Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

311쪽

ctione ad diametrum ordinatim applicata est poterit spatium quod adiacet tertiae proportionali, latitudinem habens eam quae inter ordinatim applicatam & lectionem interijcitur , & deficiens

figura simili et quae diametro ipsa & tertia pro

portionali continetur. Sit elliphides ABCD. cuius diametri coniugatae AC. BD. prima AC. secunda BD. defiat ut AC ad BD. ita BD. ad A L. Apteturque A L. ipsi AC. ad angulos rectos,&iumcta CL. applicetur FG. ordinatim ad BD. & ducatur GI. ipsi A L. aequid istans & HI. pa- Arallela rectae A G. Dico quadratum FG. aequale esse rectangulo AI. Est enim ut quadratum A C. ad quadratum BD. ita recta CA. ad rectam AL.Cum enim sint conti nue proportionales AC. BD. AL. ex constructione erit ut quadratum AC. ad quadratum BD. ita

CA. ad A L. hoc est C G. ad GI. ( sunt enim triangula CAL. CGI. similia ob parallelas Gl. A L. ut autem quadratum A C. ad quadratum BD. ita rectangulum CGA.ad quadratum FG. Quare rectangulum CCA. ad quadratum FG. est ut CG. ad GI. Vt aulcm CG. ad GI. ita rectangulum CGA. ad rcctangulum AGI. ( posita enim comm ni altitudine GA. erit ut CG. ad GI. ita reingulum CGA. ad rectangulum AGI. seu rectangulum At. Ergo quadratum FG. aequale est rectangulo AI. quod udiacens tertiae proportionali AL latitudinem hubct AG de

d eficit figura i I. ipsi LAC. simili.

r. huius.

I. s.

s. saDiuitiata brum Cooste

312쪽

3 o, Curui ac recti proportio promota. m. L Vocetur autem AC. transuersum figuis latus, & AL.

figurae latus, latus rectum. quid rectium

tam FG. esse ut transuerson figura latus AC. ad rectam AL.probatum enim est esse ut CG. ad GI. ita rectanis gulam CGA. ad quadratum FG. vi autem m. ad GI. ita aes CA. ad AL. vi ergo O. ad M. ita rectangulum C .

ad quadratum FG. I

COROLLARIVM I I. manstraris aperie constat figuram est siden ORO

. veram ellipsin. Eodem enim prorsus modo Serenus propositione 16. de fictione cylindri , demonstrat fictionem c linis, quae neque basibus aequi stat, neque subcontrarie po- ita ect , neque per axem ducitur , neque aequidis anter ei quod per axem A parallelogrammo, me ellipsin. Ei quandoquidem cum Sereno sumimus , in ellipsi lineam iuxta quam possunt qua a fictione ad diametrum ordinatim applicantur esse eam ad quam secunda aeiameter eandem habet rationem quam prima diameter ad fecundam , id Fe ricus Commandinus magnus ille Geometra vix ulli antiquorum inferior , demons rat in Commentario ad propositionem 16.ob. i. Sereni de fictione cylindri, ad quem lectorem re-

mitramus is

THEOREM A X. PROPOS. X.

SI in cli ipso id e figura coniugatae diametri

sint, & fiat vi secunda diameter ad primam, ita prima ad aliam lineam: quae ab ellipso i

Disit illud by Coos

313쪽

de ad secundam diametrum ordinatim applicatur poterit spatium quod adiacet tertiae proportionali, latitudinem nabens eam quae inter ordia natim applicatam,& sectionem interijcitur, vi

de ficiens figura simili et quae secunda diametro

& tertia proportionali inuetua continetur. Sit elliphides ABCD. & fiat ut A C. secunda diameter ad DB. diametrum primam ita DB. ad AI.ponaturque M. ad angulos rectos ipsi AC. deinde ad AC. ordinatim applicetur FE. & ducatur EH. ipsi AI. aequidistans, HG.vero aequid istans ipsi EA. Dico quadratum EF. parallelogram mo AH. aequale esse. Hoc eodem pene modo demonstrabitur quo priori propositione. Quoniam enim ut quadratu AC. ad quadratum BD. ita linea CA. ad AI. c sunt enim in continua proportione CA. BD. A I. ideoque ut quadra. tum AC. ad quadratum BD. ita AC. ad AI. hoc est CE. ad EH. ( sunt enim duo triangula CAI. CEH. ob parallelas AI. EH. similia &pei 8. huius est ut quadratum A C. ad quadratum BD. ita tectangulum CEA. ad quadratum EF. Quare rectangulum CEA. ad quadratum EF

Corol. xo

314쪽

3 o rui ac recti proporti opromota

EF. est ut CE. ad EH. vi autem CE. ad Ere ita rectangulum CEA. ad rectangulum HEA. ( posita enim comm . . ni altitudine AE. erit ut CE. ad EH. ita rectangulum CEA. ad rectangulum HEA. ergo quadratum EF. aequale est rectangulo AH. quod adiacens tertiae proporti nati AI. latitudinem habensAE. & deficiens figura GHL simili et quae CEI . continetur. Quod erat demonstran

COROLLARIVM. I.

Constat ex duris esse ut O. ad AI. ita rectangulux CEA ad quadratum EF. O enim rectangulam CEA. . a. quadratum EF. probatam labere rationem quam CE. ad

' ΣΗ. quod es ut O. ad M. COROLLARIUM. II.

Allimoides mellipsis.

RVrsum ex propos time hae efficitur Lneam e ruam, suestimoidem esse veram ac geminam eli sim, cui ea qua hic EemonBrata sunt peculiaria ac propria esse probat Apollonius Pergatis libro primo Conicoram Theoremate IS.

THEOREM A XI. PROPOS. XI.

SI in ellipsoide rectae lineae ad diametrum

ordinatim applicentur: erunt quadrata carum ad spatia contenta lineis quae inter ipsas & terminos transuersi lateris figurae in te ponuntur, ut rectum figurae latus ad transue sum; inter se vero ut spatia quae lineis similiter sumptis continentetr.

315쪽

LIBER v.

In schemate nonae huius. Sit ellipseidcs ABCD. c ius diameter ac transuersum figurae latus AC. rectum A L. & ad ipsam AC. ordinatim applicentur FG. MN. Dico quadratum.

m. ad rectangulum A GC. eLie ut LA.ad AC. quadratum FG. ad quadratum MN. esse virectangulum AGC.ad rectanis gulti L. ANC.

Oniam enim est ut quadratum secundae diametri BD. ad quadratum 8. huius. primae diametri A C. ita quadratum FG. ad rcctangulum AGC.& AL. latus transuersum ad AC.erit ut latuS rectum c os , , ad transuersum, ita FG. quadratum ad rectangulum latius. AGC. Eodemque modo ostendetur esse ut latus rectum ad transuersum ita, quadratum MN. ad rectanguluin ANC. Erit igitur ut ouadratum FG. ad Iectangulum AGC. ita quadratum MN. ad rectangulum ANC peramutando . Quod erat demonstrandum .

COROLLARIUM

aximus esse elv ; Nam hanc ellims proprietatem esse ellipsi . cum circulo tamen ac Operbola comunem demonBrauit Apollonius Ab. X. Come. prop. 21. C m vero constet hanc figuram neque circulam esse, neque hyperbolen, consequitur vi ecae exictimanda A. Atque his tribus notis contentus fuit Serenus ut ficti nem cylindri ellipsin esse probaret, cum tamen assereret mucia plures ex elementis conicis peti posse. Nos adhuc quar

a tam

316쪽

sos Curvi aerecti proportio promota.

iam addemus quae non ob re propositam e ciet.

THEOREM A XII. PROPOS. XII.

SI in ellipsoide recta linea ducatur per Centrum utrinque sectioni occurrens ad centrum bifariam secabitur.

Sit elliphides culus diameter ΚM. centrum R. d per R. ducatur ORP. secans lineam cumam in punctis DP. Dico OR. ipsi RP. esse equalem.Ordinatim enim applicemur Coroll. d OS. PT.&quoniam ut rectangulum X TM .ad Quadratum Coroll. .,d TP. ita est transuersum latus ad rectem, &xtrectangulum si huius. MSΚ. ad quadratum SO. ita transucrium latus ad rectum, erit virectangulumΚTM. ad quadratum TP. ita rectam

aequiangula sunt, imo aequalia triangulae.PTR. s i di ObR. ob aequales an- 3 - i. gulos ad verticem R. .i, & alternos ad S. & T. item ad P. & O aequales,cum parallelae sint ex descriptio , ne OS. TP. erilex aequali vi reetangulum ΚTM. ad quadratum T R. ita rectangulum MSΚ id quadratum SR& componendo, ut rectangulum L. T M. una cum quadrato TR. ad quadratumTR.hoc est quadratum M R. ad quadratum RT. c etenim rceta MΚ. secatur bifariam in R.&i in partes inaequales ad punctum T. ideoque recta ulum, TM.sub inaequalibus segmcntis ΚT. I M. una cum qu drato I R. intermediae luctionia usi aequale quadrato dimi-

317쪽

diae MR. ita rectangulum MSΚ. una cum quadrato SR ad quadratum SR. id est ( per eandem quintam secundi elementorum quadratum N R. ad quadratum S R. permutando ut quadratum M R. ad quadratum L R. itc. quadratum TR. ad quadrarum RS. Quare vi MR.ad RΚini g. ita TR. ad RS. est autem riactae M R. rectae RΚ. aequalis, ex deseriptione: quare recta TR. rectae RS, aequalis existit, ut autem TR. ad RS. ita PR. ad RO. ( aequiangula enim ostensa sius ditiangula TR P. RSO. Quare I R. & RO. sunt aequales. Quod erat propositum. Hanc autem eluia

sis eos proprietatem demonstrat Apollonius.. i . . , i .

nostrum quitas e genuinam est MN prstaret, ut xmrer ac ut anguli coni sectiones reciperetur, tres quidem ex Seiarent penu, quartam ex nostra o cina depromptam a sed os reor ne fl mae linceis scyula si cuiuspiam Geometra oculis diaspiciantur non satis legitimae videri possint, ac suspicioncm, mouere poni etsi ali nominis tam a nostra figurae ax asinone Olindri apud Serenum S Archimedem de Conor Lhus , ct Sphaeroidibus. Ecto enIm nota quas Serenus , quas nys adduximus e ipsi conueniant , dubitare quis poterit num soli , erutram xup cv ia snt sit oraviso riae, an vero ut ina Molis loquuntur propria tantum primo mo o et certeplere

que omnes a rationes qua in libris conicorum Ellipsi ineri Amonstrantur , etiam circalo , multa huerbola s oppositis sectionibus conuemunt i neque scirculi ac et Hosae eremtiis ignota esset, recte quis argueret ex ass.ctionibus quas circulus cum elli leommunes habet Etam osse ellip . etsi novitae num fictio CFindri, num metimoides noritrum communione quidem dictorems Molorum iungatur cum Et si natura tamen ab ea non minus quam circulas aut oppositas nuones, disserat ' uitam es apud Dialecticos propos onem .ata a uni-

318쪽

3 os Curvi ac recti proporti opromota.

uniuersalem Ufirmantem non simpliciter sed per accidenstant m conuerti in particularem aientem. Nec enim is omnis homo animal est ideo omne animal ect homo , neque es citur se omnis ellipsis hoc habet ut prima diameter flectionis ad secundam eam rationem habeat quam sicundae ad aliam quampiam, qua ad secundam applicata ordinatim posset spmtium quod adiacet tertia proportionali , ct reliqua quaeu nia huius demonErata sunt, vi ideo euice id loe habet protinus si ellippis , Suare cum huiusmodi signa occurrunt,

piarum; peritiores Mathematici muniar aera ba si reto, seu abductione ad absurdum qua certo statuunt id de quo dubitabatur; quae demonstratio licet minus si e .c ploran. . ac dignitate concedat , veritate tamen ac certit diane ne hilam quidem inferior eΗ. Nos igitur Aperioribus notis us ex contraria acertione manifectum absurdam derivabimus , am e ita totam rem extra omnem dubietatis aleam constituemus.

THEO REMA XIII. PROPOS. XIII. PRopositum sit vere demonstrare, sectionem cylindri quae neque basibus atquidist at, neque subcontrarie posita est neque per axem, neque aequidis ante ei quod per axem fit parallelogrammo ; item Ellipso ides quodcuq; esse Ellipsin.

Sit primum sectio cylindri cui ad modi posita est in propositione, & Ellipsoides quodcumque reauni ABCD c ius prima diameter seu axis AC.secunda diameter seu axis BD. fiatque ut AC.ad BD.ita BD.ad aliam videlicet Ataqua statuatur ipsi AC. ad angulos rectos, erit c ex ijs

quae demonstrat. Federicus Commandinus commentario

tu 16. proposit. Sereni de sectione cylindri, quod etiam se demonstrasse assirmat Serenus in Commentarijs suissae Apol-

319쪽

LIBER V. 3o'

Apollonium , quae ad nos non peruenerunt AC. transuersum figurae latus,& AG. rcctum, seu recta iuxta quam possunt qu at a sectione ad diametrum oris dinatim applicantur. Iam vero per primam partems . I. in subiecto plano de scribatur ellipsi simul eius diameter sit A C. vertex A.& rectum latus AG. ductae vero a sectione ad AC. in angulo recto applicentur, quae lati rudines habeant lineas interiectas de punctum A. deficiantque figura simili& similiter posita ei quae lineisCA. AG. continetur r& diuisa AC. bifariam in E. ducatur secur da seu axis BD. Ω- cicias angulos rectos cum Bc . Hinc Ellipsis aicta sectionieylindri aut ellipsoldi recto superimponatur,& congruat AC. ellipsis cum diametro AC. sectionis cylindri aut elliphideos recti ipsis aequali : congruet etiam angulus rectus CAc. cum recto, & AG. ellipsis cum aequali AG. sectionis , aut elliphidis recti & recta BD. cum BD.& cum centro centrum E. Nam cum sint aequales EA. AG. tam in ellipsi quam in cylindri sectione, & elli-phide recto, & inter eas media proportionalis BD. erit BD. ellipsis aequalis BD. sectionis Ergo aut ellipsis eum sectione, vel ellipsside congruet, aut certe non conis gruet : Dicatur primum non congruere ; igitur ab illa deficiet, deficiat igitur ad puncta H. I. ductaque FHI. ordinatim applicata ad diametrum A C. sicci sectionem cylindri vel ellipso ides & ellipsi a in punctis H. I. ita ut arcus AID. st arcus ellipsis &AH D. arcus sectionis cylindricae, vel Euiploidis.

320쪽

, t. .Coniis corum

2 t. t. sereni de secit. cylindri. XI. s. s. Pronunc.

3 et o Curvi ac re proportio promota.

Quoniam in ellipsi ordinatim applicatae sunt ED. FI. erit virectum figurae latus AG. ad transuersum AC. ita quadratum Fi. ad quadratum ED. Rursus quoniam in s Aione cylindri vel ellipseide ordinatim applicatae sunt FH. ED. erit ut latus rectum AG. ad transuersum AC. ita quadratum FH. ad quadratum E D. Ut igitur quadratum FI. ad quadratum ED. ita quadratum FH. ad quadratum ED. aequalia igitur sunt quadrata FH. FI. pars & totum equod est absurdum. Nop igitur deficit ellipsis a section cylindri vel elliphide recto: conuenit ergo: quare illi aris

qualis est. a. . .

Idem eodem modo demonstrabimus etiam in quocumque elliphide obliquo, modo ductae a sectione ad diametrum AC. non applicenrur ad angulos rectos, sed ad angulos aequales ijs quos applicatae cum diametro officiunt in Eliphide obliquo I & per secundam partem S . I. Conicorum desci ibatur cilipsis,ut dictum est prima parte huius, cuius diametet AC. vel tex A.rectum latus AG. idem quod in Ellipsolde,ac fiat impositio uti iusque figurae: idem enim absurdum sequetur si illae non dicantur congruere. Igitur vere demonstratum est sectionem Cylindri quae neque basibus aequi distat, neque sub contrarie posita est, neque Per axem, neque aequid istante ei quod per axem fit parallelogrammo, irem ellipsoides quodcumque esse ellipsin.

nalogae quarum aha vocentur Rectae alia obliquae: ais AEquichordes --Diuersichordes: iisdem scilicet cognominibus quibus Ellipside a m Scholio quarta huius distin-