장음표시 사용
251쪽
x o Cumi ac recti proportio promota.
p 'n' bus triangulisΚEG.ΚFI. addatur inmune frustu AIΚED. erunt trapeEia AIGD. AFED.aequalia.Eodem modo ostendetur trapeEia BI AEFEC. esse aequalia. Cum autem in triangulo H DC. ducta sit lateri DC. parallela AB. ex a gulo opposito H. recta HIG. utramque secet punctis I. G. schol s, erit ri AI. ad III. ita DG. ad GC est autem ut DG. ad Getita triangulum DHG. ad triangulum GHC. dc ut A I. ad Imii. s. ita triangulum AHL ad triangulum IMB. crit ergo ut triam gulum DHG. ad triangulum GHC.ita triangulum AHI. ad triangulum IMB. Cum ergo fit ut totum triangulnm DI G. . ad totum GH C. ita pars AHI. ad partem II B. erit reliquutrapeχium AIGD. id est AFED. quod illi ostensum est ara quale ad reliquum BIGC. hoc est BFEC. illi aequale, ut totum triangulum DF G ad totum GHC. sed ut DHG. ad ad GHC. ita ostensum esse DG. ad GC. & AL ad IB. erit igitur ut DG. ad GC. aut A I. ad IB.ita pars AFED. ad pata rem BFEC. Quod erat &c.
THEOREM A XXIV. PROPOS. XXVIII.
SI duo trapeetia duo latera parallela aequalia
habuerint, utrumque utrique: erunt inter se ut altitudines. Sint duo trapeetia ABCD. HIΚM. quorum latera opposita AB. DC. item HI.GΚ. parallela; sitque la- A F B
Dico trapelia illa inter se esse ut altitudines. Du Jo C . cantur diagonij AC.
ΗΚ.diuidentes trapeEia in duo utrinq triangala, quae, Ut patet ex progressu a I. huius eandem utrumque quam suum
252쪽
E trapellium altitudinem habet,quae fit illic FC. hic HM.Cum ergo duo triangula HΚI. ACB. bases AB. HI. aequales habeant,erunt inter se ut altitudines FC. HM. Item qua trian schol. i. gula ADC. HGΚ. bases DC. GΚ. aequales habent erunt inter se ut altitudines FC. I M. ergo ut triangulum ACB. i. s. ad triangulum HΚI. ita triangulum ADC. ad triangulum . HGΚ.& permutando ac componendo & iterum permutando,ut trapeEium ABCD. ad trapeEium HIΚG. ita triangulum ADC. ad triangulum HGΚ, est autem probatum est triangulu ADC. ad triangulu HGΚ. ut est altitudo FC. ad altitudinem HM igitur ut altitudo CF. ad altitudinem I M. ita trapeEium ABCD. ad tra Eium HIΚG. Quod erat demonstrandum.
THEOREM A XXV. PROPOS. XXIX. SI in trapeetio habente duo latera parallela se
cto victimaue recta linea transeunte per latera parallela abscindantur minora latera ex maioribus,& residuorum medietas accipiatur rerit ut vinNaa ex minoribus lateribus cum medictate sui excessus, ad alterum minus latus cum medietate eius excessus, ita pars trapeZij ad partem, Sit tra Elum ABCD.cuius duo latera AB. DC. parallela, quod diuidatur u ecumque linea EF. virumque latus paral- R A D
253쪽
COROLLARIVM. Eadem sequentars iatera AB. S DC. bifariam divit M.
tar, s per puncta diuissimum ducantur recta EF ara sila, ut ex demonBratione constat.
D Vo triangula angulum angulo aequalem habentia, s eis cis angulos aequales latus unam lateri aquale s rationem habent quam reliquum latas cirra angulum re alem ad reliquum latus. Sint iso triau la ABC. DEF. qua angulos A. D. aequales habeant latera AC. DF. aequalia. Dico esse ut O. ad DE. ita triangulum ABC. ad triangulum
Sint primum triangula ABC.DEF.rectangula ad A.D. erunt AB.DE. eorum altitudines,cum igitur aquales sint Am DF. M iis s. hyothesierat vir AB. ad DE. ita criangulum ASA ad relangu-Iam DEF. .
Sisi fecundo triangularum ABC. DEF. oboquangula cidi ducantur tu latera aequatha Sproducta si opus serii, perpendiculares AH. m. uoniam aquales ponuntur anguli BAC. EDF. O recti
254쪽
x Curui ac recti proportio promota.
,, sunt anguli ad Uc. erunt in triangulis o gon, s reliqui HBA.
DEG. in ambinandis BAN. EGD. aequales, quare triangulo SUA. EGD. erunt aequiangula, eritque ut IB. ad B .ita DE./, C ad EG es permutando ut AB. ad DE.ita HB.ad EG.sed vi HB. ad G. ita triangulum ABC.ad triangulum DEF. scam aequales ponantur AC. DF. O perpendic lares BΗ. EG. sint illor m triangviserum altitudines igitur ut AB.adDE.ita triangulum ABC. ad triangulum DEF. moderat probandum.
SI Aerii vi prima quantitas ad secundam ita tertia ad quartam es iterum prima ad quintam sit ut tertia ad sextam, erit primis ad secundam ct quintam ut, ut tertia ad quartam S sextam fmul. Demonstrartim hoc es a Guido maliuo Marchionibas momtis Mathematico longe clarissimo,primo in Lemmatis ante IJ .propositionem Amchimedi, de .equeponderantibus: line lib. I. propositione 6. de Cochlea, quod nos hie ab eo mutuum sumim s , vis cuius nonnullis si quentespropositiones demo remus. Sti ut A. ad E. itis C. ad F. S ut A. ad B. ita C. ad D. Dico A. ad EB. mulesse , ut C. ad O. Euoniam enim est ut A. ad E. ita C. ad Heri conuertendo vin ad A. itaF. adC d elim A. ad B. ita C. ad D. ergo exaequali vi E. adΣ. ita F. ad D. quare componendo petit D. ad B. ita O. ad D. uoniam autem es A ad B. Aut C. adF. erit conuertendo ut B. ad A. ita D. ad C. rurissus igitur ex re ali ut EB. ad A. ira O. -C. ac tandem comuertendo A. erit adEB. M C. ad O. Euod erat demonstran
255쪽
LIBER III I. st ITHEOREMA XXVI. PROPOS. XXX. SI triangulum ac traperium duorum laterum
parallelorum angulum unum uni angulo aequalem habuerint, & unum latus circa angulurn qualem uni lateri aequale . erit ut reliquulatus trianguli circa angulum aequale ne ad duo latera parallela trapeZij, ita triangulum ad trapeZiu.
Habeant triangulum ABC. & trapeγium BEFD. lateruBD. EF. parallelorum angulos ad B. E. & latcra AB. BE. aequalia. Dico esse ut BC. ad BD. EF. simul, ita triangulum ABC. ad trapchium BF. connectantur ED. Quoniam parallelae sunt BD. EF. erunt anguli BEF. id est ABD. R EBD. aequales duobusrectis: quarc una recta est ABE.( compositis videlicet AB. BE. & BC. BD.
BC. ac BD. in H. d. EF. in G. Quoniam a parallelae sunt BH. EG. erit ut AB. ad BE. ita AH. altitudo trianguli ABC. ad HG. altitudincm triangulorum EBD. EDF. aequales autem sunt ex hypothes AB. BE. aequales igitur sunt etiam AH. HG. erit igitur ut BC. ad BD. ita triangulum ABC. ad triangulum EBD. Rursus quia ea dem habent altitudinem ttiangula ABC. EDI'. erit ut BC. i. ad EF. ita triangulum ABC. ad triangulum EDF. Cum igitur sit ut BC. ad BD. ita triangulum ABC. ad trianguluEBD. & ut BC. ad EF. ita triangulum ABC.ad triangulum EDF. erit, per Lemma a. praxedens, ut BC ad BD-ER Iemini, simul ita triangulum ABC. ad duo triangula EBD. EDF. precedea. . simul, id est ad totum trapeEium BF. Quod erat demonstrandum.
256쪽
x s Cu rui ac recti proportio promota. THEOREMA XXVII. PROPOS. XXXI. SI triangulum ac trapeetium duorum laterum
parallelorum angulum unum uni angulo aequalem habuerint: erit ut rectangialum comprehensum sub lateribus trianguli aequalem angulum comprehendentibus, ad rectangulum contentum sub duobus lateribus trapra ij parallelis tanquavna linea recta, & latere t rtio quod aequali angulo adiacet, ita triangulum ad trapegium.
Sit triangulum AB C. trapeEium autem DEGF. habentia angulos ABC. DFG. aequales. Dico esse vi rectangulum ABC.ad rectangulum contentum DF. FG.simul & DF. ita triangulum ABC. ad trapeEium DFGE. Ducantur pe pendiculares AH. DI. & connectatur DG. Qupiniam tria-gulum ABC.& recta-gulum sub AH. BC.
sunt inter easdem parallelas , ac ean-
. i. i. dem basim habent BC. erit rectangulum sub AH. & BC. trianguli ABC. duplum:eodem modo triangulum sub FG. Di. duplum erit trianguli FDC. & rectangulum sub DI. DE. duplum trianguli DGE. quare totum triangulum sub . , DI.&FG. DE. duplum est trianguli utriusque I J G. DGE. id est totius trapehij DFGE. Hinc quoniam aequales sunt anguli ABH. DFI. & tecti sunt anguli ad Id. I. aequiangula a. d. sunt triangula ABH. DFI. erit igitur ut BA. ad AH. ita (posita communi altitudine BC. rectangulum sub AB. BC. ad rectangulum sub AH. BC. & ut FD. ad DI. ita (-sita communi ultitudine utraque DE. FG. . rectangulum
sub FD. & DE. FG. simul ad rectangulum sub DI. & DE.
257쪽
FG. simul. Quare ut rectangulum sub AB. BC. ad rectangulum sub AH. BC. ita rectangulum sub FD. & DE.FG.simul , ad rectangulum sub DI. & DE. FG. simul, & cons quentium dimidia , ut rectangulum sub AB. BC. ( quod ostensum est dimidium rectanguli sub AH.BC. ita rectangulum subFD. &DE. FG. simul ad tra Eium DEFG.(quod etiam est dimidium rectanguli sub DI.& DE FG,si mul & permutando, ut rectangulum sub AB. BC. ad rectangulum sub DF. & DE. FG. simul,ita triangulum ABC. ad trapeγium DEFG. Quod propositum fuit demon strare. Demonstratur hoc Theorema a Pappo. Lemm . 8. in 1 Conic. Apollonij
THEOREM A XXVIII. PROPOS. XXXII.
SInt parallelae CE. FH. I L. quotcumque distan
tes aequali spatio ita ut ducta AM. secetur a patallelis in partes aequales CF. FI. sinuqu ijsdem partibus aequales AC. IM ..ducantur A D. DG. GΚ. facientes rectilineum quinque laterum ADGΚI. Dico triangulum AC. ad totnm recti-J in eum ADGΚI. esse vi recham CD. ad rectam CD. bis, ad FG. bis & rectam IΚ. semel.
Vt enim CD. ad CD. ita triangulum ACD. ad seipsum Rursus ut CD. ad CD. & FG. simul ita triangulum ACD. ad trapeEium CG. ergo ut CD. ad CD.& CD. FG. ita triangulum R
3 o. huius. Disitigod b, Cooste
258쪽
1 8 Curui ac recti proportio promota.
ACD. ad triangulum ACD.&trapehium CG. item est ut CD. ad FG. IΚ. ita triangulum ACV ad trapeZium FΚ. ame rit ut CD. ad CD. & CD. FG. & FG. IΚ. id est ad CD. bisso. huius. FG. bisIΚ. semet,ita triangulum ACD. ad triangulum ACD. ac trapeEia CG. FΚ. id est ad totum rectilineum ADGΚI. Quod erat demonstrandum. Idem continget si sit plurium laterunt, semper enim qua proportio CD. ad omnia latera duplicata praeter ultimum, quod ponitur simplex ita triangulum ACD. ad omnia tra-pegia quae componunt trapegium pluri laterum.
REtentis iji quae superiori propositione po
sitae sunt: ducatur etiam ΚM. ita ut sit thetilineum quinque laterum incipiens atriangulo AC D. & desinens in triangulum ΚMI. sintque anguli ad C. I. aequales. Dico esse ut CD. ad omnia latera duplicata, nempe ad CD. bis FG. bis I Κ. bis, ita triangulum ACD. ad totum rectilbneum ADGΚM.
strauimus pquales enim sunt anguli C. I. &m quales MI. AC. igitur ut CD. ad CD. bis, FG. bis I s inel, & IΚ. semel, seu etiam IΚ. bis ita triangulum ACD. ad totum trapeZium ADGΚM. Quod erat probandum. Atque idem omnino probatum in pluribus lateribus.. I THEO
259쪽
LIBER IIII. x 'THEOREM A XXX. PROPOS. XXXIV. PRaeter ea quae praecedenti propositione supposuimus sit aliud trapeχium AEHLLma-
. ius priori, illudque continens. Dico quod erit ut CD. bis FG. bis& IΚ. semel ad CE.
bis FH. bis I L. semel,it i trapeEium ADGΚI .ad trapeEium AEHLI. Quoniam enim paulo ante demonstratum est,usese ut CD. ad C D. bis, FH. bis I Κ. semel, ita triangulum ACD. ad trapediuADGLI. erit conue tendo ut CD. bis FH. his I Κ. semel ad CD. ita trapeetiu ADGΚI. ad triangulum ACD. ut vero CD. ad CE. bis FH. bis & IL. semel, ita triangulum ACD. ad totum trapeγium AEHLI. ( hoc enim ex superioribus Lemmatis & 3 r. huius aperte sequitur, aut modo quoin 3I. huius usi sumus deducitur erit igitur ex a qualitate ut CD. bis, FH: bis, I L. semel, ita trapegium ADGΚI. ad trapeetium AE, LI. Quod erat demonstran
SInt eadem quae in schemate superioris propo
sitionis, & ducatur praeterea LM. sintque anguli ad C. I. aequales. Dico esse ut compO- sitam ex CD. FG. IΚ. ad compositam ex CE. FH.
260쪽
xs o Curvi ac recti proportio promota.
THEOREMA XXXII. PROPOS. XXXVI.
SI duo trapeetia duo latera parallela propor
tionalia nabuerint: erunt inter se ut rectan
gula sub quouis laterum parallelorum pro-
ortionalium, & altitudine trapegiorum comproeensa.Sint duo trapeγia ABCD. EFGH. quorum latera BC. AD. item FG. EH. parallela, itemque proportionalia ; ita visit A D. ad EH. ut BC. ad FG. sintque
alti indines trape-aiorum perpendiculares ad utrumq;latus trapeχij BP. F Dico esse ut re is
ctangulum sub CB. BP. ad rectangulum sub GF. F iut vi rectangulu sub M. BP.adrectangulum