장음표시 사용
221쪽
xio Curvi ac recti proportio promota.
fi les sint bases BC. MA. ex hypothesi, aequalia erunt latera FC. NA. &BF. MN. inter se. Iterum quoniam recta Metsecta est extrema ac media ratione in B. & A. erit tam MB. quam AC. maius segmentum, & tam MA. quam BC. mi- schol. s. is, nus: detracto igitur MA. ex MB. remanebit maius segmentum MB. sectum extrema ac media natione in A. eritque AB. minus, MA. maius segmentum. Quare cum aequales sint BC. BA. ipsis M A. AB. etiam AC. secta erit extrema ac media ratione in B. Igitur in triangulo rectangulo ADC. ipsi MEC. simili similiterque posito basis A C. secta est extrema ac media ratione in B. ideoque erit DC. ipsi BC. id est ipsi MA. aequalis (Nam cum similia sint triangula ADC. MEC. in quibus bases MC. AB. similiter foratae in A. B. sitque A C.
ipsi EC. aequalis, erit etiam BC. ipsi CD. aequalis ex regulis proportionum Erit igitur ut CA . ad AD. seu ad NE. ita s . i. AD. seu NE. ad DC. ( cum enim similia sint triangula MEC. ADC. sitque vi CM. ad ME. ita ME. ad EC. erit etiam ut C A. ad AD. ita AD. ad DC. nempe ad CB. id est ad AM. quae partim probatae, partim sumptae sunt aequales ri. sed est etiam ut CA . ad AD. ita AM. ad MN. ergo ut EN. ii, s. ad AM. ita AM. ad MN. probatum igitur est esse ut CA . ad NE. ita NE. ad AM. & A M. ad MN. Quare triangulum rectangulum constitutum est&c. Quod erat faciendum.
HInc manifestum eu,s r Ia diuidatur extrema ac me
dia ratione, super qua constituatur triangulum rectangulum a cuius angulo recto perpendicularis ad basem incidat infectionem , esse in basim ad maius,ita maius latus ad minus.
Probatum enim est in propostione, in qua hac essecta sunt, esse vi CM. ad M. ita ME. ad EC.
222쪽
Conclai etiam i dem p iis maius figmentum bassis, miis
non lateri os aqua . Demo ratum namque e Pmentum MB. lateri Em esse equale.
THEO REMA II. PROPOS. III. SI in triangulo rectangulo sit ut basis ad ma ius latus , ita maius latus ad minus; demissa ex angulo recto perpendicularis in basim sim
Cat eam extrema ac media ratione & maius sedimentum minori lateri est aequale. Repetatur figura propositionis praecedentis ac in triangulo rectangulo ad E. sit ut CM. ad ME. ita ME. ad EC.siraque EB. ex angulo recto E. perpendicularis ad basim MC. Dico MC. sectam esse in B. extrema ac media ratione segmentum MB. lateri EC.esse aequale. Cum enim sit ME. ad Eet vi CM. ad ME. ex hypothesi, & ut CM. ad ME. ita ME. ad MB. erit ut ME. ad EC. ita ME. ad MB. aequales igitur sunt EQ&MB. quod secundo proponebatur. Rursus quoniam aequales sunt EC. MB.erit vi MC.ad CE. ita MC. ad MB. sed vi MC. ad CE. ita EC. id est MB. ad '' ' BC. vi igitur MC. ad MB. ita MB. ad BC. Quod primo propositum fuerat.
THEO REMA III. PROPOS. IV. SI in triangulo rectangulo tria latera sint continue proportionalia , basisque secetur extre-
223쪽
a. I r. Curui ac recti proportio promota.ma ac media ratione, sitque maius segmenturita maiori lateri contiguum recta: ex angulo recto in
sectionem demissa est ad basim perpendicularis.
SIT in triangulo rectangulo ad E. vi CM. ad ME. ita ME. ad EC. & diuisa MC. in B. extrema ac media ration ducatur EB. & sit MB. maius segmentum maiori lateri ME. contiguum. Dico EB ad MC. esse perpendicularem. Si s. huius. enim non, sit quaepiam alia EA. perpendicularis ad basim MC. erit ex praecedenti CM. secta in alio puncto ut in A. extrema ac s. d. iii g media ratione, sed etiam secta estar. in B. extrema ac media ratione, e go vi CM. ad MB. ita MB. ad BC. estque quadratum MB. rectangulo MCB. aequale eodem modo erit quadratum MA. rectangulo MCA. aequale, sed rectangulum MCA. maius est rectangulo MCB. ergo quadratum M A.quadrato MB.eritniatus,pars toto. Quod est absura
PROBLEMA II. PROPOS. V. TRiangulum rectangulum constituere cuius tria latera,& basis ab angulo recto ad basim sint continue proportionalia.
Ducatur recta MC. utcumque quae diuidatur in B. extrema ac media ratione ; eadian bifariam diuisa in G.describa tur semicirculus M EC ad quem ducatur ex B. perpendicularis BE. & connectantur ME. EC. Dico factum esse quod THE
224쪽
proponebatur, nempe esse ut CM. ad ME. ita
ME. ad EC. & EC. ad EB. Ac primo quidem esse ut CM. ad ME. ita ME. ad EC. patet ex Corollario primo praecedentis. Quod vero sit ut ME. ad EC. ita EC. ad EB. probatur , est enim vi ME. ad EC. ita CM. ad ME. ex dicto Corollario , sed ut CM. ad AIE. ita CE. ad EB. ergo ut ME. ad EC; ita EC. ad EB. si Igitur triangulum rectangulum constituimus,&c. Quod erat faciendum.
M FBam etiam in in eodem triangulo minus ementum BC. esse quatuor rectis CM. ME. EC EB. quinio loco proportionale et Cum enim triangulum EBC. triangulo CME. si mile , sique MCM. ad ME, ita ME. ad m, erit s. cetiam ut O. ad EB. ita EB. ad BC
SI trianguli rectanguli cuius tria latera sunt
continue proportionalia latus maius pro portionaliter sectum fuerit: erit maius se mentum perpendiculari ab angulo recto ad basim ductae a quale,
225쪽
o Curui ac recti proportio promota.
Trianguli IsEC. rectanguli ad E. tria latera O. ME. P ii EC.sint continue proportionalia, a cuius angulo E. in basima. Euitu. h. perpendicularis ducta sit EB. erit CM. in B. secta proportionaliter, seu extrema ac media ratione , minusque segmentum erit CB. maius BM. sumatur MA.aequalis ipsi CB. erunt CA. MB. aequales ideoque A C. maius segmentum M A .minus lineae M C. proportionaliter diuisae. Ducatur AN. parallela ipsi CE. cum sit ut CA .ad A d. a. i . ita EN. ad NM. erit EM. secta in N. pro- . portionaliter , cuius maius segmentum EN. minus Nu.Dico EN. esse aequalem ipsi EB. Nam ut 3 E. ad EB. ita M C. ad CE. & vis C. ad CE. ita I C. ad MB. (aequales enim 3. ,huius, sunt EC. MB. ex Scholio et . . huius & A C. ad AC. (nam '' - aequales ostensae sunt AC. MB.) & vi MC. ad AC. ita ME. ad EN. ergo a primo ad ultimum ut id E. ad EB. ita ME. ad s. s. EN. aequales igitur sunt EB. EN. Quod erat demonstra
Eae dimi felle demonBrari pote AF rectas etiam O. AB. esse aequales. Ducta enim ad EC. perpendiculari S 3. 6, cum duo triangula CEM. EBC. similia sni,s smiliter secta in F. B. sitque MB. a- qualis ipsi EC. erit EF. aqualii ias BC. F
igit- ex re alibus GC. O. auferantur a- quiues EF. CB. remaneny aequales m. Am
etsi, r. sed im m. es aequalis O. ( nam in tria gulis aequiangulis BFC. MNA. etiam latera MA. BC. sunt aequalia ideoque s reliqua NA. m. misistis igitur sunt M. AN.
226쪽
THEOREM A V. PROPOS. VII. SI intra triangulum rectangulum rectae ab e dem puncto basis ad utrumque latus perpendiculares ducantur , circa quas descriptus circulus in basi aequalem minori perpendicularium
interius compraehendat, exterius duas partes aequales ri inquat: secabitur basis a circnto extrema ac media ratione , eruntque tria latera trianguli im
continua ratione. Intra triangulum rectangulum MEC. a puncto basis A. ducantur duae AN. AD. perpendiculares ; illa ad maius latus ME. ista ad minus EC. , descriptus circulus NAB. cenistro P. circa parallelogrammum NADE. abscindat ex basi MC. intcrius rectam AB. aequalem ipsi AN. &rectae A M. BC. sint aequales. Dico basim A C. s ctam esse, tam in A. quam in B.
que esse ut C M.ad ME. ita ME.ad EC. Connectantur BD. AE. Quynia aequales sunt NA.ED. item NA. AB. ex hypothesi , aequales erunt ED. AB. parat telae igitur sunt AE. BD. ( Nam cum aequales sint arcus ED. AH addito communi BD. aequales erunt arcus EB. A D. ideoque aequales anguli AED. E AB. & eodem modo anginti EDB. ABD. probantur aequales,sunt autem anguli AED. ABD.aequales duobus rectis, igitur AED.EDB. sunt aequales duobus rectis, ac propterea AE. BD.parallelae) igitur ut
AB. ad AC. ita ED. ad EC. aequales igitur sunt AC. EC. sed
227쪽
xis Curvi ac recti proportio promota.sed ipsi CA. est aequalis BM; (cum enim positae sint aequales
MA. BC. addita communi BA. erunt aequales CA. BM. aequales igitur sunt CE. MB. Rursum cum semicirculus sit ADE. continens angulum rectum EDA .erit etiam ABE.a gulus rectus. Quare cum latus minus EC. sic aequale mal ri segmento MB. erit, ex demonstratis in superioribus pro positionibus CM. secta in B. aut A. extrema ac media ratio ne, ideoque etiam ex dictis erit ut CM. ad ME. ita ME. ad EC. Quod fuit demonstrandum.
THEOREM A VI. PROPOS. VIII. SI in triangulo rectangulo cuius tria later sunt continue proportionalia a puncto basis in quod ex angulo recto perpendicularis demissa est, in latus maius perpendicularis ducatur erit illa segmento minori basis aequalis .
In triangulo rectangulo MEC. sit ut basis CM. ad latus ME. ita ME. ad EC. & ex angulo MEC.ducatur EB.ad basim MC. perpendicularis, & ex B. ad latus maius ME, perpendicularis BO. Dico BO. ipsi BC. esse aequalem . Sumatur vi in secunda huius MA. aequalis ipsi CB. &ducantur perpendiculares AN. ad ME. & AD. ad EC. secans OB. in S. Item ducatur perpendicularis BF.ad EC. Cum OS. NA. sint aequales itemque
NA.& FC. ut a. huius ostendimus erunt OS. FC. aequales, additis igitur aequalibus aequales erunt OB. DC. at vero aequalis est DC. ipsi BC. ut a. & tertia huius ostensum est, mquales igitur sunt OB. BC. Quod erat demonstrandum. THEO-
228쪽
LIAE R I I I I. 2ITTI EOREMA VII. PROPOS. IX. SI angulum obliquum maiorem in triangulo
rectangulo cuius latera continue proportionalia diuidens recta secet oppositum latus extrema ac media ratione, secabit dictum angulumbifariam i & si secet bifariam secabit extrema ac
media ratione. SIT rursus triangulum MEC. in quo ut CM. ad M. ita ME. ad EC.& recta CO. diuidens angulum maiorem MCE. secet oppositum latus ME. in o. extrema ac media ratione, ita ut OM. sit maius segmentum OE. minus. Dico angulum ECO. esse aequalem angulo OCM. Ducatur OB. parallela ipsi EC. erit ut MO. ad OE. ita MB. ad BC. secta est autem ME. in O. extrema ac media ratione; igitur etiam M C. in B. eodem modo sectae
est, aequalis igitur est EC. ipsi MB. ex J. huius.Vt igitur MC. ad CE. ita MC. ad MB. id est EM. ad Mo. id est MO. ad OE. aequalis igitur est angulus ECO. angulo OCM. Quod
Sed rursus in triagulo praedicto sectus sit angulus ECM. recta CO. bifariam. Dico rectam EM. sectam esse in O. extrema ac media ratione. Nam quoniam angulus EC M.fectus est bifariam crit vi MC. ad CE. id est ut CM. ad MB. ita MO. ad OE. sed ut MO. ad OE. ita MB. ad BC. ergo ut C M. ad MB. ita MO. ad OE . sed ut CM. ad MB. ita EM. ad MO. Igitur ut Mo. ad OE. ita EM. ad MO. Igitur secta est MC. in O. extrema &c. Quod erat &c. Ee THEO-
g. huius. I. s. q. s. defin.3. c.
229쪽
his Cumi ac recti proportio promota. THEO REMA VIII. RROPOS. X.
SI in triangulo rectangulo perpendicularis exangulo re sto in basim demi sta auferat seg
mentum aequale minori laterit: erit basis se cha extrema ac media ratione, & tria latera continue proportionalia.
IN triangulo rectangulo MEC. perpendicularis EB. ex angulo recto E ad basim MC. ducta auferat segmentum M B. aequale minori lateri EC. Dico MC. esse sectam in B. cxtrema ac media ratione;& esse ut CM ad ME. ita ME. ad EC. Nam quon iam aequales sunt EC.MB,ex hypothesi erunt quadrata EC. MB. aequalia,sed quadra- -M Z e, to EC. est aequale rectangulum MCB. Igitur quadrato MB. aequale est rectanidi. g. gulum MCB. vi igitur CM. adlMB. ita s. desin. MB.ad BC. quare M C. secta est in B.extrema ac inedia ratione. Quod primo C aeerat probandum. s.& ir. g. Rursus quoniam quadratum E M. est aequala rectangulaCMB. ipsi autem MB. aequalis ponitur EC. erit rectarint a T. e. luna MCB. aequale quadrato ME. Igitiar ut CM. ad ME ita ME. ad EC. Quod secundo efiiciendum erat
THEO REMA IX. PROPOS. M. SI in triangulo inaequalium laterum, continue
proportionalium ex angulo in oppositurm latus recha ducatur illud secans extrema ac media ratione , ita ut maius segmentum maiori lateri adhaerens sit aequale minori laterum: angu
230쪽
LIBER IIII. xl 'litam ex quo recta ducta est, quam quos cum la
tere occurente facit, recti sunt. Sit triangulum MEC. inaequalium laterum, ita ut sit sicut CM. ad ME. ita ME. ad EC. & ex angulo E. ducta Est in latus MC.illud secet in B.media & e trema ratione, sitque segmentum contigium latcri ME. aequale lateri EC. Dico angulos MEC. EBC. csse rectos. Nam quoniam recta MC. secta est in B. extrema ac media ratione, ex hypothesi, erit rectangulum MCB. quadrato MB. id est quadrato EC. ( ponuntur enim aequales MB. EC. aequale . Rursus quia exsuppositione est ut CM. ad ME. ita ME. ad EC. erit quadratum ME. rectangulo MCE. id est CMB. ae quale. Quare duo rectangula MCB. CMB. duobus quadratis CE. EM aequalia sunt, at duobus rectangulis MCB. EMB. aequale est quadratum CM. Igitur quadratum M. aequale est duobus quadratis CE. EM. Igitur rectus est a gulus ME C. Quod primo probandum fuit. Sed dico etiam EBC. esse rectum, seu EB. esse perpendiis cularem ad MC. Nam cum in triangulo rectangulo MEC. in angulo recto MEC. ducta sit EB.ad MC.secans illud e trema ac media ratione, sintque tria latera CM. ME. EC. continue proportionalia erit FB. ad MC. perpendiculari hiiiii. Quod secundo demonstratione comprobandum erat.
PROBLEMA III. PROPOS. XII. TRiangulum isosceles describere ex cuius angulis ad opposita latera aequalia duine perpendiculares ea secent propartionali