장음표시 사용
181쪽
i o Curvi ac recti proportio promota.
dae, componitur ex rationibus tertiae& quartae, & rationexi ruine. quintae & sextae; obabimus ex sexta propositione terti j huius, quod ratio C. ad F. componitur ex rationibus A. ad E.& D. ad B. qui est modus decimus quartus. Item ratio A. h φ'-ad E componitur ex rationibus C. ad F. & B. ad D. qui estii es huius modus sextus tabulae ; denique ratio A. ad C. componitur ex rationibus E.od D. de B. ad F. qui modus est quartus in tabula. C. F. A. E. D. B. I . A. ad E. ex C. ad F. & B. ad D. 6. A. C. E. D. B. F. q. a J M'M Eodem modo, quo supra, ex septima textu huius, omisso primo trium posteriorum modorum, ex quo nihil noui amplius demonstrari potest, quoniam in secundo, ratio A.
13.3.huius.ad E. componitur ex rationibus B. ad D.&C. ad F. ctiam. ratio B. ad D. componetur ex rationibus A. ad E. & F.ad C. qui octauum modum tabulae constituit; praeterea quia in te dio ratio A. ad C. constituitur ex rationibus B. ad F. IId, uius E. ad D. etiam ratio B. ad F. constituetur ex rationibus
A. ad C. & D. ad E. qui modus est decimus tabulae . B. D. A. E. F. C. g. ad ex . ad & ad
a s,hmur. Eadem ratione, ex s. tertij huius ratio B. ad D. compo-,itata; nixur ex rationibus A. ad C. & F. ad E. qui cst septimus mi dus, & ratio B. ad F. componitur ex rationibus A. ad E. d. D. ad C. qui est nonus modus. At vero ex T. tertii huius. Quoniam ratio B. ad F. componitur ex rationibus A. ad C. hv & D. ad E. etiam ratio D. ad E. componetur ex rationibus. B. ad F. & C. ad A. qui i6. modus est in
182쪽
Denique in ultima serie quia ratio D. ad E. constat ex rationibus B. ad F.& C. ad A. ex propositione I sta 3. huius ra-1r.3 huius. tio D. ad E. constabit ex rationibus B. ad A. & C. ad F. qui est i s. modus. D. ad E. ex B. ad F. & C. ad A. t 1 s. Atque ita datis sex quantitatibus, quarum primae ratio ad secundam componatur ex rationibus tertiae ad quartam,& quintae ad sextam,omnes modos necessat ios directos quiabus ratio duarum quarumlibet ex aliarum rationibus componitur demonstrauimus.
Conuertentes autem superiorum modorum, ex X2. h- ., hi, . .
ius aperte demonstrantur ; nam in omnibus si merit primae ad secundam ratio composita ex rationibus tertiae ad quam tam , & quintae ad sextam, etiam ratio secundae ad primam componetur ex ratione quartae ad tertiam, & sextae ad quin tam . Quare etiam superiorum modorum conuertentes de monstrauimus i Quod propositum fuerat.
HInc patet quam facilius , mn sium modi omnes in Pra
semel prima coniugatione sex quantitatum, Unica pro- postione demon Brentur, quam infinitis, o Rainholis comment. in c. II. primi magnae constraemonis I sed reliqui reliquaeram quinque coniugationum modi, de quibus in Scholio praecedemtis propositionis, ac omnino omnes compositio es rationum nece saria , qua inter sex quaslibet quantitates existant: quod ingens compendium eB, ac ni fallor magnum in Geometricis v-
183쪽
i x Curui ac recti proportio promota THEOREM A XVII. PROPOS. XVII.
SI prima recta 5 . secunda angulum faciant a
quarum etremitatibus ducantur tertia ab extremitate primae, & quarta ab extremitat secundae in punctum eoncurrentes, S in oppositas
rectas quae angulum prius faciebant, incidentes, ita ut quarta primam bifariam diuidat: erit ut prima incidentium ad segmentum superius, ita incidentium secunda ad medietatem segmenti inferioriS .F A C r A T prima AG.cum secunda AB.angulum ad A. ab extremitatibus primae & secundae G. S B. ducantur GD. tertia & BE. quarta concurrentes in puncto. Z. & secet GD. oppositam rectam AB. in D. & M. oppositam AG. bis riam in E. Dico esse ut GD ad
DTita EB. ad medieta tem ipsius BZ. Vocentur autem Ain prima quantitas AB. secunda GD. incidentium prima e BE- incidentium secunda.Z. punctu concursus. EA. DA- ZE. ED segmenta superiora. ZG. ZB. EG. Diu segmenta inferiora. Quoniam ratio GA ad A E coponitur ex rationibus GD ad DZ. & BZ. ad BE. ut ex Pt lemaeo probauimus in Scholio 13. huius,etiam ratio GD ad DZ. componetur ex rationibus GA. ad AE. & EB. ad BZ. id est ex rationibus EB. ad BZ S GA ad AE. Igitur cum pri ui ad secundam DE. ratio componatur ex rationibus tertia: ER ad quartam BL & quintae AG. ad sexta AE. erit ut G ad DZ. ita EB. ad aliam ad quam sit quarta M. ut
. quinta ad sextum AE. Sed GA. ad A E. ex hypothesi habet
184쪽
habet ratione dupIam , ergo ut GD.ad DZ.ita EB. ad aliam ad quam BZ. habet proportionem dnplam, id est ad dimidiam ipsius Bae. Quod erat propositum.
THEOREM A XVIII. PROPOS. XVIII.
IIsdem positis: erit ut segmentum secundaequan
titatis superius, ad inferius, ita segmentum sua perius secundae incidentium ad medietate tria
inferioriS. SINT eadem quae superiori propositione. Dico est ut A D. ad DB. ita ZE. ad medietatem ipsius BZ. Quoniam ratio AG. ad GR constat ex ratione A D. ad DB. & M. ad ZE. Quod demonstrat Theon sexta prop. in I t. c put risAlmagesti,&Erasmus Rainholdus in idem caput ( quod ipse undecimum statuit proposit. a. &nos sequenti Sch lio ex illis authoribus demonstrabimus 3 erit etiam ratio AD. ad DB. composita ex ratione AG. ad GH & ZEad BZ. seu quod idem est ex rationibus ZE. ad BZ. &AG. ad GE. Igitur ut A D. ad DB. ita ZE. ad aliam ad quam M. habeat rationem quam M. ad GE. sed AG. ipsius GE. ponitur dupla. Igitur ut A D. ad DB. ita ZE. ad eam cuius M. sit dupla, id est , ad dimidiam BZ. Quod st tutum fuerat demolistrare
185쪽
x Curui ac recti proportio promota.
GE. eadem rationi AI. ad M. O Us repta M. erit ratio Aniad Eg. hoe es=. . ad GE. composita ex rationibus AI. ad Bae. OBE. ad ZE. est autem ratio M. ad BE. eadem rationi AD. ad DB. Igitur ratio M. ad M. constat ex rationibus AD. ad DB. O EZ. ad ZE.
IIsdem positis: erit ut secunda quantitas ad seue
mentum inferius, ita segmentum inferius prumae incidentium ad superius.
SINT eadem quae I . huius. Dico esse ut BA. ad DB. ita GZ. ad ZD. Quoniam ratio GE. ad EA. componitur rationibus GZ. ad ZD. & m. ad BA. ut ex Ptolemaei c. I a. magnae syntaxeos probauimus scholi I s. huius, etiam ratio hiata, ad ZD. componetur ex rationibus GE. ad EA.& BA. ad BD. seu quod idem est ex rationibus BA. ad DB. & GE.io. .huius. ad EA. Igitur ut GZ. ad ZD. ita BA. ad aliam ad quanta DB. habeat eam rationem quam GE.ad EA.sed GE.ponitur aequalis ipsi EA. Ergo ut GZ. ad ZD. ita BA. ad aequalem ipsi DB. nimirum ad ipsam m. Quod concludere vota
Iisdem positis, sint praeterea anguli BEA. BDG.
aequales : erit ut prima quantitas ad secundam, ita incidentium prima ad incidentium
secundam. SINT eadem omnia quae in schemate i .huius,& praeterea sint anguli BEA. BDG. aequales: Dico esse ut GA. ad AB. ita GD. ad BE. Ducatur EI. ipsi GD. parallela. Hinc ad duas G D.BE.constituatur tertia IE.erit ratio GD. ad IE-
186쪽
composita ex rarionibus GD. ad BE.& BE.ad IE. Rursus inter GA. AE. ponantur duae intermediae BZ.Zherit ratio G A. ad AE. coposita ex tribus rationibus GA. ad BZ. & BZ. ad Z D. & ZD. ad AE. ut vero GA. ad AE.ita GD.ad IE. ( aequiangula enim sunt triangula GAD. EA I. ob parallelas IEGD. quae essiciunt angulos externos I EA.
EI A. aequales internis AGD. ADG. Quare ex duabus proportionibus aequalibus GD.ad IE. & GA. ad AE. prima
ex duabus rationibus GD. ad M. & BE. ad IE. composita in i secunda ex tribus GA. ad BZ.& BZ. ad ZD. & ZD. ad AE. composita est, aequales igitur sunt duae rationes GD.ad BE.& BE. ad I E tribus rationibus GA.ad BZ.& BZ.ad Z D.& ZD.ad AE. aequalium enim quantitatum aequales sunt omnes partes simul sumptae. Igitur ex duabus primis rationibus auferatur ratio BE. ad IE.&ex tribus posterioribus ratio BZ. ad ZD. quae aequaliε seu eadem est rationi BE. ad I E. ( aequiangula enim sunt triangula BEI. BZD. ob communem angulum ad B. & ob duas paeallelas DZ. IE.
quae efficiunt angulos externos BDZ.BZD. aequales internis xy. r.
BIE. BEI. remanet ratio GD. ad BE. aequalis rationibus GA.ad BZ. & ZD. ad AE. Cum igitur ratio GD. primae ad
BE. secundam sit composita ex rationibus GA.tertiae ad BZ. quartam,& ZD.quintae ad AE.sextam,etiam ratio GD. pri
tionibus GA. tertiae ad AE. sextam,& ZD. quintae ad BZ. quartam, seu quod idem est ratio GD. ad BE. componetur ex rationibus ZD. ad BZ.&GA. ad AE. Igitur ut GD. ad 'D* BE. ita ZD.ad aliam ad quam BZ. sit ut G A. ad AE. ex io.
tertij huius. Sed GA.est ipsius AE.dupla, seu AE. est ipsius GA.dimidia: igitur ut GD.ad BE. ita ZD.ad dimidiam ipsius BZ. Sed ut ZD. ad dimidium BZ.ita EA.ad dimidium AB. c aequiangula enim sunt triangula BDZ. BEA.ob com- .
187쪽
x s Curui acrecti proportio promota.
munem angulum ad B. & aequales ad D. E. ideoque ut DE. ad ZB. ita EA. ad AB. & consequentium dimidia ut DT. ad dimidium ZB.ita EA.ad dimidium AB Igitur ut GD. ad BE. ita EA. ad dimidium AB. & posteriorum terminorum
dupla est GA.ad AB. ut GD.ad BE. Qiod &c. THEOREM A XXI. PROPOS. XXI.
Iisdem positis, sint praeterea anguli BEA. BDG.
aequales: etit ut secunda quantitas ad incidemtium secundam, ita segmentum superius incudentium secundae ad dimidium segmenti superim
ris quantitatis secundae. SINT eadem omnia quae superiori propositione. Dico
esse vi BA.ad BE. ita ZE. ad medietatem DA. Quoniam Parallelae sunt IE. DE. ex hypothesi, erit ut M.ad ZE ita BD. ad DI.assumatur extrinsecus media DA.constabit ratio BD. ad DI. id est BE ad ZE. ex rationibus BD.ad DA.& DA.ad DI. ut autem A D. ad DI. ita AG. ad GE. Igitur ratio BZ. ad ZE. composita est ex ratione BD ad DA. &ex AG. ad GE. Quare per tertium modum 16. huius critratio M. ad BD. composita ex rationibus ZE. ad O. & AG. ad GE. Igitur ut BZ. ad BD. ita ZD. ad medietatem DA. ad quam integra DA. rationem habet quam AG. ad sui dimidium GE. Vt autem BZ. ad Binita BA. ad B E. ( aequiangula enim sunt triangula BDZ.BEA.ob communem angulum ad B.& angulos BDZ.
188쪽
CHordae duorum arcuum inaequalium Iemi
circulum compIentium , eamdem habent rationem quam secans arcus minoris cum sinu toto ad tangentem eiusdem arcus, aut quam
tangens ad disserentiam secantis.
SIT circitius FAB. cuius centrum D. diameter BF. a cus minor FA. maior semicirculum complens AB. Chorda arcus minoris AF. maioris AB. sinus totus DA. Tangens eiusdem arcus FA. recta GA. ducta ex puncto A. ad punctum G. in diametro producta; ideoque DG. secans arcus FA.& GF.eius differentia FE. sinus rectus AE. versus FE. complementi ED. & recta BG. composita ex sinu toto BD. &secante m. Dico eam esse rationem BA. ad AF. quae est BG. ad GA. aut GA. ad GF. Erunt enim triangula BAF. & GAD. rectan gula ad A. quae diuidenturperpendiculari AE. communi ad a. g. basim in triangula similia, eritque ut BE. ad EA. ita EA. ad . s. FE. ideoque quadratum AE. tam rectangulo BEF.quain rectangulo GED. aequale est. Igitur aequalia sunt rectangula BEF. GED. atque adeo ut BE. ad ED. ita GE. ad Ep. & M. f.
diuidendo ut BD. ad DE. ita GF. ad FE. sed ut BD. ad DE. ita AD. ad DE. quod aequales sint, BD. AD.&ut A D. ad DE. ita GA. ad AE. ergo ut G F. ad FE. ita GA. ad AB. l. 8permutando, ac conuertendo, ut GA. ad GF. ita AE. ad U EF. sed ut AE. ad Ep. ita BA. ad AF. ergo ut Go, tangens s . arcus A F. ad GF differentiam secantis, ita chorda BA. ad chordam AF. Rursus cum rectangulum BGR sit aequati s c. o. quadrato GA. erit ut AG. ad GF. ita BG.ad .ideoque t si et chorda
189쪽
138 Curui ac recti proportio promota.
chorda BA. ad chordam AF. ita BG. composita ex sinu totS,& secante arcus AF. ad GA. tangentem eiusdem arcus A F. Quod erat propositum.
EX dictis manifectum ect esse ut m totam ad suum complementi arcus , ita disserentiam sicaniis ad simum versum. probatum enim es esse ut BD. ad DE. ita GF. ad F E.
Constat praeterea esse ut tangentem ad num rectam, ita disserenitam sera antis ad isnum versum eiusdem arcas. Nam demonstratam est esse ut GF. adFE. ita GA. ad ., COROLLARIUM. III. ADiae sequiiars ex eodem puncto circuit ad diametrum,
eiusdem arcus tangens , chorda, atque Aus ducantur; angulum a tangente es sua recto contentum a chorda secari bifariam. Nam cum ex eodem puncto A. ad diametrum ae frasai AG. M. AF. st que ut GF. ad FE. ita O. ad AE.ang I. s. la, GAE. Haiditur bifriam a chorda AF.
COROLLARIVM. IV. En ae probatum es esse vi m. ad GA. ita O. ad GF. THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIII.
r tum circulo inscriptibile ad quadra
rum chordae arcus Quadrante minoris r tionem habet quam secans eiusdem arcus ad suam differentiam , aut quam sinus totus ad sinum veTium . .
190쪽
dratum circulo inscriptibile ad quadratum cordae AF. arcus AF.quadrante minoris, ut est secans eiusdem arcus A F. ad GF.eiusdem secantis differentiam; aut ut est DF. sinus totus ad FE. sinum versum: Nam cum sit ut GF. ad FE. ita GA.ad Comss. 1.AE.& AD.hoc est FD. ad DE. & GD. ad DA. id est ad DF. i. - erit ut FD. ad DE.ita GD.ad DF.& per conuersionem rationis ut DF. ad FE. ita DG.ad DF. Assumantur duae BF. BF. seu eadem BF. bis,et it per primam terti j huius virectangulum sub BF. m. ad rectangulu sub BF. GF. DG. BF GF. BF. DF. FE. ita rectangulum sub M. DF. ad recta-gulum sub
BF. FE. sed ut rectangulum sub BF. DG. ad rectangulum sub BF. GF. ita DG. ad GF. e go vi DG. ad GF. ita rectangulum BFD. ad rectangulum BFE. at vero rectangulo BFD. aequale est quadratum circulo inscripti bit cum utrumque quadrati DF.sit duplum,& rectangulo BFE. aequale est quadratum AF. Igitur ut .secans arcus AF.ad FG. secantis differentiam, ita Quadratum circulo inscriptibile, ad Quadratum chordae FA. Vt autem DG. ad GF. ita ostensum est paulo ante esse DF. sinum totum ad EF.sinum versum: ut ergo DF. ad EF.ita quadratum circulo inscripti. bile, ad quadratum chordae FA. Quod erat &c.
Uadratum chordae ad quadratum tangentis eiusdem arcus est ut quadratum circulo in