Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

331쪽

THEOREM A XIX. PROPOS. XIX.

Polygona in Circulo atque Ellipsi : Parabolis

item & Hyperbolis analogis inter diuersas parallelas motu aequid istanter & aequaliter roportionali procreatis similiter descripta intersunt ut altitudines. .

Sint eadem quae superiori propositione, sed figurae an Iogae non sint inter easdem parallelas, sintque motu aequi- Hdistanter&aequaliter proportionali procreatae, ita ut rectae FV. VI. parallelis proportionalibus OS. S sint ara quales,& BE. ED. ipsis LR.RN. atq; ita in deinceps, quae connectantur rectis sibi inuicem mpondentibus Ap. FB. BG. &c. & ΚO. OL. LM.&c. quae essicicnt duo polygona in ellipsi & circulo item in parabolis & Hyperbolis anal gis, eo modo quo definitione i. huius traditum est. Dico polygonum AFBGCH DI. ad polygonum ΚO LXM. esse ut altitudinem figurae CA. ad altitudinem figurae M Κ. Se- . . cet recta quaepiain AC. rectas FI. BD. GH. bifariam in punctis V. E. Y. sitque ad angulos rectos parallelis extremis, erit A V. altitudo trianguli FAI. VE. altitudo trapeEij FD.& EY. altitudo trapedii BH. & YC. altitudo trianguli in circulo ; in Parabola vero aut Hyperbola ultimi trapeγij GCH. Ita sit ΚM. ad angulos rectos parallelis extremis,& ΚM.diameter secet parallelas proportionales O IN. X P. bifariam in punctis S. R. T. erunt ΚS. S R. R T. altitudines trianguli, & trapeEiorum oΚ ON. I P. & TM. altitudo trianguli XMP. in ellipsi; in Parabola vero aut Hyperbola trapeEij XMP- Quoniam igitur triangula FAI. OΚQ aequales habeat bases, ex hypothesi, erunt inter se ut altitudines: quare ut A v. ad XS.ita Colo, i, catiangulum FAI .ad triangulum OΚ ursus quia trape-

332쪽

Cur, ac recti proportio promota.

Eiorum FD. O N. aequalia sunt latera parallela FI. BD. l x s. quarti. teribus o N. sunt inter se vi altitudines V E. SR. Eo

333쪽

trapeχium BΗ. ad trapeEium LP. ita triangulum aut tr peEium GCH. ad triangulum aut trapeEium XM P. Quare cum sit ut triangulum FAI. ad triangulum oΚ ita trapeEium FD. ad trapeEium ON. & ut trapeEium FD. ad trapeEium ON. ita trapraium FH. ad trapeEium LP.&vitraperium FH. ad tra Eium I P. ita triangulum aut tra-pehium GCH. ad triangulum aut trapeEium XMP. erit ut i/' i triangulum FAI. ad triangulum OΚQ ita totum polyg Fnum AFBGCH DI ad totum polygonum NOLXMPN sed ut triangulum FAI. ad triangulum OR Ita AV. ad . XS. vi modo probatum est, & ut A V. ad XS. ita A C. ad a. ΚM. vi igitur AC. altitudo ad altitudinem XM. ita poly- a Dgonum AFBGCHDI. ad polygonum ΚO LXMPN Quod crat demonstrandum.

THEOREM A XX PROPOS. XX. Circuli atque Elliptes: Parabolae item, aut

Hyperbolae analogae inter easdem, aut aequaliter distantes parallelas descriptae suntisater se ut parallelae proportionales

Inter easdem parallelas AΚ. CM.descripta sint circulus ABCD.& ellipsis analoga TLMN.&Parabolae aut Hyperbolae AC. ΚM.quorum parallelae quaelibet proportionales FI. O Dico esse ut FI. ad O ita circulum ABCD ad ellipsin ΚLMNU & Parabolam aut Hyperbolam AC. ad Parabolam aut Hyperbelam ΚM. Si enim non ita siti sit ut ad O ta circulus aut Parabola aut Hyperbola data ABCD. ad aliquam aliam magnitudinem quae sit Z. quae , vel minor erit, x et maior cllipsi vel Parabola , vel Hyperbola analogaΚLMN. si enim esset aequali haberet circu s lus ABCD. ad ellipsin XLMN. eandem proportionem, ac propterea esset circulus ad cllipsin vi FI. ad G uod non supponitur. Sit ergo primum magnitudo Z. minor quam

S s 1 ellipsis

Disit illud by Cooste

334쪽

sx tui aerecti proportio promota. i. tatui. ellipta TLMN. atque idem dicendum in Parabolis aut Hyperbolis: Inscribatur ellipsi & Parabolae, ac Hyperbolae analogae Κ M. figura multorum angulorum, & numero parium quae maior sit magnitudine Z. minore quam ipsa

Ellipsis aut Parabola aut Hyperbola data sitque dicta fi- pura XO LXMPN Hinc circulo ABCD. inscribatur Polygonum similiter polygono ellipseos quod sit AFBGCXDI. ac quod de ellipsi dicitur intelligatur de Parar huius. bola&Hyperbola analoga ) Quoniam est ut FI. ad O ita polygonum AFBGCXDI. ad polygonum XO LXMPN & ut FI. ad O ta ponitur circulus ABCD. ad magnitudinem Z. erit ut polygonum AFBGCHLI. ad pol gonum ΚOLXMPN ta circulus ABCD. ad magnitudinem Z. & permutando, ut polygonum AFBGCHLI.ada circulum

335쪽

circulum ABCD. ita polygonum TOLXMPNh ad magnitudinesn Z. sed polygonum AFBGCHLI. est minus circulo ABCD. igitur & polygonum XOLXMPN est

minus magnitudine Z. ostensum auteni est & maius : quod est absurdum; non igitur minor est magnitudo Z. ellipsi XLMN. Quo vero modo probauimus non posse esse ut FI. ad O ita circulum ABCD. ad magnitudinem minorem ellipsi XL MN. ita ostendemus non posse esse ut Oad FI . ita ellipsin XLMN: ad magnitudinem circulo ABCD. minorem,ut euidenter constat. - Sit deinde magnitudo Z. maior ellipsi ΚLMN. Cum ergo ponatur circulus ABCD. ad Z. esse ut BD. ad LN. e rit & conuertendo Z. ad circulum ABCD. ut LN. ad BD. ponatur ut L. ad circulum ABCD. ita ellipsis XLMN. ad magnitudinem aliquam 3. erit permutando ut Z. ad Ellipsin ΚLMN. ita circulus ABCD. ad magnitudinem 3. sed Z. ponitur maior quam ellipsis X LMN.ergo maior est circulus ABCD. magnitudine 3. Quare erit ut LN. ad BD. ita est psis XL MN. ad magnitudinem p. minorem circulo ABCD. Qiod est absurdum,& contra id quod in fine primae partis huius probatum, est. Ergo circuli atque eli pses analogae &c. Quod erat demonstrandum. Idem sequetur si inter aequaliter distantes diametros circulus atque ellipfis; Parabolae item atque Hyperbolae analogae describantur.

COROLLARIUM.

HIne constat circulos atque ellipses analogas inter easdem parallelas motu aqvii stanter proportionali de- ipias esse vi secundas diametros e nam secunda diametri etiam sani parallela proportionalea .

I . s.

336쪽

s , s Curvi ae recti proporti opromota THEOREM A XXI. PROPOS. XXI. Circulus & ellipsis analoga; Parabolae item

aut Hyperbolae analogae inter diuersas parallelas motu atquid istanter,&aequaliter proportionali descriptae sunt inter se ut altitudines

Inter diuersas parallelas deseriptae sint figurae analogae, circulus quidem & ellipsis i Parabolae itein Hyperbolae AC. ΚM. motu atquid istanter & aequaliter proportionali ita rectae FV. VI. parallelis proportionalibus OS.S sint aequales,& BE. ED. ipsis LR. R N. atque ita deinceps. Dico esse ut altitudinem figurae AC. ad altitudinem figurae LM. ita figuram AC. ad figuram ΚM. Si enim non ita sit ;vt altitudo figura: AC. ad altitudinem figurae X M. ita fiat figura AC. ad aliquam aliam magnitudinem quae sit Z. quae vel minor erit,uel maior figura ΚM. si enim esset mr. s. qualis haberet figura AC. ad figuram NM. eandem proportionem, atque ideo esset figura AC. ad analogam Κ M. ut altitudo ipsius AC. ad altitudinem ipfius X M. quod non conceditur. Sit ergo primum magnitudo Z. minor hicis. quam figura analoga ΚM. cui inscribatur , siue ellipsis sit siue Parabola siue Hyperbola , figura multorum angui lorum,& numero parium quae maior sit magnitudine Z. quae ponitur minor quam figura analoga ΚM. & figurae AC. inscribatur polygonum similiter ei quod in figura XM. quod fit AFBGUI DI, secundum denti. S. huius,eodem prorsus inodo quo in is . huius,& secunda I a. et mentorum sequetur abductione ad absurdum esse Aetis. huius. X M. figuras inter se, ut altitudines. Nam quia est ut altitudo figurae A C.ad altitudinem ipsius X M. ita polygonum A FGBCH DI. ad polygonum ΚOLXMPNQ. & ut dicta

337쪽

altitudo ad altitudinem, ita ponitur figura AC.ad magnitudinem Z. erit ut polygonum A FGBCH DI. ad polygonum ΚOLXMPNQ. ita figura AC. ad magnitudine Z. &permutando ut polygonum AFBGCH DI. ad figuram AC. ita polygonum NOLXMPNQIid magnitudinem Z. sed polygonum AFBGCHLI. est minus figura AC. Igitur & polygonum LO LXMPN est minus magnitudine

Z. ostensum autem & maius. Quod est absurdum. Hinc codein prorsus modo quo in secunda parte praecedentis, &in a. numero duodecimi, ostendemus magnitudanem Z. non posse esse maiorem figura ΚM. Igitur illi aequalis erit. t igitur altitudo figurae AC. ad altitudinem figurae LM. ita figura AC. ad Z aequale ipsi XM.nempe ad ipsam LM. Quod erat demonstrandum.

THEOREM A XXII. PROPOS XXII.

O Mnes Ellipses Parabolae, Hyperbolae ana

logae quae motu ad datum circulum aut Parabolam aut Hyperbolam & aequidistin ter,& aequaliter proportionali inter easdem parallelas descriptae sunt, tum figurae datae tum inter se sunt aequales : item quarum parallelae lineae proportionales ad parallelas datae figurae eandem habent rationem, inter se sunt aequales.

Inter duas parallelas AΚ.CM. descriptus sit circuIus, aut Parabola, aut Hyperbola ARCE. cuius diameter ad parallelas recta sit A C. & motu aut aequaliter ac aequidia stanter proportionali describantur quotlibet ellipses aut Parabolae, aut Hyperbolae analogae XV NM. ita nimirum vi omnes parallelae proportionales circuli parallelis ellipsium sint aequales,vt iplae QB. BC.in circulo ipsis TH.HI. in ellip . item RD. DE. ipsis vL.LM.atque ita deinceps:

338쪽

. i. t Curul ae recti proportio promota.

ut certe serandae diametri ellipsum V M. VM. habeantiandem rationem ad diametrum circuli RE.vel AC.atque eodem modo in Parabolis &Hyperbolis. Dico in primo

easu ellipses TN. tum inter se , tum circulo esse aequales, in secundo easdem ellipses esse inter se aequales:atque eadem ratione Parabolas aut HyperbolasΚN. analogas tum inister se tum datae AC. esse aequales ; in secundo easdem inter se esse aequales. Nam cum in primo casu parallelae proportionales TI. aut VM. in ellipsi, parallelis QC. aut RE. hiam, circuli sint aequales , sint autem circuli & ellipses analogae i. pronunc inter easdem parallelas ut parallelae proportionales; manifestum est circulum AC. cuiuis ellipsium , ipsasque inter se esse aequales. Quod si earumdem ellipsium parallelae proportionales VM. ad parallelam RC. eandem habeant rationem, erunt aequales inter se; cum autem sint ipsae ad circulum ut parallelae proportionales ad parallelas circulii manifestum est ipsas ad circulum eandem habere rati f. nem, ideoque esse inter se aequales. Atque eadem sequum tur in Parabolis de Hyperbolis analogis. Quod erat demonstrandum,

339쪽

LIBER v. 32'THEOREM A XXI s. PROPOS. XXIII. ELlipsis dato circulo analoga inter diuersas

parallelas descripta eam ad circulum rationem habet, quam secunda diameter ellipsis ad rectam quae altitudini ellipsis & altitudini seu diametro circuli sit tertio loco proportionalis .

Sit ellipsis TN. dato circulo YZ. analoga sed inter diuersas parallelas constituta. sitque secunda diameter ellipsis V M. eiusque altitudo perpendicularis AC. & altitudo seu diameter circuli dati YZ fiatque ut AC. ad YZ. ita YZ. ad aliam rectamquampiam E. Dico esse ut VM. ad E. ita ellipsin TN. ad circulum YZ. sit eodem motu aequid istanter

proportionali quo ellipus ΚN. d criptaeu , descriptus etiam circulus AC. erit ut diameter V M. ad

diametrum A C. ita ellipsis TN. ad , milum A C. &vt i quadratum diametri AC. ad quadratum diametri YZ. itaci cuius AC. ad circulum YZ. vi autem quadratum diam Cotia. metri A C. ad quadratum diametri YZ. ita diameter A C. ad tertiam proportionalem E. Quare cum sit ut diameter M. ad diametrum AC. ita ellipsis X N. ad circulum AC.& ut A C. ad E. ita circulus AC. ad circulum YZ. erit exaequali ut diameter V M. ad rectam E. ita ellipsis ΚN. ad circulum YZ. Quod erat demonstrandum.

Corol. X huius

340쪽

3 3 o Curvi ac recti proportio promota. THEOREM A XXIT PROPOS. XXIV.CIrculi atque ellipses inaequales, item Para

bolae , atque Hyperbolae analogae inter diuersas parallelas descriptae habent rationem compositam ex ratione altitudinum, & ratione parallelarum proportionalium.

Sint circulas atque ellipsis ADG. ORU. veIduae Par bolae ADC. ORV. vel duae Hyperbolae ADG. ORV inaequales, ADG. maior, minor OR V.sed analogae,&ductae sint in figura ADG. parallelae BE CF. DG. proportionales parallelis PS. QT. R v. & sint altitudines AX.ocquae& diametri secam Ates parallelas proportionales. Dico rationem figurae OΚV. ad figuram ADG. esse compositam ex ra- Dtione OY.ad AX.& ratione RV. ad DG. Sumantur circa AX rectae HL IM. ΚN. siem

quales ipsi PS. QT. RU Erit A ΚN. figura analoga ipsi OTU ut ex demonstratis sup eioribus propositionibus constat; quare ut A . altitudo ad altitudinem OY. ita figura ADG. ad figuram o RU.ut constat ex 21. huius, & vi ΚN. id est RV ad DG. ita figura AΚN. ad figuram ADta ut probatum est a o. huius. Erisgo cum sit ut figura ORU. ad figuram ANN. ita OY. ad