Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

81쪽

ro Curvi ae recti proportio promota.

E X trianguli ABC. angulo ABC. duobus inaequalibus lateribus AB.maiori BC.minori contento,in basim AC. cadat recta BE. quae angulum ABC. bifariam secet, & basim AC. in E. Cum sit ut AB.latus maius ad BC. minus ita AE. ad EC. erit AE. maius segmentum, EC. minus,&angulus C.maior, A. minor. Dico minorem esse rationem AE. ad EC. quam anguli C. ad angulum A. Vt enim AE. qu R- ad EC.ita AB. ad BC. Sed AB. ad BC. minorem habet rationem quam angulus C. ad angulum A. Igitur AE. ad EC. minorem habet rationem quam angulus C. ad angulum A. Quod erat probandum.

COROLLARIVM I.

HIne confrais ducatur ad basim q. perpendicularisAD. panctum E. cadere in maius segmentum M. 3.1. huius. nam is caderet in punctum D. aut inter D. est C. maior esset proportio AE. ad EC. quam anguli C. ad angulum A. quod es contra paulo ante demonBrata.

Colligitur etiam basim AC. in puncto inter E. D. Quae

posse , ita ut eadem si ratio anguli C. ad angulum A. quae figmenti maioris ad minus. Non enim in D. aut piancto intra D.est C.nam ibi semper minor est ratio anguli maioris ad angulum minorem, quam figmenti maioris, ad minus,neg in E. aut pancto inter A. O E. nam illic maior es rario anguli maioris, ad minorem . quam figmenti maioris , ad

82쪽

LIBER II.

Hoc etiam Ocitur in triangulo , recta ex angulo in

bassim protractam extra triangulum ducta, raciat cvim viciniori latere angulum , dura angulo aequalem , maiorem esse rationem maioris angulis adiacentis , ad minorem etiam h ps, ad inter tam inter basim rectam ex angulo ductam. Si enim si triangulum AEB. in cuius basem AE. protractam , ducatur BC. faciens angulum EEC. angulo EBA. arualem. minor erit ratio AE. ad EC. quam anguli C. ad angulum A. sed anguli C. ad angulum A. minor e B ra- ttio quam anguli AEB. ad eundem angulum A. minor enim Issi I. O C. internus externo AEB. Igitur minor est ratio M. ad EC. quam anguli AEB. ad angulum A.

THEOREM A VI. PROPOS. VI.SI ex trianguli Isoscelis angulo, recta in basim

demissa, eam in partes inaequales diuidat ;minor erit ratio maioris segmenti ad minus, quam anguli maiori segmento oppositi, ad oppo.

situm minori. EX trianguli AGH. ualium angulorum ad G.& H. angulo A. ducatur in basim GH. recta AF. secans eam inopartes inaequales HF. maiorem FG. minorem. Dico min rem esse rationem HF. ad FG. quam anguli HAF.ad angulum FAG. Ducatur expuncto A. in GH. perpendicularis AB. & distantia AB. centro A. describatur,

83쪽

TECurtii ac recti proportio promota.ΚD. chorde, sumatur aequalis ΚL. diuidaturque angulus L ΚD. bifariam recta AΚF.& angulus CΚD. bifariam recta Schol. r.;. FN. cum anguluS DXC. maior iit angulo DΚL. erit,& eius medietas DΚN. maior medietate DΚE. linea igitur TN. cadet inter E. &C. in N. erit igitur CN. minor quam CE. Quare maior erit proportio DN.ad NC. quam DE.ad EC. ' Sed vi DN. ad NC. ita DΚ. ad ΚC. maior igitur ratio est

Corol. i. 18. DΚ. ad A C. quam DE. ad EΚ. est autem etiam maior ratio I .inuit . arcus DΚ. ad arcum ΚC. quam chorde DΚ. ad chordamΚC. Igitur multo maior ratio erit arcus DA .ad arcum ΚC.

Sehol. idiis. quam DE.ad EC. id est quam H F.ad FG. ( Nam recta AB. s. s. arcum CD. bifariam secans secat CD. bifariam, quare ad angulos rcctos in I. sed& recti sunt positi anguli ad B. . parallelae mitur sunt CD. G H. igitur ut DE. ad E ita H F. ad FG. Quare si ex trianguli Isoscetis amgulo, M.

THEOREM A VII. PROPOS. VII.

SI ex angulo trianguli in aequalibus lateribus

contento in oppositam basim demissa perpendicularis intra triangulum cadat, & alia in maius segmentum ex eodem angulo ducatur: recta inter ductam, & angulum minorem contenta, ad reliquam partem balis, maiorem habet rationem , quam angulus oppositus, ad reliquum angulum.

SIT triangulum AIqG. cuius latus AH. minus AG. maturibasis HG- inquam ca- rum Pbasim diuidet in duo segme

ta maius BG. minus BH. & in maius ex A. ducatur recth. AF. Dico maiorem esse rati

84쪽

nem GF. ad FH. quam anguli GA F. ad angulum FAH. Quoniam minor est HB. tangens anguli HAB. quam BG. tangens anguli BAG.minor erit ratio HB ad BG. quam an- si pili HAB. ad angulum BAG. & componendo, minor ratio G.ad GB.quam HAG.ad BAG. sed BG. ad GF. minor est ratio quam BAG. ad FAG. (cum enim maior sit ratio tan- et r. hiaue. gentis maioris GB. ad minorem BF. quam anguli BAG. ad angulum BAF. erit per conuersionem rationis minor ratio BG.ad GF.quam BAG. ad FAG. Igitur ex aequali minor est ratio HF. ad FG. quam HAF. ad FAG. & conuertendo maior ratio GF. ad FH. quam anguli GA F. ad angulum FAH. Quod erat &c.

THEOREM A VIII. PROPOS. VIII.

IN omni triangulo amblygonio, si ex angulo

acuto in latus protractum , peipendicularis ducatur, & ex eodem angulo oppositum latus recta secetur ; segmentum vicinius perpendiculari, ad remotius, minorem habet rationem, quam an

gulus oppositus, ad oppositum.

SIT triangulum ABC. amblygonium ad B. in cuius lautus protractum CB. ex angulo acuto A. perpendicularis ducatur A D. & ducatur AE. si cans BC. utcumque. Dico minorem esse rationem segmenti BE. vicinioris ipsi AD. ad EC. rcmotius quam anguli BAE.ad angulum E AC. iunt enim BE. EC. differentiae tangentium CD. ED. BD. estque EC.remotior a puncto contactus D. quam BE. Igitur minor est ratio BE.ad EC. quam anguli BAE. ad angulum 'r' 'h rum' EAC. Quod erat probandum.

85쪽

T Curui ac recti proportio promota.

COROLLARIVM. . , 'Eodem modo ostenditur si ex trianguli rectanguli angulo

acuto , recta in ovo tum latus ducaturi minorem ess arationem figmenti vicinioris perpendiculari, ad remotiusquam anguli oppositi viciniori segmento, ad oppositum remotiori . In triangulo enim rectangato AD E. DucIa utcumque AB.minor es ratio DB. ad BE. quam anguli DAB. ad angulum BAE.

A efiimus in propositione septima huius hanc conditionem , ut ducIa AF. cadat in maius figmentum BG. quia si caderet in minus ΗΛ. posset contingere ut proportio HF.ad FG.modo esset minor modo maior,quam anguli oppositi ad ovom suum. Ducatur enim in minus segmentum HS. recta AF. secans an um VB. bifariam in L. O recta uF. accipiatur aequalis FI. IM. .s arcus BN. NO mi aequales ires T L. LB. Erit UF. maior qtiam FB. maior enim es ratio HF. ad FB. quam CL.ad LA.aequalis a tem est RL. s LB. igitur maior est HF. quam FB. O CP. quam CB.Cum igitur tangentium di irentie

respondentes arctibus ML. LB. BN.NO.componentes rectam IIC- asint aquales ipsΗF. videlicet ΗF.PC. duae minores FB. BP. componentes vero m. snt omnes aequales ipsi MF. erit toti HG.maior toti VC. Uiturpunctam O. cadet inter S.s R.spanctum C. inter G. c, Η. ducator secans circulum in S. Cum sit vi OR. adra. ita GH. adHF. virobique enim ratio eB quadrupla,erit maior rotio ST. ad UL. quam m. ad UF. Ita inter puncta M. F. accipiatur punctam T. . ad quod ex centro ducatur AT. secans cir-

86쪽

e in R. Suoniam m. ad HS. minorem habet rationem quam M. ad UL. O ΗF. - ΗT. minorem q am LV. ad RR. erit ex aeqviali minor ratio m. - ΗT. quam SV. ad UR. Ramas eum sit minor ratio SA. ad BR. quam GB. ad M. F componendo minor ratio SR. ad UB. quam m. ad HB. erit eadem ad minorem , sit ut Gre. ad HB. Da m. ad U EL H ducatur A U. moniam maior ect ratio GΗ. - Η . quam m. ad HB. vi autem GH. ad HB. itam. ad Re maior erit ratio m. ad EU. quam SR. ad OBendimus igitur maiorem posse esse rationem SR. ad XL. quam Ges. ad O. minorem autem Sae, ad Nequam Ges. ad HU. ideo conuertendo , or diuidendo , maiorem mse rationem HF. ad FG. quam XL. ad LG. minorem a

bamus o

THEO REMA IX. PROPOS. IX.

SI duo triangula duo latera duobus lateribus

aequalia habuerim, utrumq; viriq;, in eodem vero triangulo inaequalia,&angulum dictis lateribus contentum angulo inaequalem: maior almgulus compraehensus, ad utrumlibet reliquorum maiorem habet rationem , quam minor comprehensus,ad reliquos,si maiores unique trianguli cum maioribus, & minores cum minoribus compa

rentur. I

Sint duo triangula LAF. LAE. quae duo latera LA.AF. duobus lateribus. LA. AE. aequalia habeant, sit vero. LA maius tam latere. AF. quam AE. & angulus LAF. aequali. - Κ a bus

87쪽

bus lateribus comprehensus, maior angulo LAE. aequalibus item comprehenso. Dico maiorem esse rationem anguli FAL. ad angulum FLA. quam EAL. ad ELA. Item maiorem esse rationem anguli FAL. ad AFL. quam EAL. ad AEL. Componantur duo latera maiora in unam lineam rectam AL. & per reliqua duo AE. AF. aequalia, centro A. describatur circulus CEF. secans AL. in C. ductaq; recta LI. tangat circulum in I. ac C. & I. Item centro L. distantia LE. describatur circulus HEG. secans AL.in H. & LF. in G. & per puncta FE.ducatur FB. secans AL. in B. Secabit autem, cum angulus. LAF. recto minor sit, nam cum rectus sit LIA. erit LAI. ac multo magis eius pars LAF. acutus, & in triangulo Isoscete AFE. angulus ad basim AFE. acutus , quare angulis AFB. FAB.existentibus minoribus duobus rectis,concurrent AB. FB.

ad partes B. maior erit ratio laetaris AFE. ad tri gulum AEB. quam trianguli AFE. ad idem triangulum AEB. sed sector AFE. ad sectorem AEC. adhuc maiorem habet rationem, quam ad triangulum AEB. igitur sector AFE. ad sectorem AEC. id est arcus FE. ad arcum EC. in

iorem habet rationem, quam triangulum AFE. ad triam gulum AEB. id est, quam FE. ad EB. & conuertendo, mianor est ratio arcus CE. ad arcum CF. quam BE. ad EF. Eo dem prorsus modo ostendemus, maiorem esse rationem se

88쪽

EG. quam trianguli BLE. ad triangulum ELF. id emquam

BE. ad EF. quare minor erit ratio BE ad EF. quam arcus HE. ad arcum EG. cimi ergo minor sit proportio CE. ad EF. quam rectae BE. ad rectam EF. & BE. ad EF. -- nor quam arcus HE. ad arcum EG. erit ex aequali, minis 5.

ratio arcus CE. ad EF. id est, anguli LAE. ad EA F. quam arcus HE. ad EG. id est anguli ALE. ad angulum ELEdi permutando, conuertendo, ac componendo, maior erit

ratio FAL. ad FLA. quam EA L. ad ELA. Quod vero maior ut ratio ML. ad AFL. quam EA L. ad AEL. Ita ostenditur. Quoniam maior est angulus LM. angulo LFA. & minor angulus EAL. angulo FAL. maior erit ratio LEA. ad EA L. quam LFA. ad FAL. ergo maior fis ratio FAL. ad LFA. quam EAL. ad LEA. Idem ostenditur si alterum horum punctorum cadat in

punctum contactus I.

Cadant secundo puncta. E.F.supra punctu contactus I.m puncta T. O.habeantq; duo triangula ΚAL. OAL.duo latera ΚAL. OAL aequalia, & sit angulus GL. maior angulo OAL.secentq; bases LΚ. LO. circulu in punctis E. F. inter puncta G. I.Constat angulu ΚAL.csse maiore angulo OAL. 5 angulum OLA. maiorem angulo LM. totu parte. sed &angulus LOA. maior est angulo LXA. ccum enim angulus XAE. maior sit angulo OAF.erunt reliqui duo. AΚE.AEΚ. a. reliquis duobus AOF. AFo. minores, ideoque dimidium AΚE. dimidio AoF. minus. Igitur rursus maior erit ratio anguli TAL. ad angulum ALΚ. quam OAL. ad ALO. item maior ratio ΚAL. ad A XL. quam OAL. ad AoL. Idem probabimus, si altera dictarum linearum transeat per punctum I. Cum manifestum sit angulum LAI. esse partem cuiuslibet angulorum superiorum ad A. & angulum LIA. rectum esse maiorem acutis ATL. AOL. deniq; ALI.

esse maiorem singulis ALE. ALF.

Deniis

89쪽

r 8 Curui ac recti proportio promota.

Denique secet altera basium dictorum triangulorum,di culum in puncto o. supra punctum contactus I.altera infra, sit in puncto E. habeantq: rursus triangula OAL. EAL.duo latera OA. AL. duobus lateribus EA. A L. aequalia, & sit angulus GAL. maior angulo EA L. Quoniam ex prima par te huius maior est ratio anguli OAL. ad ALO. quam IAL. ad ALI.& IAL. ad ALI. maior, quam FAL. ad ELA. exprima parte huius propositionis, maior erit ratio OA L. ad ALO. quam EA L. ad ELA. item quia maior ratio oAL. ad AOL. quam IAL. ad AIL. & IAL .ad AIL.maior,quam EA L. ad AEL. erit OAL. ad AOL. maior ratio qua EAL. ad AEL. Quare si duo triangula &c. Quod erat dem

strandum

THEOREM A X. PROPOS. X.

SI duo triangula duo latera aequalia habuerint,

utrumq; viriq;, in eodem vero triangulo inaequalia, & angulum ijs comprehensum angulo inaequalem. In triangulo in quo angulus com-

praehensus minor est reliquorum angulorum maior ad minorem, maiorem habet rationem, quam in altero. Sint duo triangula LAO. LAT. eodem modo disposita , qu'superiori propositione, & sit angulus LAΚ. compraehensus maior angulo compraehensio OAL. Dico in triangulo . LAO. angulum AOL. maiorem, ad angulum OLA. minorem , maiorem habere rationem, quam in triangulo LAΚ. angulum maiorem ALL. ad angulum minore ALX. dat primo uterq; angulus. O. R. supra punctum containctus I.&secentreme LΚ. Lo. conuexam peripheriam in punctis E. F. & ducantur ex centro A. recta A E. AF. Quo-

90쪽

niam maior est ratio anguli FAL. ad angulum FLA.quam EAL. ad ELA. (ex prima par te praecedentis propositionis crit componendo maior ratio angulorum FAL. FLA. ad angulum FLA. quam angulorum EA L. ELA. ad ELA. sed angulis FAL. FLA. simul est

aequalis . angulus externus.

AFO. id est AOF. & angulis EA L. ELA. sit nul aequalis est angulus externus AEΚ. id est AΚE. Igitur maior cstl ratio anguli AOF. seu AOL. ad angulum ALO. quam anguli AΚE. id est, AΚL. ad ang Ium ALΚ. Idem eodem ferme modo demonstrabitur si alterutrum Punctorum ut F. cadat in punctum contactus. I. Cum enim ' 'huius. iuperiori propositione probata sit maior ratio IAL.ad ILA. quam EA L. ad ELA. erit componendo maior ratio dum rum I A L. ILA. simul, id est anguli AI L. (qui rectus est, ideoq; aequalis duobus reliquis IAL. ILA. ad ILA. quam duorum EAL. ELA. simul, id est externi AEΚ. ac proim de aequalis AΚL. ad XLA. dat secundo utrumque punctum E. F. sub punctum

contactus I. cum angulus LEA. sit maior angulo LFA. is angulus ELA. minor angulo FLA. maior erit ratio anguli LEA. ad angulum ELA. quam anguli LFA. ad angulum FLA. Neque aliter procedet demonstratio, si punctum F. cadat in punctum contactus I. Denique cadat alteruter angulorum supra punctum comtactus,& alter E. infra, ille minor, hic maior: cum ratio