod sequens elementorum combinatio ostendit.
c Signa. a. Signum. si Signum.
290쪽
I Minuta. 2 Secunda. Minuta. Secunda.
sECvMD NOTANDUM EI ,si velles cognoscere summam signorum, aut graduum, vel minutorum, siue alicuius alterius stactionis, quam omnes illi qua. tuor numeri suprapositi efficiunt:opus est reductione. Unde si ad signa redueantur,o. portet id fiat secundum tertium documentum,in quo declaratus est modus reducenodi fractiones ad integra. Si autem ad gradus,ves ad minuta reducantur,aliis documentis adiutus id facillime facere poteris. Et quamuis posset alius addendi modus assigna. ri in hac parte:datus modus, postquam & succinctus &bonus est sufficit. TERTIO NOTANDUM ESΤ consimili procedendi modo esse operandum infractionibus temporum δε monetarum,& consimilibus aliis.Vnde si in temporis fiactionibus operati libuerit,secundum hanc speciem,ad istud aduertas exemplum. 4 enses. Dies 'n' Morae. Minuta.
CPotest irare species probati per subtractionem ut sequens diffinitum docebit: nam si facta addition omnes numeros addendos abstuleris a summa,& residuum si aequale numero eui additio fieri habet, bene operatus es: aliter si evenerit, iterum incipias operari oportet.
e Subtraetio astronomica,est fractionu physicaliud physicalibus f aactionibus ablatio,vt inde relicta summa deprchedatur. Subtrahere eam astronomice,est physicas fractiones a physicis fractionibus auferre.
Iavandam inter se similitudinem obseruant sibiramo in fractionibus,& subtractio prius habita in integris:ita videlicet ut quemadmodum tertio diffinito primi traelatus dictum est operatione initiandam esse ab unitatibus,ita impraesentiaru incipiedum est operati ab unitatibus subtilium fractionum versus denas,s caetera si fuerint,cundo. UR UMO Ni in Nis procliuius diffiniti vero intellectu operatione se Alter est in physicis eo pacto esse faciendam:dispositis numero a quo fieri habet subtractio,& subtrahens tractionibus subtrahendido secundum quod diistum est,subtrahe fractiones a laetionibus eiusdem denomina α' ibi: 1 rati tionis:quod si tales non reperiantur,subtrahes minores fi actiones a maioribus ita Vi illo quem author hie poscilicet quod a maioribus habebis accommodato unam fractionem, quae fici valet pro nit. Est que huiusnodiis immediate precedenti fractione. Sed ut melius haec omnia intelligantur, ad libidie Σ ' i 'ii' spice exemplum. Sit numerus a quo subtractio fieri habet 26 gradus minuta HS i iis Pum ho latam g mila secunda:numeriis subtrahendus sit 2.gradus,2 minuta ,ssiccunda: disponantur, giti subtrahedi differeti
einde inope ope a Gradu, Minum. Secunda ti,primi tractatus Ps.
Ponendo, remanetes quem sub linea directo Oeo ponas:postinodum a 4 non potest mora minori additam,aut deponi ideo opus est ut habeas accomodato unum minutum quod6o valeticcm' 'si P. zrim' G ὸ da in primo secundorum limite 8 in secundo valet fi denas, quae simul cum libidem feetido limite unitas existentibus, io componunt, quibus poteras bene s subreahere residuum scilicet te addis numeras subtra sibi ea directa sede ponendo:postmodum ad minuta ibis:&quia qmanetibus pro pter ablationem unius minuti separari non potest 6:igitur habebis unam nixatς RP ibesiaesidi, limitib 1 hν commodato as sequentibus,quaesio valet minuta,& sic a i separabis 6, residumn in sicis inil,subtrahendi iii