장음표시 사용
301쪽
SI ad datum circulum motu atqui distanter
proportionali figura analoga describatur, ita ut partes proportionales incidentium partibus parallelarum proportionalium quae illas secant, fuit proportionales et figura analos
Sit eadem synthesis quae in superiori proposition , idemque schema, nempe inter duas parallelas GO. I P. ducatur incidens perpendicularis GH. circa quam centro N. descriptus sit circulus GLM.ac inter easdem parallelas, aut diuersas I P. CF ducatur alic iincidens perpendicularis OP.Moueatatur GO. arquidis anter ipsi H P. ita ut perueniat ad quaelibet pulicta I. L. N. in incidente G H. & ad puncta R. S. QIn incidente OP. quae est intercasdem parallelas, lacetquc circulum in planctis L. M. X. constat ex Lemm . r. huius duas GH. OP. secari a parallelis I Κ. ΚS. proporti in aliter: aut si non sit inter easdem parallelas, sint rectae G H. OP. sectae eadem ratione in I. Κ. N. & R. S. &c moueatui I U. parallela, ita ut quo tempore G. peruenit in I. etiam O. perueniat in R. & cum illa in Κ. ista progrediatur in S. cum illa in N. centrum, haec in parallelae Oo a RT.
302쪽
xsi Curui ac recti proportio promota.
RT. SV. QY. parallelis I L. ΚM. NX. sint proportionales,t qui motus primae definitioni congruit sitque ut HI. ad I L. ita PR. ad RT. & vi Hic. ad ΚM. ita PS. ad SV. hoc enim fieri posse in superiori propositione ostensum est describaturque figura OTV. Dico figuram OT V. esse circulum. Cum enim motu aequid istanter proportionali sectae sint proportionaliter HG. PO. erit ut NI. ad HI. ita QR. ad PR. sed vi HI.ad IL ita supponitur PR.ad RT. ergo ex aequali vi NI. ad I L. ita QR.ad RT. quare cum recti sint anguli ad I R. aequiangula erunt triangula LNI. TQR. ut igitur LN. ad NL ita T ad QR.&vt NI. ad NG. ita QR. ad QO. ex descriptione , ergo ex aequalitate, ut LN. ad NG. ita TQ ad QO. aequales autem sunt LN. NG. aequales igitur sunt QT. QO. . Atque eadem ratione ostendentur aequales V QO. & quotquot ex Q unctoas. desin. ad perimetrum OTV. ducentur. Igitur figura oTU. ci cuius est. Quod erat demonstrandum.
THEOREMA IV. PROPOS. IV. SI motu ad datum circulum inter duas parallelas aequid istanter proportionali figura
analoga describatur, ea aut circulus erit,aut
Inter duas parallelas GO-HP. ducta sit ad utramqueo perpendicularis HG. circa quam descriptus sit centro N. circulus GLM. ac inter easdem aut diuersas parallelas circa incidentem secundam OP. motu ad circulum GL M. proportionali descripta sit figura analoga OTV. Dico illam figuram aut esse circulum, aut Elliphides. Sit primum incidens OP. peependicularis ad extremas parallelas ( ut patet in secunda & quarta figura &ducantur quaelibet I L. ΚM. NX. parallelae interiores in cirisculo GLM. quibus in figura OTv. respondeant proportionales
303쪽
nonales parallelae RT. SV. QY&sint etiam primo partes i. huius. incidentium proportionales, partibus parallelarum proportionalium proportionales, nempe ut HI.ad IL.ita PR. ad RT. & vtΗΚ. ad ΚM. ita PS. ad SV. erit figura OTV. h rumi
Sit secundo OP. perpendicularis ad extremas parallelari siue illae eaedem sint siue diuersae, sed partes incidentium proportionales partibus paraliciarum proportionalium analogae non sint, nempe non sit ut HI. ad I L. ita P R. ad RT.Dico figuram OTU. non esse circulum. Si enim aliter asseratur, sit si fieri possit circulus, ergo ex Coroll.secundae Corel. i. huius erit ut HI. ad I L. ita P R. ad RT. quod est absurdum huius. ponitur enim non esse ut HI. ad I L. ita PR. ad RVDenique incidens PO. non sit ad extremas parallelas perpendicularis sed obliqua, ut patet in penultimo sch mate, faciatque cum cxtremis parallelis angulos non rectos. Dico illam non esse circulum. Sit enim si fieri potest circulus. Quoniam rectae PQ m. rectis aequalibus PIN. M. proportionales sunt, etiam inter se sunt aequales,&rectae E in . rcctis ZN. NX. aequalibuε proportionales, etiam sunt aequales, centrum igitur circuli est punctum( si cnim centrum non esset duae rectae EY. OP. sese mutuo s. secantes non per centrum extensae sese mutuo bifariam non secarent, quod est absurdum, cum probatum sit eas
sese bifariam secare eiusque diamcter Po. Rursus ma
304쪽
xsi Curui ac recti proportio promota.
nifestum est figuram analogam OEPY; quae circulus dicutur , totam intra parallelas AO. CP. quorum motu laetita est , contineri: si enim pals eius esset supra O. pars infra P. illa pars non esset descripta motu parallelae AO.quae ponitur motu esse paralle se ab GO. in HP. quod est contra rationem descriptionis,& definitionem primam huius igitur figura dicta tangitur a parallelis A O. CP. in punctis O. P. ergo diameter PO. ad extremam tangentem GO. perpendicularis est: quod esse absurdum, cum ponatur obliqua; non igitur figura OTU. circulus est: sed quia ea , ut & superiores quae circuli non sunt paulatim a puncto O. dilata tantur usque ad parallelam mediam EY. hinc rursus coamctantur dum in punctum P. desinant & claudantur, forma mellipsis praeseserunt,quapropter figuram hanc,donec naturam eius explorauerimus, vocabimus Ellipsides. Igitur si motu ad datum circulum &c. Quod crat pro bandum ,
HIne Onctai s motus si hui modi qualis describit r
tertia huius , figuram analogum esse circulum , ficus nunquam esse circulum; s incidente ad extremo parallelas existente obliqua , figuram analogam circulum non esse.
Figura analoga quae motu ad circulum aquidi anter proportionali procreatar, ant Circulus es aut Filipsi se Circulus aut intra easdem parallelas aut intra diuersas et sintra easdem parallelas producatur, patet esse dato aequalem, cum aequalem dato Hametrum habeat ; s intra diuersas est maior est minor esse potest. Rursus est sides aut inter ea fiam parallelas continetur , aut diuersas , s. utroque motas
305쪽
It incidentem ad extremas parallelas ictam habet,aut oblita quam; ac denique parallelas proportionages aut parallelis dati circuli aequales habet , aut inaequales. Ellipsides cuius incidens ad extremas parallelas recta es dicatar Ellipsolis des rectum et Id vero cuius incidens obliqua, vocetur Elliis
phides obliquum. Si parallelae proportionales aquales sint appelleiar Elliphides AEquichorde; inaequales Diuersichorde.
SI incidenti secundae parallela intra ellipso id es ducatur: ea a parallela media bifariam
secabitur. Describatur circulus ABCD.ac elliphides quodcumq;FGHI .modo in prima definitione huius tradito ; siue inter easdem parallelas BF. DH. siue diuersas; at sint primum inter easdem, sitque incidentium pi ima BD. secunda FH. illa diameter circuli ad BF. recta; ita aut recta aut obliqua; parallelarum media EΚ.transiens per centrum circuli E.&ipsam FH. secans in Κ. peripheriam circuli in C. elliphi dis in G. ipsi autem FH. parallela ducatur LM. secans p riocham elliphidis in punctis L. M.¶llelam mediam in
306쪽
x sc Curui ac recti proportio promota.
in puncto p. Dico rectam L. M. a recta ΚE. bifariam sectis ri in P. Ducantur per puncta L.M. duae parallelae interi res IN. Mo. proportionales parallelis in circulo RT. QS. quarum illae incidentium secundam secent in N.o. istae circuli diametrum in R. Qi peripheriam in T.S.& iungatur TS. secans EΚ. in V. Quoniam parallelae sunt ON. ML. ex hypotesi: item LN. MO. ex definitione prima huius , seu descriptione elliphideos, parallelogrammum est LMON. quare aequalia sunt aduersa latera Mo.LN.Sed MO.LN. sunt parallelae proportionales ipsis QS. R T. ex definit. I .huius:aequales igitur sunt QS. R T. sed sunt de parallelae, ex eadem definit. Igitur etiam parallelae sunt B TS. Igitur anguli BEV.&TVE. sunt aequales ; ill autem rectus est ex definitione r. huius; quare & iste rectus est, secatque EV. rectam TS. bifariam in V. ut autem SV. ad Ur ita MP. ad PL. Igitur etiam recta ML. diuiditur bifariam in P. atque idem demonstrabitur draqualibet alia parallela ipsi FH.Sed circulus datus atque ellipseides analogum non sint inter easdem parallelas. Inter parallelas BF. DH. inter quas ellipseides describitur, motu ad datum circulum proportionali describatur circulus ABCD. quod ex superioribus fieri posse manifestum est; eodem prorsus modo quo in prima parte huius propositionis, demonstrabimus ML. bifariam secari in P. Quare si incidenti secundae,&c. Quod erat pi obandum,
Ex demonsIratis maniferim ess LM. ponatur paralle. lis ipsi m. etiam illi respondentem TS. esse para elam ipse BD. S cum illa bifariam secetur in P. hanc bifariam
cari in V. cumque equales At PR. LN. item RT. m. s proportionales LN. RT. etiam proportionales esse PT EU. ea proportione qua es AT. ad 2N. Ideoque cum sit ex Opothes vi
307쪽
RT. ad EC. ita LN. ad GT. ac conuertendo & permutam do ut EL. totum ad GΚ. totum, ita RT. id est EV. pars ad LM id est ΚP. partem, & reliquum VC. ad reliquii PG. erit ut totum EC. ad totum ΚG.
IN Ellipseide quolibet incidens sccunda,& pa
rallelarum media sunt diametri coniugatae. AIT idem elliphides quod superiori proposition
FGHI. in quo incidens secundaria,circa quam descriptum est,sit FH. parallelarum media GI. intra ellipseides contenta Dico FH. GI. esse diametros figurae coniugatas. Nam quia recta FH. diuidit omnes parallelas interiores bi- δfariam, ex definitione prima huius, seu ex descriptione, huius. erit ipsa diametcr ellipsoidis, perio. definitionem primi desimi i, Conicorum Apollonij. Item quia parallela media GI. dia '' vidi omnes parallelas incidentis seu diametri FH. bifh s. huius. riam, erit & ipsa, ex eadem definitione, diameter. Insuper quia utraque FH. GI. diameter est,& FH. parallelas ipsius . GI. & GI. parallelas ipsius FH. bifariam secat, erunt ex definit. I . i. Conicorum FH. GI. diametri coniugatae. Definitior vocetur autem incidens TH. Diameter prima: parallela. P p rum secunda.
308쪽
Curvi ac recti proportio promota.
ELlies idos diametrum primam qua libet pa
rallelarum interiorum ita secat, ut quadratum primae diametri ad quadratum secuidae, sit ut rectangulum partibus primae diametri contentum ad quadratum dimidiae parallelta interioris primam diametrum secantis.
In schemate superiorum propositionum diametros priama melliphidis&circuli FH. BD. secet parallela interior RN. illam in N. istam in R. illius primetrum in L. istius peripheriam Idi T. Dico esse quadratum FH. ad quadratum GI. ut rectanguIum FNΗ. ad quadrattim NL-2m, D Quoniam proportionales sunt duae BR. R D. duabus Frex dis c.,. NH. ei lintrectangula BRD. FNH. similia;&eandem. ob causam similia erunt nectaneula BED. FΚH. Item quia proportionales sinit RD ED. ipsis NH. ΚH. a quibus reuctilinea BR D. BED.& FNH. FΚH. similia similiterquo descripta sunt: erit ut rectangulum BRD. ad rectangu- Iuru
309쪽
hy 'lum BED. ita re mingulum FNH. ad rectangulum FΚH. Ad haec quia est ut RT. ad EC. ita LN. ad Κα erit ut quadratum Rr ad quadratum E C. ita quadratum LN. ad quadratum ΚG. sed ut quadratum RT.ad quadratum E ita rectangulum BR D. ad rectangulum BED. ( aequalia enim sunt rectangula BR D. BEl). quadratis RT. EC . &ut rectangulum BR D. ad rectangulum BED. ita ostensum est rectangtilum I NH. ad rectangulum FLH. vi igitur quadratum L N. ad quadratum GΚ. ita rectangulum FNH. ad rectangulum FΚH. id est ad quadratum FΚ.&consequentium quadritplavrquadratum LN . ad quadratum G I. ita .rectangulum FNH. ad quadratum FH. & conuerteiido ac permutando erit quadratum FH. ad quadratum G I. vir elangulum FNH. ad quadratum L N. Quod eraet demonstrandum Quod si circulus datus atque elliphides analogum non sint inter easdem parallelas: eodem modo quo in quinta huius, inter parallelas BF. DH. inter quas ellipsoides describitur, motu ad datum circulum proportionali deseriabatur circulus ABCD. quod ex superioribus constat fieri posse; eadem prorsus ratione qua in prima parte huius propositionis demonstrabimus esse ut quadratum FH. ad qυadratum G I. ita rectangulum FNH. ad quadratum L Quod ad perfectam demonstrationem addendum erat.
Llis ibidos diametrum secundam quaelibet
oidinatim applicatarum ita secat,ut quadratum secundae diametri ad quadratum primae, sit ut rectangulum sub partibus primae diametri, ad quadratum ordinatim applicatae.
In superiori schemate ex quocumque purusto L. ad se. cundam diametrum GI. applicetur ordinatim recta LP. . P p a qua
310쪽
3oo Curvi ac recti proportio pro mora.
quae producta secet perimetrum elliphideos in M. Dico esse ut quadratum G I. ad quadratum FH. ita rectangulum I PG. ad quadratum P L. Quoniam est ut EC. ad CV. ita ΚG. ad GP. ex Coroll. s. huius,&antecedentium dupla AC. ad CV. vi IG. ad GP. erit diuidendo & conuertendo CV. ad VA. ut GP. ad PI. erunt igitur rectangula CVA. GPI. similia: & cum fit ut C E. ad EA. ita GΚ. ad XI. proportio videlicet aequalitatis, erunt rectangula CEA.GXI. similia: item quia proportionales sunt v A. EA. ipsis PI. XI. ut modo probatum est, a quibus rectilinea similia, similiterque descripta sunt C A. CEA. in circulo,& GPA. GΚI. in ellipsolder erit ut rcctangulum CV A. ad rectanis gulum C EA. ita rectangulum GPI. ad rectangulum GTI. praeterea quia est ut VT. id est ER. ad EB. ita P L. id est X N. ad ΚF. erit ut quadratum T v. ad quadratum BE. ita quadratum LP. ad quadratum FΚ.se d ut quadratum T V. ad quadratum BE. ira rectangulum CVA. ad rectangulum CEA. ( aequalia enim sunt rectangula C A. CEA. quadratis T v. BE. &vtrectangulum CVA. ad rectangulum C EA. ita rectangulum GPI.ad rectangulum G ΚI.vt igitur quadratum LP. ad quadratum FΚ. ita recitangulum GPI. ad rectangulum G I. id est ad quadratum GΚ.& consequentium quadrupla vi quadratum L P. ad quadratu FH. ita rectangulum GPI. ad quadratum GI. & conuertendo ac permutando erit quadratum GI. ad quadratum FH. virectangulu IPG. ad quadratum PL. Quod erat probandu. Si vero circulus datus, atque ellipseides analogum non sint inter easdem parallelas, idem ostendetur contingere , eodem modo quo in fine praecedentis demonstratum est.
SI in linea ellipso id e coniugatae diametri sint,& fiat ut diameter prima , ad secundareta, ita secunda ad aliam quampiam, quae a se