장음표시 사용
241쪽
xso Curia acrini proportio promota.
Dico tam IP. quam Mu. perpendiculares secari propo tionaliter in puncto. R. maiusque segmentum eIR. minus RP. item maius MR. minus RV, Nam cum facta prima IM. cum secunda MB. angulum ad M. di ab extremitatibus primae, & secundae I. B. dueta sint IP. BF. tertia & quarta concurrentes in R. puncto, & secantes opposta BM. in P. & 'IM. bifariam in F. erit per. 1 p. huius ut MB. ad BP. id est ut BP. ad PM. ita I R. ad RP. sed BP. est maius segmentum lineae proportionalitersectar,PM minus. Igitur etiam IR. est maius segmentum,RP.minus lineae IP.proportionalitcrsecitae. Quod erat demonstrandum. v. ii.
SI in triangulo Isos ele ex cuius angulis per
pendiculsires secant opposita latera propo rionaliter, segmen m minus perpendicularis ad basim duplicetur; secabitur aggregatum perpendicularis & minoris segmenti in puncto cos cursus proportionaliter, cuius minus segmentum erit duplum minoris segmenti,& maius , maiu&segmentum perpendicularis.
SIT uerum triangulum Isoscelas quale saepe superi rabus propositior ibus delincatum est. Producatur perpendicesaris basis Br. iis G. sintque RF. FG. aequales Dico
242쪽
naliter,cuisis minus segmentum GR. maius RB. Nam quia ex I8. propositione tertij huius estvtMP. ad PB. ita FR.ad medi . tatem ipsius RB. erit ut MP. ad PB. ita duplum FR. videlicet tota RG. ad totam RB. secta est autem MB. in P. proportionaliter, ex hypothesi, cuius minus G segmentum MP. maius PB. Igi- . tur & GR secta est proportionaliter in R. cuius minus segmentum G R. maius RB. Qnoderat demonstrandum.
IN tri,ngulo Iseseele ex cuius angulis perpen
diculares secant opposita latera proportion liter et medietas aggregati ex perpendiculari ad basim minori eius segmento est aequalis maiori segmento eiusdem perpendicularis proporti naliter ISIT idem triangulum Isosceles quod superiori propo sitione IBM. & producta FG. sit aequalis segmento FR. &connectatur PG. item pv. secans BF. in H. cum sint in quales BP. BR item BM. BI. paralleis erunt MF. PH. & ut BP. ad PM. ita BH. ad HF. ideoque cum LM. sit secta proportionaliter in P. sitque maius segmentum BP. minus PM. erit BF. secta proportionaliter in H. maius- g. a que segmentum BH. minus I F. Dico HG. esse medie talem ipsus BG. aut aequalem ipsi HB, Cum enim PR--hus, ad RF. rationem habeat quam latus quadrati ad latus Bexagoni , erit quadratum PR. duplum quadrati RF.sed etiam
243쪽
s tui ae recti proportio promota .
etiam rectangulum GRF. est D si' duplum quadrati RF. igitur aequale est quadratum Paegr. s. rectangulo GRF. ergo ut GR.
ad M. ita RP. ad Rp. aequia '' angula igitur sunt triangula . c. GRP. PRF. vi igitur PR. ad RF. ita GR. ad RP. sed PR. huius, ad RF. rationem habet quam latus Quadrati ad latus Heaxagoni igitur GR. ad RP. r tionem habet quam latus Quadrati ad latus Hexagoni, rs. huius. ut vero latus Quadrati ad latus Hexagoni ita BR. ad RI. Vt igitur GR. ad RP. ita BR. ad RI. sed & aequalis est anseres ad verticem R. aequiangula igitur sunt trian-,,. i. gula GR P. BRI, atque adeo angulus PGR. aequalis a
gulo IBR. id est RBM. parallelae igitur sunt m. BI.
s. r. aequalis PB. seu Bu ipsi PG. ergo & parallela VG. ipsi. BM. ¶llelogrammum est BFGV. in quo se diametrim. BG. bifariam secant in H. est igitur Bin aequalis HG. Quod erat demonstrandum.
HIne eonfiat 'rectam AZ. esse eentrum circuli ebee iriangulam BIM. deseripis , a vie e Baedem circaelum transere per punctum G. Nam 'od centram circul dicto trian. galo circa cripti se in recta CB. patet ex Corollario prima terti= i mad in puncto v. eois at quia recta u. diuise est bifariam in m myd cirratas transeat per. G. eodem modo probatur via ex propossione , ΗB.ΗG. sunt equales,
244쪽
THEOREMA XIX. PROPOS. XXII Iisdem positis. Dico aggregatum BG. ex pe pendiculari BF. ad basim,&minori segmento FR. id est FG. seu diametrum circuli circu- scripti triangulo BIM. ad maius segmentum petas endicularis ad latus I R. rationem habere quamatus Quadrati ad latus Decagoni.
Nam si connectatur MG.erit angulus BMG.rectus rectus autem est etiam MFG. Igitur ut BM. ad MF. id esHatus quadrati ad latus Decagoni, ita BG. ad GM. id est BG. ad UR.(nam cum duo triangula MFG. MFR. habeant duo latera MFG. MFR. aequalia circa angulos rectos ad F. erunt bases MG. MR. aequales Quod erat &c.
Super data basi triangulum Isosceles describe..
re , ex cuius angulis perpendiculares secent opposita latera, in quae incidunt,proportionaliter. SIT data in secunda figura basis IM. super qua oportat constituere triangulum Isosceles ut propositum cst. Primo sit constructum triangulum BIM. in prima figura , nulla data determinata linea, per ra. huius, in quo perpendiacularcs MV. I P. secent opposita latera proportionaliter, -sintq; delineata ea quae t . huius dicta sunt. Hinc in secunda figura diuidatur IM. bifariam in F. & centro F.distantia FM. descriptus sit circulus IXM. & fiat ut latus quadrati circulo inscriptibilis ad latus decagoni ita I M. ad MP. quae MRin circulo aptetur ex puncto M.quae producta secet ductam ad I M. perpendicularemFB. in B. ( secabit autem eo quod angulus BFM. & acutusFMB. minores sint duobus
245쪽
23 Curui ac recti proportio promina .rectis i
IB.secas circuluin V. item MV. IP. se-
quod trasit &perpendicularis FB. Dico in secunda figura constitutuesse super basi data IM. triangulum Isosceles IBM. in quo perpendiculares M. I P. secant opposita latera BI. EM. proportionaliter. Cum enim triangula IMP. BMF.habeantii J angulum communem ad M.&rectos ad F.P. ccst enim BF perpendicularis ad IM. & IPM.in semicirculo rectus erunt aequiangula: igitur ut I M. id est latus quadrati ad MP. id est latus decagoni , ita BM. latus quadrati ad MF. latus de cagoni , sed et im in in prima figura BM. ad MF. ut latus . quadrati ad latus Decagoni , & in utroque angulus rectusis. s. BFM. ideoque reliquorum uterque minor recto:similia igi tur sunt triangula FMB. atque adeo tota MBI. in utraque figura. Sed & simili er secta sunt: Nam ut BM. ad MI. in . prima ta B M. ad MI. in secunda,ut modo ostensum est , dc-vt IM ad MP. in prima ,rta I M. ad MP. in secunda , igitur exaequali ut BM ad I M. in prima ita B M. ad I M. in secumda,ia in prima secta est M. proportionaliter in P. ergo& in secunda. Igitur super data basi&c. Quod erat facien
THEO REMA XX. PROPOS. XXI SI ex additione alterna duarum linearum quarum prima sit segmentam minus, altera ma
246쪽
ius rectae proportionaliter sectae sex magnitu dines ordine constituantui quae ternae ordine continuo coniugantur et prima & secunda coniuigatio in medietate Geometrica ; tertia in medietate quinta Geometricae opposita ; quarta in Haramonica proportionalitate consistet.
Tria sunt piaecipua medietatum genera, teste Pappo mlexandrino collectionum mathematicarum libro. g. prop. 16. Geometrica , Arithmetica , Musica, quae maxime utiles sunt ad antiquorum lectiones, quibus Nicomachus Pyth goreus & alij nonnulli tres addiderunt, recentiores adhuc quatuor alias etGeometrica medietas est cum tres quan titates eandem proportio- A B C D E Fnem habente Arithmetica, cum trium si In squantitatem eadem est differentia, de l l qua superius plura. Harmonica quan- ldo tres numeri ita disponuntur vi eadet . .
st proportio maximi ad minimum, quae differentiae inter maiores duos, ad dif- PMC Oferentiam inter duos minores . medi . tas vero quinta seu Antigeometrica, ut . - Lalias, omittarmis, est cum ut tertius tera iminus ad secundum, ita primi excessua R Nad excessum secv ndi., Sint igitur sex lineae recta quarum, i, prima Adit minus segmentu metae pro- dis portionaliter se , secunda B. maius isegmentum eiusdem rinis codem modo sectae . tertia CP. constituatur ex maiori & minori segmentor Quarta DH., tertia & maiori segmento: quinta EΚ. ex quarta & minori segmentor sexta I M. ex quinta & inaiori segmento : Dicos coniugentur ordine continuo ternae A. B. CP.& B. CP. DH. & CP. DH. EX. & M. EΚ. FM. tres primas A. B.
247쪽
et 3 c Curui ac recti propontio promota.
CP. item tres secundas B. CP. DH,' esse in medietat Geometrica: tres vero tertiae conjugationis CP. DH. EΚ. esse in medietate Antigeometrica ; denique tres vltimasDH. ET. FM. esse in proportionalitate Hrem Ica Primo cum recta CP. st composta ex minori segmento A &maiori B.constat ex definit. 3 5.esse ut A.ad cita B ad CP. Quod est eue in proportionalitate Geometrica . Secredo abscindatur DG. aequalis ipsi CP. quoniam recta DH. constat ex recta CP. & segmento maiori B. erunt.GH. & B. aequales, & diuisa erit D H. in G. ptoportionaliter cuius maius segmentum DG. aequale ipsi CP. Qinus GH. Cum igitur B. sit positum maius segmentum rectae . & recta CP. maius segmeutum ipsius DH. quarum utraque proportiomiliter secatura dictis segmentis erit ex conuertente a. Is ut B.ad CP. ita CP.ad DH.ideoque tres illae rectat in medietate Geometrica constituuntur. Tertio abscindatur E equalis ipsi DF . erit QΚ. diseferentia ipsarum DH. DΚ. ex suppositione , aequalis min ri segmento A. & GH. ditarentia duarum DH. CF. iam ostensa est aequalismaiori segmento B.& CP. DG. aequales ac DG. maius segmentum rectae DH. proportionaliter sectae minus GH. vi igitur media H D.ad segmentum maius . id est ad minimam CP. ita DG. segmentum maius rectae DH. ad GH. segmentum minus, sed etiam GH. differentia mediae & minimae est segmento maiori B. & rectae, QΚ. differentia mediae & maximae segmento minoris A. ae- . qualis ut igitur media ad minimam ita differenti mininaae& mediae ad differentia mediae ct maximae. Erit igitur comuertendo ut tertius terminus CP ad secundum DI . ita cxcessus primusNΚ.ad secundum GH. quae definitio est in dietatis quintae apud Pappum, Quarto ex FM. abscindatur FN. aequalis ipsi EΚ. S FLipsi DH.& FO. ipsi DG. oniam LN: est aequalis ipsi QR. id est ipsi A. de M. adiecta est aequalis ipsi B. erit tota LM. aequaeus duabus A. B. id est tot&CP, seu DG. maiori
248쪽
nempe segmento DH. proportionaliter sectae id est ipsi FG. ipsi autem m. est aequalis FL. igitur etiam FL. secta est-pmportionaliter in V. eumque adiecta se LM. maiori sedimento DG aemulis erit M. ficta in L. proportionaliter. iPatet igitur esse ut FM. totam ad F L. maius segmentum, id est ad DH. minus extremum ita differentiam maiorum NM quae est aequalis B. maiori se mento ad QT. differentiam minorum, ualem minori segmento A. quae cst ratio Harmonica. Quare si ex additione alterna &e. Quod erat demonstiandum.
TRapetium habens duo latera parallela , d
uiditur a linea recta per angulos oppositos ducta in duo triangula quae inter set eandem rationem habent quam latera opposita . parallela. t r
. Sit trapehium ABDC. cuius latera AB. CD. parallela angulos oppositos C .B. coniungat rem CB. Dico esse ut AB. ad CD. ita triangulum BAC. ad triangulum BDC. produ- menim recta BA. si opus fuerit, aut alia ex parallelis ducatur ex C. ad CR. Per-
pendicularis CE. item ex B. ad CD. perpendiculatis BF. cu ' 'CE. BF. sint parallelae item BE. CF. et it ECFB. parallel tammum:aequalia igitur latera opposita CE. FB. Trianpu- '' ''irum igitur BAC. BDC. aequalis est altitudo CE. BF. Est ergo ut basis BA ad basim DC. ita triangulum BAC. aderiangulum BDC. Quod erat. THE
249쪽
r.3 8 Currui ac recti proportio promota. t T HEOREM A XXII. PROP. XXVI.
d Rapeetia in eisdem aut aequaliter distanti
bus parallelis ita se habent inter se, ut duo latera unius parallela , ad duo latera parallela alterius.
Sint traperia ABCD. BCFE. EFGH. inter easdem parallelas AH. DH.&dividantur a lineis rectis DB. CE. Fimper angulos oppositos ductis in triangula , quae ( ut superiori demonstratur eandem habent altitudinem. Dico esse ut AB.& DC. simul ad rectas BE. CF. simpl ita tra Eium ABCD. ad tragelium BCFE. i. huius. Est enim ut recta AB. ad rectam DC. ita triangulum . 3- i, ABC. ad triangulum A DC.&componendo ut AB. DC. Q. mul ad DC. ita ABC. ADe triangula simul , id est, trape.. Eium ABCD. ad triangulum ADC. de ut DC. ad CF. ita triangulum ADC. ad triangulum CBF. & ut CF. ad BE,ita triangulum CBF. ad triangulum EFB. & componendo ut CF. ad CF. BE. simul ita triangulum CEF. ad triangula CBF. EFB. simul id est, ad trapertu BCFE.cu igitur ostensum sit esse ut AB. DC. simul ad DC. ita trapeEium ABCD. ad triangulum ADC.5 ut DC.ad CF. ita trianguiu ADC. ad triangulum C . & ut CF. ad CF. BE. simul ita trianss. s. gulum CBF.ad trapellium BCFE. erit ex aequo ut AB. Det simul ad CF. BE. fimul ita trapelium ABCD. ad trapeEium
250쪽
EX demonsIraiis superaeri propositione deducitur quod.
Si Trapexi m e ius duo latera parallelis dividantvir se. Bea scante virumque latus parallelum a erunt partes ablata inuicem, ut duo Latera parallela et nius partis ad duo latera parallela a eri s. Si trape ium AEFD. caias duo latera AE. DF. parallele quae dividantur recta BC. Dico esse vi AB. DC. simul ad . DF. simul ita pars ABCD. ad partem rem. Hoc euidem ter patet ex propostione.
THEOREM A XXIII. PROPOS. XXVII. Si in trapeetio in quo duo latera parallela , a puncto in quo duo non parallela producta
concurrunt ducatur tecta , diuidens lineam rectam utrumque latus parallelum secantem: habebunt trapeEij partes eandem rationem , quam
partes lateris utriusvis paralleli a ducta linea diuisi.
Rursus trapeEium ABCD. secetur recta EF. utcumque &DA. CB. latera non parallela producantur dum coeant (ponuntur enim non parallela in H. & diuisa ressa EF. bifariam in X. ducatur recta H Κ. quae producta secet latus DC. in G. & latus AB. in I. Dico cs e vi AI. ad IB. aut DG.ad GC. ita partem A FED. ad partem EI BC. Cum enim parallelae sint AB. DC. easque secent h. F. GI. rectae; erit in thiangulo LEG. angulus LEGaequalis alterno ΚFI. in tri. ngulo TFI.& anguIus GRE. Hqualis angulo FΚI. ad vertice. ponitur aute FΚ. aequalis X E. aequalia igitur sunt triangula XEG. ΚFI. Si igitur aequalibus