장음표시 사용
341쪽
AX. de vi figura A m. ad figuram ADG. ita m. ad XN. erit ratio OR V. ad ADG. composita ex rationibus OY.ad AX.& ΚN.id est RV.ad DG. Quod erat demonstrandum. - SCHOLIUM.
rum diametri in easdem raetiones dividantur, i que iametri ehordas parallelas etiam proportionaliter di i dant. Nunc transeundum ad illas quas finitione sexta huiusd fram mus , in quibus chorda unius figura circa alterum emtremum diametri circumuoluta es in peripheriam figura terminatae chordis acterius A ra mota parallelo latis aeper prioris peripheria puncta transeuntibus sunt proportio
THEOREMA XXV. PROPOS. XXV. SI motu ad chordas circuli coniunctas aequid i stanter proportionali Conicoides primum describatur illud est Parabola.
Sit Conicoides primum F. inter duas parallelas A O. BF. descriptum cuius vertex O. diameter OP. Ordinatim applicatae LL MH. ipsi BL parallelat. Dico Coni- coides QOF. esse Parabolam. Sit primum OP. diameter ad extremas parallelas perpendicularis, & intra duas parallelas AO. BF. descriptus sit circa diametrum AB.ad extremas AO. BR orthogoniam circulus ADB. & productae I L. I M. secent peripheriam circuli in E. D. & diametrum in T. R. &connectantur AE AD. item BE. BD. erunt ex definitione 5. huius, rectae LI. M H. rectis AEA D. proportionales; sint autem primum aequales rerit ut quadratum MH. ad quadratum LI. ita quadratum A D. ad quadratum AE. sed quadrato A D. aequale est rectangulum Tt a BAR.
definit. c. huius Disit ipsed by Cooste
342쪽
ssi Curvi ae recti proportio promota.
BAR. & quadrato AE. rectangulun BAT. ( nam in tria I si. s. gulis rectangulis BDA. BEA. ad D. & E. in quibus ad b, lis demissae sunt perpendiculares DR. ET. ex hypothesi,
est ut BA. ad AD. ita AD. ad A R. & ut BA. ad AE. ita, LAE. ad AT. ideoque quadrata AD. AE.rectangulis BAR. xi. s. BAT. aequalia sunt igitur ut quadratum M H. ad quadratum LI. ita rectangulum BAR. ad rectangulum BAT. Lemm. sed rectangula BAR. BAT. rectangulis POM. POL. simui, h Iia sunt ( Nam ut BA. ad AR. ita PO. ad OM. &ut BA. misit. i. ad AT. ita PO. ad OL.similia igitur sunt rectangula BAR.
11. cundam, ita BA. tertia ad PO. quartain,erit ut rectangulum BAR. ad rectangulum POM. ita rectangulum BAT. ad rectangulum POL. & permutando, ut rectangulum BAR. ad rectangulum BAT. ita rectangulum POM. ad rectangulum POL. sed rectangulum BAR. ad rectangulum BAT. paulo ante ostensum est esse ut quadratum MH. ad xx. s. quadratum LI. igitur erit ut rectangulum POM. ad reactangulum POL. ita quadratum M H. ad quadratum LI. r. c. sed ut rectangulum P O M. ad rectangulum POL. ita ( p sita communi altitudine Po. MO.ad LO. igitur quadratum M H. ad quadratum LI. est ut MO. ad LO. Iam vero fiat vi PO. diameter Conicoidis primi ad BA. diametrum circuli, ita diameter circuli ad tertiam OV. quae ipsi Po. in vertice O. aptetur ad angulos rectos, & sit A X. aequidisa r. ι. ipsi AB quoniam est ut Po. ad AB. ita AB.ad OV.erit rectangulum Pov. quadrato BA. aequale. Rursus quoniam
343쪽
proportionaliter diuisae sunt BA PO. in punctis T. L. rum rectangula XAT. id est BAT. &VOL. aequalia, ri
angulo autem BAT. aequale est quadratum AE. ut supra ostensum est, & quadrato AE. quadratum L I. cum aequa- dmnit. s. Ira sint, ex descriptione, AE. LI. Igitur rectangulum OL. quadrato LI. aequale est . . Iuam vero constat exta. i. Conic. posse inueniri Paraia i qholam cuius diameter sit data OP. vertex punctum O. te
minus ipsius oP. Ducta vero quaelibet ut QR a sectionc ad diametrum in angulo recto QPO. possit rectangulum POV. sub diametro PO.& recta illi perpendiculari ov.
quae erit latus rectum ex ri. I. Conicorum. Inuenta iam thi Conioset,& imponatur Parabola Conicoidi primo: congruentPO. Conicoidi & PO. Parabolae cum aequales positae sint: item QP. utriusque figurae, cum tam rectae QP. quam amguli QPO.ponantur aequales : denique eandem ob causam conuenient Ov. in utraque figura. Igitur aut congruet toti Conicoidi Parabola ; aut minime. Ponatur primumaeon congruere,&vbi deficiunt applicetur ordioatim LIT. suae secet Conicoidis lineam curuam in puncto I. Parab lae vero in Y.Quoniam in utraque figura OV .est recta tu ea quam possunt ordinatim applicatae, &, ut paulo ante a ostensum est,rectangulum Lov. aequale est quadrato LI. rectangulum Lo v. aequale est quadrato LY. aequalia . x 'nis sunt quadrata Ll. LY. pars & totum: Quod est absurdum: Congruent igitur Conicoides primum & Parabola e ergo aequalia sunt,& in unam figuram coincidunt.
Sed Conicoides primum, sit non QOF. sed CNY.
angulus CYN.quicumq; & rectae GO.ΚS. NY.cum rectis Ll. M H. PF. continuatae ipsis AE.AD. AB. id est LLMH. PF. proportionales. Dico ctiam CNY. esse Parabolam. Cum enim paralleloe sint O C. v. & proportionales o L. Iem. i. LM. MP. ipsis CO. OS. SY. item proportionales LI. M H. huius, PF. ipsi GO.Κb. NY. erit figura CNY. ad Parabolam huiui QOF. analoga,ac motu aequidistanter ad Parabolam pro- delin. r.
344쪽
33 Curul ac recti proportio pro mota
δ ι hvi portionali procreata, igitur & ipsa est Parabola. Quare Conicoides primum est Parabola. Quod demonstram
oportuit. Uocetur autem Parabolae .
Ex dictis manifectam est si diameter Parabola PO.D pem
pendieaiaris ad rectas AO. BF. s recta LI. MΗ. PF. chordis AE. AD. AB. aquales,rectavalem POL. esse aequale s . r. quadrato LI. O rectangulum POM.quadrato MN. C menim aquale ni PO. BA. S OL. AT. erunt rectangala POL. BAT. aqualia,as rectangulum BAT. Padrato AE. F quadratum AE. quadrato LI. aquale est: aqualia igitur sunt rectangm tam POL. O quadratum LI. atque eandem ob causam aqualia sunt rectangulum POM. F quadratum MN,
A Perae etiam deducitur, immo cum propostione conum nil quod sequitur: s in Aus arcuum circula productos, ex punctis in quibus diametrum scant chorda eorumdem armum , vel Gordis proportionales transferantur , perearam extrema transens linea curua Parabola est. Vt in figura prima definitionas f. huius ; semicirculus ACB.scetur in quotlibet arcus AD. AE. AC. AB. quos subtendunt chorda AE. AD. AC. AB.or sinus EL. DM. CN. O tangens FB. in quibm productis accipiantur LI. O. m. BF. ipsisAE. AD. AC. AB. proportionales , carua linea AI F. per extrema illarum lineaeram Transens est Parabola: hoc enim
ipsum syb alio titulo in propositione demonBratum es.
CO at etiam ex ultima parte propositionis, omnes Pa- lrabolas quae motu ad chordas circuli coniunctas pro-
345쪽
d cantur me analogas s atque ideo qua supra de Parabolis analogis dicta sunt illis conuenire.
THEOREM A XXVI. PROPOS. XX M. SI a circuli vertice ductae chordae aequalium arcuum peripheriam secent in punctis a quiabus in sequentes ac maiores chordas perpendiculares ducantur , quae in sinus eorundem arcuum a punctis in quibus diametrum secant hinc inde transferantur: Curva linea per earum extrema transiens est Parabola. Sit circuIus ACF. cuius diameter AF. vertex A. diuia datur semicirculus ACF. in quotcumque partes aequales
TAB. BC. Cta DE.ERquae eonnectantur chordis ABI C. AD. A E. AF. & ducantur sinus BN. CM. DL. EX. Quos etiam ultra puncta NMLX. produximus ) ab exrremis
346쪽
33s Curat ac recti propo rtio promota.
punctis B C. D. E. chordarum,in quibus peripheriam secant,ducantur in sequentes chordas perpendiculares BG. CH. DI. EΚ. quae transferantur in sinus a punctis N. M.L. Κ ita ut NO. M P. L LE. ipsis BG. CH. DI. EΚ.sint aequales'. Dico lineam curvam AOPQE. esse Parabolam. Sumantur chordis AB. AC. A D. AE. AF. quales in si 8 Iu ,. nubus productis NS. MT. LV. ΚY. manifestum est quod per puncta A. S. T. V. Y. Z. transibit ParaboIa. Hinc cum Z- 3, aequales positi sint arcus BC. CD. DE. EF. aequales,erunt, anguli BAC. CAD. DA E. EAF. aequales ideoque in trian gulis rectangulis GBA. HCA. IDA. ΚEA. reliqui anguli ad B. C. D. E. aequales ac omnia illa triangula similia: ve - igitur AB. ad BG. ita AC. ad CH. & permutando ut AB. ad AC. id est NS. ad MT. ita BG. ad CH. id est NO. ad M P. Eodem modocum aequiangulta sint triangula ACH. A DI erit ut AC. ad CH. ita AD. ad DI. & permutando ut AC. ad AD. id est MT. ad LV. ita MP. ad QL. atque eadem ratione probabimus esse ut LV. ad ΚY. ita L adad ΚE. velΚR. cum igitur Parabola sit data AST YZ fitque ut NS. ad MT. ita NO. adae P. & ut MT. ad L . . . ita MP. ad L dc ut LV. ad ΚY. ita L id TE. erit fg .' ra AOPQE. datae parabole ASTVYZ. analoga, ideoque Parabola. Quod erat detnonstrandum
Ex dema ratissequitur si necta M. AU. M. M. is
as Nae MC. LO. RE. ordine transferantur, lineam curuam per illarum extrema transeuntem esse Parabolari
Nam in iisdem triangulis similibus ABG. CAU. DAI. Omm vi AB. ad AC. ita AG. ad AE. O ut AC. ad AD. ita AH. ad AI. FA deincepi ; quare siqvitur id quod propos tam in , estiam modo quo in propostione in rectis BG. DI. ER. in sinas translatis.
347쪽
TREO REM A XXVII. PROPOS. XXVII. , P Arabola recta ac circulo atquichordis, est sectio coni aequi lateri cuius basis est ci cuius habens diametrum diametro circuli congenei duplam , diuidens illum circulum
per centrum. Sint inter parallelas Ao. BF. circulus cuius diameter AB. & illi congenea Parabola QOF. cuius diameter Po. ad utramque parallelarum sit recta. Hinc centro H.
348쪽
3 3 3 Curui ac recti proportio promota.
vertex A. seceturque plano per axem quod sectionem faciat triangulum aequicrure CDE. Ductaque per centrum diametro FHG. ad DE. perpendiculari ,& diuisata DC. bifariam I. secetur altero plano transeunte per rectam FG & rectam II . quae cum sit parallela ipsi CE .is. definit. ( nam diuisa DE. bifariam in P. & DC. bifariam in I. ex hypothesi,erit ut DFq. ad FlE. ita DI. ad I C. ideoque , parallela: IH. CE. constat sectionem FIG. quae si illoir.3. nic. plano,esse Parabolam. Dico Parabolam FIG. Parabolae QOR congruere, ideoque unam& eandem esse figuram 3s- d; --cum sumpta sit PIG. aequalis AB. erit GF. quae dupla est ipsius GH; etiam dupla ipsius AB. sed ipsius AB. dupla est QF. ex descriptione:igitur aequales sunt bases FG.QF. duarum Parabolarum. Rursus quia parallela est II . r. ipsi CE . erunt triang' CED. IH D. similia:quare ut CE. ad ED ita IF . ad Piri aequales autem sunt CE. ED. igitur aequales IH. FID. sed ipsi Pl D. est aequalis AB. ex hys . i. pomesi, & ipsi Amrecta SP.in parallelogrammo ABPO aequales igitur sunt diametri lH. O P. Parabolarum FIG. QOF. sed & ansuli F I. QPO. recti sunt, hic ex hypothesi, illa quia cupi conus sit aequitimis uni rectae a vemtice C. adpuntia D. F. E. G. aequales, in triangulis igitur CFH. CGH. habentibus duo latera FH. I C. duobus i ,. GH. Hc aequalist, & basim FC. basi GC. aequalem,eruntro. definit. & anguli FH C. GHC. aequales, ideoque recti s atque eo-NYν- dem modo ostendentur recti DHC. Et C recta igitur est , - CIq. ad planum DFEG. Quare etiam retium est planum 3- ii, CDE. plano GDFE. Igitur & planum m. ipsi plano
CDF. rectum cst; cum igitur recta FH. faciat angulos r . , . ctos cum DE CA. in puncto H. insistet plano DCE. ad 3 defin. D. angulos rcctos et quare sequitur angulum FHI. esse rectum . Denique si fiat ut quadratum DE. ad rectangulum DCE. 33 nix ta linea Laci IC. erit XI. latus rectum, aequale ipsi IC. nam in triangulo aequicrure DCE. quadratum DE. re
ctangulo DCE. aequale est id est ipsi ID. id est ipsi DF . id
349쪽
id est ipsi AB.ipsi autem AB.est etiam aequale Iatus rectum vPV. Parabolae QOF. ( nam si fiat ut PO. ad BA. ita BA. . . ad aliam OV. erit tertia illa OV. latus rectum Parabolae QOF.sed aequales sunt BA. PO. Igitur aequales sunt OU. PO. id est BA. aequalia igitur sunt latera recta OV.ΚI. Ex quibus per impositionem facile colligitur identitas Parabolarum FIG. QOF. Nam recta PO. rectat aequali HI. congruet, item angulus ad H. angulo ad P. & recta QR rectat aequali FG. & angulus rectus POV. recto HI Fc. OV. aequali IΚ. Quare & curua QOF. curuae FIG. congruet. Si enim non dicantur congruere fiet abductio ad absurdum eodem prorsus modo quo I 6.huius. Congruent igitur: ergo eadem erit figura QOF. ipsi FIG. Quod erat Idemonstrandum.
THEOREM A XXVIII. PROPOS. XXVIII.
SI motu ad chordas Parabolae aequid istanter
proportionali Conicoides secundum descriabatur: illud erat Hyperbola.
Sint duae parallelae AO. BP. inter quas descripta sit Parabola CAD. & motu ad ipsius chordas aequid istanter proportionali, iuxta modum traditum definitione 6. huius descriptum sit Conicoides secundum QOG. Dico illudetae Hyperbolam. Parabolae diameter sit AB. Conicoidis PO. utraque primo perpendicularis ad AO. &BP. Producta autem PO. in R. accipiatur illi aequalis OR.& ipsi OR. sit perpendicularis & aequalis OX: & applicatae ordinatim L l. MI . producantur,dum Parabolae diametrum secent in L. V. & ipsius lineam cui uam in E. F. & ducantur chordae AE. AF. AD. quae primo ponantur aequales ipsis LI. M H. PG. Nniam RO .ponitur aequalis ipsi OP.&OP.aequa- 3 . r. lis est ipsi AB. erit RO .aequalis ipsi AB sed & aequales sunt OL. AN. rectangula igitur ROL. BAN. aequalia sunt: sed
350쪽
3 o Cumi ac recti proportio promota.
Comit i lectanesulo BAN. aequale est quadratum NE. Igitur rectangulum ROL. aequale est quadrato NE. At quadratum AE. est aequale quadratis AN. NE. & quadrato AE. est ara quale LI. cum AE. LI. positae sint aequales, ergo quadratum LI. est aequale rectangulo ROL. & quadrato AN. id est OL. sed rectangulo ROL. & quadrato OL. aequale est rectangulum RLO. igitur quadratum LI. est aequale re- .ctangulo RLO. Eodemque modo ostepdemus quadratum MFLesse aequale rectangulo RMO. vi igitur rectangulum RLO. ad rectangulum RMO. ita quadratum LI. ad quadratum M H. Cumque aequalia sint rectangulum RLO.&quadratum LI. & aequales etiam positae R O. OX. patet es levi rectangulum RLO. ad quadratum LI. ita RO. ad OX. Quae proprietates etiam in Hyperbola demonstratae
sunt lib. I. Conic. prop. 2I. vocetur autem RO. transeuersum figurae latus & OX. rectum. Hinc eodem prorsus modo quo ultima parte I . huius, demonstrabimus C nicoides secundum esse Hyperbolam. Constat enim ex si