장음표시 사용
161쪽
x s o Curvi ac recti proportio promota.
t, demonstrauit pra meris luculentissime Clauditis cassa Baechetas , vir non in mathematicis solum, sed in omni gen re literaturae vel antiquis conferendus in absitatissamis eo mentarps qua in Diophantum edidit, cuius aliquot propo timnes quia in nostras operabus usuuenieno , a numeris ad quamlibet quantitatem transferemus, ut ijs consulamus quibus fomie nobilissimus hic auctor non innotuit.
P Rapartis Arithmetiea in cum in tribaes aut quatuor fanumeris seu magnitudinibus eiusdem generis , eadem c aui nullis disserentia prima, cir secunda, qua secandas tertia ; aut qua tertiae s quarta : ita tamen ut si primo
cum fecunda comparetur ac secunda cum tertia,aut tertia e mquarta gulae singulis vel aequales vel maiores vel minores exi Bani. Amoeroproportio sin tribus terminis comat Maa.etheseu medietas ae anologi sis quatuor analogia tantum ac propo nutas Arithmetica dicitur. Euoduero id nominis non tantum quantitati discretae ,sed etiam continuae tribu post, mihorem habemus praeter alios luculentum P pum Alexandrina qui libro 3 ..eoc . mathem. iuia in qaantitate continua
SI fuerit eodem differentia primae magnitudi
nis ad secundam quae tertiae ad quartam, seus, si fuerint quatuor magnitudines Arithmetice proportionales 3 summa ex extremis conflata erit mediarum summae aequalis: & si extrema simul sumpta fuerint aequalia med ijs simul sumptis, erunt dictae magnitudines Arithmetice proportionales.
162쪽
SINT quatuor magnitudines AB.CD. EF.GH. sitque eadem differentia AB. & CD. quae EF. & GH. ( quod est
esse Arithmetice proporti nales 3 Dico duas Ay. GH. simul duabus CD. EF. esset, A est ' i Baequales. C, D
aequalis, cum nulla sit diffe- E. .i Frentia inter AB.&CD.etiam . nulla erit inter EF. GH. ex G,-- -,-Η superiori definitione, aequales igitur sunt EF. GH. Si igitur aequalibus AB. CD.addantur aequales EF.GH. nem pe GH. ipsi AB. & EF. ipsi CD. erunt AB.GH. simul aequales ipsis CD. EF. simul. Qvqd primo probandum erat. Sit secundo maior AB. quam CD quorum differentia sitIB. & duarum EF.GH.di ferentia sit XF.manifestum B
est AI. CD. esse aequales Camabijsparsin.quae di L Ci-- II ferunt sublata sit . Item - . Κ - EN. GH ob eandem ratio. E F ncm sunt aequalestaequales, i I autem etiam sunt IB. ΚF- . ex hypothesi . Igitur ex V prima parte huius erunt duae AI. GH. duobus CD. EH. a quales, quibus si addantur aequales IB. ΚF. erit tota AB. cum GH. aequalis toti EF. cum CD. Quod secundo Ioco erat ostendendum. Tandem inuertatur ordo magnitudinum; ita ut prima sit GH. secunda EF. tertia CD ultima AD.eodem prorsus d monstrandi modo ostendemus duas GH. AB. duabus EF.
Sed sint duae magnitudines AB. GH. ipsis CD. EF. a quaam. Dico, diilerentiam AB. & CD. esse eandem differentiae
163쪽
i s i Curui ac recti proportio promota.
ferentiae EF. & GH. seu quatuor
AB. CD. EF.GH. esse Arithmetice , a proportionales. Sint rursus primo aequales AB. &CD. Quoniam ae- T ---
quales sunt AB. GH. ipsis CD. α --EF. si aequales auferantur AB. &CD. remanebunt aequalin EF. GH. nulla igitur est differentia inter EF. GH. sed nulla est inter AB. CD.UIgitur ex superiori desinitioneo Arithmetice proportionales Iuni AB. CD. &EF. GH. Sit vero maior magnitudo AB. magnitudine CD. excessu IB. &sint aequales AB. GH. simul ipsis CD. EF. simul rerunt igitur AI. CD. sublata differentia IB. aequales. Quare, si ex aggregatis AB. GA.&CD. EF. quae supponuntur aequalia, auferantur aequales, Z
Rursus detracta EΚ. aequali, Aipsi GH. ita ut supersit ΚF. si
ex aequalibus IB. GH. & EF. auferantur uales ET. G H. remanent IB. ΚF.aequales, est autem ΚF. differentia ipsam EF. GH. Igitur IB. differentia primae,& secundae, aequalis est ipsi ΚF. differentiae tertiae & quartae, tergo , ex definitione praecedenti AB. CD. M. GH. Arithmetice pro
Sed sit minor prima magnitudo CH. quam secunda EF. excessu X F. &sint aequales GH. AB. ipsis EF. CD. erunt igitur GH. EΚ. aequales. Quare si ex aggregatis aequalibus G H. AB. & EF. CD. auferantur aequales illinc GH. hinc EΚ. remanebunt ΚF. & CD. ipsi AR aequales. Iterum sumpta AI. aequali ipsi CD.erit IB.ditarentia ipsarum CD. AB. Qine si ab aequalibus ΚF. CD.& AB. auserantur a quales, illinc CD. hinc AI. remanebunt, ut prius, dii reotiae EF. IB. aequales, ideoque erunt praedicta quatuor magnitudines Arithmetice proportionales. Quod crat vltimo loco demonstrandum. Si
164쪽
SI fuerint tresimagnitudines in medietate A
rithmetical: erit prima cum tertia dupla secundae. : Et si prima cum tertia fuerit dupla lacundae , erunt tres magnitudines in medietate Arithmetica.S I N T tres magnitudines A. C. E. in medietate Arithmetica. Dico duas A. E. ipsius C. esse duplas. Accipiatur G. aequalis ipsi. C. Erit ps A----e ex definit se rum A. C. & C. E. eadem dif. , ο -- ferentia , sed ipsarum CE. & C e- - G. E. etiam eadem es differentia; ergo ipsarum A. C.&ψ- i E sarum G. E. est eadem ditarentia. Igitur per praeceden- tem duae A. E. simul duabus C. G. simul sunt aequales: sed C. G. simul sunt duplae ipsius C. cum inuicem sint aequales C. & G. ergo A. E. ipsius C. sunt duplae . Quod essicere primo loco volebamus. Sed sint A. E. duplae ipsius. C. Dico tres magnitudines A. C. E. esse in medietate Arithmetica. Sumpta inim rursus G. aequali ipsi. C. Cum A. E. sint duplae ipsius. C. erunt duabus C. G. aequales. Igitur per praecedentem , erunt quatuor A. C. G. E. id est A. C.C. E. in proportione Arithmetica , ideoque A. C. E. in medietate Arithmetica. Quod secundo loco pmbandum fuerat. Priorem patrem huius propositionis aliter demonstrat Clauius Schol. in ret. 6. propositione X.
165쪽
SI i sint quodlibet magnitudinegii pro rei ita
Arithmetica continua l extremae simul sum piae aequales sunt duabus ab extremis aequaliter remotis ,& duplo. mediae in multitudine magnitudinum impari.
Sint quotlibet magnitudines A. B. C. D. E. multitudine , impares aequaliter differentes, seu in proportionali a te Arithmetica continua. Dico extremas A. E.esse aequales ipsis B. D. quae ab extremis aequaliter remouentur &tam A. E: simul
quam B. D. simul, esse duplasip. sim C. Nam cuin sela aequali B excessu superent A. B. & D. Eaex c hypothesi & defitutione gerunt
mam huius Scholij: & quia B-C- x , D. sunt Arithmetice proporti nates,etiam ex hypothesi, erunt B. D. ipsius C. duplae , per secundam huius Seholij Sed duabus B. D. aequales sunt duae A. E. Duplae igitur sunt duae A. E. mediat. et Quae omnia erant demonstranda . -
l quatuor tisagnituditi s fuerint Arithmeti
ce proportionalet , elim conuertendo crunc Arithmetice proportion SI enim qua tuor magnitudines fuerint Arithmetice proportionales, aut superabunt prima secundam & tertia quartam eodem excessu, aut ab ijs deficient,aut prima, & secunda, item secunda & tertia erunt aequales. Si prima fieret
166쪽
secundam eodem excessu quo tertiae quartam, secunda e dem defectu deficiet a prima quo quarta a tertia, eadem enim est disterentia qua minor a maiori deficit, & qua maior minorem superat.Igitur ex definitione huius Scholi secumda ad primam, & quarta ad tertiam eandem habent ratione Arithvictaeam . Si prima eodem defectu deficiat a secunda quo tertia a quarta , secunda eodem excessu superat primam, quo quarta tertiam. Atque ita iurius habebunt se funda ad prima;& quarta ad tertia proportionem Al ithmeticam. Denique si prima & secunda, item tertia & quarta sint aequales, constat nudam esse differentiam inter secunda& primam, item nullam inter quartam & tertiam : Quare, secunda ad primam, & quarta ad tertiam habebunt proportionalitatem Arithmeticam, ex eadem definitione. Quod
I quatuor magnitudines fuerint Arithmetice proportionatos, vicissim erunt proportio
Haec propositio demonstratura Federico Commandino , & Chiistophoro Clauio Lemm . in So. proposi t. lib. ita elementorum et sed breuius hoc
SINT quatuor magnitudines A. B. C. Arithmetichproportionales. Dico quod per- mutando A. ad. C. & B. ad D. ha- 'bent rationem Arithmeticam. Na B quoniam A. B. QD. sunt in ratio- . n ne Arithmetica,erunt per primam partem primae huius Scholij, extremae A. D. med ijs B. C.ae alas. R ursus statuamur cydem magnitudines ordine peru v a mutato
167쪽
is c Curiti ac recti proportio promota.
mutato A. C. B. D. erunt emem extremae A. D. ijsdem me dijsC.B. aequales. Igitur per secundam partem priniae pro positionis huius Scholij erunt A. C. B. D. in ratione Aristia metica. Quod erat probandum. :, ii ii iiii i
mSI sint quotcumque magnirudines & aliae ipsis
squales a umero quae bini in eadem ratione Arithmetica sumantur, & ex aequalitate in eadem ratione Arithmetica existent. D
NM PSINT primum tres magnitudines A D. EG. HT.& aliae tres IN. OQJ S. sintque A D. EG. & IN. O in ration Arithmetica. Item EG. HT. & O RS. sint in ratione Arithmetica. Dico quoque ex aequalitate A D. HT. & IN. RS. esse in ratione Arithmetica. Sit priince A D. & secundar EG. differentia DC. Item secundae m. & tertiae HT. differentia GF. cui accipiatur aequalis CB. erunt HT.& EF. aequales ; item EG. AC. aequales erunt , ex quibus si demantur aequales GF. CB. remanebunt BA EF. id est I T. aequales . Differentia igitur ipsarum. A D. & HT. est pars BD. Eodem modo in secundis magnitudinibus si fit primae Im& secundae O sifferentia MN. item secundae O d tertiae RS. differentia P cui aequaIis sumatur ML. erit tota NL. differentia primae lN. & tertiae RS. Cum igitur Ain
168쪽
EG. HT.&om S. sunt in ratione Arithmetica erunt differentiae FG. P sequales: ipsi autem FG.est aequalis CB. &ipsi P equalis LM. Si igitur aequalibus DC. MN. aequales addantur CB. ML. erunt totae DB. NL aequales; est autem ostentiDB. disterentia primae AD.& rettiae I T.& NL. differentianimae IN.& tertiae RS. in sicundis magnitudibus. Igitu AD. M T.&M. RS. habentes aequales differentias DB. NL. ex definitione sunt in ratione Arithmetica. Sed sint plures magnitudines tribus,ita ursint etiam HT & V.& RS. X. in proportione Arithmetica. Dico adhuc AD. V. & IN. X. esse in Tatione Arithmetica. Ipsarum nim HT. V. differentia sit YT. cui aequales sumantur FLBΚ & ipsarum RS. X. differentia sit r S. cui aequales sumanis tur P a. L A. Eodem modo quo in prima parte huius propositionis probabimus DΚ.&NA. esse differentias ipsarum AD. V. & IN. X. easdemque esse inter se aequales. Igitur AD. V. & IN. X. erunt in ratione Arithmetica. Quod demonstratum esse volebamus.
THEOREMA IX. PROPOS. IX. Si sint quotcumque magnitudines in rationet, Arithmetica , Si totidem alie sumantur quq
eandem cum illis proportionem Geometricam habeant, singulae lingulis : habebunt etiam
posteriores rationem Arithmeticam. SINT tres magnitudines DA. CA.RA in ratione Arit metica & ut DA. ad CA. ita GP. ad FP.& ut CA. ad BA.ita FP. ad EP. Dico etiam GP. FP. EP. esse Arithmetice proportionales. Cum enim sit ex hypothesi vi DA. ad AC. ita GP. ad PF. erit diuidendo ut DC. ad CA. ita GF. ad FP Rursus cum sit v t C A. ad AB. ex hypothesi ita FP. ad PE rit per conuersionem rationis ut CA. ad CB. ita FP. ad FE Quare
169쪽
i s s Curui agrecti proportio promota.
Qtra re ex aequalitate, erit ut DC. ad CB. ita GF. ad FE.Sed CD, CB. sunt differentiae triuruantitatum AD.AC. AB. vi- . I
bentium rationem Aritime . I E Pticam ex hypothesi : aequales P --, ,-, -- , igitur sunt DC.CB. ex defini
tionem habentei: Sed etiam FG.FE. sunt differentiae trium magnitudinum PG. PF. PE. nimirum FG. ipsarum PG. PR& EF. ipsarum PF. PE. Igitur etiam tres magnitudines PG. PF. PE. sunt in ratione Arithmetica. Sint vero plures magnitudines tribus A D. AC. AB. AH. in ratione Arithmetica & sit praeterea ut BA. ad HA.ita ERad IP. Dico etiam GP. FP. EP. IP. habere rationem Arithmeticam. Nam cum sint tres magnitudines CA. BA. HA. in ratione Arithmeticas quibus Geometrice proportionales sunt tres FP. EP. I P. constat ex prima parte huius propositionis differentias HB. BC.tum inter se tum disterentijs IE. EF.esse aequales, aequales autem sunt BGCD. & EF. FG.exprima parte iturus. Quare tres differentiae IE.EF. FG. aequales sunt, ideoque quatuor quantitates GP. I P. EP. II ira, tionem Arithmeticam habent. Quod rat.&c.
THEOREM A X. PROPOS. X. SI primae quantitatis ad secundam ratio comis
ponatur ex ratione tertiq ad quartam A qui imtq ad sextam et erit ut prima ad secundam, ita tertia ad aliam ad quam quarta eandem rationem habeat quam quinta ad sextam. THEO.
170쪽
Constat etiam .positis qua in propositionr , essem primam ad secundam ita quintam ad aliam ad quam sit sex, avit tertia ad Partam. Nam quoniam ratio A. ad B. composia m ex rationibus C. ad Dre. S E. ad F. erit sine diser mine composta ex rationibus E. ad F. es C. ad D . eritque A. tertia quantitas , S F. quarta C. quinta Des.sexta hae-braeae Des.sexta ad M. eandem rationem quam E. terrie ad F. quartam. Eu autem ostensum esse ut A. ad B. ita C. - DG. Igitur ut prima A. ad secundam B. ita quinta C. ad BG. ad quam Des. sexta iras habet ut E. tertia ad quam tam F.
S i pxim* quantitatis ad secundam ratio com
natur ex ratione tertiae ad quartam,& quintae ad sextam: eiusdem primae ad secundam ratio componetur ex ratione tertis ad sextam , d quintae ad quartam Sit