장음표시 사용
201쪽
rui ac recti proportio promota.
s. i. 32. rard. g. 2'. sol p. g. . I. et . 3.
faciet angulum rectum DAG. r ctus autem est & B AF. quare si comum s auferatur angulus GD. r
manebunt aequales GAR DAB. sed ipsi GA F. ponitur aequalis FAE. & ipsi DAB. aequalis est DBA. -qualis igitur est totus GAE. duobus DAB. DBA. id est angulo GDA. Cum igitur duo triangula GAD. GAE. habeantaneusum communem ad G & an .
gulus GAE. aequalis sit angulo ADE. etiam reliqui GEA. GAD. aequales erunt , rectus autem est GAD. igitur rectus est & GEA. Quare ex 2. Coroll. et s. huius erit ut M. adita BE. ad EF Denique cadat angulus rectus sub punctum conlaetus,ut in X. & ut triangulum rectangulum B . cum cuius laterra RF. duaere ΚG. NE. faciant angulos aequales GΚF.FΚE. secentque dictae lineae circuli peripheriam in punctis I. N. & conn elantur rectat FN. FI. ac ducatur IE. secans peripheriam in L. ru sumque connectantur ΚB. BL. Dico rursus esse ut GB. ad BE. ita GF. ad FE. Quoniam aequales sunt a guli GΚF. FΚE. aequales sunt . arcus I F. FN. aequales igitur rectae
re cum duo triangula EFI. EFN. habeant duo latera EF. FLduobus EF. FN. aequalia & angulos EFI. EFN. dictis laterimbus contentoi pquales & basim IE. basi EN. aequalem habebunt, angulum IEF. angulo NEF.Rursus cum in triangulis ΚIE. LN E. angulus XIE. angulo LNE. utpote eidem arcui XL. insistens aequalis sit,& angulus IΚE. angulo Nis. itidem eidem arcui IN. insistens aequalis, & aequalia
202쪽
tralatera IE. EN. aequalia erunt & huera Ex. EL. Quare cum si in triangulis EΚB. ELB. anguli ΚEB. LER. aequales sint( sunt enim aequales angulis ad verticem NEF. IEF.qui modo os hesi sunt aequales & circa eos latera BE. EΚ.Iateribus BE. EL. aequalia erunt anguli ΚBE. LIIE.aequales:angulo au- . I. tem ΚD. seu OG. est aequalis angulus GIF. ut prima part huius propositionis probatum est,& angulo LRE. angulus FIE aequales igitur sunt anguli GIF. FIE. sed rectus est FI R Lin semicirculo. Igitur per primam partem huius propositi nis ut BG. ad GF. ita DE. ad EF. & permutando ut GS. ad BritaGH ad FE. Quod propositum fuerat demonstrare. COROLLARIVM. I. Ex dictis manifestam e P, s anguli Gre. NE. ponantur
aequales, angulos LBE. RAG. s arcus BL. u. coe LAEO. erram esse aquales , Osi arcus TR. O. OBL. u. aut angati LBE. UBG.ponantur aquales eis angulos GIF. FIE. esse aequales. Hoc enim in progressu prima partis demonstrationis probatames, nam semper angulus LM.angulo NE.θ --gulus NAG. angulo Im. erit aqvialis ossis autem angulis LM. REG qualibus,equales sunt arcus Utentes O.LF.es eorum complementa AB.LB.
Conflat pratereas anguli GO. FRE.ponantur aquales ,
etiam arcas Irm.item arcusBL.M.s eorum com e-menaa LF. TF. esse aqualia. uia ultima parte istas pria tu me fri
D - es in triangulo rectangulo GAD. ex amato recto GAD.in basem recta demittatur faeciens angulum GAE. qualem angulo ADG. Iamo. esse perpendicularem ad ba-
203쪽
is x Curvi ae recti proportio promota
s m O. e enim ferare a parte istas probatumere, eBque una
ex conuertentibus octauae sexti elementorum.
THEOREM A XXXI. PROPOS. XXXI. SI in triangulo rectangulo ex puncto ubi duo
latera angulum rectum essiciunt, duae rectae circa alterutrum laterum ducantur, quarum altera extra, altera intra triangulum basim secet, sitque ut com posita ex basi & segmento exteriori ad sigmentum exterius, ita segmentorum interiorum remotius ab exteriori ad vicinius, essicient duae illae rect* cum latere trianguli circa quod ductae sunt angulos aequales. SINT eadem quae priori propositione, nimirum sit
triangulum rectangulum BIF. cuius basis BF. latera circllia angulum rectum I. sint IF. IB. & ex puncto I. in basim duae rectae ducantur IE. intra triangulum IG. extra,facientes a gulos EI F. FIG. & secantes basim productam in tria segmeuta externum GF. . Ginterna vero BE. remotins ab extemo,& . hEF. vicinius ac continguum , sitque ut FBG. ad GF. ita BE. ad EF. Dico ansulos . 3GIF.GIE.esse aequales. Si enim non sint a
quales , sit primum GIF. maior quam DIE. & fiat FI P. aequalis ipsi GIF. cadatis. v, que punctum P. supra E. Quoniam re- ctus est angulus FIB. & aequales anguli GIF.FIE.erit per praecedentpin viam ad si s. o. ita BP. ad PF.sed etiam ex hypothesi Ney vi BG. ad GF. ita M. ad se, ut igitur , . . , BAE. ad EF. ita BP. ad PF- & componendo ut M. ad M. ita' i EF. ad FP. aquales igitur sunt O . PF. paridi totum: Quod F et est
204쪽
est absurdum. Idem sequetur si angulus Gre. ponatur minor angulo FIE. & punctum P. cadat infra E. Neque aliter procedit demonstratio in alijs casibus,ut in ducenti manifestissimum est. Igitur si in triangulo ex puncto &c. Quod oportebat demonstrare.
THEOREM A XXXII. PROPOS. XXXII. SI ex duobus punctis circumferentiae circuli
aequaliter a diametro remotis duae rectat ducantur quarum prior diametrum intra circu
lum, Si peripheriam secet; posterior per punctum ubi prior peripheriam secat transiens in diametrum
extra circulum incidat, ac ex puncto interno diametri ad diametrum perpendicularis ducatur peripheriam secans in puncto ; recta ex hoc puncto. ad punctum externum diametri ducta circulum
tangit. SIT circulus FAB. cuius diameter BF.a cuius puncto B, aequaliter remota sint I. Κ. in peripheria ci culi , id est arcus BI. arcui BΚ. sit aequalis& ducta I L. secet diametrum iutra circulum in E. & peripheriam in L. & ducatur per punctu L. recta XL.quae producta secet diametru pr ductam in G.denique ex E. ad diametrum BF. ducatur perpendicularis
EA. circuli peripheriam secans in A. ili connectatur AG. Bb Dico
205쪽
Coroll. 2.as. huius. I s. s. S. s.
1' Curui ac recti proportio promota.
Dico quod recta AG. circulum tangit in A. si enim AG.non sit tangens, sit quaepiam alia ut A M. Cum arcus XB. BI. sint aequales,constat ex Jo. 3. huius Coroll. i. & a. si ducatur LF. LR. angulo BLF. existente recto angulos EI F. FLG. esse aequales. Igitur ex a s. huius ut BG. ad GF: ita BE.ad EF. Rursus cum tangens sit, ex hypothesi,recta M A.& AE sinus rectus arcus AF. patet ex Corol. a. et s. huius esse ut BM. ad MF. ita BE .ad EF. Igitur ut BG. ad GF.ita B M. ad MF. &diuidendo ut BF. ad FG. ita BF. ad FM. aequales igitur sunt GF. M F. pars & totum. Quod est absurdum . Igitur si ex duobus punctis &c. Quod oportcbat demonstrare
Hinc patet ratio facilis ducendi tangentem circali ex datato puncto extra circulum, ut expuncto G. Ducatur primum diameter CB. hinc recta GLU. utcumque secans circulum in L. R. es auferens arcam RB. cui sumatur aequalis BI.Sex I. duratur IL. secans diametrum in E.perpendicularis EA. ad Hametrtim secabit circulum in A. puncto contactus, ut ex demonssi ratis in ipso textu aperte conflat,
THEOREM A XXXIII. PROPOS. XXXIII. SI ex puncto ubi duo latera trianguli angulum rectum faciunt ducta recta basim bifariam
diuidat,&ex eodem puncto perpendicularis ad dictam rectam, basim extra triangulum secet, atque a sectionis puncto perpendiculari aequalis in basi sumatur versus triangulum datum, ea basim trianguli in ratione laterum diuidet.
206쪽
SIT triangulum B AF. rectangulum ad A. Vnde demitatatur AD. basim BF. bifariam secans in D.&ex A. ad AD. perpendicularis duca- Λtur AG. secans basim productam in G. ac ipsi AG. aequalis sumatur GI. Dico est put BA. ad AF. ita BI. ad IF. Centro D distantia DB. vel DF. describatur circulus Aqui transibit per A.&ducatur ex A. recta IEA. perpendicularis ad DF. & connecta- tur IA. Quoniam angulo DAB. aequalis I Dest DBA. & angulo DBA. aequalis FAE.
ob perpendicularem AE. in basim trian- g. guli rectanguli cadentem , aequales erunt Banguli DAB. FAE. At quia rectat GA .aequalis accepta est GI. ducta AI. angulum DAE. bifariam diuidet , ut propositione go. primi huius demonstrauimus. o. i.huius. Ergo si aequalibus BAD. FAE. aequales addantur EA I. DAI. erunt anguli BAI. FAI.aequales. Igitur ut BA.ad AF. ita BI. ad IF. Quod erat demonstrandum. i '' .
THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXIV.
SI ad datam rectam infinitam a dato puncto
quod in ea non sit quatuor rectae ducantur, quarum prima & tertia , item secunda o quarta ad datum punctum angulum rectum eSciant, & cum partibus datae quas intercipiunt trianis gula restingula ; a puncto autem ubi tertia bas msecat quartae parallela ducatur primae occurrens: erit Ut tota parallela ad segmentum inter basim& secundam, ita rectangulum sub utraque basium, ad rectangulum sub segmento medio,&segmento inter extremas comprehensum. B b a Datum
207쪽
1 pc Curui ac recti proportio promota.
Datum sit punctum A. a quo in datam infinitam BG.ducantur quatuor rectae AB. A D. AF. AG. cfficiantque AB.AF. item A D. AG. angulos rectos BA F. DAG. ad punctum A. ita ut sint rectangula triangula BA F. DAG. quorum basses BF. DG. latera exteriora AB. AG. interiora DA . AF.&cx puncto F. parallela ipsi GA. ducatur FI. secans AB. in I. & AD. in H. Dico csse ut IF. ad FH. ita rectangulum BG. DG. ad rectanguluin BG. DF. Quoniam angulus DAG. positione rectus est, erit etiam FHA. rectus , sed rectus
etiam est positione IAF. aequiangula igitur sunt triangula IFA. AFH. estque ut IF. ad FA. ita AF. ad FI. ideoque aequale est quadratum A F. rectangulo II H. Rursus quia similia sunt triangula' GBA. FBI. ( ob angulum communem ad B. & externos BFI. BIF. aequales internis BGA. BAG. ) erit ut GA ad FI . ita GB. ad BF. & conuertendo ut FI. ad GA. ita BF. ad GR. & ob eandem causam in triangulis a quiangulis DAG. DI F. est ut GA ad FH. ita GD. ad DF. Cum ergo sit ut FI. ad GA.ita BF. ad GB. O ut GA. ad
GD. DF. FH. ita rectangulum BF. GD. ad rectangulum GB. I F. Quod propositum erat demonstrare.
HInc etiam efficitur esse virectangulum BCD. ad rectangulum BFD. ita madratum O. ad quadratum D. cum enim ex demonstratis in propossitione si ut GA. ad FI. ita GB.ad EF. svi GA.ad m. ita . ad DF. erit proportio composita ex GA. ad FI. S ex GA. ad FΗ. eadem qua composta ex GI. ad BF. O O. ad DF.fd ratio composieta ex GA. ad
208쪽
ad FI.sGA.ad FH.esi eadem quae q adrati m. ad rectangulam IFΗ. id esi ad quadratum FA. quod rectangulo IFΗ. in propositione demonuratum est aquale composita vero ex ratione GB. ad BF. es ex GD. ad DF. ect eadem enae rectanis guli BGD. ad rectangulum BFD. ut ergo rectangultim BGD. ad rectangulum BFD. ita quadratum GA. ad quadratum O.
Vodsi DA. DF. fuerint aquales , S defendat in BG.
THEOREM A XXV. PROPOS. XXV.F Aciant rursus rectie AB AF. 3c rectae DA. AG.
in datam BG. cadentes ex dato puncto A. angulos rectos B AF. DAG. & expuncto D. ubi secunda basim secat quartae parallela ducatur L. M. secans primam AB. in L. & tertiam A F. in M. Dico esse vi LD. ad DM. ita rectangnium BD. GF. ad rectangulum BG. FD.
NAM quia ob parallelas LD. AG. similia sunt triangula Bia . BAG. erit ut L D. ad AG. ita BD. ad BG. Ru sui
x3. g. 233 6. s. r. s. g. . s. Disitired by Cooste
209쪽
.3.huius. 23. s. s. s. . f. q. s. II. 6.
ts 8 Curui ac recti proportio promota.
sus quia ob parallelas AG. I M. similia sunt triangula DFM.
HInc facine deducitur esse vi quadratum G A. ad quais
tum DA. ita rectangulum BGF. ad rectangulum BDF. nam cum mensum sit eis ut LD. ad As. ita BD. ad BG. erit conuertendo ut AG. ad M. ita BG. ad BD. sed e I etiam ut Aq. ad DM. ita GF. ad PD. erit ergo proportio composita ex Aq. ad LD. O AG. ad DM. eadem qna composita ex BG. ad AD. O ex si F. ad FD. sed ratio composita ex Aq. ad LD. O AG. ad DM. eu ratio quadrati AG. ad rectangulum LDM. est ratio composita ex BG. ad BD. O ex VF. ad F D. ect ratio rectanguli BGF. ad rectangatam BD F. igitur ut quadratum AG. ad rectangulum LDM. ita rectari tum BCF. ad rectangulum BDF. sed rectangulo LDM. est aequale quadratum AD.( Nam cum parallela sint DM. AG. s rectus sit angulus DAG. ex tipathes rectus erit MDA. sed etiam postione reos ectLAM. Igitur similia sani triangula LDA. DAM . O vi LD.
ad DA. ita DA. ad DM. quare rectangulum LDM. quadra. to AD. aequale es ut ergo quadratum As. ad quadratum M. ita rectangulum βOP. ad rectangulum BDF.
210쪽
THEOREM A XXXVI. PROPOS. XXXVI.
SI expunctis diametri, ex quibus ad circum
rentiam tangens, ac sinus rectus eiusdem aracus ducuntur , duae aliae rectae peripheriam v bilibet in eodem puncto iacent: habebit ea quae ex puncto tangentis, ad eam quae expuncto sinus recti ducitur eandem rationem, quam tangens ad sinum rectum,SIT circulus FAB.
cuius diameter BF. a cus quilibet AF. cuius tangens AG.secans di metru productam in G.& sinus rectus AE. secas diametru in E. sumatur quodlibet purastum I. in peripheria, & ducatur GI. EI. Dico esse ut GA. ad Anita GI. ad