장음표시 사용
151쪽
x o Curvi ac recti proportio promota
In circulo CDE. sumantur quatuor arcus CD. DE. Er. FG. siitque primus minor secundo , hic tertio , & tertius
quamumq; recta HI. ita di andatur utrinqIΚ.XL.LH. F L i, eandem rationem habeant My I; C lquam differentia sinus velfi l
sinus versi arcus FE. & hu- - ius differentia ad differentiam sinus versi arcus DE. &sic deinceps, dc ductis paral- Iesis IP. LO. LN. I M. possit recta IP. quadratum cho dat arcus GF. & duplum quadrati , aut quadratum sinus versi eiusdem arcus, atq, ita ordine de reliquis. Quaeriturnum per quatuor puncta P. O. N. M. duci possit Iinca unica regularis, & cuiusnaodi illa sit
Hanc νbi aecepit primo cessim ire, hine tergiuersari, ac tandem respondere renuit , caustus proximum discestum: nee immerito ut enim erat Matheseos peritus eaema Asotico disticilius anima erant, ad quod fodiendum nescio quid Oedipo maius ri trahatur . Prudenter igitur ire per extentum funem renuit , ne suo lapsu imperitiss nec enim apud iustos rerum astimatores mi ris babendus fuisset r sim moveret. Ut vero recens eseruescebat in amnium ira scuturvi verum fatear, v milentiam tempus decoxito pauca Psdam Theoremata Geometrica , qAs cum unico problemate Duphanti ediderat, sed minime vulgaria in manus meas tandem pe ruenerunt. quae coepi diluontius perfrutari, ut nodum si periposset , vel in scirpo ipso imucnire possim . inq; ut Lynceos habet oculos ulcsens libido, tria occurrerunt que vibrarem tela , qt s si non lethali vulnus inferrent, fallem cutem non sine doloris sensu perstringerent. Trimum audi ram non absi: Theseo Dum illum Achillem , ita enim haberi volebat, laudem sibi comparasse. Secundo animaduerti in Theoremate deti rminato pagina nona linea I S. consequentiam non recte inferri ex
152쪽
tionis Is . eiusdem quieti, ut intuenti manifestam erit. Deniq; oleum rit in eadem propositione eum non om nra casus persecutum fuse , fedia eam cum linea CD. circulum secat, non eum tangit Ex illis igitur tribus eapitibus hanc propositionem efformaui quam ei transmisdemonstrandam, Ut Do quodammodo se gladio. iugulare cogeretur. Tropositum sit demorarare Theorema detei minatum d C. Mallio Eudoxo non fuisse recte demonstratum: quae res eum in miramfolieitudinem coniecit , eum latentem cuniculum deprehendere non posset. tq; vera malignitas euius me insimulauit Eudoxus, qui si tam
potius squi mum talionem indigetasset , neq; iniuriam d me illatam
eonquestuat , sed iussissime propulsatam confessus fuisset. caueat a tem ne si pergat acriorem irais . I
In sese cieat Rhamnusidis iram.
Dum quod eius afflatu factum est Dirarum teterrime Byla iniquismo audet ascribere. Sed quid sentiendum, tu dixeris integem rime Lector, quam enim tibi ab initio hae de re, de qua potissimum
is contestata est, cognoscendi, ae pronunciandi potestatem, qhod mme fuit, concessi, eandem nune ratam habeo, i dicio tuo ne tantinium quidem refragaturus. At queres quid re vera de illis Theor malis sentiam e inio esse elegantissma , O Ps vel sola Dum aκ- rhorem, quisquis ille sit, Geometrarum albo dignum reddere po ni reries vero negligentius aut omissa, aut immutata sunt partim aut nihil de eius laude detrahunt, eum Deilime vel d mediocriter in rebus Mathematicis ver fato restitui piant. Isidebis, gener e Lector, homuuciones tanta contentione pro a gulio Academia angulo tumultuantes. Recte id quidem , s ini xandrum ac Darium de insis Imperio Cesi remq; ac Tempeium de orbis dominatu contendentes rasiris. Spcciosior illis, non maior di sedi, causa fui riam rerum humanarum magnitudinem non moles sed istimatio facit. Tanti mihi Patauinussuggenus quanti Terauo iuueni, ae perpetuo dictatori non unus sed Democraticoram mundorum aceruus. Tro eo se pugnant, pugnamus di nos solo ammorum genere, non pugnandi ardore disserentes. Illi velitibus, nox prolusionibus prelium accendimtis; illi eminus tela, non sommate
.acimus; com/nus illi hasis, ae glaebs, nos Diis ac calamis eo
153쪽
t 1 Curvi ae recti proportio promota.
gredimur , legiones illi , nos rationes eommittimus. Utrisque fixit victoria, queque victoriam sequitur gloria , sed nostra 'eo saepe m ire quod in unum caput collecta magis elueescat, illa amplismoeommunione in multa hominum millia dissipata dubio plerumque splandore efulgeat. 2 empe sic voluit qui voluntatis nutu omniceondidit, ut non naturalia tantum, sed etiam humana lite di amseeitia eonflarent, illa quidem Ut benefica unione seruarentur , istone noxio torpore corrumperentur; ut enim marcet sine aduersario vi tui, ita aemulatione lacessita mirum quanta contentione ad egregia facinora feratur.
Tunc bene fortis equus reserato carcere currit, Cum quos praetereat, quos ve sequatur habet. Testem hane ipsam exhibeo Academiam, ae infinita pustant fim
rum virorum, qui ex ea tanquam exequo prodierunt, spera, qus fodite sterno pressa gelu, in authorum, tanquam terra visieritas dei, tu ent , ni ea genialis aemulationis estus in fecundum germen, ac uberrimos fuctus exclusisset. certe hoe qui quid sit operis tot Ibnearum , triangulorum , circularum schematismis risertum, non sine sumptibus qui censum meum longe superant, nescio an ego, nestio allantagonista suum edituras fuisset, .m stimulos aemula virtus addidipset. Huic tu has etiam vindicias , non inuidis , non malevolentia ascribe benigne Lector, in Uale.
154쪽
Proportio promota. LIBER TERTIVS
THEODEMA I. PROPOS. I. . I fucrit ut prima recta ad secun- dam, ita tertia ad quartam, &assu
mantur quinta & sexta et erit ut re
ctangulum sub prima & quinta,ac rectangulum sub secunda & sexta, ita rectangulum sub tertia & qui ta, ad rectangulum sub quarta & sexta.
Sit ut A. recta ad rectam B. ita recta C. ad rectam D. di assumantur duae quilibet E. F. Dico rectangulum sub EA. ad rectangulum sub F. B.e se ut rectangulum sub E. C. ad rectangulum sub P. D.Cum enim sit ut E. ad F. ita E. ad F. & ut A. ad B. ita C. ad D. TAB C D E Feri ratio composita ex E. ad F. &A. ad B. eadem rati
155쪽
t Curui ac recti proportio promota . .
ni compositae ex E. ad F. & C. ad D. sed ratio comptia i ri sita ex ratione E. ad F. & A. ad B. est ratio rectanguli sub E. A. ad rectangulum sub F. B. & ratio composita ex ratione E. ad F. & et ad D. eadem est quae rectanguli sub E. C. ad rectangulum sub F. D. Igitur ut rectangulum sub E. A. ad rectangulum sub F. B. ita rectangulum sub E. C. ad rectangulum sub E. D.
Aliter. Cum rectangula sub EA. & sub EC. habeanti eandem altitudinem E. erunt ut A. ad C. Rursus cum rectangula sub F. B. & F. D. habeant eandem altitudinem F. erunt ut B. ad D. Quare cum sit ut A. ad C. ita rectangulum sub E. A. ad rectangulum sub E. C. ut autem A. ad C. ita permutando B. ad D. & ut B. ad D. ita rectangulum sub F. B. ad rectangulum sub F. D. erit virectanis Schol. n.s. gulum sub E. A. ad rectangulum sub E. C. ita rectangulum sub F. B. ad rectangulum sub P. D. Quod erat probandum.
THEO REMA II. PROPOSITIO II. SI fuerint quatuor rectae proportionales: erit ut quadratum primae ad quadratum secundaesita rectangulum sub prima & tertia, ad rectangulum sub secunda & quarta.Sint quatuor rectae A. B. C. D. proportionales. Dico esse ut quadratum A. ad quadratum B. ita rectangulum sub A. C. ad rectangulum sub B. D. Nam cum sit ut A. ad B. ita C. ad D. erit permutando ut A. ad C. ita B. ad D. ideoq; rectangula sub . i. defin.s. A. C. rectangulis sub B. D. si- Amilia sunt: similia autem sunt& in Quadretia A. B. Igitur super dua ribus primis A. B. constituta sunt duo
156쪽
duo rectilinea similia, fimilitem; descripta , videlicet quadrata A. B. de super duabus C. & D. itidem duo rectangula C. A. & D. B. similia: ut igitur quadratum A. ad quadratum B. ita rectangulum sub A. C. ad rectangulum sub
Aliter. Cum sit ut A. ad B. ita C. ad D. assumantur E. quinta, & F. sexta ; quarum E. sit aequalis primae A. & F. secvn- a m et ndae B. erit ex praecedenti proposi- ,- - - - s huius tione, ut rectangulum E. R.id est E P
quadratum A. ad rectangulum . h/- - - -
F. B. id est quadratum B. ita re ctangulum sub E. C. id est, sub A. C. ad rectangulum sub F. D. id est sub B. D. Quod erat demonstrandum.
THEO REMA III. PROPOSITIO III. SI fuerint tres quantitates quaecumq; priores,&quatuor rectae lineae posteriores, fueritque ut prima priorum ad tecundam ita prim posteriorum ad secundam; & ut secunda priorum ad tertiam, ita tertia posteriorum ad quartam: erit ut prima priorum ad tertiam , ita rectanguluim, sub prima & tertia posteriorum, ad rectangulum sub earumdem secunda & quarta.
SI T in prioribus quantitatibus quibuscumque ut A.ad B. ita in posterioribus rectis lineis D. ad E. & ut B. ad C. in priori- A n Chus quantitatibus, ita F. ad G. in ,-- - -- posterioribus rectis. Dico esse ut , II E F GA. ad C. ita rectangulum sub D. F. ad rectangulum sub E. G. Quoniam est ut A. ad B. ita D. ad E. & ut B. ad C. ita F. ad G. erit ratio composita ex rationibus A. ad B. & B. ad C. eadem quae componiae ex ra-T tionibus
157쪽
i s Curvi ac recti proportio promota
tionibus D. ad E. & F. ad G.sed ratio composita ex rationsibus A. ad B. S B. ad C. est ratio A ad C. & ratiue composita - ex retionibus D. ad E. & F. adc est eadm quae re tanguli sub D. F. ad rectangulum sub E. G. Igitur uti A. ad C. i ta rectangulum sub D. F. ad rcctangulum sub E G. Quod demonstrare volebamus.
SI fuerint quatuor rectae proportionales t Tectangulum sub prima & quarta erit medium proportionale inter rectangula sub prima W secunda, & sub tertia & quarta.SINT Quatuor rectae proportionales A. B. C. D.nempe ut A. ad B. ita C ad D. Dico rectangulum sub A. D. esse medio loco proportionale inter rectangulum sub A B. & r elangulum sub C. D. Assumantur duae infra quatuor datas quarum D. sit aequalis quam D.
2.3-hmus Se aequalis prime A. erit, e3 n e I prima terti j huius , ut rectangula , - - -- --
sub D. A. id est,sub quarta & pri- D A l
ina ad rectangulum sub A. B. pri- .ma & secunda, ita rectangulum sub D. C. quarta de tertia ad rectangulam sub A. D. primaest quarta. Quare cum sit virectangulum A. D. ad rectangulum AB. ita rectangulum D. C .ad rectangulum A. Daerit conuertendo vi rectangultan A, B. ad rcctangulum A. D- ita rectangulum A. D. ad rectangulum D.C. Quod proposueramus demonstrare is
158쪽
THEO REMA V. PROPOS. V. Ig SI fuerint quatuor rectae proportionales: erit ut quadratum primae , ad rectangulum subsecunda & tertia, ita rectangulum sub prima& tertiata ad rectangulum sub quarta de tertia.
SINT quatuor rcctae proportionalas: ut A. ad B. ita C. ad D. Di co esse ut q uadratum A. ad rectanguluiri B. C. ita re- A B C D
C. D. Assiimantur duae infra qua- A Ctuor datas quarum A.sit aequalis primae A. & C.aequaIis tertia .C. erit ex prima tertij huius rectangulum sub A A. id est quin dratum A. primae ad rectangulum C. B. sub secunda & tertia, ita rectangulum A. C. cub prima & tertia, ad rectangulum C. D. sub tertia & quarta. Quod est propositum.
THEOREM A VI. PROPOS. VI.SI fuerint quatuor rectae proporrionales et erit ut rectangulum sub prima & tertia , ad rectangulum sub prima & secunda , ita quadratum tertiae ad rectangulum sub prima Wquarta, SIT ut A. prima ad B. secundam ita C. tertia, ad D. quartam. Dico esse ut reining luin A. C. ad rectangulum A. B. H. R C Dita quadratum. C. ad rectangulu 3-i-ii
A. D. Assiamantur C. A. aequales , V
tertiae&primae. Erit ex I. 3. huis
ius rectangulum A. C. sub prima & tertia, ad rectangulum A. B. sub prima & secunda, ut rectangulum C. C.id est quadratum.C. tertiae ad rectangulum A. D.sub prima & quara. T a SCHO-
159쪽
i s Curvi ac re sti proportio promota. SCHOLIVM. EX eadem principia passent demoaurari propositiones rQ
dr IT . lib. f. elementorum , nempe s quat.ior recta tam nea proportionales fuerim , quod sub extremis comprahenae rur rectangulum , aquale ect e quod sub med i compreheAditur A - et D 'rectavulo. Sit enim ut A. ad B. ita C ad D. s assumantur B, A. D: A secanda es prima aequales: Erit m . ni m. .s': . rectangalum A. A. sub prima S . . scanda; ad rectangulum A. B. sub fletino ex prima ita re ctangulum B. C. sab secunda or tertiae , ad recta gutam A. D. sub prima dr quarta: avalia autem sient rectangata EA. SAB. fgitar etiam aeqnalia sum rectangula A. C. or A. D. - aodis intermedia A. C. aquales ponantur , eodem movi Beudemus rectangulum A. D. rectangulo B. C. id in quadrin
io A. HI C. esse aequale . . .
SI sint quotlibet magnitudinum series quo
libet magnitudines continentes singulae imqualibet proportione Arithmetica continua; erunt & compositae prinis cum primis , secundae eum secundis, & sic deinceps, in continua propotatione Arithmetica. SINT quotlibet series magnitudinum quarum prima contineat primum tres magnitudines AB. DE. GH. secunda magnitudines BC.EF.HI.tertia magnitudines CN.FO. . habeantque AB. DE. GH. rationem Arithmeticam, vessi aliae series. Dico quod etiam compositae primae AB. BC. CN. & secundar DE. EI. IB. & tertie M. HI. IP. habent
160쪽
rationem Arithmeticam. Quoniam tres magnitudines ARDE. GH. sunt in proportionalitate Arithmetica, erunt ABG H. duplo ipsius Diu aequales (ut ostendemus m sequenti
mul duplae erunt ipsius M. :&CN. I P. ipsius FO. Igi . , A Mtur omnes simul AB. GH. . BC. HI. CN. I P. id est tota II AN. & tota Ge. ierunt si- lmul duplae omnium DE. G EF. FO.id est toti m. Igi- eur in ratione Arithmetica sunt AN. DO. GP. ut sequenti Scholio probabimus . . Sed contineat quilibet series magnitudiues plures tribus ut prima contineat magnitudines AB. DE.GH. XL. secunda magnitudines BC. EF. HI. LM. tertia magnitudines CN. FO. I P. Min Habeantque AB. DE. GH. ΚL. rationem Arithmeticam continuam , ut& aliae series, singulae eandem, aut Pe c liarem.Probabimus ex prima parte huius propositionis,tres AN. DO. GP. esse in proportionalit te Arithmetica. Rursus ex eadem ostendemus, tres magnutudines DO. GP. Κ esse in ratione Arithmetica. Igitur ex definitione, ipsarum Are M. & DO. GP. eadem est differentia. Item ipsarum DO. GP. & GP. X eadem est differentia: Quare aequales sunt differentiae magnitudinu, ' P 'prum ' AN. DO. GP. Κ Sunt igitur in continua ratione Arithmetica . Quod erat demonstrandam .
ria vero dua murum iudines AB. m. At duple ipsius DE. O reliqua qua in propositione sigrinumur vera to