장음표시 사용
321쪽
. Uaelibet ellipsis circa quamlibet suarum diametrorum dato circulo , dataeque ellipsi est analoga.
Datus sit circulus quilibet Z. & ellipsis s. & sit quaelibet
ellipsis ΚLMN. cuius quaelibet diameter ΚM. centi um R. Dico ellipsimΚLMN. circa diametrum X M. dato circulo Z. aut ellipsi s. esse analogam. Ducantur per punctii N. M lemm. GrectaeΚA. MC. ellipsimΚLMN. contingentes: quoniam huius. recta X M. transit per centrum R. ellipsis,cum ponatur eius diameter, rcctae LA. M C. sibi ipsis aequid istabunt. Inter AJ 'β duas parallelas XA. M C. ducta ad utramque perpendic Iari A C. describatur circulus ABCD. & & mota AC. m tu ad MC. aequid litanti faciat parallelas in utraque figura F L & BED. LRN. & GYH. XTP. quae se- centur illic ab Ac in punctis V. E. Y. istic a ΚM. in pu edis S. R. T. Constat in circulo parallcLs dict..s secari bifa- s' i riam in punctis V. E. T. In ellipsi vero h LMN. eum recta LRN. tra nseat per centrum R. secabitur in R. bitaliam so i cotii.
322쪽
3ix Curui ac recti proportio promota bifariam in puncto . & ducatur T . quoniam ellipsini. ΚLMN. contingit ΚA. in puncto A. & huic aequid istans T- - Cm O Q. diuisa est bifariam in puncto d. erit Κ . diameter ellipsis,quod est absurdum cum non transeat per centrum, atque eodem modo probabitur rectam XP. & quamlibet xx. definit. parallelarum ad LN. secari bifariam a diametro ΚM. ora C''N dinatim igitur applicantur ad diametrum NM. rectae i. i. ni. OS. LR. XT. &c. Ergo erit virectangulum MSΚ. ad rectangulum MRΚ. ita quadratum OS. ad quadratum LR.& ut rectangulum MSΚ. ad rectangulum MRΚ. ita rectam gulum CVA. ad rectangulum CEA. nam cum sit ut MS. Lemm. r. ad SΚ. ita CV. ad VA. erunt rectangula MSΚ. MVA. fi- , des h milia.& ob eandem causam rectangula MRΚ. MEA. simi ierum. i. lia. Quare cum sit ut MS. ad CV. ita MR. ad CE. erit ut huiui, rectangulum MSΚ. ad rectangulum CVA. ita rectangu- . i. Coni. Ium M RIc. ad rcctangulum C EA. & permutando & ut rectangulum CVA. ad rectangulum CEA. ita quadratum v I. ad quadratum ED. erit ut quadratum OS. ad quadra- . . tum LR. ita quadratum VI. ad quadratum ED. ideoquGdere. . hv virecta OS. ad rectam LR. ita recta VI. ad rectam ED.
I. . Qigre ellipsis XLMN. circulo ABCD. est Analoga , sed
hi, circulus ABCD. circulo Z. etiam analogus cst: igitur cuis sis ΚLMN. dato circulo Z. analoga est circa incidentem eu diametrum ΚM. Rursus quia ellipsis 3. ex prima parte huius propositicianis, circulo Z. analoga est circa quamlibet suarum diam,trorum, & eidem circulo analoga est ellipsis XLMN. ci ea quamlibet suarum diametrorum, manifestum est ellupses XLMN. & . circa quamlibet suarum diametrorum descriptas esse analogas. Quare qua libet ellipsis circa quamlibet&c. Quod etat demonstrandum. THEo-
323쪽
SI motu ad datam Ellipsin aequi distanter
proportionali figura describatur . ea aut Circulus erit, aut Ellipsis.
Haec propositio euidenter deducitur ex superiori Nam quaelibet ellipsis cuilibet circulo atque ellipsi analoga est , ergo motu ad datum circulum aut ellipsin aequi distanter proportionali describitur; Cum autem idem sit mitus quo circul us aut ellipsis data,& ellipsis analoga describuntur ; si ellipsis analoga statuatu rima atque data;manifestum est circulum aut ellipsin,quae data erat,motu mquidistanter proportionali delincari ac fieri analogam.
THEOREM A XVI. PROPOS. XVI. SI ad datam Parabolam motu aequi distanter proportionali figura analoga describatur,
ea erit Parabola. Inter easdem aut diuersas parallelas AΚ. CL. data sit
parabola ABC. cuius diameter AC. latus rectum AT. incidens siccunda quaecumque XL. moueatur AΚ. aequid iis stanter ipsi CL. ita ut continuo parallelae circa XL. sint proportionales parallelis circa AC. nimirum vi NM. ad PO. ita DE. ad FG.&vt Po. ad Rhita FG. ad HI. &vtR ad SL. ita HI.ad CB.atque ita deinceps etiam ex alia parte incidentium; secabuntur etiam AC. XL. proportionaliter, ideoque iuxta primam definitionem huius, erit motus ad datam parabolam aequidistanter proportionalis et inscribatur eo motu figura L,L. quae erit analoga
parabolat ABC. Dico illam figuram esse parabolam. Quo. Rr niaint . huius. . de . huius Iemm. Iahuius. I. defin. huius
m defit huius D sitired by Go le
324쪽
s i Curui ac recti proportio promota.
niam sectae sunt proportionaliter DΚ. FA. in pulictis M. a. hiata. D. erit ut o T. ad ita M. ad DA: item quia parabola ABC. erit ut FA. ad DA. ita quadratum FG. ad qua-huiu . dratum DE. Rursus quia proportionaIes sunt rectae DE- 5. c. FG. rectis NM PO. erit ut quadrarum FG. ad quadratum DE. ita quadratum PO ad quadratum NM. ergo a primo ad ultimum virecta OΚ. ad rectam MΚ. ( nempe ut lineae Quae ob ord inatim applicatis ex diametro ad verticem ab-rcinduntur ita quadratum P O. ad quadratum NM. nimirum ita sunt inter se quadrata ordinatim applicatarum , quod tanquam parabolae peculiare demonstrat Apollo nius lib. I. Conic. proposit. a Rursus quadrato NM. fiat rectanguliam MΚU. aequata&ipsi LX. sit XV. ad punctumΚ. perpendicularis. Quoniam tectangula MΚv. OΚU. eandem altitudinem ha-x a. bene T. et ivit ut bases MΚ.GΚ. sed ut MΚ. ad OX. i paulo
325쪽
paulo ante ostensum est quadratum MN. ad quadratum CP. ut igitur reetangulum MX v. adiectangulium OL v. ita quadratum NM. ad quadratum P O. & permutando utreelangulum MN v. ad Quadiatum NM. ita rectan ut uni OΚV. ad quadratum I O. aquale autem est rectangulimi MΚv. quadrato NM. exbvpothesi, igitur aequale erit rectangulum OΚV. qu drato PO. atque ita ruct&ngultim
v. erit aequale quadrato B Sc. Quod parabolae
convenire demonstrat Apollonius ira primi Conicorunc. vocatqueΚV. Rectum figurae latus. Iam vero oonstat ex S a. primi Conicorum posse inueniri parabolam, cuius diameter sit data ΚL. vertex punctum L. Ducta vero quaelibet SL.a sectione ad diametrum in angulo SLΚ. possit rectangulum LXV. subrecta L Κ. & petapendiculari seu laterertasto XV. Inuenta iam it&impo- ' cum natur dicta parabola figura: ΚSL. congruent re me LΚ-- .rabolae ,& LX. figurae X SL. cum aequales positae fini Item rectae SL. utriusquc figurae, cunuam SL. quain angulus SLΚ. ponantur aequalia taeniq, ob eandem causa D contrem Vient NV. in utraque figura. Igitur,aut congruent dictae figurat,aut Non congruent et ponantur Primum non congru
re, ac ubi deficiunt applicetur ordinatim MNX. quae secet figura analogam in N. parabolam in X. Quoniam in vir que figura XV. est recta iuxta quam pCssunt ordinatim a plicatae; erit rectangulum MΚv. a luale quadrato MN.cxsecunda parte huius propositionis et idemque rectangulum MX V. aequale quadrato MX. ex I I. I . Con Ic. Igiriu aqualia sunt quadrata LI. LIq. pars & Tinum: quod est absur- i Li.conicdum . congruent igitur Parabola, di figura analoga. Igi- '- s, turaequalia sunt,ac in unam figuram coincidunt,estque fi- p. ' gura analoga Κ, L. Parabola. Quod erat dcmon ita meum
326쪽
sic Curui ac recti proporti Dpromota. THEDREM A XVII. PROPOS. XVII
SI ad datam Hyperbolam motu aequidistan
ter proportionali figura analoga describatur s ea erit Hyperbola. Sit idem schema quod superiori propositione , sed figmra ABC. ponatur esse Hyperbola,& fiant reliqua ut in praecedenti , tantum Hyperbolae ABC. accipiatur transuersum latus AY. &ducta YZ. ipsi AT. parallela prod catur LX. dum concurrat cum YZ. in puncto Z. Dico fi-Lemm, guram analogam LSL. esse Hyperbolams Est enim ut YD.
327쪽
ad DF. ita ZM. ad M. & componendo, & per conuersi nem rationis ac permutando viri. ad Zo. ha vh ad ZM. sed est etiam viYF. ad FA. it 'EO. ad OX. &vtvri id, ad DA. ita EM. ad MT'similia igitur sunt rectangulae i. huius. YFA. ZOΚ. item rectangula YDA. LMR.cum luetur ut YF. ad ZO. ita YD. ad ZM. , super prima ac secvnda facta sint duo rectangula similia YFA. ZOΚ.&super tertio i&quarta duo itidem similia YDA. ZMΚ.erit ut rectangu- s. Ium YFA. ad rectangulum ZOΚ. sta rectangulum YDA ad rectangulum ZMΚ. & permutando ut tectangulum YFA. ad rectangulum YDA. ita rectangulum ZOΚ.ad rectangulum ZMΚ. sed ut rectangulum YFA. ad rectangu- o. r.Conae.him YDA. ita quadratum FG. ad quadratum D E. &vt quadratum FG. ad quadratum DE .ita quadratum PO ad ' quadratum NM. igitur ut rectangulum ZOΚ. ad rectangulum ZMΚ. ita quadratum PO. ad quadratum NM. Deinde fiat ut rectangulum ZMΚ. ad quadratum MN Corol.so. . ita ZΚ. ad ΚV. Quoniam ostensum est prima parte huius, esse rectangulum ZOΚ. ad rectangulum ZMΚ. ut quadratum PO. ad quadratum MN. eritconuertendo & permutando ut rectangulum ZMΚ. ad quadratum MN. id est ut ZΚ. ad XV. ita rectangulum ZOΚ. ad quadratum P O. Ataque eodem modo proba bimus esse ut ZΚ. adΚV. ita rectangulum ZQΚ. ad quadratum QR. Has affectiones etiain in Hypei bola demonstrat Apollonius I. Conic.prop.
Constat autem ex 33. I. Conicorum posse inueniri Hyperbolam cuius latus rectum XV. transuersum TZ. & diameter XL ducta vero quaelibet A L. a sectione ad diamenum in angulo SLΚ. sit ut ZΚ. ad XV. ita rectangulum ZLM. ad quadratum SL. Inuenta iam fit & imponatur dicta Hyperbola figura GL congruent rectae LΚ. Hyperbolae , & LX. figurae,cum aequales positae sint: Item rectar SL. utriusqne figurae, cum tam rectae SL. quam anguli dLΚ. ponantur aequales:denique ob eandcm causam comvenient
328쪽
si s Curvi ae recti proportio promota.
uenient RV. in utraque figura. Congruent ergo dictae tagurae , aut minime congruent. Pouuntur pri num nomvngrycte , ac ubi deficiunt applicetur ordinatim MNX. ' quae secet figuram analogam in re Hyperbolam in X. su uirum in utraque figura Κ v. est rect i iuxta quam pose sunt ordinatim applicatae, ZΚ. latus transuerstim, erit ex secunda parte huius propositionis, ut ZΚ. ad Κv. itar Cyn V ctanguluin ZMΚ. ad quadratum MN.& ut ZΚ. ad Κv.itare tangulum ZMΚ. ad quadratum MX. aequalia igitur sunt quadrata MN. ML pars & totum Qusd est absumdum congruent igitur Hyperbola ac figura Analoga, a, quales ergo sunt; immo in unam figuram concidunt, veproinde figura analoga Κ, L. sit Hypei bola. Quod erat
THEOREM A XVIII. PROPOS. XVIII.
Polygona in Circulo atque Ellipsi analoga g
item in Parabolis aut Hyperbolis analogis intra eas em parallelas similiter inscripta sunt inter se ut parallelae proportionales.
Inter easdem parallelas AΚ.CM.descriptus sit circulus ABCD.&Ellipsis analogaΚLMN.item duae aut parabo- ilae, aut Hyperbolae analogae AC. ΚM. quorum diametri isecundae BD. LN. eaque secent quotcumque parallelae iptoportionales illum FI.BD.G H. istam O LN.XP.con- , nee tantur rectis sibi respondentibus A F. FB. BG. &c. . LO. OL. LM.&c. quae essicient duo polygona in circulo ,: ellipsi similiter descripta, eo modo quo desinition quinta huius traditum est. Dico polygonum AFBGCHDI. ad po&ygonum NO LXMPN esse ut proportiona- item quamcumque FLad proportionalem O Secet dia- imeter AG. rectas FI. BD. GH. in punctis VsEY. erit Av. .
altitudo tam trianguli FAI. quam trianguli ON eo i quod
329쪽
A. Isixiorum m. I P. denique vC. altitudo ' triangulorum in circulo & ellipsi,& in palabola, & Hyherbola viti morum trapeEiorum GCH. XMP. Quoniam igitur triangula FAI. OΚe eandem habent altitudinem , erunt inter se ut bases, quare ut FI. ad Oi ita triam gulum FAI. ad rriangulum OX Rursus quia tra-peEia FD. ON. habent latera FI. BD.proportionalia lateoribus Ohi N. erunt inter se trectisngula sub BD. EV. i ab LN EV. sed rectangula sub BD. Ev. & LN. Ev. sunt inter se ut bases A D. LN. vi igitur BD.ad LN.ita tra.
perium FD. ad trapestium ON. eodem modo ostendemus
330쪽
i 15 Cu res ac re i proportici promota.
triangulum GCH. ad triangulum XMP. Cum igitur sit veFI. ad omis triangulum FAI. ad triangulum oΚ sie
n. i. stin autem ut Fl. ad O ta BD. ad LN. & ut BD. ad LN. ita traperium FD. ad trapellium oN.erit ut triangulum FALad trian 'pungi oΚ ita trapetium FD. ad trapegium ON. Rursu cum sit ut B D. ad LN. ita trapetium FD. aatrapelliuili ON. de ut BD. ad LN. ita trapetam BΗ. ad trapeEium LP. vi paulo ante probatum est,erit ut traphllium FD. ad trapeatum ore ita trapreium BH. ad trap
xium LP. Deniquecum sit ut B D. ad LM ita trapeetium l . . . ilH. ad tramitim LP sit autem ut BD. ad LN. ita GH. . et ad M. & ut Cre ad M. ita triangulum GCH ad
triangulum XMR. erit ut trapeaeium BX. ad trapellium i LP. ita triangulum GCH. ad triangulum XMP. Quare cum sit ut triangulum FAI. ad triangulum OL ita traperium FD. ad trapeEium ore divitia Eium FD. adii . . O dicivmium ita trapinium. BH. ad-tra Eium LR& utvra E m BΗ. ad trapehium b. ita in Glipsi& circulo triangulum, in parabolis aut Hyperbolis tra Eium GCH. ad triangulum aut tra Eium XMP. erit ut triangulum FAI. ad triangulum oΚQ ita totum polyagonum AFBGCH DI. ad totum polygonum LoLXMP
NMed ut triangulum FAI. ad triangulum oΚ ita
stensum est esse FI. ad O vi igitur FI. ad o Iarallela proportionalis ad proportionalem ita polygonum AFB CHDI. ad polygonum LoLXMPN Quod erat d
Ex iuctis e/νPat patriona is circulo algae est si as leta inter easdem parallelas simioler descripta esse mfecundas diametros. Nam H FI. a. mota pol gonum a. poli num .sed vi N. ad O ta diameter fecunda BDAd fecundam M. Vt igitur ID. ad M. ita polygonum a Dinonum, ' THEO-