장음표시 사용
131쪽
i 1 o Curvi ac recti proportio promota. THEOREM A XXXIII. PROPOS. XXXIII.
SEgmentorum in semicirculo, maioris ad mi
nus maior est ratio, quam arcus maioris ad
Sit circulus ABG cuius centrum E. diameter HD. ac in semicirculo HAD. sumantur duo segmenta FAB. GAC. i lud minus , hoc maius. Dico maiorem esse rationem segmenti GAC. ad segmentum FAB. quam arcus GAC. ad arcum FAB. Secent duae chordae BF. CG. diametrum AF. ad angulos retiam in punctis M. T. & ducatur ΚB. maior erit ratio sectoris seu figura: CΚA. ad sectorem BΚA. quam sectoris CEA. ad sectorem BEA. id est quam arcus CA. ad arcum B A. ( hoc enim in superiori propositione demonstr tum est. ideoqi minor est ratio arcusCA. ad BA. quam CXA. ad BΚA. minor autem est etiam ratio CΚA. ad BΚA. quam CXA. ad BMA. id est quam totius segmenti CAG. ad totum segmentum BA F. Igitur minor est ratio arcus CA. ad arcum BA. id est dupli CAG. ad duplum BA F. quam segmenti CAG. ad segmentum B AF. Eodem modo ducta semidiametro HED. ostendemus minorem esse rati nem arcus semicirculi DA H. ad arcum CAG. quam segmenti seu semicirculi DAH. ad segmentum CAG.
THEO REM A XXXIV. PROPOS. XXXIV. IN omni triangulo rectangulo inaequalium laterum lateris minoris ad basim minor est: ratio,. quam basis ad utrumque latus; & maioris lat , ris
132쪽
ris ad basim maior est ratio quam basis ad utrumq,
latus. Sit triangulum rectangulum BCD. cuius basis BD. latus minus m. maius CD. Dico minorem esse rationem CR ad BD. quam BD. ad utrumq; BC. CD. & maiorem esse rationem CD. ad BD. quam BD. ad utrumque CB. CD. Ex angulo rccto C. in basim demittatur perpendicularisCE. erit BE. semnentum minus segmento Eri sed&EC. minor est quam ED. est enim ut BC. I Cminor ad CD. maiorem ita CE. mi nor ad ED. maiorem addita ergo communi EB. maior erit tota DB. am C E. EB. simul. Igitur minor est ratio CB. ad BD. lateris scilicet mi noris ad basim,quam CB. ad BE.1C. simul, id est quam basis DB. ad CB. . DC. utrumq; latus simul. Rursus cum maior sit DC. quam CB. id est CE. quam Em addita communi ED. maiores erunt DE. EC. quam tota DB. Igitur maior est ratio CD ad BD. lateris scilicet maioris ad basim quam CD.ad DE EC. simul id est DB. basis ad DC. CB. utrumqi latus staetruit. Quod erit demonstrandum. i i i
THEOREM A XXXV. PROPOS. XXXV. .
gulum rectum continent maxim* sunt qui inter se aequales , inaectualium vero quae aequalibus viciniores, maiores tum quam quae r
In semicirculo ABC. cuius centrum D. ducta diametro AC. & semidiametro DB. ad eam perpendiculari: Ducatur AB. CB. item AE. EC. &AI. Itala semicireulo, quarum illae
133쪽
Curui ac recti proportio promota.
illae primis AB. CB. sint viciniores, ite remotiores. Cum in triangulis ADB. CDB. duo latera AD. DB. duobus CD. DB. aequalia sint, & anguli ad D. compraehensi recti, ideo- que aequales, aequales erunt bases AB. CB., Dico maiores esse AB. CB. simul, duabus AE. CE. simul & ipsas AE CE. ipsis A I. CI. simul esse maiores. Ducatur enim perpendicularis BF.bin rectam CE. & connectatur BE. EA. secetque recta CE.rectam AB.in G. Item ducatur E
que recta CI. rectam 31. r. EA. in X. Quoniam is
i. rectus, erit etiam FBE. semirectus: aequalia igitur sunt latera FE. FB. Cum igitur Mius CB. subtendens rectum F. sit O mon. maius latere CF. si aequalia addantur BF. FE. maior erit CB. BF. simul quam tota CF. FE. multo igitur maior erit CB. BG. quam CE. cum BG. ostensa sit maior quam BF Cum vero AG. subtendens angulum rectum AEG. sit maior quam EA. subtendente acutum EGA. si ad CB. BG. quae unimaiores qua CE. addatur AG. maior, Mail . addatur EA. minor esunt CB. BG. GA. id est duae rectae CB. BA. simul maiores'. duabus rectis CE. EA. Quod erat primo demonstr andum. Rursus eodem modo quo supra ostendetur
c de re perpendiculare Eri. inter C. P Κ. & quod angulus
134쪽
ALC. fit obtusus, ac proinde ETH. acutus, quare maior erit EΚ. quam EH. Rursus in triangulo rectangulo EHI.amgulus EI H. seu EIC. innixus arcui EC. (qui maior est qua drante) est maior semirecto, minor igitur est IEH. semir s,. icto maius igitur est latus EI . latere II . Nunc eadem proris sus ratione qua superius, ostendemus, cum CE. sit maior quam CH.subtendens scilicet angulum rectum ad H.& maior etiam ostensa sit EH. quam HI. maiores esse CE. EH. Qmul quam CH. HI. quare multo maiores erunt CE. EX. tamul ( cum EΚ. sit maior quae EI . quam CH. HI. si igitur 1 inaequalibus CE. EΚ. simul,& CH. HI. simul, addanturimequales, illis maior XA. subtendens angulum rectum , ii XI A. istis minor I A.subtendens angulum acutum in eodem triangulo ΚIA. erunt rectae CE. EΚ.ΚA. id est duae CE.E A. simul, tribus CH. HI. IA. simul id est duabus CI. IA. maiores . Quod quaerebamus demonstrare. Atque ita deinceps ostendetur quo linea ex puncto C. ad circumferentiam B A. ducta erit remotior a linea CB. esse si mul cum reliqua ad A. ducta, minorem viciniori, ut CI. IA. minores sunt quam CE. EA.
IN semicirculo ex punctis extremis diametri
nem datam. Sit datus semicirculus AEC. cuius diameter A C. eiusque extrema A. C. & proportio data rectae LM. ad MN. oportet duas chordas ex AC. ita inflectere ut habeant prinportionem LM. ad MN. Componatur MN. cum recta ML. . a in
135쪽
st Curui ac recti proportio promota.
in angulum retaim & ducatur LN. & fiat ut LN. ad NM. ita CA.ud E. & aptetur AE. adcirculum AB. connestiturqueCE. Dico esse ut LM. ad MN. ita C . ad EA, Quoniam aequalis est angulus AEC. angulo NML.rcctus,recto, , in triangulis AEC. NML. & circa angulos EAC. MNI . latera proportionalia, ex hypothesi,est enim vi LN. ad NM. ita CA. ad AE.&quilibet reliquorum angulorum EO. MLN. minor recto aequales erunt anguli CAE.,2 LNM. sed&a quales sunt recti ad M.& E. igitur aequales . c. sunt reliqui ad C. & L. erit igitur ut LMad MN. ita. CEad EA. Quod demonstrandum erat
THEOREMA XXXVI. PROPOS. XXXVII
SI sint duo quadrata alterius quadrati dupla, si quidem sint inter se aequalia , habebunt
eorum latera ad istius latus proportionem, duplam, si inaequalia habebunt eorum latera adii ius latus minorem proportionem dupla, sed maiorem quam diameter quadrati ad costam .
Sit quadratum FG.ad quod quadrata aequalia AB. BC- simul lumpta habeant proportionem duplam. Inflectant AB. BC. ad angulum rectum ABC. & ducta AC.diuidatur bifariam in D. &ex D. di stantia DA. vel DC. describ Schol sis. tur circulus AEBC. qui transibit per B. Dico quadratoru, AB. .latera AB. BC.simul sumpta esse dupla lateris FG. Quoniam aequalia sunt M. CB.& angulus ABC. rectus'
136쪽
i his, constat AB. Bet esse latera quadrati ,&AC. eius diametrum . Rursus quoniam aequalia sunt quadrata AB. CB. erunt AB. CB. quadrata simul dupla ipsius AB. sed ponuntur etiam dupla ipsius FG.aequalia igitur sunt quadrata FG.
quadrata AB.CB.aeoualia igitur uni latera AB. CB. igitur ALBC. sunt ipsius AB. id est FG. illi aequalis duplicia. Rursus sint duo quadrata inaequalia AE. EC. illud minus,hoc maius quae ad idem quadratum FG.habeant ratio nem duplam Inflectatur AE E C. in circulo ita ut habeant proportionem quam latera quadratorum AE. EC. niam aequale est quadratum Aequadratis AB. BC. & qu dratis AE. EC. erunt quadrata AB. BC. & AE. EC. simul aequalia illa vero sunt dupla quadrati FG. Igitur & ista sunt dupla quadrati FG. datis aequalia, quorum latera AE. EC. cum maiora sint quam AC. diameter quadrati, & minora quam AB. BC. Suae ad AB. id est FG.habent rationem duplam ut penultima huius ostensum est ; ideo laterum AE. EC. ad latus FG. maior erit ratio, quam diametri quadrati
THEOREMA XXXVII. PROPOS. XXXVIII.
Si duo quadrata inaequalia simul dupla sint alia
terius quadrati, & alia duo inaequalia simul etiam dupla eiusdem quadrati, habeat autem ex duobus prioribus quadratis aequalibus latus maioris,ad latus minoris maiorem rationem,quam ex duobus posterioribus latus maioris ad latus minoris; habebunt latera priorum simul ad latus alteriuscuius quadrata sunt dupla minorem rationem,qua latera posteriorum simul ad idem quadratum. Sint
137쪽
t 1 g Curat ac recti proportio promota.
Sint duo quadrata inaequalia A. malus R. minus quaesiis mulsint dupla quadrati L. Item alia duo C. Maius D.minus simul dupla eiusdem quadrati L. Habeat aute A.quadratum ad B. Quadratum maiorem rationem quam C. quadratum ad quadratum D. Dico latera A. B. simul ad latus L. mianorem habere rationem,quam latera CD.simul ad idem lautus L. Describatur semicirculus GΚE.centro I.ex quo educatur ad angulos rectos semidiameter IΚ. & fiat ut A.ad B.ita EG.ad GH.& ut C. ad D. ita EG. ad GF. & connectatur EH. EF. Erunt tam quadrata GH.HE. simul,quam GF.FE.simul dupla quadrati GΚ.(vt ad 3 .huius ostensum est . Quare ut quadrata A.B. ad quadratum L. ita quadrata GH. HE. ad quadratum GΚ. & ut quadrata CD. ad idequadratum L. ita quadrata GF. FE. ad quadratum GΚ. ut ergo latera A. B. ad latus L. ita latera GH. HE. ad latus GΚ. atque ut latera CD. ad latus L. ita latera GF. FE. ad latera GΚ. Cum vero ponatur vi A. ad B. ita EG. ad GR & ut C. ad D. ita EG. ad CF. maior autem sit ratio A. ad B. quam C. ad D. maior erit ratio EG. ad GH. quam EG. ad GF. minor igitur est GH. quam GF ergo minores sunt GH. HE.simul quam GF. FE. simul, maior igitur ratio est GF. FE.simul ad GΚ. quam GH. H E. simul ad G Κ. quare C. & D. simul maiorem rationem habe
138쪽
LIBER II. i r a THEOREMA XXXIX. PROPOS. XXXIX. Si prima quantitas ad secundam; item tertia
ad quartam habeat rationem maiorem data, habebunt compositae antecedentes, ad consequentes simul, rationem maiorem data .
Sit ratio data AB. ad BC. sit autem maior ratio DE. ad EF. quam M. ad BC. & maior ratio GH.ad HI quam AB. ad BC. fiat ut AB. ad BC. ita DE. ad EΚ. quae maior erit io, ipsa EF. Item fiat ut AB.ad BC. ita GH. ad HL. quae etiam maior erit quam HI. Dico malorem esse ratio nem , ipsorum DE. GH. simul, ad ipsas EF. HI. simul quam AB. ad BC. Quoniam est ut DE. ad EΚ. ita AB. ad BC. &vi AB. ad BC. ita GH.ad HL. erit exaequalitate, ut DE. ad ET. ita GH. ad HL. Igitur ri. s. DE. GH. simul ad EΚ HL. simul sunt ut DE. ad EΚ. Abia tis igitur ex consequentibus duabus quantitatibus, partibus FΚ. IL. maior erit ratio ipsarum DE GH. simul ad mia v. s, norcs EF. HI. simul quam earumdem DE. GH. simul ad maiores EΚ. HL. simul: sed ut DE. GH. ad EΚ. HL. ita AB. ad BC. maior igitur est ratio ipsarum DE. GH. simul schais. s. ad EF. HI. simul quam datae AB. ad datam BC.
139쪽
ix t Curui ac recti proportio promota COROLLARIUM II. .
NEq- bpc tantum in quatuor, fidis quoteumae magni
iudiavibus demonstrarer , semper enim Oendetur compositas antecedentes, ad compositas conse entes habere rati nem maiorem, aut minorem data .
Atque in duobus hisce libris uniuersam proportionum in qualitatem, qua ad rem nostram facere videbatur , complexi fumus, cuius quidem insignem usum, non in hoc opere solo, sed in pluribui abs qua luci desinamus, utinam mihi omnis dere, tibi intueri, mi lector, rarae rasmani fata. Sequitur tertius liber, in quo proportiones ferme omnes ad aqualitatem reducuntur . ae materiam continent earum pr fertim dem-Erationum eis ZAxvixat vecti,no is inen a, dicantur, ut superiores libri ad eas praesertim qua ad assam dum abducunt,praecipue conferunt. Nunc I perlegeris,fum re erit ex quo utilitatem captas non vulgarem.
140쪽
SEU ANTAGONI STICO NIn C. Mallium Eudox Um.
NO G O NI STICO Rhie instruim Gmi Lector, sed innoxitim , Ibium Bringimus, fid
Incruentum; aemulum affredimur, non hostem, cuius nomen anagrammatismo inuertimuS, c gnomen graco pallio induimus, ne, quod minia me volumus , famam eius elevemus, modestia
saltem superiores faturi , se non ea D. Evomuit ille ante duog annos libellum in quemdam moribus di doctrina praeflanti m m T ripateticum , meque longe inferioris tribus Arathi malictim a sed ita iam pluribus iisq; longe turpissimis , me paucioribus minusque propudioses contumeliis lacessit, ac non sine quadam, in re iniqh sma, a qMitatis specie excellentiori virtuti sevius bellum indicit, minori mminus acriter insectatur . 'Nynlominus illius ncmen . in cuius ma- R. xime