장음표시 사용
101쪽
s o Curvi ac recti proportio promota. THEOREM A XVI. PROPOS. XVI.
IN circulo ABC. cuius centrum. F. diameter AE. sumatur extra circulum in diametro producta punctum D. a quo ducantur in conuexam peripheriam duae rectat DS.DΚ, quae productae secent cauam in B. C. sintq; puncta X. S. sub puncto contactus. G. quem efficit tangens circulum ducta recta DG. expuncto D. & connectantur FΚ. FS. Dico maiorem esse rationem anguli FSD. ad angulum FND. quam anguli BED. ad angulum C ED. Ducantur CFL. BFM. secantes circulum in L. M. eritis definiti differentia angulorum LCΚ.des... MBS. id est FΚC. FSB. iulis aequalium medietas arcus M L. & medietas arcus ΚS. Differentia vero angulorum FEC. FEB. id est FCE. FBE. illis aequalium est medi ias sola arcus CB. id est medietas arcus ML. maior igitur est differentia angulorum FΚC. FSB. quam differentia angulorum FEC. FEB. maior etiam est angulus ΚCF. id est C ΚF. angulo ECF. id est FEC. idemq; angulusCΚF. est maior angulo BS F. ut patet ex superioribus,&angulus FEC. maior angulo FEB. Quare si ex duobus rectis auferantur FΚC. & FSB. item etiam ex duobus 3 - - huius. rectis demantur FEC. FEB. maior erit proportio complementi ipsius FSB. ad duos rectos, nimirum anguli FS D. ad complementum ipsius FΚC. nimirum ad FΚD. quam complementi ipsius FEB. videlicet ipsius BED. ad complementum ipsius FEC. nempe ad CED. Quod fuit probandum.
102쪽
THEOREM A XVII. PROPOS. XVII. SI ab extremitate diametri duo arcus inaequales, accipiantur ad quos ex duobus punctis diametri ungulis duae sed hae ducantur, sintq; duae expuncto propiore extremitati ductae, aut aequales inter se, aut propinquior minor remotiore,& angulorum ad punctum remotius consti tu torum maximus, maior sit angulo quem ex datis punctis ductae ad remotiorem arcum essiciunt: anguli quos illae cum diametro efficiunt consti tuti ad punctum remotius ab extremitate diametri, maiorem inter se proportionem habent, quam constituti ad propinquius, si maiores cum minoribus conferantur. In circulo BCD. cuius diameter AH. sumantur ab extremo puncto. B. duo arcus inaequales BD. maior BC. minor ;& in diametro duo puncta, A. G. quorum illud cxtremitati B. vicinius sit, hoc remotius ex quibus ductae sint ad arcus rectae AC. AD. GC. GD. e ficientes cum diametro angulos illae quidem C AB. minorem, DAB. maiorem;istae CGB. minorem DGB. maiorem;sint si re A D. AC. aut aequaleSinter se, aut AC. minor; λ& angulus AGD. maior angulo GDA. Dico maiorem esse rationem anguli DGB. ad
angulum CGB. quam anguli DAB. ad angulum CAB. Sint primum lineae AC. A D. inter se aequales. Quoniam duo triangula . CAG. DAG. habeat duo latera. CA. AG. duobus lateribus DA. AG. aequalia, & angulus DAG. comprehensus minor est angulo compra menso CAG. maiorq; est M a ratio
103쪽
vi Curui ac recti proportio promota.
angulus AGD. angulo ADG. ex suppositione,maior erit ratio anguli DGA. ad angulum ADG. quarn CGA. ad ACG. & componendo maior ratio DGA. ADG. simul ad,ADG. quam CGA. ACG. simul ad ACG. & per. mutando maior ratio DGA. ADG. simul ad CGA. ACG. simul quam ADG. ad ACG. Cum ergo totius AGD. ADG. simul, ad totum CGA. ACG. simul,maior sit ra. tio quam partis ADG. ad partem A CG. & reliqui DGA. ad reliquum CGA. maior erit ratio quam totius DGA. ADG. id est anguli DAB. ad totum CGA. ACG. simul, id est angulum CAB. Sit rui sus linea AC. minor linea AD.producatur AC. in E.& sumatur AE. aequalis ipsi AD.& iungatur GE.Cum aequales sint A E. A D. eodem prorsus modo quo priore parte huius,ostendemus maloie esse rationem DGA.ad EGA. quam DAB. ad EAB. sed adhuc maior est ratio DGA. ad CGA.quam ad EGA.(cu minor sit CGA. ipso EGA. Igitur anguli DGA. ad angulum CGA. maior est ratio quam anguli DAB. ad angulum CAB. Quod fuit &c.
THEOREM A XVIII. PROPOS. XVIII SI duo triangula habuerint duo latera circa an
gulos inrituales proportionalia; auguli maioris compraehensi ad reliquos maior erit ratio , quam anguli minoris comprasa ensi ad reliquos, si prout proportionalibus lateribus opponuntur, inter se conferantur. Et trianguli, in quo est minor
angulus compraehensus , reliquorum angulorum maior ad minorem maiorem habet ratione, quam in alio triangulo reliquorum maior ad minorem . Sint duo triangula ABC. DEF. quae habeant duo I tera AB. DE. Idem BC. m. oirca angulos inaequaleg ABC.
104쪽
ABC. maius DEF. minus, proportionalia i sitq; ut AB. ad BC. ita DE. ad EF. Dico maiorem esse rationem anguli ABC. ad angulum BAC. quam anguli DEF. ad angulum EDF. Item maiorem ABC. ad BCA. quam DEG. ad EG D. Deniq; si EFD. maior sit qua EDF. maiorem esse rationem EFD. ad EDF. quam BCA. ad BAC. Fiat ad rectam DE. angulus DEG. aequalis angulo ABC. & sumatur EG. aequalis ipsi EF. Quoniam est ut AB. ad BC. ita DE. ad EF. ex hypothesi,& ut DE. ad EF. ita DE. ad EG. ipsi EF. sumptam aequalem erit ut AB. ad BC. ita DE. ad EG sunt autem,ex hypothesi, anguli ABC. DEG. aequales, erunt ergo triangula ABC. AEG. similia. Quoniam cr-go in triangulis DEF. DEG. angulus DEG. maior est angulo DEF. & latera DE. EG. lateribus DE. EF. aequalia sunt,constat primo ex s. proposit. secundi huius ma- s. t hiam. iorem esse rationem anguli DEG. ad angulum EGD. id est ABC. ad BCA. quam anguli DEF. ad angulum EFD. Item maiorem eiusdem anguli DEG. ad angulum EDG. id est ABC. ad BAC. quam DEF. ad EDF. Constat secundo ex Io.propositione secundi hutns maiorem esse ratio- io.5.huiu
nem EFD. ad EDF. quam EGD. ad EDG. id est quam BCA. ad BAC. Quod erat&c.
ATe; ita triangulis labentibus duo latera , circa auguluminaqualem,proportionalia, aptavimus proposit/ones nonam,s decimam huias. Eadem vero ratione illis accommodari possunt quacumq; proposuionibus 1 I. 12. I S.Iq. II. demon. strata
105쪽
s Curui ac recti proportio promota.
at uniriNam quaecum; de inaequali angvilorum ratione, in triangulis duo latera aequalia circa inaequalem angulam labe tibus ostens uni, eadem etiam triangulis duo latera proportionalia circa angulum inaequalem obtinentibus conueniant i modo latera unius,aut maiora,aut m Ustra, eopacti, quo in hacpropomption actum eu, ad latera alterias reducantur. EDodquia manifessismum est,probatione,utpotes peruacanea,abstinebo is Habent autem superiores propositones,ac praesertim postera res, a nona, mirum In Geometracis Cum,ut exsequentisnspassim constabit: ac quemadmodum insuperiora libro,ex aequalitate unius anguli in duobus triangulis,magno usu inquisiuimus inaequalem laterum rationem,proposit. 23. q. 23. ita hic ex nobus lateribus aut aequalibus, aut proportionalibus, in duobus triangulis angulorum in aqualem proportionem non minori compendio peruefigamus. Vt vero memoriae consulamus, eorum quae hae de re hactenus probavimus, hic estglogismus esto. In figura I 3. huius inspiciantur duo triangula LAT. L . quae habeant LA. AU. lateribus LA. AO. aut aequalia aut proportionalia,circa angulos LAX. L . maiorem illum hunc minorem,sintq; reliquaesuperioribus propositionibus delineata.
ad ALO.io. huius. III. Maior I ratio LOA. ad OLA. quam LXA. ad XLA.
is huiue. V. Ratio OL. ad OAL. in maior,quam TLX. ad TLO. ii. huius. - VI. Maiora ratio LOA. ad LXA. quam O . ad LAD.
106쪽
THEOREM A XIX. PROPOS. XIX. SI sint duo circuli eccentrici, quorum maior
minorem contineat, sintq; utriusq; centra intra circulum minorem , ex quorum utrovis duae rectae ducantur circulos secantes arcus dictis lineis contenti, ad areus utravis harum linearum,&semidiametro maioris circuli, in qua est centrum minoris compraehensos, maiorem sabent rationem in exteriori circulo quam in interiori, ad eorum vero complementa ad duos rectos, maiorem. Sint duo circuli GEF. HCD. eccentrici,ille maior, qui
hunc minorem contineat illius centrum B. huius A. virumque intra circulum minorem I CD. ac recta per utriusque centrum ducta LG. secans circulorum peripherias maioris qui dein in L.G. punctis,minoris in I. H. & sit centrum circuli minoris A. in semidiametro circuli maioris BG. Ducantur primum c ut videre est in sinistro semiciraculo huius figurae duae rectar excentro circuli minoris AE. AF. secantes exteriorem circulum in E. F. interiorem in C. D. & connectantur BE. BF. Dico mai rem esse rationem FE. ad EG. quam DC. ad CH. aut FE. ad FG. quam DC. ad DH. minorem vero esse proportionem EF. ad FL. quam CD. ad DI. aut EF. ad EL. quam CD. ad CI. Cum enim, duo triangula FBA. EBA.habeant duo latera FB. BA. du bus EB. BA. aequalia,utrumq; viriq; in eodem vero triangulo inaequalia, maior enim FB. id est GB. quam BA. &angulus
107쪽
b c Curui ac recti proportio promota.
is. 1 huius. angulus FBA. maior angulo EBA. erit maior ratio anguias I, li FBA. hoc est arcus FG.ad angulum EBA. id est arcum 'i' - EG. quam complementi anguli FAB. id est angulus FAG. hoc est arcus DH. ad complementum anguli EAB. id est angulum CAG. hoc est arcum CH. hoc enim 13. huius demonstratum est,& diuidendo maior ratio FE. ad EG. quam DC. ad CH. &c. Rursus in ijsdem triangulis, angulus E AB. continetur sub minori basi EA. & minori latere AB. & angulus FAB. s. s. sub maiori basii FA. & minori latere AB. suntque anguli
EBL. FBL. complementa angulorum aequalibus lateribus xi.1. huius. compraehensorum. Igitur maior est ratio anguli EAB. ad angulum FAB. id est arcus CI. ad arcum D I. quam anguli EBL. ad arcum FB L. id est quam arcus EL. ad arcum L. ut undecima secundi huius probatum est & diuidendo maior ratio CD. ad DI. quam EF. ad FL. & componcndo, conuertendo, ac per conuersionem rationis,maior ratio
CD. ad C I. quam EF. ad EL. Quod fuit primo demonstrandum
Sed ducantur secundo (in dextra parte figurae ex cem tro B. maioris circuli duae BE. BF. secantes externum ci culum in punctis F. E. internum in punctis D. C. &con nectantur AC. AD. Dico maiorcm esse rationem arcus FE. ad arcum EG. quam DC. ad CH. maiorem vero CD. ad DI. quam EF. ad FL. Rursus cum duo triangula C AB. DAB. habeant duo latera CA. AB. duobus lateribus DA. AB. aequalia virum-i s. definix, que viriq; in codein vero triangulo inpqualia nam maior est CA. id est AI. parte AB. & angulus CAB. maior angu-ihi hu u. erit ex 23. secudi huius,maior ratio anguli CAB. D μ' ad angulum DAB. id est arcus CI. ad arcum DL qua com-
. plcmenti anguli CBA.id est anguli EB L. id est arcus EL.ad complementu anguli DBA. id est angulum FBL. id est arcu FL. & diuidendo maior ratio CD. ad DI.quam EF. ad FL. Denique in ijsdem triangulis anguli DBA. CBA. com
108쪽
tinentur ille sub minori basi,& minori latere, hic sub malo ri basi,& minori latere suntque DA H.CA H. complementa
angulorum aequalibus lateribus compraehensorum . Igitur,ex ri . secundi huius, maior est ratio anguli DBA. ra.x. huius.
ad angulum CBA. idest arcus FG. ad arcum EG. quam anguli DAH. ad angulum CA H. idest arcus DFq. ad arcum CH. & diuidendo. Igitur si sint duo circuli eccentrici &c. Quod erat demonstrandum , THEOREM A XX. PROPOS. XX.
SI sint duo circuli eccentrici, quorum maior
minorem contineat, sitque maioris centrureta in peripheria minoris: Duae rectae ex minoris centro duci ae, ex utroque circulo arcus abscindunt, quorum exterior ad arcum sui circuli inter utramuis linearum, & semidiametrum maioris circuli, iniqua cst: centrum circuli minoris, compraehcnsum, maiorem rationem habet,quam interior ad suum, ad complementum vero minorem. Duae vero rectae ex centro maioris circuli ductae auferunt arcus proportionales arcubus ductis a lineis versus semiediam ctrum maioris circuli in qua es centrum minoris; ex alia vero parte maiori proportione interiores quam ex tetriores. Sint ijdem circuli,qui in superiori propositione, sed centrum maioris B. cadat in peripheriam minoris, & cx centro minoris A. ductae rectae AE. AF. in frustra parte schematis abscindunt ex maiori circulo arcum EF. ex minori arcum CD. Dico rursus maiorem esse rationem FE.ad EG. quam
DC. ad CH.& maiorem CD.ad DB. quam EF. ad I L. Cum cnim sit eadem dispositio,ac ratio trianguloruin FBA. EBAN ouae
109쪽
s a Curui ac recti proportio promota .
quae in prima parte praecedentis propositionis, eadem etiam omnino demonstratione, ex I3. huius, probabimus quod proposi tum est, ut ideo necesse non sit sua perflua repetitione lectorem deti
Sed ducantur in dextra part schematis ex centro maioris circuli B.duaerectae BE. BF. secantes exteriorem circulum in punctis E. F. interiorem in punctis CD Dico eandem esse rationem arcus DC- ad arcum CH. quae
I arcus FE .ad arcum EG. & maiorem CD. ad DI. quam EF. . ad FL. Nam anguli HAD. HAC. dupli sunt angulorum. GBF.GBE. igitur ut GAD.ad GACAaGBR ad GBE. id est,ut arcus D H.ad arcum DC. ita arcus FG- ad arcum EG & diuidendo. Denique quia ratione maior est arcus CD.quam EF., minor DB. quam FL. angulus enim FB L. idest arcus FL. maior elbangulo BAD. hoc est arcu DB. maior erit ratio CD. ad DB. quam EF ad DB. sed EF ad DB. habet maiorem rationem quam EF. ad FL. Igitur maior est ratio CD. ad DB quam EF- ad FL- Quod ultimo probandum cratis
THEOREM A XXI. PROPOR XXLSI sint duo circuli eccentrici , quorum malo
minorem contineat, sitq; maiori centru extra peripheriam minoris et arrectar ex minoris centro ductetae ex utroque circulo arcus abscindunt, quorum exterior ad arcum sui circuli inter utramuis linearum, & semidiametrum maioris circuli raquae
110쪽
yyqua est centrum circuli minoris, comprehensum, maiorem rationem habet quam interior ad suum,
ad complementum vero, minorem. At vero duceretae ex maioris centro ductae utrumque circulum secantes, arcus abscindunt, quorum interior ad utrumuis arcuum inter ductas,& diametrum com-
praehensum in suo circulo, maiorem habet ratio-Hem, quam exterior ad arcus sim ili ter po sitos , in suo.
Ponantur ijdem circuli , qui duabus superioribus propositionibus,sed centrum maioris B.cadat extra ambitum minoris, & ex centro minoris A. ducantur, ut prius in sinistrat parte figurae rectar AE. AF. abscindentes ex minori circulo arcum DC.ex maiori arcum FE. Dico iterum maiorem esse rationem FE. ad EG. quam DC. ad CH. minorem EF. ad FL. quamis CD. ad DI. Hoc vero ex duobus triangulis FBA. EBA.
eadem omnino ratione probatur qua in I . parte I s.huius. At vero due rectae BE. BF. Ex centro maioris circuli
prodeuntes, ( ut cernere est in dextro semicirculo ) auferant ex circulo minori arcum CD. ex maiori arcum EF. Dico maiorem esse rationem DC.ad CH.quam FE. ad EG.& maiorem CD. ad DI. quam EF. ad FL. Cum enim duo triangula CAB. DAB. duo latera CA. AB. duobus lateriabus DA AB. aequalia habeant, utrumque utrique& angu-- ires.lus CAB. maior angulo compraehenso DAB. complementa angulorum compraehensorum nimirum anguli DAG. CAG