장음표시 사용
261쪽
sub HE. FQIta trape=ium ABCD. ad trapeditum EFGH. Ducatur ipfiΚD. parallela BN. &ipsi II . parallela Fo. Item ipsi ΚD. parallela AM. & ipsi IH.parallela EL. occurarentes lateribus parallelis trapexij productis si opus fuerit ,
illae in punctis N. M. istae in O. L. Quoniam in triangulis NAD. IEH. latetibus A D. EH. parallelae sunt BC. FG. ex hypothesi;erunt triangula Κ A D. ΚBC. inter se; item IEH. I FG. inter se similia. Rursus quia est ut A D. ad EH. ita BC. ad FG. erit permutando ut A D. ad BC. ita EH. ad FG. Cum ergo super duabus A D. BC. fini constituta duo triangula similia AΚD. BΚC.& supera duabus EH. FG. duo itidem similia EII .FIG.erit ut trian-
gulum AR D. ad triangulum BΚC. ita triangulum EI H. ad triangulum FIG.& permutando. Quare cum sit ut totum triangulum ATD. ad totum El H. ita pars BΚC.ad partem FIG. & reliquum impcEium ABCD. ad reliquum trapeZisi . . EFGH. erit ut totum AΚD. ad totum EI H. Insuper cum in triangulis AΚD. EI H. dueta sint ad latera L D. II . parsillelie BN. FO.erunt triangula ΚAD. BAN. item IEH. FEO. Corol. . c. similia; item cum sit ut A Κ. adΚB. ita AD. ad BC. & ut Ah ad BC ita EH. ad FG.cx hypothesi,& ut EH. ad FG. ita EI. ad I F. erit ut AT. ad X B. ita EI. ad IF. & per conuersionem rationis ut AΚ. ad AB. ita EI. ad EF. Quare , cum super duabus A Κ. AB. & super duabus EI. EF. constituta sint illic duo triangula similia ΚAD. BAN. illic IEH. FEO. similias erit ut triangulum X AD. ad triangu- Π, tuin BAN ita triangulum IEH. ad triangulum FEO. &permutando ut triangulum ΚAD. ad triangulum IEH. ita triangulum BAN. ad triangulum FEO. est autem trape 1ium ABCD.ad trapehium EFGH.ut triangulum ΚAD.ad triangulum IEH. tago etiam etit trapetium ABCD. ad trapexium EFGH. ut triangulum BAN. ad triangulum, FEO.& permutando. Qnare cum sit ut totum trapcEium ABCD. ad totum tra Eium EFGH. ita pars BAN .ad par ' ' tem FEO. & teliquum parallelograminum BCDN. ad re-Ii a liquum
262쪽
xs x Curui ac recti proportio promota.
liquum patallelogrammum FGHO. erit ut totum trapeEiuL ABCD. ad totum trapegium EFGH. at parallelagrammo
BCDN. aequale est parallelograminum sub CB. BP. & --rallelogrammo FGHO. aequale est parallelogrammum sub GF. FG. erit ergo ut rectangulum sub CP. BP ad rectanguis tum sub GF. FG. ita trapetium ABCD. ad trapeZium . EFGH. Denique cum sit ut A D. ad D N. ita AΚ. ad ΚB. quod positae sint parallelae BN. ΚD. &vtAΚ. adΚB.ita ostensum est supra EI. ad I F.& ut EI. ad IF ita EF .ad HO.( ob parallelas positas FO.IH. erit ut A D. ad D N. ita ERad Ho.sed ut AD.ad DN.ita parallelogrammum MADC., ad parallelogrammum BCDN. &vt EH. ad Ho ita paralis telogrammum LEHG. ad parallelograminum FGHO. Vt igitur parallelogrammum MADC. ad parallelogrammnm BCDN. ita parallelogramu LEHG. ad parallelogrammuFGHO. & conuertendo ac permutando, ut parallelogran inum BCDN. ad parallelograminum FGHO. ita parallelogrammum MADC. ad parallelogrammum LEI G. Est
autem ostensum paulo ante esse ut parallelogrammum
BCDN. ad parallelogrammum FGHO. ita trapeZium ABCD. ad trapeEium EFGH. ergo ut parallelogrammim MADC. ad parallelogrammum LEHG. ita trapeEtiam ABCD. ad trapeχium EFGH. sed parallelogrammo i MADC. est aequale parallelogrammum sub DA.BP.& parallelogrammo LEHG. aequale parallelogrammum iubHE. F et igitur rectangulum sub DA. BP. ad rectangulum sub HE. FQc ita trapeEium ABCD. ad trape Elum EFGH. Igitur si duo trapeEia &c. Quod erat demonstra,
Colliguar ex probatis in propositione trape M ABCD.
EFGH. esse ut triangula ATD. EIN. qiua ex lateribus non parauciis in unum punctum productis , S uno lateram
parallelorum sunt: item eadem esse ut parat logramma,qua
263쪽
viroius Dierum parallelorum , ct viro s non parallelor morantiani. demonstratum enim es esse ut parallelogramm mBON. ad parallelogrammam FG .s ut parallelogram--m CDAM. ad parallelogrammum GHEL. ita trape tum ABCD. ad trape ium EFGH. idemque sequetur is smaniar parallelogrammasub CB. BA. S DA. AB. aut sab GF. FE O HE. EF. ut inducenti mamininum in. Denique esse ut triangulum BAN. ad triangulum FEO. ita trape iam ABCD. ad trape ium EFGH. hac enim omnia ex progressu demon
strationis manifesta simi. . . . . - -
THEOREM A XXXIII. PROP. XXXVII. Rapegia quorum duo latera parallela , &utrumque viriqi proportionalia; habent
rationem eam quae componi rur ex proportione laterum homologorum & proportione altitudinum.
f Sint , ut in superiori, duo trapeaia ABCD. EFGH.quo-rius laterae BC. AD. item FG. EI . parallela , itemque proportionalia ; ita ut sit A D. ad EH. ut BC.ad FG.sintque altitudines trape-Eiorum perpeodiculares ad utrumque latus trapeEij BP. F Dico rationem trapeχij ABCD. ad trapeEium EFGH. esse compositam ex ratione AD. ad EH. &ex ratione BP. ad F aut ex ratione BC. ad FG. & ratione BP. ad F. Vt enim ex praeco, trapeetium ABCD. ad trapexium CDEF. ita rectan. qmi
gulum sub DA. BP. ad rectangulum sub EH. F rectangulum sub CB. i P. ad rectangulum GH FQ.
264쪽
x s Curvi ae recti proportio promota.
i F llorum vero rectangulorum ratio compositaest ex ra tionibus A D. ad EH. &BR ad F aut ex rationi bus BC. ad FG. & BP. ad F gitur ratio trapexij ABCD. ad trapegium EFGH. composita est ex rationibus AD. ad EH. & BP. ad F iut ex rationibus BC. ad FG. t BP. ad F Quod erat demonstrandum.
THEOREM A XXXIv. PROPOS. XXXVIII.
T apeetia quae duo latera parallela, eadem
que proportionalia , & angulum angulo aequalem habent sunt ut rectangula sub lateribus homologis , & lateribus non parallelis
quae aequalem angulum continent. comprehensa.SINT ut in schemate penultimae huius duo trapeEia ABCD. EFGH. quorum latera BC. AD. item FG. EM. pa rallela, itemque proportionalia, ita ut sit A D. ad EH. Vt BC. ad FG sintque praeterea anguli ad D. H. ideoque etiam ' anguli ad G. C. Dico esse virectangulum sub AD. DC. ad rectangulum sub AH. HG. Item ut rectangulum sub BC. CD ad rectangulum sub FG. G H. ita traperium ABCD. ad trapeEium EFGH. Ducator ipsi ΚD. parallela BN. & ipsi II , parallela Fo. Item ipsi x D. parallela A M.&ipsi I H.
parallela EL. occurrentes lateribus parallelis traper ij prodastis si opus nuerit in punctis N. M. & O. L. parallelogranima erunt MD. LIq. aut uiangula ob angulos ara quales D. H. Item parallelogramma aequiangula erunt BD. m. ob aequales angulos ad C. G. crit igitur,ex his quae demonstrauit Pappus lib. . Mathem it. Collectionum prois Schol is,d, posit. 1 i. de ab eo Clauius Schol. in a 3. o. Proposit. S. virectangulum sub AD. DCa ad rectangulum sub EH. HG. ita parallelogianimum MD. ad parallelogram musti LH. de ut tectangulum sub BC. CD. ad tectangulum sub FG. GH.
265쪽
ita parallelogrammum BD. ad parallelogrammum TH. sed ut parallelagramuni MD. ad parallelogrammum LM. &vehi' parallelogrammum BD. ad parallelogrammum FH. ita traperium ABCD. ad traperium EFGH. Igitur ut tectam gulum sub A D. Dc. ad rectangulum sub EH. HG. & ut tractangulum sub BQ CD. ad rectangulum sub FG. GH. ita trapeγium ABCD. ad trapeetium EFGH. Quod proposita
TR peria quae duo latera parallela, eademque proportionalia , & angulum angulo
aequalem habenes sant in ratione composita ex ratione laterum homologorum ,& ratione laterum circa angulum aequalem: item ex ratione laterum non parallelorum angulis aequalibus adiacentium , & ex ratione excessuum laterum parallelorum.
Sint eadem omnia quae luperiori. Dico primo rationcm tram ii ABCD. ad trapellium EFGH. esse gompositam exrat ione A D. ad EH. & CD. ad GH.Item ex ratione BQ ad FG. & CD. ad GH. ratio enim parallelogrammi MD. ad parallelogrammum LH. composita est ex rationibus AD , ad EH. & DC.ad HG. Item ratio parallelogrammi BD. ad FH. composita est ex rationibus BC. ad FG.& CD ad GHre autem parallelograminum MD. ad parallelograminum et ' i' LIq. & ut parallalogrammum BD. ad parallelogi ammunia TH. ita trapeEium ABCD. ad trapeEium EFGH. istitur ratio trapeEij ABCD. ad trapellium EFGH. compesita est ex rationibus AD. ad EH. &cta ad GH. Itemque ex ratio nibus BC. ad FG. & CD. ad GH. aint
266쪽
s c Curui ac recti proportio promota
Sint secundo anguli ad A. E. aequales. Constat AN. e se excessum quo latus A D. alterum parallelum BC. superat, j. , cum in Parallelogrammo BD. aequalia sint aduersa latera ND. BC. eodein modo Eo. excessus est quo EH. superat FG. & latera BA. FE. latera sunt in suis trapehijs oppositis CD. GH. non parallela, angulis aequalibus A. E. adiacentia. Dico rationem trapeEij ABCD. ad trapellium EFGH. seMilo, cumponi ex rationibus AB. ad FE. & AN. ad EO. Cum 5.proposit. r.enim triangula BAN. FEO.aequales habeant angulos ad A. E. habebunt rationem compositam ex rationibus B A. ad uiui β' FE.& AN. ad Eo.ut autem triangulum BAN.ad triangulum FEO. ita trapeElum ABCD. ad trapeEium EFGH.igitur trapeχij ABCD. ad trapeZium EFGH. ratio componitur ex rationibus AB. ad EF.& AN. ad EO. Quod se i eundo loco propositum erat: igitur trapeEia quae duo latera parallela &c. Quod oportebat demonstrare.
THEOREMA XXXVI. PROPOS. XL. SI circa duas perpendiculares quarum altera alterius sit dupla circuli describantur: rectae ex centris ad puncta sectionis ductae efficiunt
angulum rectum. Perpendiculares sint TC. CE. ad punctum E. illa huius dupla, & ex A. D.
centris , quae diu iadunt rectas TC.CE. bifariam, duo circuisti secent se in F.& ducatur DF. AEDico tam angulum AC D. quam AFD. esse rectum. Quoad angulum ACD. id constat ex descriptione. Ducatur DM.
267쪽
parallela ipsi CT. secans circulii EFG in L. & rectam AF. in M. & ducatur ad CI. perpendicularis AB. Item connectantur chordae TF. FC. FE. Quoniam anguli TFC. EFC. sunt in semicirculis, recti sunt: Una igitur recta el TFE.Vt ergo TF. ad FC. ita FC. ad FE. Quare similes sunt arcus , maioris ac minoris circuli nimirum FBT. ipsi FLC. & FC. Imnma. s. ipsi FE. aequales igitur anguli FAC. FDE.Quoniam autem recti sunt EDM. CAB. ex descriptione,ideoque aequales demptis aequalibus FAC. FDE. remanent aequales FDM. FAB. sed&aequales sunt FMD. FAC.(cum enim ex deseri ptione duo anguli ACD. MDC. sint recti erunt MD. AC. '' i parallellar aequales igitur sunt duo anguli FDM. FMD. duobus FAB. FAC. id est recto BAC. Quare & rectus est si .ieliquus DFM. Quod probandum fuerat.
HInc confIat tam rectam AE. tangere circulum OC.in F. quam rectam DF. circulum CFT. in eodem puncto F. Nam quoniam diametri sint AF. DF. S angulus rectusAFD. tam recta AF. cadet extra circulum Em. quam recta I DG. extra circulum CST. aeuare dictos circulos tangent.
RVrsas manifestum ess tam chordam TF.chordae FC.quam chordam FC. ipsus FE. esse dapiam. Nam vi TC. 3, sad CE. ita TF. ad FC. Or FC ad O. sed ex bapothesi duplaesi TC. ipsius o. igitur es dupla ect TF. ipsius m. O m. ipsius o.
DEnique probatum ess arcus FIT FLC.item FBC.FE.s A. FL.. esse Males, vi ex progressu demonstrationis aperium e . Κ k P R O.
268쪽
xsi Curui ac recti proportio promota. PROBLEMA V. PROPOS. XLI. - Vadrantem in duos arcus inaequales ita di
uidere ut sinus versus minoris arcus,sinus versus maioris, sinus rectus minoris, sinus rectus maioris, ac sinus totus propor tionem Arithmeticam continuam ab unitate incipientem & unitate disserentem habeant. Ducantur duae perpendiculares CT. CE. ad punctum C. quarum illa huius sit dupla quibus diuisis bifariam in A.
D. centris A. D. descripti circuli secent se in F.& ducta AB perpendicularis ad CT, auferat Quadrantam BC. Dico Quadrantem BC. se-etu in esse in F. ut pro- B x L
ponebatur. Ducantur sinus recti FI. FH. ille minoris, hic maioris arcus: Item continuetur I F. in G. erit FG sinus rectus arcus EF. connectatur EB. quae utrumquocirculum tanget in E. B. eritque AE. quadratum, de omnes figurae quadrilaterae interius descriptae erunt parallelograma rectangula, Cum igitur similes sint arcus FE. FOC. rit ut TC. ad C E. ita sinus rectus I F.arcus FOC.ad sinum3.Astrolab. rectum FG. arcus FE. sed TC. ipsius CE. dupla est ex hy- -- ' pollicii, istitur H F. ipsius FG. id est HC. illi aequalis,du- Iemm. . plus est, ted & CH. sinus versus arcus FOC. duplus est rectae GE.sinus versi arcus FE. id es ipsius BI. seu FΚ.(producta H F. in Κ. est igiturEG. ad CH. ut i .ad a.& CH. adHF. ut et .ad g. ipsi autem H F. si addatur FX. id cli EG. crit tota
HΚ. id est CE. seu AC sinus totus quinque partes, & CA.
36. 3. Corol. 3. Praccd. Lem. s. lib.
269쪽
id est IG. si dematur CH. id est GF. duae partes remanebit FI. trium partium. Igitur BI. est unius partis CH. duarum FI. trium FH. quatuor AC. seu AB. quinque . Est auten IB. sinus versus arcus FB.CH. sinus versus arcus FOC. FLsinus rectus arcus FB. FH.sinus rectus arcus FOC. & AC. imus totus. Igitur factum est quod proponectatur.
ES hac propositione quam plurima problemata ab sol pos
sunt. tot scilicet quot connex ones, su coniugaraones horum numerorum I. 2. 3. q. s. quibus gulae lineae B I. CΗ. FA
m. AC. respondena, feri possent. Nam adiurantis ABC. arcus CB. in F. ita secatur vir BI. cum Cm sint aequales ipsi N.
sus BI. noncupie exclant,atque his modi alia problematis formari possunt. Ex reguos enim combimationum inter quinque res ad Joo. possunt fleri diuerse compositiones , qua singula singulis prulemaiumateriam praebent, vi inducenti aperte conbat. Possit etiam problema proponi hac meis. Intra .Huadratum punctam designare in quo duae lateribus quadrati para Die si se iistemantes, di in dicta latera terminata in quatuor figmenta ita iam dantur ut ea cum una habeant proportione Aritimeticam continuam ab unitate incipientem, S unitate iusserentem . Nam is in ra quadratam ASEC. desertabatur madrans ABC. S semicirculus EI C. fise in F cantes,m ducantur GFI. TFΗ. lateribus Padrati parallelae va-bebunt recta CF. FG. m. FH. Tu. proportionem continuamquam I. i. g. . s. ut ex demonstratione superiora apparet.
270쪽
xgo Curvi ac recti proportio promota. PROBLEMA VI. PROPOS. XLII.
x ntem ita diuidere ut secans arcus
maioris cum tangente sit tripla sinus totius , & secans minoris arcus cum tangen-- te sit dupla sinus totius. Fiat eadem constructio quae superiori problemate, & praeterea producatur AF. dum rectam BE. secet in N. & CE. productam in O. erit BN. tangent arcus minoris BF. AN. eius secans di item erit CO. tangens arcus maioris FC.& AO. secans eiusdem arcus. Dico AO. OC.simul esse triplam AC.& AN. NB. simul duplam eiusdem AC. similia enim sunt triangula AH F. ACO. Item AIF. ABN.quare & latera proportionalia habent ideoque visunt FA. FH. simul ad proposit. AH. ita AO. O C. simul ad C A. at FA. FH. ad AIq. ratim Prum qu*yu nem habeut quam s. ad 3. id est quam 3. ad i. Igitur Ao. OC. simul ad CA. rationem habent quam 3. ad i. Eodem modo ostendemus cum AF. FI. ipsius IA. sint duplae ex pr*cedenti, etiam AN. NB. ipsius AB. esse duplas. Quare quadrantem ita diuisimus &c. Quod erat faciendum.
MAnifessam es ex hactenus demonstratis sinum totam
AC. tangentem CO. F secantam AO. esse in proportione Arithmetica quae est in his numeris 3. q. S. sunt enim si Milit dinem triangulorum AΗF. A . tres rectae AC, CO. . tribus AH. ΗF. AF. proportionales, vero haben/3 - rationem, Arithmeticam dictorum numerorum , eandem igitur habent es illa.