장음표시 사용
211쪽
io o Curvi ac recti proportio promora.
IE. eadat primo punctum I. inter A. & F. & connectaturco oli'IF. Constat primo angulum FIB. in semicirculo rectumas..huius. esse, Deinde manifestum est ex Corollario et . et s. huius esse. ut BE . ad EF. ita BG. ad GF. & permutando ac conuertens ' μ' do, ut BG ad BE ita GF. ad EF. Igitur, ex proposit, 31- s. s. huius, erit angulus GIF.aequalis angulo FI E. Ergo ut GI. Coroll, i, admita GF. ad Fig. sed etiam ex Coroll. a. 22. huius, i. ,' est ut GF. ad FE. ita GA. ad AE. Igitur ut G I. ad IE. ita est GA. ad AE. Quod primo propositum erat. Sed punctum assumptum in peripheria non sit inter F.&A.sed cadat interA.& B. ut in Κ.& ducantur ΚE.ΚG.Item que connectatur X F. Eodem modo quo prius, ostendemus cum angulus FΚB. in semicirculo sit rectus, & sit ut GB. ad BE. ita GF. ad FE. angulum G ΚE. bifariam diuidi recta ΚF. erit igitur ut prius,ut G Κ. ad XE. ita GF. ad F E. & ut GF. ad FE. ita GA. ad AE. ac proinde ut GΚ. ad XE. ita GA. ad AE. Cadat denique punctum assumptum in punctum , ubi diameter circululum secat, ac primum quidem in B. ac du- Coroll. i. cantur M. BE. Dico esse ut BG. ad BE. ita GA.ad AE. Estas. .nui . enim ex Corollario a. a s. huius ut BG. ad GF. ita BF. adco his S permutando ut BG. ad BE. ita GF. ad FE. sed ut i,.s.h u. FE.ad FE. ita GA.ad AE.ex Coroll. a. a 2.3.huius. Igitur ut BG. ad BE. ita GA. ad AE. Quod si punctum assumptum sit B. Iam probatum est Coroll. a. et r. 3. huius esse ut GF. ad FE. ita GA. ad AE. Quare si cx punctis diametri &c. Quod erat demonstrandum.
HIne sequitur esse ut EI. ad IG. ita ER . ad xc. nam dua illa proportiones , proportioni EA. da AG. eadema sint demonstrata, Cois
212쪽
diuidi. ITHEOREM A XXXVII. PROPOS. XXXVII.
SI ex quolibet puncto peripheriae ad punetita
diametri in qua incidunt tangens ac sinus dati arcus, duae rectae ducantur circuli peripheriam in duobus punctis secantes si interceptae inter puncta assumpta in peripheria & diametro , ad interceptas inter punctum diametri,& punctum sectionis in peripherias in t in eadem ratione.
SIT circulus FAB. in quo arcus AF. cuius tangens GA. sinus rectus AE. incidentes in diametrum BF. productam . ssumatur quodlibet punctum Κ. in peripheria, ex quo ad puncta G. E. ducantur rei, ΚG. ΚEM. secantes, peripheriam illa in I .haec in M.Erit LG. intercepta inter punctum assumptum Κ. &punctu G. in diametro; IG. vero interc*pta inter punctum sectionis I.& punctum G.
in diametro , recta VeroΚE. erit intercepta inter
213쪽
1ox Curui ac recti proportio promota
Κ.& iungantur I F. FM. EI. Quoniam aequales sunt anguli GΚF.FΚE.aequales erunt & arcus IF.FM.quibus insistuli aequales igitur & chordae IF. FM. &aequalia complementa IB. MB. arcuum IF. FM. quare aequales quoque IFE. EFM. illis insistentes cum igitur duo triagula IFE. MFE. habeant circa angulos aequales IFE. EFM. duo latera EF. FI. du bus EF. FM. aequalia,erunt& bases IE. EM.aequales. Insuper cum sit ut G Κ. adΚE. ita GI. ad I E. ex Coroll. a. prae cedentis , erit permutando ut G Κ. ad GI. ita ΚE. ad I E. id est ad EM. quae ipsi IE. ostensa est aequalis . Sit secundo punctum assumptum interpuncta AF. videlicet in I. 8c ducantur GIΚ. IEL. Dico rursus esse ut IG. ad GΚ. ita IE. ad EL. Nam cum aequales sint anguis ad verti. cem E. in triangulis IEΚ. MEL. & anguli XIE. LME. ei. dem arcui ΚL. item anguli MLE. IXE. eidem arcui I M. insistentes ; itemque aequalia latera IE. EM. ut modo probatum est , aequalia erunt & latera ΚE. EL. Iam vero cum sit ut IG. ad I E. ita GΚ. ad EX. ex Corollario I. praecedentis propositionis , erit permutando vi IG.ad G Κ.ita IE. ad EX. id est ad EL. quae ipsi EΚ. probata est aequalis . Sit denique punctum assumptum in diametro,ut in B.vel F. ac primo in B. Constat ex Coroll. a. et s. huius esse ut BG. ad GF. ita BE.ad EF. Quod si punctum assumptum sit in F. manifestum est,pe rationem identitatis esse ut FG. ad GF. ita FE. ad EF. Quod erat &c.
THEOREM A XXXVIII. PROPOS. XXXVIII.
Iisdem positis: si circa EG. circulus describatur
secans citculum FAB. in I. & ducantur IG. I F. IE. IB. Dico tres angulos GIF. FIE. EIB. esse inter se, ac singulos aequales semirecto.
214쪽
Rectus enim est uterque angulorum BIF. GIE. in semicirculo et aequalis item est GIF. angulo FIE. ex 36. huius ; uterque igitur semir ctus est, ergo & semirectus reliquus EIB. anguli recti FIB. Igitur ae- aequales ac semirecti sunt tres anguli GIF. FIE. EIB. Quod erat proposi
THEOREMA XXXIX. PROPOS. XXXIX.
x xum tangentis arcus quadrante mi
noris , ad quadratum sinus totius rationem
habet quam rectangulum sub aggregato sinus totius & secantis, & sub aggregato differentiae secantis & dupli sinus versi, ad rectangulum sub aggregato sinus totius & dupli stanus complementi, & sub sinu toto. SINT eadem quae superiori propositione. Sed ipsi ED. nimirum sinui complementi arcus A F. aequalis sumatur EM. versus G. di sinui verso EF. aequalis EN. versus D. erit GN. aggregatum ex differentia secantis GF. duplo sinus versi FE. EN. d. MN- aggregatum eli sinus comis plementi ME. id est ED. & sinu verso EF. ideoque MN. a qualis sinui toto DF. & BG. aggregatum ex sinu toto BD.
215쪽
xo Curui ac recti proportio promota.
secante DG. Denique BM. aggregatum ex BD. sinu toto &iDEx EM. duplo sinus complementi. Dico esse ut quadratum . GA. ad quadratnm AD- ita rectaugulum BGN. ad aectangulum BMN. Quoniam rci uagulum 8-δ GEta est aequale quadrato M. & rectangulum BEF. eidem qpadrato AE. aequalia erunt rectangula GED. BEF.. vi in progressu. 22. huius demonstratum est, id est, . g. rectangula GEM. BEN. ergo ut BE. ad EG. ita ME. ad EN. & sumptis antecedentibus, simul & consequentibus innui, ut tota BM. ad totam GN. ita ME. ad EN. & conuertendo ut GN. ad M. ita EN .ad ME. Rursus quoniam rectangulum BEN. rectangulo GEM. I . s. aequale est, erit ut BE. ad EM. ita GE. ad Eresumptis antecedentibus simul, & consequentibus simuI, ut tota BG. ad totam NM. ita GE. ad EN erat au-' tem ut GN. ad BM. ita EN. ad ME. Quare propositio composita ex rationibus BG. ad N M. & GN. ad BM. eadem est ei quae componitur ex rationibus GE. ad y ua. I:lq. &-ad NIE. Igitur ex s. huius ut . ad
ME. ita rectangulum BGN. ad rectangulum BMN. Sed ut GE. ad M E. ita G E. ad E D. ( cum positae sint aequales EM. ED & ve GE. ad ED. ita quadratum GA ad quadratum A D. ( nam quadrato AG. ae- a. &i hoc quale etsi rectangulum DGE- & quadxato AD. rectangulum GDE. & posita communi basi DG. rectangula . , se DGE; GDE. sunt ut altitudines GE. ED. Quare etiam Quadrata AG. A D. sint ut GH ED. Igitur ut Quadratum AG. ad quadratum A D. ita rectangulum
BGN. ad rectangulum BMN. Quod erat propositum
216쪽
SI a puucto in quo diameter peripheriam cidiculi secat in ipsa diametro aequales partes
sumantur altera extra circulum , altera intra ; & a puncto extra circulum in periph riam tangens, a puncto intra sinus ducatur arcum
secans ; Quadrata tangentis , & sinus posterioris arcus simul sumpta sunt dupla quadrati
chordae eiusdem arcus. Circulum FAB. secet diameter in F. puncto, a quo aequales sumantur FE. FΚ. illa intra , haec extra circuislum , & tangat XI. circulum in I. & EA. perpendicularis ad BF. seu sinus arcusFA. secet circulum in A. ducatur chorda AF. Dico quadrata HI. & AE. simul est dupla quadrati AF. AEquaI enim est quadratum XI. re ctangulo BGF. & quadratum FA. rectangulo BFE. & quadratum EA. rectangulo BEF rectangulorum aute BΚF.BFE. BEF. aequalis est altitudo FΚ.FE. FE. ex hypothesi , sunt igitur inter se ut bases BΚ. BF. BE. quare etiam quadrata XI. FA. EA. ordine sunt vi reetae BΚ. BF. BE. Sed rectae BΚ. BF. BA. sunt in proportionalitate Arithmetica , cum aequales sint earum .disse-
217쪽
xo s Curui ac recti proportio promora.
8,3 h lifferent EF. m. Igitur etiam, ex8.3. huius quadratas ΚI. FA. EA. sunt in proportionalitate Arithmetico, quare quadrata LI. EA. simul sumpta sunt dupla et 3.huius. quadrati m. vi in Schol. proposit. T.3. huius probatum est.
218쪽
THEO REMA I. PROPOS. I. I trianguli amblygonij angulum
obtusum duas tertias duorum rectorum continentem recta secans
faciat cum minori latere angulum rectum, & ex basi auferat partem aequalem minori lateri r erit maius latus maior duarum mediarum proportion
lium , quae inter minus latns & eius duplum sumi possunt.
SIT triangulum amblygorium HDC. cuius maius latatus DC. minus DΗ. quibus contentus angulus obtusus HDC. contineat duas tertias duorum orum , & ducta ex D. recta DG. ad I D. pcrpendicularis auferat ex basiΗC. rectam GC. aequalem rectae DH. Dico latus DC esse maiorem duarum mediarum proportionalium quae inter la- , tus DH. & eius duplum duci possunt. Producatur Cinquamlumlibet in Κ. & ducta ex re ad CD. perpendiculari
UA. quae sit dupla ipsius DH. Item DE. aequali ipsi DI .id
219쪽
xos Curvi ac recti proportio promota
compleatur parallelogram NE. diuisoque latere EN. bifariam in L.du
II. I. angulus MDC. sit duae tertiae duorum rectorus erit reliquus HDI. una tertia duorum rectoru ,
id est duae tertiae unius recti . ideoque H D. id est DE. dupla
ipsius DI. Itemque cum angulus H DC. sit duae tertiae dum rum rectorum id est quatuor tertiae unius recti, dempto PDG. tecto id est tribus terti js unius recti remanet GDC. Vna tertia unius recti. Rursus cum in triangulus XEL. ALNanguli ad E. N. sint recti , item anguli ad verticem L. & I
dig. i. tera adiacentia EL. I N. sint aequalia, aequalia erunt latera
33 ' ΚE. NA. id est ΚE. ED. est igitur ΚD. dupla ipsius ED. id est ipsius DH. quae posita est ipsi ED. aequalis. Cum ergo . . sit etiam H D. dupla ipsius DI. erit vi ΚD. ad DH. ita H D.
ad DI. a quiangula igitur sunt triangula ΚDH. HDI.angulus igitur DHΚ. rectus est, aequalis nempe angulo HID.&angulus HΚD. aequalis angulo IH D. est una tertia recti, ideoque aequalis angulo GDC. qui ostensus est una tertia recti: parallelat igitur sunt ΚH. DG. Quare ex ijs quae demonstrara sunt a Nicomede apud Pappum Alexandrinum lib. s. collectionum mathematicarum prop. 3. & Eutocium in a. de sphera & cylindro Archimedis patet latus maius DC. este maiorem ex duabus medijs proportionalibus p sitis inter DH. minus latus,& rectam DA. duplam lateris Di . Quod erat demonstrandum. ι
220쪽
TRiangulum rectangulum constituere , ac
parallela ad minus latus ita secare ut quatuor segmenta sint in continua ratione.
Ducatur recta MC. utcumque, quae diuidatur in B.extre ma ac media ratione: eademque diuisa bifariam in G. dea
scribatur semicirculus MEC.ad quem ducatur ex B.perpendicularis BE. secans semicirculum in E. & connectantur ME. CE. ipsique BC. accipiatur aequalis MA.&ex A. ad ME.ducatur Perpendicularis A N. Dico factum esse quod proponebatur g nempe triangulu MEC. rectangulum ad E. ita diuisum recta NA. paralicia ad EG. quod minus esse latus mox ostendemus ut sit velut A C. ad NE . ita NE. ad A M. & AM. ad MN. Ducantur ad EC.per pendiculares A D. BF. Quoniam est ut C M.ad MB.ita MB. ad BC. crit MB. media proportionalis inter CM. BC. sed e- s. r. tia in CE. est media proportionalis inter C M. BC. aequalcs I igitur sunt CE. MB. Quare ut EM. ad MB. ita EM. ad EC. i.. i. sed vi EM. ad MB. ita CM. ad ME. vi igitur CM.ad ME. ita ME. ad EC. maior autem est basis CM. latere ME. igitur e tiam maius est latus ME. latere E C. Rursus quoniam acceptae mutaequales MA. BC. addita communi AB. erunt MB. AC. aequales, aequalis autem est MB. ipsi EC.ut modo pro batum est: igitur etiam aequalis est A C. ipsi EC. Et MC. etiain A. secta est extrema ac media ratione, cum sit ut CM. ad Z iMA. ita C M.ad CB.quae quidem CB. minus es segmentum ex hypothesi. Cum vero in triangulis MNA. BFC. rectangulis ad N. dc F.&aequiangulis ob parallelas NA .EC. aequa