장음표시 사용
71쪽
co rui ac recti proportiopromota. PROBLEMA VI. PROPOS. XXXXVIII.
Vadrantem ita secare, ut secaris arcus maioris, ad secantem minoris, maiorem hab*atrationem , quam arcus maior, ad arcum
QV A D R A N S ABI. diuidatur bifariam in G. & arcus G. B. rursus bifariam in F, & ducatur tangcns insinita BE. ac per puncta GF. secantes AC, g e ' vo
AD. fiatq; ut BC. ad BD. ita secans AD. ad aliam quampiam, quae transferaturex A. in E. ita ut A E. secans arcus Bire quartae proportionali sit aequalis. Dico maiorem esse rationem secantis AE. ad secantem AD, quam arcus I B. ad arcum m. maiorem autem esse AE quam A D. & ideo arcum HB. quam GB. constat quiae BD-maior est quam BC. quare cum maior ut ratio tangentis DB. ad tangentem BC. quam arcus GB. ad arcum BF. maior, etiam erit ratio secantis AE. ad secantem AD, quam arcusis . s. GB. ad arcum BF. sed ut arcus G B. ad BF. arcum, ita arcus IB. adaacumGB. utrobique enim maior minoris duplus est, &IB. ad BG. maiorem habet rationem quam HB. ad BG.ego secans AB ad secantem A D. maiorem habet rationem, quam arcus HB. ad arcum BG. Igitur Quadrantem ita lac uiuius, ut secans arcus maioris ,&c. Quod erat ficiendum is
THEOREM A XLIII. PROPOS. XLIVSI ex puncto diametri productae extra citcuIum
rectae ducantur, quae in conuexam, & cauam peri-
72쪽
peripheriam incidentes semicirculum secent,iam secantis maioris ad minorem, quam incidentium in conuexam periptariam maioris ad minorem, minor est ratio, quam maioris arcus ex ijs quos abscvidunt,
ac subtendunt ad minorem . . . SIT eirculus CDE. in cuius diametro extra circulum producta , sumatur punctum A. aquoe in semicirculum CB. d cantur quotlibct rectae AD. AE. quae Couexam periphetiam secent in puctis F. G. concauam in D. E. Dico minorem esse rationem AD. ad AE. item. AG. ad AF. quam arcus DEF. ad a cum EG. Nam quoniam rectangulum DAF.aequale est reingulo EAG. erit ut DA. ad EA. ita AG. ad AF. Rursus quoniam chordae minori EG. additur recta GA. & maiori DF. additur recta FA. minor quam G A. minor erit pro- portio DA. ad EA. quam chordae DF. ad ehordam EG. sed chorda DF. ad chordam EG. minorem C-I i. 18. habet rationem quam arcus DEF. ad arcum EG. Igitur DA. liuius. ad EA. minorem habet rationem, quam arcus DEF. ad arcum EG. Igitur DA. ad EA. minorem habet rationem quam arcus DEF. ad arcum EG. sed ut DA. ad EA. ita ostensum est esse G. ad AF. Igitur minor est ratio AG. ad AF. quam am is .cus DEF. ad arcum EG. Igitur si ex puncto, &c. Quod erat
THEOREM A XXXXIV. PROPOS. L. SI a centro , atque ab extremitate diametri ci culi , duae rectae ducantur ad idem circumferen
73쪽
ci Curui ac recti proportio promota.tiae punctum, quae chordam , & arcum, cui subtenditur, in partes inae uales dividante arcus maior dminorem maiorem habet rationem, quam segmen
tum chordae maius, ad minus. L. SIT circulus ABC. cuius centrum A. diameter FC. ab E. & F. ducantur duae rectae FB. EB. ad idem circumferentiae
punctum B. quae chordam quam piam AD. secent in partes inaequalesrecta quidem FB. in H. & EB. in I. Item arcum DA.
in maiorem DB. minorem . BA. Dico minorem esse rationem DH. ad HA. item que minorem rationem DI. ad IA. quam arcus DB. ad arcum BA. Ex A. & D. ducantur perpendiculares ad EB. rectar DL. AΚ. erunt hae rectae sinus arcuum BD. BA. Item ex E. ad AD. pe sthol. 2I.I. pendicularis EG. secans tachordam AD. quam arcum
AC D. &AFD. biseriam in G. C. &F. manifestum est, eum arcus DB. maior sit quam arcus BA. ideoque maior dimidio totius DA. quod punctun B. cadet inter A. & C. ideoque pume a I. & H. interpuncta G. & A. Quare segmentum DI. maius est segmento I A.& DI .maius quam HA. Quoniam aequiangula sunt triangula rectangula DLI. AXI. ob aequales amgulos ad verticem I. erit ut DI. ad IA . ita DL. sinus rectus a huώ. cus BD. ad AΚ. sinum rectum arcus AB. sed DL. ad AΚ. minorem habet rationem quam arcus DB. ad arcum BA. Igitur segmentum DI. ad segmentum IA. minorem habet rationem quam arcus DB. ad arcum BA. Rursus cum duo anguli ABH. DBF. insistant arcubus aequalibus AF.DF. ideoque sint aequales, erit ut DH. ad I A. ita chorda DB. ad chordam BA. at chorda DB. ad chordam BA. minorem habet rationem, quam
74쪽
arcus DB. ad arcum BA. Igitur DH. ad HE. minorem habet rationem, quam arcus DB. ad arcum BA. Quod erat, dic.
HInc patet is angulus quem a subtense efficiant, recta ab
externitate diametri Acya diuidat r , bifariam etiam diuidi ' uam probatam ect angulum ABD. bifariam secari , a r Ara FB.
Condrai etiam , sin chordam recta ex centro ducatur, qua chordam , ese ab mssitensum diuidat; habere figmenta chorda proportionem eandem, quam Aus arcuum; Nam demon- ratum es, esse, in m. ad IA; ita DL. Dum arcas DB. ad M. Dum arcus AB,
THEOREM A XLV. PROPOS. LI. SI puncto in quo diameter circulum secat, ex
ipsa diametro dematur duplum sinus recti arcus Quadrante minoris , & ex termino lineae abscisse alius sinus rectus ducatur: arcuum inter Snus , & extremam diametrum interceptorum maior est ratio, quam dupli sinus ad sinum 1 minor autem quam dupli sinus recti, ad sinum versum arcus mi
IN semicirculo ABC. sumatur arcus AB. a puncto A. in quo diameter Ae circulum secae, Quadrante minor, & d Mo sinu recto BE. ipsius BE. a puncto A. sumatur dupla AF. &ex puncto F. ducatur FD. sinus rectus arcus M. Dico mai rem esse rationem arcus DA. ad arcum M. quam rectae FA.ad
75쪽
c. Curui ac recti proportio promota.
sinum BE. minorem autem quam FA. sinum versum a cus DA. ad AE. sinum ver sum arcus AB. connectantur
AB. CD. BC. & in chorda BC. sumatur BH. aequalis ipsi BA. & AE. aequalis EG.
trum Aet perpendicularis . ΗΚ. &connectantur HA. HG. Im. BD. Quoniam angulus ABH. in semicirculo rectus est,&rectus etiam ΗΚA. ex hypothesi , erunt puncta A. B. H. Κ. in circulo. Igitur anguli BHA. BΚA. In eodem segmento existentes aequales sunt, sed BHA. est semirectus(nam sumpta sunt duo latera BA. BH. aequalia igitur equales anguli B AH. BI A. & semirecti cum ABC. in aemicirculo sit rectus. Igitur BΚA.est semirectus, ac proinde cum rectus sit angulus ΚEB. se rectus est ΚBE. qualia igitur sunt latera E Κ. EB. cum igitur AF. sit dupla i lius BE. ex hypothesi, id est,ipsius EΚ. erit reliquum AE. ΚF. aequale ipsi EΚ. Si igitur aequalia demantur AE. EG. remanebunt GΚ. ΚF. aequales. Cum igitur duo triangula ΗΚ .HΚF. habeant duo latera HΚG. HΚF. circa angulos rectos aequalia, habebunt & angulos HGΚ. HFΚ. aequales, ideoque complementa HGA. I FC. aequalia'. Itcin quia CAE.r
istangulum aequale est Quadrato AB. (est enim ut CA.ad BA-ita BA. ad AE. ideoque proportionales sunt O. BA. AE. ,&AG. est dupla ipsius AE. ex hypothesi erit rectangulum CAG. duplum Quadrati AB. sed AH. est duplum Quadrati
AB. cum sit aequale Quadratis rectarum AB. BH. quae ponun tur aequales, igitur rectangulum CAG. aequale est Quadrato AH. Quare ut C A. ad AH. ita AH. ad AG. aequiangula igitur sunt triangula CA H. HAG. Igitur angulus AHG. angulo HCA. est aequalis. Cum vero ostensi sint aequales anguli Hi C. HGA. crunt reliqui reguli HAG. CHF. aequales,aequi
angulum igitur est triaugulum I FC. triangulo HAG. seri
76쪽
triangulo HAG. ostensum est triangulum CA H. esse aequiangulum , aequiangula igitur sunt triangula ACH. HCF. . . Igitur ut AC. ad CH. ita CH. ad CF. aequale igitur actu i . f. Quadratum Hetrectangulo ACF. sed etiam rectangulum 8.& D. S. ACF. aequale est Quadrato CD. aequalia igitur sunt Quadrata HC. DC. aequales igitur sunt rectae HC. DC. Quare cum recta BH. sit sumpta aequalis ipsi BA. & HC. ostensa sit aequalis ipsi CD. erit tota BC. aequalis duabus simul DC. BA.sed CD.DB.maiores sunt quam CB. Igitur sunt etiam uo. r. maiores quam CD. B .demptae igitur communi CD.remanebit DB. maior quam BA. Igitur arcus DA. maior est quam ut sit duplex arcus BA. dupla antem est FA. ipsiusEB. maior igitur ratio est arcus DA. ad arcum AB. quam rectae FA. ad rectam EB. Rursus quoniam arcus BA. est Quadrante minor maior erit ratio FA. sinus versi arcus m. ad AF. sinum versum arcus BA.quam m. ad BA.
77쪽
THEO REMA I. PROPOS. I. N omni triangulo angulorum inaequalium, maior est ratio anguli maioris ad minorem, ouam lateris oppositi maiori angulo, ad latus oppositum minori.
IN triangulo ABC. sit angulus B. maior angulo C. Dico angulum R. ad angulum Claui p. t. C.maiorem habere rationem, de triangulis quam latus AC. ad latus AB. Nam ea est proportio lateris AC. ad latus AB. quae est sinus recis anguli B. ad sinum coroll. i.18. rectum anguli C. At sinus rectus anguli B.ad sinum rectum anguli C. minorem habet rationem, quam angulus B. ad angulum C. Igitur latus AC. adlatus AB. minorem habet rationem quam angulus B. ad angulum C. ideoque maior est ratio anguli B. ad angulum C.quam AC. ad AB. Quoclostendere oporiebat,
78쪽
SI ex trianguli angulo, in basim perpendicula
ris demittatur, ex angulis quos cum lateribus facit, maior ad minorem, minorem habet rationem , quam, aut maius segmentum basis ad minus , aut composita ex basi, & assumpta inter peta
pendicularem , & basim , ad ipsam assumptam.
SIT triangulum quodcumque ABC. ex cuius angulo B.in basim AC. perpendicularis demittatur AD. quae cadat primo intra triangulum, faciatque cum lateribus angulus ABD.CBD. sitq; ABD. m ior, DBC. minor. Dico ma- Biorem esse rationem A D. ad DC. quam anguli ABD. ad angulum DBC. Vt enim AD. A ad DC. ita tangens anguli ABD. ad tangentem anguli DBC. at tangens anguli maioris ABD. ad tangentem minoris DBC. maiorem habet rationem,quam angulus maior ad minorem ; Igitur AD. ad DC. maiorem habet rationem , quam angulus AB D.ad angulum DBC. Sit secundo triangulum ABC. obtusangulum ad C. statuatur AC.basis , in quam productam cadat perpendicularis BD. Dico maiorem esse rationem A D. ad DC. quam anguli DBA. ad angulum CBD. Sumatur enim ipsi DC. aequalis DE. & connectatur DE. Quoniam duo triangula circa angulos rectos ad D. habent latera BD. DC.aequalia lateribus BD. DE. aequiangula erunt, & angu-gulus EBD. erit aequalis angulo DBC. Cum igitur AD. sit
79쪽
g 8 Curui ac recti proportio promota.
tangens anguli DBA. & DE. tangens anguli DBE. maior erit proportio AD.ad DE. idest DC. quam anguli ABD. ad angulum EBD. idest CBD. Quod secundo ostendendum
SI ex trianguli angulo, in basim perpendicula
ris demitatur, reliquorum angulorum maior ad minorem minorem habet rationem,quam maius segmentum ad minus. SIT triangulum ABC. in quo ab angulo ABC. perpendicularis demittatur BD. quae cadat intra triangulum , in basim AC. sitque angulus BAC. maior angulo BCA. Dico minorem efferationem anguli BAC. ad angulum BCA. quam CD.inaioris segmenti ad DA.minus. Ducatur AF. parallela ipsi BD. quae o currat protractae CB.in F. &ipsi AC.sit parallela BE. erit AE. tangens anguli EBA. id est anguli BAC. & EF. tangens anguli FBE. id est an et guli BCA. ( posito nimirum codem sinu toto BE. Et AE. quidem maior erit quam EF. cum angulus BAC. id est, EBA. ponatur maior, quam angulus B a d cst, EBF igitur maior est ratio A E. ad EF. id est, CB. ad BF. id est, CD. ad DA. quam anguli BAC. ad angulum BCA. Quod probaudum erat. THEO
80쪽
LIBER II. : cyTHEO REMA IIII. PROPOS. IIII.
SI in trianguli obtusinguli latus ex angulo
acuto demissa perpendi laris cadat extra triangulum, sitque anguli obtuli complementum maius reliquo angulo : maior erit ratio lateris, in quod cadit perpendicularis, cum assumpta inter latus & perpendicularem, ad assumptam; quam anguli complementi, ad reliquum angu
S IT triangulum ABC.obtusangulum ad C.& inprotractum latus AE. cadat Perpendicularis BD. & su Tmatur DE. a qualis DC. ac connectatur BE. Dico maiorem esse rationem AD. ad DC. quam anguli BCD. qui complementum est o lusi ad angulum reliquum BAC. Rursus enim BED. BCD. anguIi sunt uales,oblatera BD. DE. a qualia lateribus BD. DC. circa angulum rectum. Igitur,ex praecedenti,maior erit ratio AD. ad DE. id est,DC.quam anguli BEA. id est, BCD. ad reliquum a gulum BAC, i
SI trianguli angulum inaequalibus Iateribus
contentum, bifariam diuidens recta in basim intra triangulum cadat si segmentum maius ad minus,minorem habet rationem,quam reliquorum angulorum maior ad minorem.