장음표시 사용
91쪽
go Curvi ac recti proportio promota.
AEL. ad ELA. paulo ante ostensa sit maior quam ratio AIL. ad ALI. & ratio AIL. ad ALI. maior, quam ratio AOL. ad rationem ALO. erit ratio AEL. ad ELA. maior ratione AoL. ad ALO. Igitur si duo triangula.&c. Quod
THEOREM A XI. PROPOS. XI. SI duo triangula duo latera aequalia habueriut,
utrumq; viriq;, in eodem vero triangulo inq- qualia, & angulum ijs compraehensum angulo inaequalem: complementa angulorum aequalibus lateribus compraehensorum, ad duos rectos, maius ad minus, maiorem quidem rationem habet,
quam angulus sub minori basi, & maiori latere in uno triangula, ad angulum sub maiori basi At maiori latere in altero triangulo, minorem vero, quam angulus sub minori ban, & minori latere in uno triangulo, ad angulum sub maiori basi ,& minori
Iatere in altero triangulo. Ijsdem positis, quae superioribus propositionibus secet
diameter BD. circulum in D. erunt ΚAD. OAD. compi menta angulorum aequalibus lateribus compraehensorum. ΚAL. OAL. ad duos rectos,& angulus OLA. contentus minori basium OL.& maiori laterum L A. Angulus ΚLA. contentus maiori basium LΚ.& maiori laterum LA. Ai gulus autem LoA. contentus minori basium Lo. & minoiari laterum AO. & angulus LG. contcntus maiori basium LΚ. & minori laterum ΚA. Dico primo,angulum OAD.ad angulum ΚAD. maiorem habere rationem quam OLA. ad ΚLA. minorem quam LOA. ad LΚA. Nam cum maior sit
92쪽
tratio AOL .ad ALO. quam ATL.ad ALΚ. erit compone do maior ratio utriusque AOL. ALo. simul id est ipsius . DAo. externi illis aequalis,aduo, quam AΚL. ALΚ. tamus, id est ipsius DAL. ad ALΚ. Rursus cum minor sit ra- do. . het..io OLA. ad LOA. quam XLA. ad ALL. erit componendo minor ratio utriusque OLA. LOA. idest DAo. ad LoA.
Sint serando triangula AFL. AEL. in quibus compi
menta angulorum aequalibus lateribus comprehensorum, sint EAD.FAD.de angulus ELA. contentus minori basium EL. & maiori latere LA. angulus autem FLA. contentus maiori basium FL. & maiori latere LA. Rursus angulus LEA.contentus minori basium LE.&minori latera EA.&angulus LFA.contentus maiori basium LF.& minori latere M. Dico a ulli EADI ad angulu FAD. minorem habere rationem quam angulum LEA.ad angulum LM. maiorem M. r. vero quam ELA. ad FLA. Nam cum maior sit angulus
AEL. angulo AFL. si utrique addantur anguli,illi quidem , i, minor ELA. isti maior FLA. maior erit ratio anguli AEL. ad angulum AFL.quam duorum AELALE.simul,ad duos AFL. ALF. simul. Sed duobus AEL ALE. simul aequalis est angulus externus EA D. &duobus itidem AFL. ALF. i aequalis est cxternus FAD. Igitur maior est ratio AEL. ad AFL.quam EA D.ad FAD. ideoque minor EAD. ad FAD. uam AEL. ad AFL. Quod vero maior sit ratio EAD. ad AD.quam ELA. ad FLA. patet,quia illic est ratio maioris inaequalitatis, hic vero minoris. Idem ostendetur in omanibus easibus in quibus triangulum AEL.cadet intra triam gulum, ut intra triangula AOL. ALL. nam eodem modo probabimus maiorem esse rationem AEL. ad A . aut AXL. quam EA D. ad OAD. vel OD. Sed sint tertio triangula AEL. LXA.secetque LΚ.ipsam AF. Dico minorem esse rationem FAD. ad x AD. quam, AFL. ad Ah. maiorem vero quam rem ad ΚM. Nam L ex
93쪽
str. Curui ac recti proportio promota.
ex secunda parte huius, maior est ratio AFL. ad AOL. quam FAD. ad OA D. & ex prima parte huius, maior est ratio AOL. ad AΚL. quam OA D. ad XAD. Igi- tur ex aequalitate, maior est ratio AFL. ad AΚL.quam. FAD. ad ΚAD. ideoque minor FAD. ad XAD. quam. AFL. ad ATL. Denique cum maior sit ratio OA D. ad EA D. quam FLA. ad ΚLA. vi constat ex prima parte hu-' ius propositionis, at vero multo maior sit rario FAD. ad XAD. quam OAD. ad XAD. manifestum est maiorem esse rationem FAD. ad ΚAD. quam FLA. ad XLA. Quod tamdem demonstrandum fuerat.
SI duo triangula duo latera aequalia habuerint,
utrumq; viriq;, in eodem vero triangulo in et qualia, & angulum ijs compraehensiam angulo inaequalem : anguli aequalibus lateribus com praehensi, maior ad minorem , maiorem habent rationem , quam habeat complementum anguli sub maiori basi, & minori latere contenti, ad duos
rectos, in uno triangulo, ad complementum an
guli sub minoii basi, de minori latere in altero tri gulo
SINT eadem quae superioribus propositionibus, sin que anguli ΚAL. OA L. aequalibus lateribureompraehensi, ille maior, hic minor: & sit primo LOA angulus contentus s. s. minori base LO.& minori latere AO. Item angulus LΚA. sim maiori basi L A. &minori latere AΚ. erit angulus AFO. aequalis angulo AOF. de angulus AER. aequalis angulo,, , ARE. Angulorum autem AFO. AEO. complementa ad duos rectos sunt AFL. AEL.Igitur angulorum AUL. AXL.
94쪽
complementa ad duos rectos sunt AFL. AEL. Dico malo rem esse rationem anguli ΚAL. ad angulum oAL. quam anguli AEL. ad angulum AFL. productis enim OAM.ΚAM. maior erit angulus externus oAD. angulo interno LoA. Item GD. maior, quam LΚA. & LOA.qua Lo ille enim maiori aris cui MF. insistit, hic minori NE. & arcus OΚ.
differentia angulorum OAD. ΚAD. maior qua differentia angulorum LOA. LΚA. (Nam eorum differentia est medietas arcus MN. seu ΚO. & medietas arcus EF . qui minor est quam . . ΚO. vi constat si ducatur tipsi A l .parallesa OS. erit. ri Menim EF. minor qua ES. quae Mualis est ipsi xo.quarc etiam medietas ipsius EF. erit minor meis
dietate reliqua ipsius IVO: Quare si per i . primi huius,
statuantur duo rccti prima quantitas,& duo itidem recti secunda quantitas , tertia autem quantitas sit angulus G. quarta A AD. quinta LOA. id est Am. & sexta LRA. seu AER. ac ex prima quantitate, nempe ex duobus rectis, auferantur anguli OD. UAD. ex secunda autem, nimirum ex duobus rectis, demantur anguli Am. AEO. cum .angulus OAD. sit maior angulis OD. AFO. & Am. mc ior quam AEA . & differentia angulorum OA D. XAD. m aer differentia anguloruim Am. AXO. erit ex dicta propinsitione Iq. r. huius ratio anguli TAL. ( qui complementum est quartae quantitatis OD. ad duos rectos ad angulum L et O . di m sed
95쪽
g Curui ac recti proportio promota.
OAL. ( qui est complementum tertiae quantitatis OD. maior quam anguli AEL. ( complementi sextae quantitatis R. ad angulum AFL qui est complementum quintae quantitatis A FO. Quod primo probandum erat.
Sint secundo anguli L . LAS aequalibus lateribus co- praehensi, ille maior, hic minor, & sit LEA. angulus contentus minori basi LE. & minori latere Item angulus LO. contentus maiori base LF. & latere minori O. erunt anguli AER. Am.(aequales ipsis ARE.AOF. complementa angulorum AEL. Ara. ad duos rectos. Dico anguli FAL. ad angulum OL. maiorem esse rationem,quam a guli AOL. ad angulum AR L Nam cum probata sit s. hu-i us, minor ratio anguli ALF. ad FAL. quam ELA. ad lOL. erit componendo minor ratio utriusque ALF. FAL. id est AFO: seu AOL. ad F . quam utriusque EO. EM. id est AER. id est. ARE. ad EAL. Quare conuertendo & permutando , maior est ratio FAL. ad EAE . quam AOL. ad ARL.
Poterat haec secunda pars ex principijs primae partis huius deduci Ad ut breuitati consi eremus, eam aliunde ded
Sint tertio anguli OL. RAL. aequalibus lateribus compraehensi ille minor, hic maior I cadantque puncta F. A. illud sub punctum contactus, hoc supra , & sit LO. angulus contentus sub basi minori LR & minori laterera. item angulus LRA. contentus sub basi maiori LX. & latere minori XA. Erit angulus OD. complementum anguli FAL. ad duos rectos,& angulus L . complementu anguli AAL. ad duos rectas minus complemento ipso FAD. ut pote pars toto, quorum ditarentia est angulus L . quae maior est differentia angulorum LO. & LRA. Nam ex prima parte huius propontionis constat , differentiam angulorum MOF.NRE. nimirum medietates arcuum MN. EF.esse minorem angulo X . Rursus angulus LO. aequalis est duobus internis FoA. F . id est arcui OF & dimidio am
96쪽
rentia angulorum OA de LXA. id est ETN. erit totus arcus oF. una cum medietate arcuum MNIEF. Sed medietas arcuum MN. EF. minor est angulo x . id est arcu Ro. Igitur si communis addatur arcus erit arcus AF. maior ah cu OF. una cum medietate arcuum MN. EF. at vero arcus
RS est ditarentia angulorum FAD. RAD. & arcus Ommcum medietate arcuum MN. EF. est differentia angulorum I FA. Lx A. Igitur maior est disserentia angulorum FAV& RAD.quam angulorum MA. LA A. Quare rursus si peri . primi huius statuantur duo recti prima quantitas, duo itidem recti secunda quantitas, tertia auim quantitas sit angulus FAD. quarta RAD. quinta LFA. sexta LΚA. ac ex prima quantitate, nempe ex duobus rectis austrantur tertia FAD. & quarta RAD. ex secunda autem,videlicet ex duobus rectis demantur quinta LFA.& sexta LO. sitquC ii: ti- , FAD.maior quam LM.& quam XAD.& LFA. maior qua pmmmc.LΚA.(Nam LFA. maiores quam LoA. &LoA. maior quam LΚA. ut supra ostensum est & diffitentia angulo rum FAD.ΚAD. maior differentia angulorum LFA. LΚA. erit ex dicta propositione I . primi huius maior ratio anguli LA L. ad angulum ML. videlicet complementi quartae ΚAD. ad complementum tertiae FAD. quam complementi anguli LΚ-qui sexta quantitas est, ad complementum anguli LO. qui quinta quantitas, positus est. Atque ita in quolibet alio situ ostendemus, quod pro filum est. Quare ii duo triangula &c. Quod fuit demonstrandum M. Hanc propositionem,etiam in sequenti,quam multo ampliorem reddidimus, facilius, ac breuius demonstrabimus, ut inde variae probandi rationes,in una,ac eadem materia , elucescant, quod a veteribus Geometris, ac Pappo prage fertim , in collectionibus mathematicis , factitatum I gimus.
97쪽
8 c Curvi ae recti proportio promota. THEOREM A XIII. PROPOS. XIII.
SI duo triangula duo latera aequalia habuerint,
utrumq; viriq;, in eodem vero triangulo inaequalia, & angulum ijs comprqhenium angulo inaequalem : anguli aequalibus lateribus com- praehensi, maior ad minorem, maiorem habent rationem, quam complementa angulorum reliquorum ad duos rectos si basibus, ac maiori laterum; item basibus ac minori laterum contenti, maioresque cum minoribus conferantur. . IN figura nonae huius, habeant duo triangula LAR LAO.duo latera LA.AIT .duobus LA.AO.aequalia utrumq;utrique,& angulus compraehensus LAm maior sit compraehenso LAO. Dico maiorem esse rati neiri anguli LAA . ad angulum LAO. quam complementi anguli ARL. ad duos rectos, ad comis plementum anguli AOL. Item quam complementi anguli ALV. ad complementum anguli ALO. producantur AL. in T. AU. in V. An in X. erunt anguli Tis. TLO. complementa angulorum ALae. ALO. ad duos rectos, &anguli XA L. v OL. complementa angulorum AR LAOL. Quoniam maior est ratio ansuli LAAL ad angulum ATL. quam anguli LAO. ad angulum AOL. erit componendo,& permutando maior ratio angulorum LAΚ.AΚL. simul ad angulos LAO. A . simul,quam anguli Aia.
98쪽
A'. ad angulum AOL. Quare cum maior sit ratio totius LAΚ.AΚL.simul,ad totum LAO. AOL. simul,quam partis AN L. ad partem AOL. etiam reliqui LAΚ. ad reliquum LAo.maior erit ratio,quam totius LAΚ. AΚL.simul d totum LAO. AOL. simul:ipsis autem LAΚ.AΚL. simul aequa- si Iis est externus TLΚ. & ipsis LAO. AOL. simul aequalis est externus TLO. Igitur maior est ratio anguli LAΚ. ad angulum LAO.quam anguli TLI .ad angulum TLO. Rursus quoniam maior est ratio anguli LAΚ. ad angulum ALΚ.
quam anguli LAO. ad angulumALO.ut constat ex nona si s. r.huius.cundi huius,erit componendo, & permutando, maior ratio
LAR. ALX. simul ad LAO. ALO. simul qua A LX.ad ALO.
ideoque cum maior sit ratio totius LAX. AI R. ad totum , LAO. ALO. simul,quam partis A LX. ad partem ALO. etiareliqui LAN. ad reliquum LAO. maior erit ratio quam totius LLA. AΚL. ad totum LAO. ALO. sed toti LAA. ALA. est aequalis angulus XX L.& toti LAO.ALO.aequalis est am 'gulus OL. Igitur anguli LAT. ad angulum LAO. maior est ratio quam anguli XX L. ad angulum V OL. Idem, eodem prorsus modo , demonstrabitur in duobus triangulis quocumque situ collocatis, ut in triangulis LAE.LAF. item in triangulis LAO. LAE. Eadem enim ubiquo demonstrandi forma, propositum efficiemus, ut inducenti manifestissime patet. Quare si duo triangula duo latera aequalia habuerint &c. Quod fuit demonstrandum.
idem punctum maiores , minor erit ratio anguloram comprehensorum, quam suorum complementorum, sminores, maior , ex 22 .primi huisse Ut minor es ratio LAT. ad LAO.quam D .ad DAR. maior vero ratio, L .adLAE.
in triangulis L . LAE. quam E AD. ad OD.
99쪽
s 8 Cures ac recti proportio promota. THEOREM A FIV. PROPOS. XIv.
SI duo triangula duo latera aequalia habue
rint,virumque utrique, in eodem vero triam
gulo inaequalia, & angulum ijs comprathenis sum angulo inaequalem; ex angulis autem aequalialibus lateribus coprehensis in oppositas bases pe pendiculares demittantur: anguli, quos perpendicularium maior cum lateribus facit,in maiori sunt ratione, quam quos minor, si maiores ad minores
referantur. IN figura superiorum propositionum, sint rursas triam gula,quorum toties facta mentio, LAΚ.LA O. & ducantur ex puncto A.ad bases LX.Lo.perpendiculares m .haec maior,illa minor. Dico maiorem esse rationem anguli LAR. ad angulum R . quam anguli L, ad angulum Angulus enim LDA. maior est angulo LXA. Eo quod arcui MF. insistat, qui maior est quam arcus NE. Idem angulus DOA. maior est quam OLA. oblatus AL. subtendens m ius quam latus M. & angulus OLA. totum maius uam pars LLA. Rursusifferentiam angulorum LOA. LxA. metitur medietas arcus MN. idest XO. de medietas arcus FE. ob ariscus MF. NE. quibus dicti
100쪽
anguli insistunt. Differentia autem angulorum OLA. X LA. . est angulus OLΚ.minor medietate arcus ΚO.(na si duceretur recta ΚF.angulus ΚFO.externus, aequalis medietati a cus X O. est maior interno OLΚ. Igitur differentia angulO- 1o. s. rum ad O.& Κ.maior est disteretia angulorum OLA.ΚLA ig. i. Quare si angulus rectus statuatur tam prima quam secunda quantitas; LOA tertia; LΚA. quarta; OLA. quinta; XLA. sexta. erit per I . I . huius,maior ratio coplementi ΚA ad complementum OAR. quam complementi LA ad complementum LAR. Quare& maior erit ratio LAR. ad LAQU* 'i ii quam OAR. ad ΚA & permutando maior LAR. ad OAR. quam L A id ΚA Quod erat&c. Eodem modo sistatuantur triangula FAL. EA L. in quorum bases productas cadant perpendiculares eaedem ,
AR. A 'aior erit ratio LAR. ad FAR. id est,ad RAO.(aequales enim sunt anguli FAR. RAO.)quain LA ad 3 h. si EA qui ipsi QAΚ. est aequalis . Denique in triangulis LAF. LAΚ. in quorum bases
L F. productam,&. LΚ. intra triangulum , cadant eaedem perpendicularcs AR. A eodem modo ostendemus,maiorem esse rationem LAR. ad FAR. quam LAW ad QAΚ. Quod crat ultimo probandum.
THEOREM A XV. PROPOS. XV.IIsdem positis et Dico malo
rem esse rationem LA F. ad LAE. quam O A D. ad XA D. Nam probatum est maiorcm csse rationem LAF. ad LAE. quam AOL. ad AΚL.& AOL. ad AT L. maiorem , quam, OA D. ad ΚAD. Igitur LAF. ad LAE. maior est ratio, quam OAD. ad ΚAD. Quod fuit &c.