장음표시 사용
111쪽
ico Curtii ac recti proportio promota.
ad duos rectos id est arcus DFq. CH. maiorem habent rationem qua angulus sub minori basi DB.&maiori latere BA. ad angulum CBA. sub maiori basi BC.& maiori latcre BA. contentum . hoc est quam arcus FG. ad arcum EG. & diuudendo maior ratio DC. ad CH. quam FE. ad EG. Denique in ijsdem triangulis, maior est ratio anstuli c praehensi CAB. ad compraehensum DAB. id est artus CI. ad arcum DI. quam complementi anguli CBA. ad complementum anguli DBA. ad duos rectos, id est quam angulus EBL. ad angulum FBL. id est quam arcus EI .ad arcum FL. vi I 3. huius demonstratum est, & diuidendo, maior ratio CD. ad DI. quam EF. ad FL. Quod fuit ultimo loco probandum.
ET qua tribas hisce propastionibus demenstrata sunt,
manifectum eΗ.1 Si fret duo circuli eccentrici quorum maior minorem contineat, semper contingere , ut duae rectae ex minoris centro distae , ex utroque circulo arcus abscindant, quorum emterior inter utramuis rectorem , et semidiametram maioris Irculi , in qua ect centrum circuli minoris , comprahensus, maiorem rationem habeat, quam interior ad suum , ad complementum vero minorem. Nam in primis Auris I s. 2 o. 2I-hutus demonBratum ect perpetuo , maiorem esse rationem FE. ad EG. quam DC. ad CG. minorem vero EF. ad O. quam CD. ad DF.
et Iisdem possis duae rectae ex maioris circuli centro si Ara , arcus ex utroque circulo abscindant, semper exterior,ad arcum sui cirradi inrauis dactarum rectarum, S semidiametro maioris ranuli, in qua non ect ccntrum mInoris , compro hensum, minorem habet rationem, quam Interior ad arc - .eodem modo compraehensum. Nam in secundis Auris I s. a Q. I. huius probatum ect semper minorem esse ratiuenem EF.
112쪽
3 Adhuc i dem possitis,si duae rectae ex maioris centro ductae arcus ex utroqae circulo abscindant, qui comparentur cum arcubus inter utramuis rectarum , O semidiametrum maioris circuli in qua est centr m minoris, contentis: is quidem centrum maioris si intra circulum minorem, maior es ratio a
cus exterioris amissi ad sum arcum , quam interioris ad se tim s idem centrum si intra periphemam minoris , eaiam es ratio arcus exterioris amisi ad suum arcum, quae interioris ad suum: denique s idem centrum fuerit extra ambit mminoris, arcas exterior abscissus adsitim arcam minorem halet rationem, quam interior adsum. Probatum enim es in scanda sigma I s. maiorem esse rationem FE. ad EG. quam BC. ad Ces. In secunda a o. eandem esse rationem FE. ad m. 'ae DC. ad CH. Denique in secunda a I. minorem esse rationem O. ad EG. quam DC. ad m.
LEMMA I. SI circulus circulum contineat, parallelae r
ctae lineae utrumque circulum secantes, maiores in interiori circulo proportione arcuScompraehendunt quam in exteriori. Contineat circulus NS. circulum LM. & parallela: RT.
. secenr utrumque circulum , exteriorem in T. S. interiorem in LM. Dico arcum LM. interiorem
dictis parallelis comprahensum, o
Proportionem maiorem esse arcu TS.compraehenso ijsdem parallelis in circulo exteriori. Connectatur QT. & OL. quae producatur dum circulum exteriorem secet in L. manifestum est punctum N. cadere supra punctumT.ideoque lineas ON...se se inuicem secare inter puncta N. O.
113쪽
Curui ac recti proportio promota.
si h N. o. Cum igitur angulus externus LOM. maior sit interacti no TQS. vi autem angulus LOM. ad angulum TQS. ita proportionet arcus LM. ad arcum TS. maior igitur propo tione est arcus LM. arcu TS. Quod fuit ostendendum.
LEMMA II. SI circulus circulum contineat, duae rectae expuncto utriusvis peripheriae,quod utrique pe
ripheris commune non sit,circulum utrumqs secantes, maiores ex interiore cireulo proportione
arcus auferunt,quam ex exteriori. Contineat circulus FD.circulum GC. ac primum ex puncto A. exterioris circuli duae rectae ducantur AF. AD. secantes exteriorem circulum in punctis F. D. interiorem in pumctis GH.Dico arcum GH. lineis AF. AD. compraehensum in interiori circulo, proportione maiorem esse aicu FD. ijsdem rectis in exteriori
circulo compraehensum. Connecta-26. I. tur HB. erit angulus CBH. maior
ita proportione arcus GH. ad arcu FD. igi tur arcus GH. maior est proportione quam arcus FD. Rursus expuncto B. interiori circuli ducantur duae rectae BF. BD. secantes internum circulum in punctis G. C. exte num in punctis F. D. Dico arcum GC. proportione maioreis. r. esse arcu FD. Ducatur AD. erit angulus GBC.maior angu
114쪽
PArallelarum rectarum, quae ex duobus pumctis diametri in circuli peripheriam ducuntur, quae perpendiculares sunt, maximum arcum comprehendunt,& reIiquarum, quae petapendicularibus sunt viciniores maiorem quam quae remotiores: Rectarum vero quae ex eodem, puncto diametri utrinque circulum secant, pe pendiculares minimum arcum subtendunt, reliquae autem eo maiorem, quo magis a perpendicularibus distant. Sit circulus A DI cuiuscentrum S. diameter AS. in qua sumantur duo puncta B.C.exquibus ducantur duae paralle- A
115쪽
xo Curui ac recti proportio promota.pendiculares ad AS. & duae BF. BG. viciniores dictis pera pendicularibus, quam B H. CI. Dico arcuum qui dictis parallelis compWhenduntur maximum esse DE. hinc FG. maiorem quam HI.arcuum vero quos rectar CE. CG. CI. pr deuntes ex eodem puncto C. & productae in reliquam circumferentiam in puncta V.X. Z. subtendunt minimum ess VAE.maximum ZCI.& XCG.maiorem quam VAE. Item productis DB. FB. HB. in puncta T.Y. e minimum esse arcum TAD. maiorem YAF. maximumΚAH. Ducantur C M.
R. Item ex centro S. ad easdem, perpendicularcs S IO.1 s. i. secantes etiam rectas CG. CI. in punctis N. P. erunt etiam 3' anguli SNC. SPC.recti: minor igitur SN. quam SP.&S P. quam SC. Quare cum minor sit distantia chordae I CZ. a centro S. quam chordae GCX. & chordae GCX. minor qua y, chordae ECV. maior erit ICZ. quam GCX. & GCX. quam ' ECU. Eodem modo cum minor sit SO. quam S kS quam SB. quae distantis sunt chordarum H Κ.FY.DT. a cen- schol. 8 s. tro S. maior erit HΚ. quam FY.& FY. quam DT. Igitur maior est arcus ZAI. arcu XAG. & XAG. maior ipso VCE. Irem maior est arcus XA I. ipso YBF. & YBF. arcu TBD. Quod secundo loco propositum erat. i r. Rursus quia in triangulo rectangulo CMB.maior est CB. 1 v. i. quam C M.&CM.totum,quam pars CR.&CR. quam CL.i, suntquc CB.& CM .id cst PQApsi CU. aequalis; item CL. hoc est No. ipsi CO. aequalis,disterentiae sinuum versorum, quarum maxime vicina centro est No. remotior P emo-1s. i. huius. tissima CB. ut paulo ante ostensum est, crit, ex as. primi huius, minor ratio CB. ad PQ quam arcus Io E. ad arcum '' i' FG. Quare erit ut CB. ad minorem quam P d est quam
CB. quam CM. inulto igitur maior erit CB. quam recta minor ipsa C M. ideoque maior arcus DE. quam arcus FG.Atque eodem modo cuin maior sit M C. quam CL. id c si P quam No. ostendemus arcum FG. esse maiorem arcu HI.
Quod primo loco propositum fuerat. SCHO-
116쪽
I melligenda es fecunda pars lemmatis de arcubus minor.-bas semicirculo,nams de maioribus firmast mans mere a maiori eloria minarem arcam auferri, quam a remori. ex Scholio 28. 3.
THEOREM A XXII. PROPOS. XXII. ARVssum , quos duae parallelae ex duobus punctis diametri in circuli peripheriam
ductae subtendunt, maximam habent inter se rationem quos perpendiculares , minimam quos remotissimae a parallelis subtendunt, si maiores cum minoribus comparentur, singuliques
micirculo minores existant. IN figura superioris Lemmatis. Dico maiorem esse rationem arcus VAE. ad arcum TAD. quam arcus XAG. ado arcum
117쪽
3 oo Curvi ac recti proportio promota.
arcum Y AF. & arcus XAG. ad arcum YAF. maiorem, qua arcus ZAI. ad arcum ΚAH. Nam ut superiori Lemmat ostensum est, minor est arcus TAD. arcu YAF. maior.TV. quam XY. ideoque eius duplum T DE. simul maius s. s. quam XY. FG. simul. Igitur maior est ratio TV. DE. s. mul ad TAD. quam XY. FG. simul ad YAF. & componendo , maiorratio VAE. arcus, ad arcum TAD. quam XAG. ad YAF. Atque eodem prorsus modo ostendetur maiorem esse rationem XAG. ad YAF. quam ZAI. ad NAH. Quod
THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIII.
SI duo circuli sese interius contingant, atque ex duobus punctis diametri communis duae
parallelae ducantur utrumque circulum secantes: duorum arcuum inter duas extremitates diametri, & parallelas comprehen serum, maior erit inter se ratio in interiori circulo , quam in exteriori , si maiores cum minoribus comparentur. Contingat se due circuli ABL. ADI. ille externus,hic in-U ternus, in punisto A. ex quo ducatur communis diameter A L. cuius extremitas in minoti circulo sit I. in maiori L. punctum, & ex duobus punctis C. F. in diametro sumptis ducantur dupparallelie B. FGE. secantes interiorem circulum in punctis D. G. exteriorem in B. E.& auferentes ex utroque circulo duos a cus versus extremitates I.& L. videlicet aracus DI. GI. in interno circulo, & arcus B L. EL. in externo. Dico maiorem esse rationem arcus DI. maioris ad minorem GI. quam arcus B L. maioris ad minorem EL. Ducantur rectae AG. A D. & pro
118쪽
io ducantur, dum externum circulum secent in punctis M. N. manifestum est punctum M. cadere sub punctum E. cunia puncta G. E. sint in eadem recta re. & cadat punctum M.
sub punctum G. & punctum N. sub punctum B. maior igitur est arcus NA. arcu BA. &arcus MA. arcu Em arcubus autem MA. NA. proportione aequales sunt arcus GA. DA. singuli singulis, ut constat ex Scholio a 2.3. Igitur arcus Met, GA. proportione maior est quam arcus EA. & DA . quaniani, Ah, BA. Cum autem aequales sint proportione semicirculi A L. Immate Al. ablatis iniqualibus AE. AG. remanent inaequales EL. - , .e maior GI. minor. minor igitur est ratio IG.1d GD. qua LE. 3. s. ad GD. sed arcus LE. ad arcu GD. etia minorem habet rationem,quam ad arcum EB. qui superiori Lemmate probatus est minor arcu GD. Igitur minor est ratio IG. ad GD. quam LE. ad EB. & conuertendo, ac componendo, maior est ratio arcus DI. ad arcum GI. quam arcus BL. ad arcum EL. Quod fuerat demonstrandum.
SI sint duo Quadrantes concentrici, ac lateti
communi duq parallelqducantur: arcus com- praehensus aut latere, & una parallelarum; aut utraque parallela s ad reliquum Quadrantis aracum magis a latere distantem, maiorem habet rationem in circulo interiori, quam in exteriori.
Sint duo Quadrantes ex eodem centro A. descripti IFB. cxternus,LNO.internus, quorum commune latus AB. secans externum in B. internum in O.cui parallelae sint DC. FE. secantes reliquum latus in C.E. internu circulum in M N. externum in D.F. sintque reliqui adrantis arcus in gis a latere AB.distantes, interior NL.exterior H.Dico ma-
119쪽
Og Curui ac recti proportio promota.
iorem esse rationem Ore ad NL. quam BF.ad FI. Item ma- .iorcm rationem MN. ad NU . quam DF. ad FI. Ducatur L. AN. qua producta secet e si ternum circulum in G. erunt icarcus NL. GI. proportion qaequales, maior autem est FI. I
quam G I. Igitur arcus FI i, proportione maior est, quam NL.sed&ON. maior est pro- i .i . portione quam BF. & MN. pmportione maior, quam Quare cum maior sit proportione ON.quam BF.& NL.mianor etiam proportione quam FI. maior erit ratio ON. ad NL. quam BF. ad FI. Item cum maior sit proportione M N. quam DF. & NL. minor proportione quam FI. eodem mmdo maior erit ratio MN. ad NL. quam DF. ad 'FIL Quod fuit demonstrandum.
Si duo circuli sese interius contingant; ducet
rectae ex puncto utriusvis peripheriari in quo
non sit contactus, circulum utrumque secantes, arcus compraehendunt, quorum inrerior ad arcum inter compraehensum, & extremitatem comunis diametri puncto contactus oppositam maiorem habet rationem quam exterior . Duo circuli ADI. AHL. contingant sese interius in puncto A. sitque interior AHL. exterior ADI. ac primum expuncto B. in interiori circulo, ducantur duae rectae BC. BD. secantes interiorem circulum in putastis G.H exteriorem in punctis C. D. sitque communis diameter ALI. secans in*ec riorem
120쪽
riorem circulum in L. exteriorem in I. crit arcus HG. compraehensus inter rectas BD. BC. in interiori circulo, DC. in exteriori ; & arcus GL. contemtus inter arcum H G. & punctum, seu extremitatem diametri L. puncto contactus oppositam: arcus vero CI. con-tcntus inter DC. & similem extremitatem in circulo exteriori. Dico mai
rem esse rationem HG. ad GL. quam DC. ad CI. Ducatur per punctum G. recta AG. quae producta secet exteriorem circulum in puncto F. Erunt arcus GL. FI. proportione aequales, maior autem est arcus CI. arcu FI. Igitur proportione maior est arcus CI. quam arcus GL. Sed & proportione maior est ara Sch: a. cus HG. arcu DC. Igitur cum maior sit proportione HG. vii ita quam DC. mior erit ratio HG. ad GL. quam DC. ad GL. ad 3. & cum maior sit proportioneCI. quam GL. maior erittio DC.ad GL.quam DC ad CI.Igitur maior est ratio HG. i. huius ad GL. quam DC. ad CI. s. Idem eodem modo demonstrabitur si punctuin B. sumatur in exteriori circulo. Quare si duo circuli sese interius contingant &c. Qiaod erat demonstrandum.
Si fuerint quatuor anguli proportionales sin
guli minores recto, ac primus maior secundo, ac tertios maior erit ratio tangentis primi, ad tangentem secundi, quam tangentis tertij, ad tangentem quarti . Sint duo anguli quicumque minores recto CDA. DBA. item duo alij quicumque CFA. o m. sitque I DC. maior