장음표시 사용
231쪽
xxo . Curui ac recti proportio promota.
catur recta MC. utcumque quae diuid tur in B. extrema ac Mmedia ratione , seus quod idem est , ut
multis usurpatur pr portionaliter: eademque diuisa bifariam in G.describatur semici culus MEC. ad quem
ducatur ex B. perpendicularis BE.secans s micirculum in E. connectatur ME. CE. ipsique BC. accipiatur aequalis MA. atque connectatur EA. Dico triangulum ACE. esse Isosceles, cuius late ra EC. AC. sunt aequalia ,& latus AC. perpendiculari EB. sectum est proportionaliter. Quoniam aequales sunt positae BC. MA. addita communi AB. aequales 3- hutiis, erunt MB. AC. ipsi autem MB. est aequalis EC. Igitur etiam ipsi AC. est aequalis EC. Triangulum ergo Isosceles est A . sed MB. est maius segmentum lineae MC. proportionaliter sectar: igitur etiam AC. est maius segmentum lineae MC. proportionaliter sectae , sed Schol. s. Io.BC. est minus segmentum: ergo CA. secta est extrema ac media ratione, seu proportionaliter in B. cuius ma ius segmentum BC. minus BA. Quare triangulum Iso- sceles descripsimus &c. Quod erat faciendum . .
232쪽
SI in triangulo oxygonio ex singulis angulis ad
latera opposita perpendiculares ducantur: rectangula sub lateribus aut perpendicularibus ac segmentis in idem anguli punctum d sinentibus. item sub perpendicularium segmentis contenta: denique ea quae sub laterum segmemtis & ijs quae sub perpendicularibus ex opposito
angulo in latus cadentibus ,& segmento perpendicularis inter punctum concursus, & latus contento comprehenduntur rectangula aequalia sunt. SIT triangulum Oxygonium ABC.ex cuius singulis angulis demittatur ad opposita latera perpendiculares AD, BE. CG. quae quidem
omnes sese intersec bunt in uno puncto F. ut primo a Pappo Alexandrino dcmonstr tum est lib. q. collin. Mathemat. proposit. do. hinc fusius a IorCamsllo Glorioso,
co rectangula ABG. CBD. EBF. lateribus AB. CB. perpendic larique EB. ac segmentis GB. DB. FB. in idem anguli punctum B. desinentibus contenta inter se esse aequalia: item rectangula BAG. CAE. DAF. ijsdem lateribus ac segmentis GA. EA. FA. inpuneum A. desinentibus comprehensa, ad haec rectangula BCD. GCF. ACE. in punctum. C. defi
233쪽
m Curui ac recti proportio promota
nentia inter se esse aequalia: Insuper re hingula BFE. DFA CFG. quae segmenta perpendicularium continent , itidem inter se esse aequalia. Denique rectangulum CDB. recta
gulo ADF. & BGA. ipsi CGF.& AEC.ipsi BEF.esse aequale. Nam quoniam in quadrilatero AGFE. anguli oppositi
schos M, I G. E. sunt recti .erit ipsum in circulo:atque eandem ob causam quadrilatera BGFD.DFEC.erunt in circulo. . Circumscribantur igitur illis circuli AGFE. BGFD. DFEC. transibunt primus & secundus per eadem puncta G. F. secundus&tertius per eadem puncta P. D. primus & tertius per eadem F. E. Quare cum lineae AC.GC.secent eundem circu-CIoli, i, tum AGFE. erunt rectangula ACE GCF. aequalia Item, i quia reine GC. BC. secant eundem circulum G BDF.in puctis F. D. erunt rectangula sub GCF. BCD. inter se aequa- axiom. r. lia:quare&aequalia erunt rectangula ACE. BCD. Eodem modo ostendemus B AG. DAF. CAE. inter se item CBD. EB F. ABG. rectangula esse aequalia. 3τ- i, Praeterea cum aequiangula sint triangula CFE. BFG. ob' angulos rectos ad E. G. & aequales ad vertitem F. erit ut1ι. CF. ad FE. ita BF. ad FG. Quare rcchangulum C FG. erit aequale rectangulo BFE. & quia aequi angula sunt triangulat, pron FDB. ob eandem, causam erit rectangulum BFE. aequale rectangulo DFA. & ipsi CFG.
31. i. Denique quoniam aequi angula sunt triangula DAC. FAE ob rectos ad D. E. & comunem A. item triangulo FAE. FBD. ob rectos ad D. E. & aequales ad verticem P., .. . .equiangula erunt triangula CDA. FDB. Quare erit ut CD. ad DA. ita FD. ad DB. ergo rectangulum CDB. rectangulo ADF. aequale est. Rursus quia sunt aequiangula CGB. CDF. ob comunem angulum ad C.& rectos ad D. G. item triangula FDC. GFA. ob rectos ad D. G. & aequales ad verticem F.etiam aequiangula erunt triangula CGB. GFA. ideoque erit ut CG. ad BC. ita AG. ad GF. ergo rectangula CGF.BGA.sunt aequalia. Tandem eodem in
do ex eo quod triangula CEB. EAF. sint aequi angula inter
234쪽
213seqnia aequiangula tertio ADC. ostendemus rectangulum CEA. esse aequale rectangulo BEF
HIc habes quatuor coniugationes ubi terna inter se , se Unam ubi terna ternis rectangula aquaeia sunt ; qaam propositionem non tantum triangulo aequiaruri aptauimus,ut Pappus lib. I. Coo Maiae Theor. I. adpropositionem a s. sed etiam scaleno tam ac ut angulo, quam obtusangulo , nec unum tantam rasum , quod ule .sd ad octoderim demonstratione haud admodum longiore , certe multo faciliore complexi sumus. Ibod is in superiori figura triangulum ABC. circulo camprehendamus , ac perpendiculares AD. SE. m. in circumferen iam usque producamus in puncta I. N. R. erunt earumcupartes extra triangulum, partibas intra triangulum latere acyncto concursas desinita aquales ' nempe DI. DF. HE. MEF. SAG. ipso, nam rectangulo CDB. octensum est aquale rectangulum ADF. et eidem rectangulo CDE. aequale erit rectangulum ADI. aqualia igitur sunt rectangula ADF. ADI. atque adeo aequales DF. DI. atque eodem modo probabitur aequales esse reliquas.
SI ex trianguli Isoscelis singulis angulis per
pendiculares secent opponia latera extrcmae, ac media ratione; rectangulum sub latere ac maiori segmento, aequale est: quadiato perpendicularis in latus cadentis.
SIT triangulum Isosceles IBM. cuius latera IB. MB aequalia, ex cuius angulis emittantur ad opposita latera pe pendiculares IP. MV. &ad basim ipsam perpendicularis M. ( quae transibunt omnes per unum punctum R. Vt s pra
235쪽
ix Cures ac recti proportio promota.
pra probatum est secentur autem latera in punctis V. P. extrema ac media ratione sintq; segmenta maiora BV. BP. minora VI. PM. Dico rectangulum IBV. Quadrato IP.esse aequale. Nam quadratum BI. aequale est rectangulis IBV. BIU. Item quadratis BP. PI. Igitui duo triangula IBV. BIV. aequalia sunt duobus quadratis BP.PI. Rectam gulo autem BIV. aequale est quadratum BV. ( nam cum diuisa sit BI. proportionaliter in V. cuius maius segmentum BV. erit ut IB. ad BV.ita BV. ad VI. ideoque rectangulum BIV. quadram BV. aequale est igitur rectangulum IBV.& quadratum BV. sunt aequalia quadratis BP.PI. Quadratum autem BV. est aequale quadrato BP. ( nam cum aequales sint BI. BM.& aequaliter diuisae, erunt BV. BP.aequales) si igitur eX aequalibus , rectangulo IBV. cum quadrato BV. &duobus quadratis BP. PI. aeqvalia demantur quadrata BV. BP. temmanent aequalia rectangulum IBV.& quadratum PI. Quod
SI ex trianguli Isoscelis angulis perpendicula
res secent opposita latera proportionali ter :Quadrata lateris, perpendicularis ad basim; perpendicularis ad latus, erunt in proportionalitate Arithmetica, quorum disserentia quadratum dimidiae basis;& ordine eandem habebunt rationem, quam latus, composita ex maiori segmento curria dimidio minoris, & maius segmentum. SIT
236쪽
SIT triangulum aequicrure IBM. cuius nlatera aequalia IB. MB. basisIM ex cuius angulis ad opposita latera, ad basim ductae sint perpendiculares IP. MV. BF. secantes se in puncto R.ex dictis proposit. I S. huius, S latera in punctis V. P. ita ut rectae IB.MB. sectae sint proportionaliter in V. P. Sintq; Bv. BP. maiora segmenta. VI. PM. minora, &PA. dimidium segmenti mino- iris. Dico quadrata rectarum BI. BF. IP. esse in proportionalitate Arithmetica, cuisius excessus sit quadratum I F. Et esse, ut quadratum EI.ad quadratum BF. & quadratum BF. ad quadratum I P. ita laatus M B. ad rectam AB. compositam ex AP. medietate se menti minoris, cum PB. segmento maiori ,& hanc ad maius segmentum BP. Connectatur Ap. Quoniam PM. ex hypothesi, diuisaia, Sehol. ici. est bifariam in A. & IM. bifariam in F. erit ut M A. ad AP.
ita MF. ad FI. ideoque parallelae erunt AF.PI. Rursus qua-
dratum IB. excedit quadratum BF.quadrato I F. Cum vero et quadratum BF. sit aequalc duobus rectangulis FBR BFR.
sit autem rectangulum FBR.aequale rectangulo IBV.ex i3. huius.
huius, & rectangulum IB v. quadrato IP. ut supra propo-st. Iq. probatum est, excedet quadratum BR quadratum M-huius.
IP. rectangulo BFR. idest quadrato I F. quod paulo antra it h. probatum est esse aequale rectangulo BFR. Igitur Quadrata 'i ' rum ta BI. BF. I P. sunt in proportionalitate Arithmetica, qu rum differentia quadratum IF. QDd prius probandu erat. Praeterea cum aequiangula sint triangula IBF. FBA. ob anguIos rectos ad FA. & aequales IBF. FB A. erit ut IB. ad. et BF. ita BF. ad BA. igitur est ut IB.idest MB.ad BA.ita quadratum IB.id est MB.ad quadratum B F.&conuertendo.Iid quonia est,ut BI.ad I P. ita I P. ad PB.ut supra ostensum est, u hu et erit ut IB. seu MB. ad PB. ita quadratu IB. seu MB.ad qua- '' .dratum IP. are ea aequalitate , urit etiam ut recta AB. ad
237쪽
xxs Curvi ac Pecti proportio promota
rectam BP. ita quadratum BF. ad quadratum IP. Igitur quadrata BI. BF.IP. se habent ut rectae MB. AB. PB. Quod secundo loco ostendendum erat
SI ex trianguli Iso stelis angulis perpendicula
res secent opposita latera proportionaliter rerit ut latus Hexagoni ad latus decagoni, ita latus ad maius segmentumst ut vero latus quadrati ad latus Hexagoni, ita maius segmentum lateris, ad segmentum basis;&vt latus quadrati ad latus decagoni, ita latus ad segmentum basis; denique ut latus Hexagoni, ad latus quadrati , ita maius segmentum lateris ad totam basim .
SINT in eodem triangulo IBM. Isoscete ex angulis stacta latera proportionaliter, modo saepe superius inculcato. Dico esse ut latus Hexa- goni ad latus Decagoni, ita IB. ad BV. & ut latus quadrati ad latus Hcxagoni, ita BV. ad I F. &vt latus quadrati ad latus decagoni ita BI. ad I F. denique ut latus quadrati ad latus Hexagoni,ita I M. ad
Ac primum quidem aio rectam IB. ad segmentum maius rationem habere quam latus Hexagoni ad latus Decagon l. Nam si componantur in vis r. , a. nam lineam rectam duae IB.B tota recta secundum extre
238쪽
mam ac mediam rationem secabitur in B. eritque IB.maius segmentum, BV. minus; quare si IB. ponatur latus Hexasghyles is goni, erit B U. latus decagoni habebumque hae rectae rationem, quam latus Hexagoni ad latus Decagoni.
i Secundo, centro F. distantia FM. FI. describatur circulus secans B. F. in X. & connectatur IX. Cum quadratuim B. sit aequale rectangulo BIV. cui I . huius probatum est & hoc rectangulo MIF.ex is . hu Mamm, tua, rectangulum autem MIF. I duplum est quadrati IF. erit s. c. ruadratum BV. duplum qua- rati I F. est autem & IX. du
tur sunt quadrata, itemque h. Itera VB. IX. sed IX. in circulo MXI. est latus quadrati,IT la tus Hexagoni, Igitur ut in. latus Quadrati, ad IF. latus c. g. Flexagoni, ita BV. ad IF o- Tertio, Assumatur Iinea O. aequalis ipsi BI. & R ipsi IR.& duae QR aequales ipsis Bu. XI. fiatque ut O. ad P. lic Iehi R. ad S. statuaturque ipsa BI. seu o. semidiameter circuli, circa ipsam de- :scrapnacu latus Hexagonio I F.seu P. - midsameter circuli MXI. &BV. seu Qvatus decagom respectu semidiametri IB. . quod paulo ante probatum est; & IX. seu R. latus quadrati in circulo MXI. Quo- lniam faetiam est ut O. ad P. ita had S. lerit permutando, ut O. ad mea P. ad S. o P o R I Ied o. ad Q. rationem habet quam satus Hexagoni ad latus Decagoni, ut modo probatum est, igiatur P. ad S. rationem habebit , quam latus Hexagoni ad L-
239쪽
113 Curui ac recti proportio promota,
tus decagoni . eritque S. incireulo euius semidiameter est I F. seu in circulo MXI. latus deeagoni in quo etiam rectit . R. seu IX. est latus quadrati. Sed viduus. ita R. ad S. cum aequales sint et& R. habet autem R. fid S. ratione mi quam latus Quadrati ad latus decagoni, & vi R. ad S. ita posita est o. ad p. idest EI. ad IF. igitur ut laturum Quadrati ad latus Decagoni ita o. ad p.seu BI.ad IRDenique quoniam ex superioribus proposition ibus reactangulum MI F. aequale est rectangulo Biv. & tectangliatum B IV.quadrato BU.eritreetangulum MIF.aequale quaadrato B V. ideoque totum quadratum MI. dupluin quadra, ii BV. ouplum autem est quadratum lateris quadratu qua. drato lateris Hexagoni. Igitur ut latus Madiati ad latui Hexagoni, ita IM. ad BV. Quae omnia fuerunt demonis
IIsdem positis Basis ad minus segmentum lata
teris ; item maius segmentum perpendicularis lateris ad minus peipendicula sis basis; d Atque maius tegmentum petpendicularis basis, ad minus perpendicularis latetis habent rationem quam latus Quadrati ad latuI Delagoni. In igura lapetisti. Dico baim MI. ad minus segnitatum lateris Iv. Item maius segmentum iR. perpendicula. ris lateris, ad RF. minus segmen um pe=hendicuIahis bais: denique BR. maius segmentum perpendiculari, baiis ad RV. minu, segmentum perpendicularis lateriti inionem habere quam latus quadrati ad latus Decagoni. Similia . sunt triangula BIF. IMP. ob recto ad F. 8t P. & aequales ad I. s. item triangula IMP.IRF.ob communem angulum
240쪽
ad I.&rectos ad FP. denique t mngula IRR BRP. ob aequales ad verticem R. & rectos ad P. F. et igitur BI. latus quadrati ad IF latus Decagoni ( vi in propositione demo stratum est ita iM. ad MP. &IR. ad Rp. & BR. ad RP.
IIsdem potius : Dico, maius segmentum per pendicularis basis BR. ad maius perpenditu
laris lateris RI. rationem habere quam latus quadrati ad latus Hexagoni.cam enim paulo ante in 'di i .huius ostensa sintlimiblia triangula IFR. APR. item umilia etiam sint reiamolita BPR. BVR. ob aequale angultis ad B. ivrios ad PV erit igitur vi VB. ad BR. ita FI. ad IR.& permutando ut vB.ad IF. ita BR. ad IR. sed vB. ad IF. probata est in propositione io. habere rationem quam latus quadrat ad latus D cagoni: igitur ut latus quadrati ad latus Hexagoni, ita BR. ad I R. Quod fuit dempnstrandum.
diculares secant opposita latera proportiona liter i etiam perpendiculares laterum sese proportionaliter lecant, maiusque segmentum et ab angulo ad punctum contactus ssi T rursus triah tum Isosceles IEM.quaklproporum situm est, at iupinoribus propositionibus descriptum