장음표시 사용
291쪽
ut si sint duae parallelae Ao. BP. ad quas AB. prima incidens sit perpendicularis, circa quam circulus descriptussi ADC. secunda incidens OP. cum dictis parallelis
292쪽
x x Curui ac recti proportio promota.
Atque eadem ratione circa Conicoides secundum ijdem motibus producetur Comcoidea tertiam Mita deinceps in infinitum.
Mot i quo huiusmodi figurat producun
tur dicatur ad chordas coniunctas data figura equidistanter proportionalis. Figura autem quae producitur generatim mala figurae conchordis et quod sit chordae parallelae propo tionalibus etiam aequales sint Data figura aequi- chordis appelletur. v III. INcidentes prima & secunda: Parallelae extremae interiores , media : Recta sibi respondentes eodem modo dicantur quo in secunda definitione.
Poly ' smiliter descripta, in figuris conchor
dibus eadem ratione definiantur qua qui ta definitione huius.
IN tres parallelas duae rectae incidentes seca
tur ab us in eadem ratione. Sint ites parallelae IB. CD. EF. in quas incidant duae recta ICE. B .aut ICE. HGF. ita ut a tribus illis paruis Iesis secentur in I. C. E. & B. D. F. & Η. G. F. sintque prumum
293쪽
mum IE. BF. parallelat. Dico esse ut FD. ad DB. ita EC.ad CI.cum enim parallelae sint IB. EF. parallelogramma c- runt ID. CF. aequalia igitur aduersa latera BD. IC. & DF. CE. Vt igitur FD. ad DB. ita EC. ad CI. . i F SSed non sint parallelae dictae incidentes ut IE. FH quae secentura parallela CD. in C. & G. & ducatur FB. parata tela ipsi EI. D core ut FG. ad GH. ita Eta ad CI. Est enim vi FG. ad GH. ita FD. ad DB. & ut Fri ad DB Ita exprima parte huius EC. ad CI. ergo ut FG. ad GH. itae m. ad CI. Quod erat secundo loco probandum.
SI duorum rectangulorum aequalium quaeli
bet latera proportionaliter dividantur e rectae per illa puncta perpendiculares rectangula in partes inuicem a quales diuidunt. . ix se angulum M. rectangulo VP. aequale, & fiat ut
BT. ad TA. Ita PL. ad LO. ducanturque TY.ZL. ad AB. OR perpendicularcs,quae dividant rectangula illud in alia duo TX.BY. istud in bina ZO. ZP. Dico A X rectangulum TX.re i i v o
294쪽
a Curui ac recti proportio promota.
ctangulum LV. & permutando: aequaIta autem ponuntur rectangula BX. PM. igitur aequalia etiam sunt rectangula s. pronuae. TRLv. Quare & reliqua BY. PZ. Quod propositum et erat demonstrare.
LEMMA III. SI data utcumque diuidatur, atque ei urrim
que duae rectae ad ij ciantur eandem rarionem cum partibus quibus cohaerent haben tes: rectangulum sub data cum adiunctis Ac altera adiunctarum, ad rectangulum sub partec haerente cum eadem adiuncta,&adiuncta, est ut data ad partem quae cum adiuncta cohaeret, Sit data AB. quae diuidatur utcumque in C & ad ijciano
tur utrimque duae rectae A D. BE. sitque ut A C. ad CB ita AD. ad BE. Dico re
data AB. cum adiunctis A D. DE.& adiuncta qualibet BE. ad rectangulum CEB. sub parte CB. cum adiuncta & cohaerente eadem RE. &adiuncta BE.) csic ut datam AB. ad partem BC. quae cum adiuncta BE. cohaeret. Quoniam est ut DA. ad BE. ita AC. ad CB. erit permutando, componendo , & iterum permutando,ut DC. ad EC. ita AC.ad CB. & componendo vi DE ad EC. ita AB. ad BC. cum ergo duo rectan quia schol. i. c. DE B. CEB. eandem habeant basim BE. erunt inter se ut altitudines DE. EC. sed DE. ad EC. est ut AB. ad BC.e go i ectangulum DEB. ad rectangulum CEB. est ut Anad BC. Quod demonstrandum erat.
295쪽
Er datum punctum in peripheria ellipsis con
Sit in peripheria datae ellipsis ACG.datum punctum Cr
per quod oportet ducere rectam quae ellipsin tangat. Inueniatur axis ellipsis G A. ad quem ordinatim applicetur expuncto C. perpendicularis CD.& r mi DA .accipiatur aequalis DE.&hac ut GE. ad ED. ita GA. ad AB. &connectatur BC. Dico quod recta BC. tangit ellipsin in puncto C. Nam quoniam est ut GE. ad ED. ita GA. ad AB. erit compo nendo ut GD. ad DE. id est GD.ad DA. ita GB. ad BA. Quare recta BG. sectionem tangit irrC. Igitur per datum punctum in periphcria ellipsis contingentem lineam duximus. Quod erat faciendum.
IN circulo,& coni sectione potest describi si
gura multorum ansulorum & numero parium , quae maior sit quacumque magnitudine minore quam datus circulus, aut coni lectio. Sit circulus,Ellipsis, Hyperbola,Parrabola DAB.& data magnitudo quaelibet Q. minor qualibet datarum figurarum. Dico tam in circulo,quam in coni sectionibus pocse describi figuram multornm angulorum , dc numero parium quae maior sit data magnitudine QCAc primum in circulo DAB. cum is maior sit magnituis dine Q sit excusius quo dictam magnitudinem superat,
296쪽
rui ae recti proportio promota
magnitudo S. constat ex 2. I a. elementorum tantum posse abicindi ex circulo DAB.inscripta figura multorum angulorum , & numero parium, ut relinquatur quoddam spa
tium minus ipso S. spatium autem illud quod relinquitur est differentia polygoni inscripti & circuli, & magnitudo S. est differentia magnitudinis hic circuli 1 igitur minori
297쪽
disserentia distat polygonum a circulo quam magnitudo ideoque maius est polygonum , quam magnitudo . Sit secundo ellipsi; DAB. maior eadem magnitudine excessu: magnitudinis S. manliustum est ex positione Arachimedis dropositione 3 .de Conoidibus & sphaeroidibus , sed euidentius, ex Commentari, Federici Commandini in eandem propositionem, in Ellipsi posse inscribi figuram multorum angulorum, & numero parium euius residuum seu differentia ad Ellipsim sit minor disterentia S. qua eadem Ellipsis super' datam magnitudinem QOtque adeo polygonum inscriptum esse maius data magnitudine. Sit tertio Parabola aut Hyperbola DAB. cuius diameter AΚ. basis seu ordinatim applicata DB. vertex A. S ifi Hyperbola centrum C. Inscribatur triangulum DAB. constat spatium illud maius est e quam sit dimidium spatij s ctione DAB. contenti. Nam si per punctum A.duxerimus tangentem P parallelam scilicet ipsi DB.cui occurrant , i. i.Conieex D.B. perpendiculares DP. Bd fiet parallelogrammum DPQB. cuius dimidium est triangulum DAB. spatium ve- i, i. ro sectione Parabolita aut Hyperbolica contentum DA C. minus est quam figura quadrilatera circumstripta D Igi turinscripta figura seu triangulum DAB. maius est qua ipsius dimidium. Rursus rectat DA. BA. bifariam diu dantur in H. &E.&in Parabola sit VH. diametro TA .atis quid istans quae secet parabola in V. & EL. eidem diametro aequid istans secans Parabolam in L. In Hyperbola vero ducantur ex centro C. rectar CVH. CLE.secantes etiam Hyperbolam in V. & L.manifestum est ex conuertentibus renuere. s. s. di T. I. Conicorum, lineas Y VX. &MLN. tan- r. i Conic.
gentes sectiones in v. L. & ipsi GB. Phoccurrentes in punctis Y. X.&NM. ipsis DA. BA. aequidistare: idemque Parallelogramma esse XA. NA. quare ductis rectis A v. v D. dc A L. LB. erit A VD parallelogramini XA. & i. i.
ALB. parallelogrammi NA. dimidium ,& ob id maiusquam dimidium portioni5 Parabolae vel Hyperbolae quae
298쪽
xis Curvi ae recti proportio promota.
circa ipsum describitur. Atque idem demonstrabitur in , alijs triangulis in infinitum:quod quidem semper fiat dum
' relinquantur quaedam sectionum portiones quae sint minores incessu S. quo Parabola vel Hyperbola datam magnitudinem Muperat: rursus enim ut in priori parte huius sequetur , Parabolam vel Hyperbolam minori excessu differre a polygono inscripto quant a magnitudine hide que polygonum esse maius data magnitudine QCIgitur in circulo & coni sectione potest describi &c. Quod erat deis
THEO REMA II. PROPOS. II. Potest ad datum circulum motus aequid istam ter proportionalis ita fieri , ut partes proportionales incidentium partibus parallelarum proportionalium quae illas secant uni proportionales . i .i
Inter duas parallelas Go. HR ducatur incidens ' tendicularis G s.circa quam centroN.descriptus sit circu-us Gin. ac inter easdem parallelas,aut diuersas I P.CR ducatur alia incidens perpendicularis OP. moueatur Go.
ita ut perueniat ad opuncta I.& Κ. in in-eidente GH. & ad puncta R.S. in incidente oP. quae est
inter easdem parabicias,secetque circulum in punctis L. M. constat ex Lemmate I .huius duas GH. OP. secari , a parallelis I R. XS. propor-
299쪽
tionalirere aut si non sit inter easdem parallelas , sint sectae GH. OP. in eadem ratione, in I. Κ. & R. S. ac moueatur GO. parallela ita ut quo tempore G. petauenit in I. etiam O. perueniat in R. & cum illa in Κ. ita progrediatur in S. Diuisa bifariam OP. in Q. describatur centro Qxirculus OTV. quem secent parallelae I R. ΚS. productae in punctis T. V. &connectantur QT. QU. Item N L. NM. Dico motum lineae GO. versus HP. aut linea rum GO.HR esse motum ad datum circulum GLM.aequia distanter proportionalem,ita ut quae proportio est HI.pa tis incidentis ad IL.tangentem quae illam secat, eadem sit PR. partis proportionalis incidentis ad RT. tangentem proportionalem. Cum enim sit positione ut HI. ad IG. ita PR. ad RO. erit componendo vi HG. ad IG. ita PO. ad RO.& antecedentium dimidia,ut NG. ad IG. ita QO. ad RO.&per conuersionem rationis ut GN. hoc est LN. ad N I. ita O d est TQ ad QR. Cum ergo in triangulis LIN. TR snguli ad I. R. sint recti, ac proinde reliquorum angulorum L. T. uterque minor recto , erunt ir, triangula NIL. QR T. aequiangula angulosque aequales
habebunt ILN. R INL. RQT.Erit igitur vi NI .ad I L. ita QR. ad RT. Cum ergo ex hypothesi sectae sint GH.
P. a parallelis in eadem ratione, erit ut HI. ad IN. ita P R. ad RQ. & vi IN. ad I L. ita ostensum est esse QR. ad ET. igitur ex aequali, ut HI. ad I L. ita P R. ad RT. atque codem modo probabimus aequiangula esse triangula
se aequales, item esse vi H Κ. adΚM. ita PS. ad SV. Cum
igitur aequiangula sint triangula LIN. TR k anguli ad L. T. aequales erit ut NL. id est GN. ad LI. ita T Id est o ad TR. & permutando ut GN. ad OQ. ita I L. ad TR.
300쪽
x 'o Cumi ac recti proporti o promota.
parallelis GO. HP. occurrat, ac sit diameter circuli intra parallelas contenti, & in easdem, aut alias H P. CF. alia recta OP. incidat, moueaturque aut una parallela GO. aut duae GO. I P. cx eadem in eandem Partem, ut alteri H P.
aut CF. sint continuo parallelae, dividantque G H. & OP. in easdem rationes, & partes parallelarum I L. ΚM. parti' h. i. bus RT. S V. sint proportionales, constat ex prima definita tione huius, motum illum esse ad datum circulum inter duas parallelas aequidis anter proportionalem, cumquet, sit vi HI. ad I L. ita PR. ad RT. item vi H Κ. ad N M. ita PS. ad 5V. patet id quod proponebatur.
MAmfectum eat ex dupis in propositione. duo circus
inte' duas parallelas aequaliter ast inaequaliter H- flantes descripti fuerint, s puncta contactus diameter con- tangat,per qua parastelae iscantur quarum altera versus a teram in utroque circulo ita moueatur in partes ex diametris eiusdem rationis abscindat: pramo arcus quos in motu absindunt continuo irati simules, ycundo esse ut sinus seu chordas arcuum in et notrirculo, ita sinus S chordas in altero cirem s denique esse partes incidentium ad partes parallelarum in uno circulo ut in alio Fu esse Aus versos ad Aus rectos in eadem proportione in utroque circulo . Nam ex eo quod p rallela GO. ZIP. mota secent diametros . OP. in easdem rationes in circulis GL I. OTV. probatum es angulos INL. item LNM. S T. esse aequalis, quare arcus GL. OT. Schao.f. item arcus GM. OU. similes sunt: praeterea mensum es e com IL. adTN. ita AT. -SU. denique ut HI. ad IL. ita PR, ad RT.