장음표시 사용
121쪽
i r o Curvi ac recti proportio promota. tam ipse BDA. quam CFA. & sit ut CDA. ad BDA. lata
CFA. ad OFA. Dico maiorem esse rationem tangentis an
guli CDA. ad tangentem anguli BDA. quam si tangentis anguli CFA. ad tangentem anguli OFA. Contineat angvi Ius CDA. minorem BDA. & ex quolibet puncto et rectae DC. ducatur CH. perpendicularis ad DA.fiatque angulus I CF.aequalis complemento ipsis CFA. erit
CFA. angulus tertius, qui cadet sub vpunctum D. cum sit minor quam V μγ,
ADC. & contineat angulum quam Di tum minorem AFO.& di stantia FC. . di idescribatur circulus FCA. secans x . . . . .
priores lineas in C. O. B. A. & con- nectatur FB. quae secet CH. in re & DB. secet eandem in M. Item FO. secet eandem in P. cadet punctum O. inister B. & C.& punctum P. inter N. & C. Nam cum triangu-IaCFD .BFD.habeat circa angulos inaequales CFD. BFD duo latera CF.FD. duobus lateribus BF. FD.aequalia vir
is asst xi' que utrique,in codem vero triangulo inaequalia, maior erit' ' ratio CFA. ad BFA. quam C . ad BDA. ideoque habebit angulus CFA. ad aliquem angulum maiorem ipso CFB. eandem rationem, quam CDA. ad BDA. Igitur angulus AFO. ad quem eandem proportionem habet est maior, quam AFB. cadet igitur punctum O. inter B. & C. & punctum P. inter N. & C. Iam dicta perpendicularis CH. erit tangens tam anguli Cra. quam anguli CDA. recta NB. tangens anguli BFA. MI . tangens anguli BDA. , PH.
tangens anguli Om. constat punctum N. cadere inter M. & C. item ostensum est punctum P. cadere inter N. de C. quare multo maior est PH. quam M H. Igitur maior erit ratio CH. tangentis anguli CDA. ad MH. tangentem anguli BDA. posito sinu toto DF . quam CH. tangentis anguli CFA. ad PH. tangentem anguli OFA. potito sinu toto I H. Quod erat demonstrandum.
122쪽
THEOREMA XXVII. PROPOS. XXVII. SI fuerint quatuor tangentes proportionales maiorque prima quam secunda & tertita, minor erit ratio primi anguli respondentis primae tangenti ad secundum,quam tertij ad qua
Sint quatuor tangentes E. G. I. Κ. sitque ut E. ad G. ita I. ad L. sitque E. maior quam G. maior item quam I.centro F. describatur circulus ABC. diam tro FA. & sit arcus AC. seu angulus AFC respondens tangenti I. arcus AB. seu angulus AFB.respondens tangenti Κ. hinc dueta CH. ad M. perpendiculari, primi anguli co-plementuin sit HCD. erit ADC. primus angulus, & cum angulus ADC. fit maior,quam HFC. nam maioris anguli maior tangens cadet punctum D. inter H. & F. csi enim caderet in F. esset angulo A FG.aequalis, si infra minor & connectatur DB. quae secet HC. in M. & ducatur DN. secans HC. in Nerit punctum M.inter H.& N.& angulus HDN. angulus secundus respondens ipsi G. Nam cum CH. sit tangens anguli AFC.& NH.tangens anguli BFA. item CH.tangens anguli H DC. Nam est, ut I.ad Κ.ita CH.ad HN. sed vi I. ad X. ita E. ad G. & ut E. ad G. ita CH. tangens anguli HDC. adHN. ( utrobique enim est proportio aequalitatis tangentem anguli H DN. Dico minorem esse rationem CDH. ad NDI . quam CFA. ad BFA. Csi enim in superiori ex I3.&I . a. huius ostensum sit, maiore esse proportionem anguli CFA.ad BFA. quam CDH. ad MDH. & CDH. ad MDH. maior sit ratio,quam CDH. ad NDH. maior erit proportio 8. s.
anguli tertij CFA. ad angulu quartu BFA.qua prinii CDH. ad secundum NDH. idcoq; minor ratio primi anguli CD Had
123쪽
Curui ac recti proportio promota. ad secundum NDH. quam tertij CFA. ad quartum BFA.
THEOREM A XXVIII. PROPOS. XXVIII. SI sint quatuor anguli proportionales, sitque,
primus maior secundo, ac tertio; minor erit
ratio sinus recti,ac chordae primi ad chordam,&sinum secundi, quam sinus,& chordae tertij,ad num, & chordam quarti .
Sint quatuor anguli proportionales dispositi, ut in figura penultima huius, utque ut CDΗ. ad MDH. ita CFA. ad OFA. eodem modo quo vigesima sexta huius ostendemus puninim P. cadere inter N. & C. Centro D. distantia DB describatur arcus RBS. secans diametrum FA. in R.& DC. in S. Cum DB. sit minor quam DC. erit DS. illi aequalis minor quam DC.cadet punctum S. inter D. &C. Ducantur sinus B DT.SX.erit CI .sinus rectus anguli CFA. & BQ. sinus rectus anguli BFA. respectu sinus totius FA. item SX. sinus re- P ctus arcus RS. seu anguli CDA.& e BQ; sinus rectus arcus BR. seu a m oguli. BDA. respectu sinus totius M se .seu DC. &OT. sinus rectus h
minor erit ratio SX. sinus anguli . e primi CDA.ad B sinum rectum anguli secundi BDA. quam CH. finus recti anguli terti j CFA. ad B inum rectum anguli BDA. qui cum minorstquam OT. multo minor erit ratio SX. ad B quam CH. ad OT. sinum quartum anguli OCR. Quod erat ostendendum . Idem
124쪽
arcus proportionales, accipiantur eorum dimidij: ostendetur minorem esse rationem sinus primi adsecundum, quam tertij ad quartum : ut velo dimidium ad dimidium , ita to- is, tum ad totu, quare minor erit ratio dupli sinus, id ea chordae primae ad secundam quam tertiae ad quartam.
SI fuerint quatuor sinus proportionales ire,
quadrante, maiorq; primus quam secundum, ac tertius; maior erit ratio anguli respondentis
primo sinui ad secundum , quam tertij ad qua
Sint in quadrante cuius centrum LA. quatuor sinus FN. EO. DP. CB. imi proportionales, ae quidem FN. maior quam Eo. aut DP. quibus respondeat vaarcus FQI P - C eu anguli FAN. EA O. DAP. CAB. Dico maiorem es.se rationcmFAN.ad EA O.quam DAP.Ad CAB. Ad linea GH quamcunque fiat angulus HGI.aequalis angulo DA Et cx H. in lineam GI. ducatur perpendicularis HI. Item ad eandem lineam fiat angulus HGΚ. aequalis angulo CA & demittatur HΚ. perpendicularis ad GΚ. Rursus fiat angulus I FIL. aequalis angulo NFA. complementi anguli FAN. secetque HI. productam G I. in L. Denique adH. fiat angulus THM. aequalis angulo OEA. complcmenti anguli EA O. secetque recta HM. productam G Κ. in M. erit
reliquus HLI. aequalis ipsi FAN & HMΚ. aequalis EA P idcoque
125쪽
i x Curui ac recti proportio promota.
ideoque aequiangula triangula I HL.NFA. & ΚΗM. OEA. ac proinde similia. Cumque aequi angula sint triangula rectangula HIG.DPA.& ΗΚG. CBA. ( Nam praeter angulos rectos ad Κ. I. P. B. sumpti sunt anguli aequales HGI. ipsis i. r. DAP.&ΚGΚ. ipsi CAB.quare&reliqui anguli reliquis sui .. g. aequales erit vi I H. ad HG. ita PD. ad DA. & vi HG. adis. desin. ΗΚ. ita DA. id est AC. ad CB. igitur , ex aequalitate,erit ut
IH ad ΗΚ.ita DP.ad CB. sed ut DP.ad CB. ita est ex hyp thesi FN. ad EO. vi igitur I H. ad HΚ. ita FN. ad EO. Cum ergo sit ut HL.ad I H. ita AF.ad FN.& ut IH.ad HΚ. ita FN. ad EO. & vt ΚH. ad HM ita EO. ad EA. erit ex aequali ut HL.ad HM.ita AEad EA aequales autem sunt AF. EA. igiatur etiam aequales sunt HL.& HM. Cum igitur triangula GHL. GHM. habeant duo latera GH. HL. in eodem vero, triantulo inaequalia ( nam angulus HLG.ostensus est qqua- . lis ipsi FAN. & HGL. ipsi DAP. maior autem FAN. quam i, DAP. igitur in triangulo HLG.maius latus HG.quam latus HIL&quam HM. ipsi HL. aequale minorque sit angulus compraehelas GHL.quam GHM. ut paulo post ostendetur
x. .. .huiu . maior erit ratio HLG.ad HGL. quam HMG. ad HGM. is permutando maior ratio HLG. ad HMG. quam HGL. ad
HGL. DAP. ipsi HGM. CAB. ergo maior est ratio FAN. ad ERO . quam DAP. ad CAB. seu malor ratio arcus F id arcum EQMuam arcus DQ ad arcum C Quod erat propositum. Quod vero GHL.sit minor quam GH M. probatur, quia cum angulus IGH. sit maior angulo ΚGH. erit eius complementum GHI. minus complemento alterius GHΚ.& cadet perpendicularis HΚ.supra HI.eritque I ΗΚ. angulus pars ipsius LHI. item cum angulus HLI.positus sit maior
quam HMΚ. erit eius complementum II L. minuS quam
XI M. Quare cum LI Κ. sit minor quam LMI.&LHI. minor quam MFlΚ. multo minor erit LHΚ. pars ipsius L HI. quam MΗΚ. Cadet igitur HM.supra HL. ideoque angulus
126쪽
Si fuerint quatuor anguli proportionales fiu
guli minores recto, ac primus maior secundo, ac tertios, maior erit ratio secantis primi,
ad secantem secundi, quam secantis terti j , ad se
cantem quarti . Sint omnia,quae in a6. theoremate huius,crit FC. secans anguli CFA.& PF.secans anguli PFA. respectu sinus totius FH. item CD. secans anguli CDA. &MD. secans anguli MDA. posito sinu
toto DH. Dico maiorem esse rationem
CD. ad DM. quam CF. ad PF. Quoniam minor est DB.qua DC. eodemq;minor quam FA. id est quam FB. aut
FC. &aequales sunt FB. C. a centro ad circumferentiam, minor erit ratio DB. FB. quam DC. ad FC. & permutando minor DB. ad DC. quam FB. ad FC. Rursus cum in triangulo FHN. angulus FHN. sit remiserit FNH. acutus,& MNB. obtusus ideoque MB. maior quam BN. Quare cum minor sit ratio . s. i. primi quantitatis DB. ad secundam DC. quam tertiae FB. ad quartam FC. sitque prima DB. minor tertia FB. si ex prima , & tertia demantur ex illa maior MB. ex ista minor NB. 6. i. huius. minor erit ratio MD. residui primae quantitatis, ad secui dum DC. quam NF. residui tertiae quantitatis, ad quartam FC. & conuertendo, maior ratio DC.ad M D. quam FC.ad N . at vero FC. ad N F. maior est quam FC. ad FP. nam ' s. cum in triangulo reelangulo FHN. angulus FNH. sit acuistus, erit FNP. obtusus, ideoque FPN. acutuS,&FP. ma- is. r. ior quam FN. Igitur ratio DC. ad MD. maior est quam
127쪽
iis Curvi ac recti proportio promora. THEOREM A XXXI. PROPOS. XXXI. Si sint quatuor secan res proportionales , maiorque prima quam secunda, ac tertia ; mi-. x nor erit ratio primi anguli respondentis primae secanti ad secundum, quam terti j ad quartum.
vide fimita Sint quatuor secantes proportionales in quadrante Bre S - lituus. cuius centru A. videlicet AV. AT. AS. AR. sitque A V. maior quam AT. aut AS. quibus respondeant arcus
Dico minorem esse rationem anguli FA ad angulum EA quam anguli DA ad angulum CA Ad lineam quamcunque G H. fiat angulus GHI. aequalis angulo FAR& II M. aequalis angulo EA &ducatur GI M. perpendicularis ad HI. Hinc fiat angulus GHΚ. aequalis anguIoDA &ΚHL. aequalis angulo CA &ducatur GΚL- perpendicularis ad HΚ. erunt HG. HM. secantes angui rum FAB. EAB. &HG. HI . secantes angulorum DAB CAB.illae respectu sinus totius HI. istae respectu sinus totius I Κ. erit igitur ut GH. ad I M. ita A v. ad AT & ut GH. adHL ita AS. ad A R. cum igitur fit ut GH. ad HM ita AV ad AT. & ut A V. ad AT. ita ex hypothesi AS ad A R. vi AS. ad A R. ita GH. ad HL crit ut G H. ad HM. ita GH. adHL. aequales igitur sunt HM. HL. sed& maiores sunt an
128쪽
HΚ. erit, per Id. secundi huius, minor ratio anguli GHI: M. a. hinad angulum I HM. id est FAB. EAB. quam anguli GHΚ. ad j 'angulum XHL. id est quam Q. ad CAQ. Quod erat
THEOREMA XXXII. PROPOS. XXXII.
SI a pum to in quo semidiameter quadrantis
peripheriam secat duo arcus inaequales aseipiantur , ad quos, ex quibuslibet punctis eiu dem diametri produqae duce rectae ducantur, facientes duos sectores: sectores quos rectae ductae expunctis remotioribus ab extremitate diametri cum arcubus quadrantis essiciunt, minorem l libent inter se rationem, quam quos essiciunt ductae ex punctis propinquioribus, si maiores cum minoribus com
Sit Quadrans circuli FAΚ. cuius centrum F. semidiame- ter FA. secans peripheriam in A. puncto,a quo sumantur: in Quadrante duo arcus maior AC. minor AB. Hinc ina diametro A F. producta sumantur quotlibet puncta D.
M. extra quadrantem,& I. . E. intra quadrantem, ac dum antur tam ex centro, quam
ex singulis punctis, duae rectar ad puncta B. C. Dico stactorem DCA. ad sectorem DBA. minorem habere ra-
129쪽
iit Curvi ae recti proportio promota.
tionem, quam sectorem FICA. ad sectorem HBA. hunc minorem, quam sectorem FCA. ad sectorem FB A.
Denique hunc minorem quam quemlibet superiorem , Superiores autem, eo minorem, quo magis puncta IE a puncto A. remouentur. Ducantur sinus recti M. CX. Quoniam triangula DCF. DBF.eandem basim habent DF erunt . .. inter se ut altitudines. CX. BY. Eodem modo cum triangula HCF. HBF. habeant eandem basim EF. erunt ut ec
dein altitudines CX. BY. Quare erit ut triangulum DCF. ad triangulum DBF. ita triangulum I CF. ad triangulum HBF. maius autem est triangulum DCF triangulo DBF(vt ad fine huius ostendemus & triangulo HCF.& sector FCA. maior sectore FBA. Quare si ad primum triangulum. DCF. &ad tertium HCF. addatur eadem quantitas, nimirum sector FCA. componetur duo sectores DCA.HCA. si vero ad secundum triangulum DBF. & quartum HBF. addatur sector FBA. constabuntur sectores DBA. HBA. Brum' Igitur,per decimam propositionem primi huius, minor erit
ratio sectoris DCA. ad sectorem DBA.quam sectoris HCA. ad sectorem HBA.
Rursus,vr prius,ostendemus esse ut triangulum HCF. ad , .. triansulum I BF. super eadem basi H F. constituta, ita alia corol. i. titudines CX. BY. At vero sinus CX. ad sinum BY. mia h norem habet rationem, quam arcus CA ad arcum BA. id s s. g. est, sector FCA. ad Estorem FBA. Igitur minorem habet rationem triangulum I CF. ad triangulum HBF. quam sector FCA. adsectorem FB A. & permutando , ac componendo & iterum permutando, minor erit ratio sectorisHCA. ad sectorem HBA. quam sectoris FCA. ad se storem FBA. Preterea cadat punctum I inter F. & A. Eodem modo quo in superioribus partibus, ostendemus minorem esse ratationem trianguli FCI. ad triangulum FBI. quam sectoris FCA. ad sectorem FBA. cum igitur maior sit ratio totius
FCA. ad totum FBA. quam partis FCI. ad partem FBI. reliqui
130쪽
II preliqui sectoris I . ad reliquum IBA. maior erit ratio, quam totius FCA. ad totum FBA. Denique sumpto puncto E inter I. & A. cum ostensum sit saepe superius,minorem esse rationem trianguli ECL ad triangulum EBI. quam sectoris FCA. ad sectorein FBA. &in tertia parte huius demostratum sit, minorem esse rationem sectoris FCA. ad sectorem FBA. quam sectoris ICA. ad sectorem IBA. minor erit ratio trianguli ECI. ad triangulum EBI. quam sectoris ICA. ad sectorem IBA. Cum igitur maior sit ratio totius sectoris I . ad totum sectorem IBA. quam partis EO. ad partem EBI. erit reliqui sectoris ECA. ad reliquum EBA. maior ratio quam totius ICA. ad totum IBA. Quod erat demonstrandum Quod autem triangulum DCF. sit maius triangulo DBF. perspicuum est , Ducta enim ipsi AD. parallela LCM. producatur DB. dum concurrat in M. & ducatur FM. perspicuum est quod punctum M. cadet extra circulueritq; triangulumDBF pars trianguli DMF ideoque minus , aequale autem est triagulum DMF triangulo DCF. minus igitur est triangulum FBD. triangulo DCF.
SEEIarem hic varamas ,roprio nomine tangulum ex duobus rectis,s circalari conuit ut umqualis es figura DCA. uabus rectis DC. DA. S tertia qualibet circulari AC term nata,eo 'cd similitudine verum si morem referat,ab E elide lib. 3. desinitione nona, descriptum, qui angulum rectilineum, aut in centro ut inperipheria circulisubtendentis conti ita tum habet; qualis est hie figura LCB, cuius rei lectorem admonitum esse voluimus e his uiata ambiguitatem pariat.