장음표시 사용
171쪽
ico Curvi ac recti proportio promota
Sit ratio primae quantitatis A.ad secundam B. composita ex ratione tertiae C.ad quartam D. & quintae E. ad sextam F.sintque ordine ut sex datae magnitudines inter se,ita lines A.B.C.D. E. F. Fiat ex duabus C. E.rectangulum GHI .d ex duabus DF. rectangulum LHM.ita ut GH. HI.ipsis C.E.& HM. I L. ipsis DF. I rasint aequales erit ratio rectanguli GI. ad re
ad I M. id est C. ad D.& IH. ad I L. id est E. L
ad F. Sed etiam ratio A. ad B. composita est ex ijsdem rationibus C.
igitur est ratio A. ad B. rationi rectanguli GI. ad rectangulum LM. at vero ratio rectanguli GI. ad rectangulum LM. etiam componitur ex ratione GH. ad HL. id est. C. ad F. & IH. ad HM. id est E.ad D. Igitur etiam ratio A. ad B.componitur ex rationibus C. ad F.& E. ad D. Vt autem lineae A.B.C.D. E. F. ita 'nuntur magnitudines A.B.C.D. E. F. Igitur magnitudinum A. B.ratio componitur ex rationibus magnitudinum C. F. d. D.E. Quoq intendebamus probare . . .
THEOREM A XII. PROPOS. XII. SI primae quantitatis ad secundam ratio com
ponatur ex raetione tertiae ad quartam,& quii tae ad sextam: etiam conuertendo ratio secunadae ad primam componetur ex ratione sextae ad quintam,&quartae ad tertiam.
172쪽
Sint omnia quae superiori propositione. Dico rationem B.ad A.componi ex rationibus F.ad E.& D.ad C.Erit enim
gulu GI. ita B. ad A. est iv autem ratio rectanguli H le
THEOREM A XIII. PROPOS. XIII. :
SI primae quantitatis ad secundam ratio comis
ponatur ex rationibus tertiae ad quartam,& quintae ad sextam s. etiam ratio tertiae ad quartam componetur ex rationibus primae adsecundam s& sextae ad quintam.
A BEAT A. prima ad B. secundam rationcm compositam ex rationibus. C. tertiae ad D. quartam , & E. quintae ad P. sextam. Dico rationem C. ad in componi ex rationibus A. ad B. & F. ad E. Fiat enim vi E. ad F. ita D. ad G. Cum proportio A. ad A sit composita ex ratione C ad D. de E. ad F. id est D. adra proportio autem composita exr
173쪽
i g a Cu rui ad recti proportio promota.
tione C. ad D. de D. ad G. eadem est quae C. ad G. (Nam totum suis partibus simul sumptis aequale est erit ut A. ad. B. ita. C. ad G. Rursus cum ainimpta sit inter C. D. tertia G. Schol in erit ratio C. ad D. coinposita ex rationibus C. ad G.& G. ad
D sed ut C. ad G . ita A. ad B. & ut Gad D. ita F.ad E. cum enim posita sit D. ad G. vi E. ad F. erit conuertendo ut G.ad D. ita F. ad E. erit ratio C. ad D. composita ex rationibus A. ad B. & F. ad E. Quod demonstrare oportuit.
SI duorum rectangulorum ratio componatur ex rationibus primae rectae ad secundam, &tertiae ad quartam, rectangula sub prima &tertia, & sub secunda & quarta, erunt datis re mingulis propoytionalia. . j , D V O R V M rectangulorum E. F. ratio componatur rarationibus A. primae ad secundam B. dc C.tertis ad quartam D. fiatque rectangulum GI.sub rectis GH. HI. a qualibus primae A. & tertiae. C.&rectangulum LM. subrectis HM. HL. a qualibus secundae B. quartae II. Dico rectan-,j. . gula GI. LM. ipsis E. F. esse proportionalia. Rectangula enim GI. LM. haebent rationem compositam, ex ratione laterum GH. HM. id est A. B. & ratione laterum IH. HL. id est et D. sed etiam rectangula E. F. habent rationem con positam ex rationibus A. ad B.&C. ad D. igitur ratio inamguli E ad rectangulum F. composita ex ijsdem rationibus CX qa. bus ratio rectanguli GL adrectangulum LM. eadem
174쪽
Si duorum rectangulorum ratio componatur ex rationibus primae rectae ad quartam, Qtertiae ad secundam et rectangula sub prima & tertia, & sub secunda & quarta erunt datis r ctaugulis proportionalia.
DUORUM rectangulorum E. F. ratio componatur ex rationibus A. primae ad D. quartam' C.tertiae ad B. secundam, fiatque rectangulum GHI. sub rectis GH. HI.quae primae A. & tertiae C. sint aequales, de rectangulum LHM. subrectis L H. HM. quae B. secundae & D. quartae sint aequales. Dico rectangula GI. LM. rectangulis E.F.esse proportionalia. Rectangula enim GI. LM. habent rationem composi- β' tam ex ratione GH. ad H L. id est A. ad D. de ex ratione II . ad HMe id est C. ad B. sed etiam rectangula E. F. ponuntur habere rationem compositam ex rationibus A. ad D.&C. ad B. Eadem igitur est ratio rectangulorum GI. LM. & rectangulorum E. F. Quod a nobis probandum fuerat.
PTo meus lib. I. magna conBractionis caput ud Thmone, et True antium i a. apud Rainboldum undecimo , regu lam , quam vocant sex quantitatam , ingenisse admodum , ut reliqua omnia, excogitauit , quae non stam in demonstrationi-bas sphaericis, fid etiam Geometricis magnum momentum obtinere pre I ; ut exsequentibas patebit. Cum tamen haruis aquantitatnm plures connexiones e coniugationes e possint, ipse mora duas progresses non est , qaarum alteram vocat Rametis rubo et fcundum romposuione is, alter amo . Aese m
175쪽
is Curui ac recti proportio promota.
id eB, secundum diuisionem. Pramae Doram huiusmodi euapud Theonem, ex versione Io. Pisa Porta, ut quidem reae non admodum bonam ;Si in duas rectas AEnum Ogutam continem et, ab extremis producantur dua recta ficantes se inuicem , s quae angulum continent, ratio unius rectarum , quae is paliscipio angulum Omlinent , ad ipsam qua intercipitur ad angulim a pro ficta,coniuncta est, sae componitur , s ex ratione productae ab extremo dicta rectae, dr interceptae imus excessus alterius producta, ad alteram rectam continentiam angulum praeterea rati ne interceptae , ct a flectione productarum ad terminum ait rius angulum continentium , O ipsus producta Sed breuius , s clarius Regiomontanas Epitomatis ob. I. propositione nona Si a terminis daarum onearum ab angulo aliquo descem dentium , duae linea si est antea ,s per Asiendentes mutuo rescis fuerint: eris linea desien entis ad panem saam supe- riserem proportio , A duabus proportionibus, 'arum una es a termino latus descende ut is reflexaei, ad partem eius syra sectionem , aliae en partis infra smonem alterias reserua , ad totam eandem reseWam Smpos a. Eabem ac IIv-orum habent Ptolemaeus , ctet an qua intelligi nonpossunt sine aeniari in mone a grammatis, magis ad amussim Regiomonianus. Ab angulo A. descendat duae lineae AB. ea terminis
per defendentes, quae At LE. GD. canies se in Z. Dico quod proportio GA. ad AE. composita es ex duabus scilicet proportione GD. ad DE. O B
omniam igitur linea GD. EI. sunt aequid antes, ratio lineae c. g. GA. ad AE, eadem est quae linea GD. ad lineam EI. AF -
176쪽
TI. FB aurem es ratis A . ineae Ba. ad EI. eadem rationi lineae ZR ad Anflam M. eum mutae Uantes s ni lineae EI. ED. Rario igitur lineae .ad rem M. composita ex es ex ratione lineae d line moae. s ex ratione lineae EI. ad lineam sE. Ruod reo deis
Eadem modo demon abitur quod F Mundam diui ranem ratio lineae GE. ad lineam EA. composita est ex ration, linea GR. adan. s ex ratione taveae DB. ad BA. Duc a per A. punct m - λ nea M. aequi idiante lineae EB.
ZI. componitur ex ratione lineae m. -
- ----. Frisione lineae m. I ad lineam EI. EB aemem ratis lineae m. ad lineam EI. e kem qua est ratio m. ad BAE eo qModin aequi rarantes lineas M. FZB. dueta I lineae D. O Et mare ratio'lineasset: ad lineam m. componitur ex ratione linea M. ad lineam M. O ex ratione gineae DB.ad lineam EA.Porro ratio linea .ad EA. eadem eu qua linea M. ad lineam EI. Ergo ratio linea . ad lineam EA. componitur ex ratione linea M. ad lineam
177쪽
igc Curui ac recti proportio promota.
O. O ex ratione linea DB. ad lineam SA. Hyddemonstraa
Η Ienus Ptolemaevi 'im recte a monet Risu los pin Theonem coniugationis xavd ausi mr quadruplicem esse vari tate, xaeta abdup mp. da liaem. Nam fecundum compastionem, aut tota linea exterior confertar ad partem superiorem versus angulum , ais ad tartem inferiorem ab angulo I aut tota int Hor confertur a partem vel Aperiorem, vel inferiorem. At fecundum diuisionem, tam exterioris, quam interioris pars inferior ad superiorem refertur. uibus omnibus gula seu conuersim respondent. Vt exterior O. confertar aut cum AE. aut cum m. or tota interior . O. aut eum Det. aut cumGZ. aut exterioris pars inferior GE. ad superiorem EA. aut inisterioris pars inferior O . . Aperiorem ZD. O conuertenis . Singuli autem e vis demonsFrant T directi Midem a Theone,
3 AE. ad M. ex ratione SA. ad AD. et DC. O ad M. EB. ad BZ. M EA. ad M. S O. ad P is GE. ad O. ex M. ad an. o DX. ad BA. o M. ad ZE. ex BD. ad DA. O AG, ad ri stad Aliundus Arabs , di ab eo Ram idus, animaduertis, in singulis modis quos superius possimas , ISO. coniugationes directe fieri posse, totidem M.*- r exqaibas sit 3 o. pntvntes ac necessa , I a. impcssiua, religat malitis , atque A rvim 36. mpaestrum octodecimo es relidiorum coaevertentes. Maia autem necessari, in sex qui sobee quantitatibus in e Lbus prima ad secundam ratio componatur ex rationitas tertia ad quartam, O quinta ad fimam. lac tabula continentur . . Tabulis
178쪽
Tabula i 8. modorum necessariorum.
mram a tem modorum primum Ptolemem in prima comiugatione sex praedictarum quantitatum,septimum, octauum, undecimum, decimum septimaem Rainbolos ; reliquos omnes nos ahq ando totidem theorematis demonstrauimus , sed nunc,
quod miram videri posti, is quod vix feri passi quis credat omnes sequenti propositione com misimus.
179쪽
t 63 Curui ac recti proportio promota THLOREM A XvL PROPOS. XVI.
Atis sex quantitatibus quarum primae ratio ad secundum componatur ex rationiabus tertiae ad quartam, & quintae ad semiam; omnes modos necessarios, quibus ratio duarum quarumlibet, ex aliarum rationibus componutur, demonstrare. c ' ie o i t 1 i , ISint datae sexquantitates. AB C.D.E.F.ia quibus ratio A. primae, ad B secun dam, sit composita ex ratione Qtertig ad D. quartam , ct E. quintae , ad F. textam; propositum sic cdemonstrare,proportiones sex illarum quantitnum, octodeqcimmodis, quo in tabulam superiori Xcholio redegimus, directe,totidemque conuersim componi posse. Quoniam ratio A.ad B.componitur ex ratione C.ad D.&E. ad F. per primum modum datum, etiam ratio C. ad D. componetur ex ratione A. adB.& F.ad E.qui undecimus modus est. Item quia ratio A. ad B. componitur ex rationibus E. ad F.&C.ad D.etiam ratio E. ad F. componetur ex rati nc A. ad B.dc inad C. qui est modus decimus septimul, at iis eiustum tres modi in quibus itio , . .
A. B. C. D. E F. C. ad D. ex ratione A. ad B. &F. ad E. E. F. A. B. D. C.
IT componitur ; Iam vero in unoquoque horum modorum scx magnitudines pro ordine quem obtineut ordinalibus numeris
180쪽
numeris insigniantur; ita ut in primo sit A. prima quantitas, B. secunda, et tertia, &c. In secundo C. prima, D. secvnda , A. tertia B. quarta E quinta E. sexta, atque ita in reliquo , E. prima, F. secunda &c. Quoniam ratio A. ad B.componitur ex rationibus. C. ad D. exE. ad F. etiam ratio A. , , ad B. componetur ex rationibus C. ad F. & E. ad D. qui secundus modus est; praeterea quia ratio C. ad D.componitur ex rationibus A. ad B. & F. ad E. etiam ratio C. ad D. com-i r.s.liuinxponetur ex rationibus A. ad E.&F. ad B. qui duodecimus modus est. Ad haec quia rac o E. ad F. componitur ex rati nibus A. ad B. & D. ad C. cadem ratio E. ad F. componetur ii,
ex rationibus A ad C. & D. ad B. qui est modus decimus
IRRursus in unoquoque horum modorum sex magnitudines pro ordine quem habent ordinali numero assectae intelligantur. Quoniam ratio A. ad B.constat ex rationibus C.ad F. & E. ad D. etiam ratio C. ad F. conctabit ex rationibus is.f.huius. A. ad B. & D. ad E. qui est modus I 3. Item quoniam ratio C. ad D. constatur ex rationibus A. ad E. & F. ad B. etiam is 3 huius, ratio A. ad E. constabitur ex rationibus C. ad D. & B. ad F. qui est modus quintus. Denique quia ratio E. ad F. comis ponitur ex ratione A. ad C.& D. ad B. etiam ratio A. ad componetur ex rationibus E. ad F. & B. ad D. qui constituit tertium modum tabulae .
A. C. E. F. B. D. l 3. Praeterea quia in proximis modis ratio primae & secunis Y dae,