장음표시 사용
191쪽
r po Curvi ac recti proportio promota. SINT eadem quae duabus superioribus propositionia
bus. Dico esse quadratum chordae AF. ad quadratum tangentis AG. ut quadratum circulo inseriptibile ad rectregu lum BGD.contentum secante DG.& secante cum sinu toto, BG. Nam Corol . cum sit ut GF. ad FI . ita GA. ad AIq. id est GD. ad DA . seu GD. ad i.3.huius. ad DF. si assumantur BG.BF.erit ut rectangulum BG. GD. ad rectam gulum BF. DF. ita revingulum GD. DF. GF. FE. BG. BF.
BG.GF.ad rectanguIum BF. FE. & conuertendo erit rectanguluBIU . ad rectangulum BGD. ut rectangulu EO. ad re-Aangulum BGF. Sed rectangula BFD. aequale est quadradratum circulo inscriptibile,ut constat ex progressu superio- iris, ris propositionis,& rectangulo Bra. est aequale quadratum se. 3 FA.&rectangulo BGF. quadratum G A. Igitur erit ut quadratum circulo inscriptibile ad rectangulum I . ita quadratum AF. ad quadratum AG Quod erat demonstra
EX demonstratis conliat esse vi rectam tum BFD. ad re Oavatam AGD. ita quadratum FA. ad quadratum GA-Nam probatum est esse ut rectangulum BFD. ad rectangul- .m Dura rectangatam 'E. idere Padratam MF. ad rectava sitis EGF.id est quadratum O. .
192쪽
THEOREM A XXV. PROPOSITIO XXV.
Uadratorum chordarum inaequalium semicirculum complentium' maius ad minus rationein habet quam sinus totus compositus cum sinu complementi arcus cui minor chorda subtenditur, ad unum versum eiu dem arcus,&quam secans eiusdem arcus composita cum sinu toto ad differentiam secantis.
Supponantur adhuc superiora diagrammata. Dico quadratum BA. ad quadratum A F. esse ut BE. ad EF.& ut BG. Coros. r. ad GF. Cum enim sit ut EF. ad GF. ita EA. ad AG. & per Fului mutando ut EF. ad EA. id est EA. ad EB. ita FG. ad AG. sed est etiam ut FG. ad AG. ita GA. ad GB.erit ergo ut EA. ad M. ita GA ad
ad FG. ita EB. ad CB. & permutando ac conis uertendo ut BE. ad M. ita BG. ad GF.Rursus cum quadrato BA. sit aequale rectanguluir FBE.&quadrato FA. tectangulum BFE. habeantque dicta rectangula communem basim BF. esunt ut altitudines BE. EF. Igitur ut BE ad EF. ita rectangulum FBE. ad rectangulum BFE.id est quadratum BA. ad quadratum AF sed etiam paulo ante ostensum est esse ut BE ad EF. ita BG. ad GF. ergo ut BG. ad GF. ita quadratum BA. ad quadratum AF.Quod propositum fuit demonstrare.
HInc patet esse ut 'adratum sinus totius ad quadratum tangentis arcas , ptas num complementi dicti arcus adae erantiam sinus eam ementi O serantiae. Nams ponainr
193쪽
x in Curui ac recti proportio promota.
s A. sinus totas in triangase rectav s. erit M. Marens angati ABF. O BF. ferans eiusdem anguli , O BE. sinus rectus anguli BAE. qui ect complement m anguli ABF. EF. disserenita secaniis M. O snus complementi M. e' autem probatum esse ut quadratum D. ad quadratum AP. ira u. ad O.
Onclat etiam esse in AE. ad EF. ita BG. ad G F. hae Gnim in progressu demporallionis ostendebamus.
Uadratum tangentis arcus Quadrante minoris ad quadratum sinus totius rationem habet quam rectangulam sub aggregato sinus totius, & secantis ac sinu verso, ad rectangulum sub sinu toto, Ac sinu complementi.
SINT eadem omnia quae superioribus propositionibus. Dico esic quadratum AG. ad quadratum A D. ut rectangulum sub BG. FE. ad rectangulum BDE. Quoniam est ut GF.ad FE ita GA ad AE. id est AD. od DE. id est FD. ad DE. erit ut GF. ad FE. ita FD.ad DE.& permutando ut Gnad FD. ita FE. ad DE. Assuman-
lum sub BG. GF. ad rectangulum sub BD. FD. ita restingulum sub BG. FE. ad rectangulum sub BD.DE.sed rectangulo
194쪽
FD. quadratum A D. ut igitur quadratum AG. ad quadra tum AD. ita rectangulum BG. EF. ad rectangulum BDE. Quod intendebamus dcmonstrare .
THEOREM A XXVII. PROPOS. XXVII. SInus versus ad sinum totum cum secante ratione habet, quam rectangulu sub sinu compita menti & sub sinu verse , ad rectangulum sub sinu toto , & sub aggregato sinus totius & sinus
complementi. In schemate superiori.Dico esse ut EF. ad BG. ita re Mn- Comss. et gulum DEF.ad rectangulum DBE. Cum enim sit ut EF.ad hium FG. ita EA. ad AG. id est Eta ad DA. seu ED. ad DB. erit '' cui EF. ad FG. ita ED. ad DB. & cum sit ut BG. ad GF. itata Comss. a. BE. ad EF. erit ratio composita ex EF. ad FG. & FG.ad BG. 'hiarum eadem . quae compostae DE. ad BD. &EF. ad EB. Igu huius. rur ex g. 3. huius ut EF. ad BG. ita rectangulum DER n . . ad rectangulum EBD. Quod
THEOREMA XXVIII. PROPOS. XXVIII. Quadrara sinus totius,chordae arcus quadranta
te maioris,& chordae arcus qui prioris sit complementum ad duos rectos ordine coniuncto habent eam rationem quamma rectangula, primum sub secante & sinu toto; ecundum sub diametro & secante cum sinu toto s
195쪽
tgo Curvi ac recti proportio promota tertium sub disserentia secantis & diametro . Ac
tam quadrata quam rectangula ordine, ac coniun-
ctim se habent ut sinus totus; duplum compositi ex sinu complementi & sinu toto; & duplum sinus
versi minoris arcus et aut etiam ordine naec terna
rationem habent quam secans , duplum secantis cum sinu toto, & duplum disserentiae secantis.
Repetantur figurae praecedentes cum prop. 22. huius. Dico quadrata rectarum BD. BA. AF. eam habere ordine rationem,quam habent tria rectangula GDF. GBRGFB. Item quam tres rectae DF. duplum BE. duplum M.
Item quam tres rectae DG. duplum BG. & duplum FG. Quoniam tria trectangula sub FB. FD; &sub FB. & d pia BE; & sub FB. & dupla FE; ha bent eandem bax. s. sim FB. erunt ordine ut altitudines FD. duplum BE& duplum FE. sed rectanguli sub FB. FD. dimidium est quadratum FD; & rcctanguli sub O. ac duplo BE. dimidium est rectangulum FBE. ac denique rectanguli subduplo FE. & FB. dimidium est rectangulum Bre. quae omniat s. s. se habent ut sua dupla ; ergo quadratum FD. rectangulum FBE. & rectangulum Bra. inter se sunt ordine esui tres rectaro; duplum BE. & duplum FE. Rectangula autem FBE.,Vst aequale quadratum AB. & rectangulo Bra. quadratum A F.( nam cum in trianguli rectanguli DF. basim BF. ex angulo ... recto A. demissa sit perpendicularis AE. erit ut FB. ad BA.iγ. s. ita BA. ad AE. ideoque quadratum AB. aequale rectangulo FBE. I ut BF. ad D. ita FA. ad M. ideoque quadritu FA. aequalerectangulo BFE. Igitur quadrpta Fo; BA; AP,
inter se ordiis e sunt, ut tres rectar FI .dupla BE. de dusa m. Coroll. 1. Rursiis cum octensum sit superius esse ut ad Fh. ita s nutus. G A. ad AE. id est GD. ad D s. seu GD. ad DF. erit ut GF. ara. ita GD. ad DF. de conuertendo, o FE. ad FG. ita DF.
196쪽
DE. id est AD. ad DE. id est GA. ad AE. id est GF.ad FE. Quare ut
GF. ad FE. ita GR. ad BE. & conuertendo ut FE. ad GF. ita BE. ad G B. sed etiam paulo ante ostensum est esse ut FE. ad GF. ita DF. ad BG. erit igitur ut DF. ad BG. ita AE. ad CB. & FE. ad GF. & permutando, ut DF. ad RVita DG. ad GA. est autem ut BE. ad M. ita GD. ad GF. idemque ut DF. ad duplum BE. ita DG. ad duplum BG. & ut du plum BE. ad duplum FE. ita duplum BG. ad duplum FG. DF. Duplum BE. Duplum FE. DG. Duplum BG. Duplum FG. Cum igitur quadrata DF. ordine se habeant ut DF; duplum BE; & duplum FE; &vt tres illae rectae ita ordine sint DG. duplum BG. duplum FG. habebunt quadrata DF. BA. Fri. eam ordine rationem quam tres rectae DG. duplum BG. & duplum FG.
Denique tria rectangula sub O. O; & sub duplo CB. FB: de sub duplo M. & FB; cum habeant eandem basim FB. ierunt ordine ac coniunctim ut tres altitudines GD; duplum iGB; duplum FG. Sumpto autem in uno quoque rectangulo.
dimidio unius lateris, erit rectangulum sub GD. & FD. di midio ipsius FB. & rectangulum sub GB. FB.medietas prioris rectanguli sub duplo GB. & FB. & rectangulum sub FG. FB. medietas rectanguli sub duplo FG.& FB. Eruntigitur. rectangula GDF. GBF. GFB. unumquodque in ratione rectanguli dupli s sed rectangula dupla ostensa sunt esse in ratione rectarum DG. dupli GB. dupli FG. Igitur rectangula GBA. GDF. B. sunt ordine ut DG. duplum BG. Du
197쪽
ig g Curui acrecti proportio proniora.
quadrata DF. BA. I A. Igitur ordine,ac coniunctim eam rhtionem habent quadrata DA. BA.M. quam rectangulo GDF. GBF. B. Quod erat demonstrandum.
THEOREM A XXIX. PROPOS. XXIX. ,
T Ria Quadrata tangentis si chordat; & sinus
reisti eiusdem arcus inter se rationem habent ordine coniunctam quam ordinc petaturbato habent, composita ex sinu toto & secan- te; dupla sinus complementi; Q dupla secantis Et quadratum tangentis ad quadratum sinus recti eiusdem arcus rationem habet quam secans ad sinum complementi. Repetatur adhuc superiorum propositionum delineatio, in qua arcus A F. tangens GA. sinus rectus AE. chorda AF. Item secans DG. sinus complemonii ED. & composita ex sianu toto BD.& secante DG. recta BG. Dico Quadrata GA. IA. EA. ordine, ac coniunctim habere rationem quam habent ordine petaturbam totae BG; & dupla sinus complementi ED; & dupla secantis m. id est esse ut quadratum, GA. ad quadratum FA. ita BG. ad duplam sinus complementi ED. & ut quadratum FA. ad quadratum EA. ita HB. dupla secantis ad rectam BG. compositam exisinu toto, & secante Producatur BG. in qua ipsi GH sumatur aequalis GH.erit et recta BH.dupla secantis m. nam eum squales sint BD. DF '' saequales addantur FG. GH. erunt rotae m. di composita
198쪽
ex BD. GΗ. aequaIes; est autem m. secans , igitur duae BD. GH. secanti sunt aequales; tota igitur BH. ex duabus secantibus constat,ideoque secantis DG. dupla est. Rursus constat rectangulum BGI . quadrato GA. esse ae- c. s. quale; item rectangulum BFE. quadrato Ae & rectangulum BEF.quadrato AE. ( Nam ob similitudinem triangulo- ' 'rum BFA. AFA. item BEA. AEF. est ut BF. ad FA. ita FA. .. ad FE. Item ut BE. ad EA. ita EA. ad EF. ideoque tam re- i . s.ctangulum BFE. quadrato FA. quam rectangulum BEF. Quadrato AE. est aequale. Rectangula autem BGF. BFE. habent rationem compo-- sitam ex ratione GB. ad BF. & GF. ad FE. ut vero GF. ad .FE. ita GA. ad AE. (ob angulum GAE. bifariam sectum Coroll. x.
recta AF. &vt GA. ad AE. ita AD. ad DE. id est FD. ad DE. dc ut FD. ad DE. ( sumpto terminorum duplo ita duplum FD. ad duplum DE. id est FB. ad duplum DE. Igitura primo ad ultimum, ut GF. ad FE. ita M. ad duplum DE. Quare cum ratio B .BFE. sit composita ex rationibus GB. ad BF. & BF. ad duplam DE. erit ut rectangulum B . ad rectangulum BFE. id est quadratum G ad quadratum FA. ita GB. ad duplam DE. Insuper rectangula BFE. BEF. posita communi altitudiane EF. inter se sunt ut bases PB. EB. vi igitur FB. O BE. ita rectangulum BFE.ad rectangulum BEF. Quoniam vero est ut BE . ad EF. ita BG. ad GF. id est BG. ad GH. erit conue tendo,& componendo, ut FB. ad BE. ita HB. ad BG. sed ut plop. FB. ad BE. ita modo probatum est esse rectangulum Bra. ad rectangulum BEF. igitur rectangulum ME. ad rectangulum BEF. id est Quadratum FA. ad Quadratum EA. r tionem habet quam HB. nimirum duplum secantis ad BG. compositam ex sinu toto ,&secante. Cum igitur sit ut . quadratum, ad quadratum FA. ita CR ad duplum m. vi probauimus in prima parte huius; &vt quadratum FA. ad quadratum EA. ita HB. ad BG. Constat quod primo proponebatur. Et ex aequalitate erit ut BH.
199쪽
r g s Curvi ac recti proportio promota.
dupla secantis ad DE. duplam sinus complementi , ita Quadratum GA. ad quadratum EA. & priorum terminorum diamidia, ut secans DG. ad finum complementi DE.ita quadra tum O. ad quadratum EA. Quod erat propositum.
SI in triangulo rectangulo ex puncto ubi duo
latera angulum rectum esticiunt, duae rectat circa alterutrum laterum ducantur, quarum altera extra, altera intra triangulum basim secer, efficientes cum dicto latere angulos aquales: erit ut composita ex basi&segmento exteriori, ad segmentiam exterius, ita sigmentorum interiorum remotius ab exteriori ,-vicinius . SIT triangulum rectangulum BIF. curus basis BF. lat
ra circa angulum rcctum I. sint re. IB. expuncto I. in basim ducantur duae rectar IE. intra triangulum I T. extra, facientes anguloSEIF. FIG. aequales & secantes basim productam in tria segmenta, externum GF. interna BE. rem tius ab externo, & EF. vicinius,ac contiguum. Dico esse ut BG. ad GF. ita BE ad EF. Diametro B F. circa angulum rectum FIB. describatur circulus FIE. cadatque angulus rectus supra punctum contactus lineae dii me a puncto G. in circulumae producantur CI. IE. quae primo circulum siccnt in punctis ΚL. ac connectantur ΚB.XL. fiatque angulus XH. producta GΚ. in M.) aequalis angulo LM. Quoniam aequalia sunt rectangula BGF. ΚGI.em circa a gulumG. vim. ad GI. ita M. ad GF. & permutando ut m
200쪽
ad T . ita GI. ad O. aequiangula igitur sunt triangula GIA PGBΚ. &aequales anguli GIF. GgΚ. & cypI. GΚB. Item cum in triangulis IEF. EBL. aequales sint anguli ad E. verticem,& u. r. duo HE. EBL. eidem arcui Fc insistentes, aequiangula sunt T s tota triangula, sed angulo FIE. aequalis ponitur FI p. & ipsi i FIG. ostensus est aequalis Em. aequales igitur sunt anguli X BG. E. sed angulo Κm .factus est aequalis XBM. Igitur ΚBM. aequalis est tam angulo LBE. quam GIF. dc ME. a que ideo totus MEG. toti GIF. aequalis est, communis autem est angulus ad G. aequalis igitur est reliquus IEF id est BEL. si. r. reliquo BMΚ. Cum igitur duo triangula ΚBM. LBE. ha- ii heant duos angulos OM.BMΚ.aequales duobusLBIS. REL& Iatera X B. B L. aequalia ( cum enim aequales sint anguli Tm. LEE. aequales erunt arcus FΚ. FL. ideoque is complementa ad duos rectos ΚB.LB. ac propterea etiam earum chordae ΚB. LX. aequales) aequilatera erunt triangulata as. 3.ΚIM. BLE.&latus ΚM. aequale erit ipsi EL& IB. ipsi BM. ' Igitur cum angulus GIE. sit diuisus bifariam recta IF.ex hv pothesi erit ut GF. ad FE. ita GI. ad I E. & ut GI. ad IE. ita s. s. GB. ad BM. similia enim ostensa sunt triangula GIF. GBM.& vi GBad B M. ita GΚ. ad ΚM. aequales enim positi sunt, anguli X BG. ΚBM. ipsi autem LM. aequalis ostensa est EL.
erit igitur ut GF. ad FE. ita GR. ad EL. Rursus cum sit ut s. LGI. ad IE. ita GF. ad M. erit permutando ut GI. ad GF. id est ut BG. ad GΚ. ita IE. ad FE. id est BE. ad EL. & permu- . c. 'tando ut BG. ad BE. ita GΚ. ad EL. Cum igitur ostensum, sit paulo ante esse GF. ad FE. vi GΚ. ad EL. & nunc esse ut G Κ. ad EL. ita BG. ad BE. erit ut FG.ad FE. ita BG.ad BE. 'i' i' di permutando, ac conuertendo, vim. ad GF. ita BE. ad EF. Quod propositum erat demonstrare. Quod si recta ducta ex G. circulum non secet, sed tangat in puncto A. sitque triangulum rectangulum BA F. cum cuius latere AF faciant duae AG. AE. angulosaequales GA F. FAE. Dico rursus ut BG. ad GF. ita esse BE. ad EF. Ducta enim ex centro circuli D. recta ad punctum contactus DA. iaciet