장음표시 사용
351쪽
33. I. Conic. posse inueniri Hyperbolam cuius latus rectum OR transuersum OR. & diameter OP. Ducta vero qualibet PG. a sectione ad diametrum in angulo GPO. sit ut RO. ad OX. ita rectangulum RPO. ad quadratum PG. congruent rectat OP. Hyperbolae inuentat & OP. nico dis lacundi,cum sint aequales, item rectae PG. Hyperbolae& PG. Conicoidis,eo quod sint aequales,& anguli ad P. aequales,& ob eandem rationem congruent OX. Hypembolae ih Couicoidis,& RO. utriusque ngurae. Ergo vel figurae totae congruent, vel minime. Ponantur primum non congruere, ac ubi deficiunt applicetur ordinatim LIT. quae secet Conicoides in I. Hyperbolam in Y. Quoniam in utraque figura OX.est recta iuxta quam possunt ordinatim applicatae,& RO. latus transuersum; erit ex paulo ante demonstratis, ut RO. ad OX. ita rectangulum RLO. ad quadratum LI.& ut RO.ad OX. ita rectangulum RLO. m- ad quadratum LY. aequalia igitur sunt quadrata LI. LY. - ' pars & totum : quod est absurdum. Congruent igitur Hyperbola ac Conicoides secundum: ergo in unam figuram . con incident, quare Conicoides secundum rectum& circulo aequichorde, est Hyperbola. Sed Conicoides secundum sit non QOG. sed TZΚ. angulus TXZ. quicumque, ac rectat S . DT. ΚZ. cum reis res LI. M H. PG. continuatae, ipsis AE. AF. AD. id est LI. MH. PG. proportionales. Dico etiam TZΚ. esse Hyperbolam. Cum enim parallelae sint OT. PΚ. & propor I emna ra tionales O L. LM. MP. ipsis TS. SD.DΚ. item proportio- nales LI. MH. PG. ipsis S . DT. ΚZ. erit figura TZΚ. ad Hyperbolam QOG. analoga,ac motu aequi distanter ad defin. sdiuis
Hyperbolam proportionali procreata; igitur & ipsa Hy- ' i h.
352쪽
s x Curvi ae recti proportio promota COROLLARIVM I.
Constat ex ultima parte huius propositionis, omnes Q-perbolas qua motu ad chordas parabolae coniunc as a- quidluanter proportionali producuntur esse analogas i ideo que omnes assectiones Naperbolarum analogarum illis con-
Manifestam item ess diameter uverbolae PO. st per
pendicularis ad extremas parallelas , s rectae LIMΗ. PG. ipsis AE. AF. O. aequales , rectangula RLO. RMO. RPO. quadratis L LMΗ. PG. singula Agulis esse aequalia . Hoc enim in propositione probatum est.
DEnique , quod etiam de Parabola in et s. huius annotatum ect , si in ordinatim applicatas Parabola pro. ctas ex punctis in quibus diametram secant chordae Parabo. , vel elordis proportionales transferantur .per earum eκ- rema Transeuntem curuam ese Operbolam.
THEo REM A XXIX. PROPOS. XXIX.
Hyperbole prima, rectansula , ac Parabo-
bolae aequichordis est sectio coni aequic- ruris rectanguli, cuius latus est: aequale compositae ex sinu recto & secante anguli semia recti in circulo, in quo diameter es latus coni aequi lateri cuius sectione fit Parabola, ac semidiameter diametro ipsius Hyperbolae aequalis, ita ut . dicta
353쪽
Ium aequilaterum, circa quod vertice L. basi I Κ. axe LM perpendiculari ad basim intelligatur descriptus conus a quilaterus, in quo sectio transiens perverticem&diametrum basis sit idcm triangulum aequilaterum LI Κ. cuius latus LΚ diuidatur bifariam in N. &connectatur NM-c punctum autem M.Quidit basim IX. bifariam ) manifericho in ic
dicta sectio transeat per lineam aequid istanterre, rectae ductae a vertice ad centrum basis, & abscindentem ex latere coni ad verticem tertiam,
e lSit inter duas parallelas BF. AG. parabola eongenea ABC. cuius diameter ad parallelas recta BD. Item con- genearum prima Hyperbola EFG. cuius diameter FH. ad parallelas itidem recta,& in qualibet linea recta sumatur IΚ. dupla ipsius BD. aut FH. super qua erigatur triangu-
354쪽
s Curvi ae recti proportio promota.
e humi, stum est sectionem transeuntem per NM. essicere in superficie coni parabola ABC. Ducatur ipsi IX. parillela No. secans axem seu perpendicularem LM. in T. Ad latus L L in o.ac centro N. describatur circulus OMNI . qui quidem transibit per M. Κ. L. Cum enim diuisa sit bifariam L Κ.in N.erunt LN.NΚ.aequales,&cum No. parallela sit ipsi' IΚ.erit ut L Κ. adΚI. ita LN. ad LO. aequales autem sunt L Κ.ΚIaequales igitur LN. NO. sed & NΚ. NM. aequales
sunt,medietates nempe aequalium laterum L Κ. ΚI. Hinc ducatur per centrum S N v. ipsi ON. perpendicularis, , iι- ι, per V. ad SV. perpendicularis PV Jangens circulum in . .infinita , cui occurrat SO.in P. secans LR. in X. & recta
,a. ctus angulus ad M. ex hypothesi etiam rectus erit angulus Schol in 16. ad T. Ideoque diuiditqr bifariam ON. in T. Adhaec cum s &s,. i. angulus ONS. sit rectus ex hypothesi,&latera NO. NS. aequalia erunt anguli NOS. NSO. semirecti. Item cum triangula OTX. N TX. habeant circa angulos rectos ad T. latera OT. TX. lateribus NT. TX. aequalia,crunt bases OX.NX.aequales& anguli TOX. TNX. aequales ac semi- recti, ideoq, OXT. NXT. semirecti, angulus igitur OXN. rectus est. Sed & cum eidem ON. perpendiculares sintas, i, LT. SN. paralellae sunt L R. SV. quare cum angulus ad U.
rcctus sit, rectus est etiam angulus XRP. XR med anguli ad X. ostensi sunt semirecti, igitur sunt & semirecti angulie ' ad PQ Isosceles ergo cit triangulum XP cuius latus
XQ. componitur ex rccta XN. quae est sinus anguli semirecti XON.&cx recta N uae est secans anguli semirectii . VN nam cum semirectus sit XNS. etiam angulus adverticem MN est semirectus,cilius tangens V Q secans NQ.ac ipsa X N. est icrtia pars totius X producta enim
N X. dum tangenti semirecti SZ occurrat in Z.erit NZ. se cans semirecti,ac tam angulus SNZ. quam S ZN. in triai
355쪽
S Z. ita NX. a qualis ad aequalem XZ. quare NX. est m dictas secantis semirecti NZ. id est N ac proinde tertia
pars totius X Iam vero circa verticem X. axem X R. circulumque cuius diameter P vertatur triangulum XP enormabitur Conus I X aequicruris rectangu- Ius, cuius latus X compositum ex sinu recto XN.&se cante N anguli semirccti in circulo SOV. ac diameter circuli est LΚ. latus coni aequilateri LIΚ. cuius sectiora NM. fit Parabola congcnea. Sit autem idem triangulum X P triangulum per axem, ac per diametrum basis, &secetur conus secundum rectam N V. quae producta productae PX. occurrat in S. Manifestum est sectionem tran seuntcm per V. esse Hyperbolam, nam sectionis diameter V N. producta cum latere trianguli PX. conuenit in S. extra verticem, quae semidiametro circuli SOV. est a qua sis,&abscindit ex latere X versus verticem rectam
X quae est tertia pars lateris X ac Dico Hyperbolam
ouius diameter NV. Se eandcin Hyperbolae FG. Fiat e nim ut quadratum L R. ad rectangulum QR P. ita SN. ad aliam lineam NY.erit NY. latus rectum S N. transuersum,
sed quadratum L R. rectangulo QRP. est aequale costensa enim sunt aequales QR. R L. & RL. RP. igitur latus
transuersum , N. est aequale recto NY. & utrumque diametro NV. sed diameter NV. est aequalis diametro Parabola: NM. id est ipsi BD. ex hypothesi,& BD. diametro Hyperbolae FH. Igitur Hyperbolae Et G. & NV. habent aequalem diametrum, sed in Hyperbola EFG. latus rectum, item transuersum sunt aequalia diametro FH. ergo latus transuersum,& rectum Hyperbolae EFG. sunt aequalia lateri recto & transuerso Hypei bolae quae transit per N v. sed & rectangula ponitur utraque Hyperbola s Cum ergo Hyperbolae EFG. & quae per NV. habean raequalem
diametrum, aequale latus rectum, aequale transuersum, aequalesque angulos essiciant ordinatim applicatae ad diametrum nimirum rectos i Constat euidenter ex J3. I. C
is. definit. rs. huius. Diuitia d b, Cooste
356쪽
3 s Curvi ac recti proportio promota.
nicorum,& ex impositione;illas Hyperbolas sibi congrum re ideoque unam,& eandem csse Hyperbolam. Quod laerat demonstrandum.
HIae aperte celligitur si conus Uceles rectangulus qailibet plano perteratam lateris partem versus veris iuem, axi parallelo secetur , flectionem esse N perbolam , congenearum prima similem. Ut si conus celes PUR
recI angulus ad T. sumpta XN. tertia lateris parte secetur plano per NU. parallelo axi XR. sectio MNO. erit Hyperbola smilis perbola EI G. Nam eum omnia in utraque similia demons=rentur . ex dictis erani ct ipsa inter se is miles.
SI recta linea extra circuIum ita moueatur, ut altero extremo diametrum productanta
357쪽
secet, altero tangat: &per puncta ubi ea diam trum secat, recta ad diametrum perpendicularis
continuo moueatur tangenti aequalis et linea e
tremitate dictie perpendicularis descripta erit I ID perbola conchordium prima.
Sit circulus ACo. cuius diameter Lo. perpendicularis ad parallelas tangentes LM. O N. quae producatur extra peripheriam, & moueatur tangens qua libet a puncto L. versus A. H. S. ita ut diametrum productam secet in A. circulum tangat in Q hinc diametrum secet in H. S. circulum tangat in R. T. &c. & per puncta A. H. S. m ueatur continuo perpendicularis ad diametrum tangentibus aequalis,nempe AI. sit aequalis A St ΗΚ. ipsi HR.& SV. ipsi ST.& ZB.ipsi ZP. Dico lineam curvam LIΚU. esse hypei bolam congenearum primam. Sit descripta circa LO. Hyperbola prima cuius diameter LO. eadem quae circuli in qua sumantur rectae LF. in . LX. LO. ipsi LA. LH. I S. LZ. aequales,&applicentur ordinatim FD. GE. XY. erit rectangulum ZFL. aequale quadrato FD. &Xx a ZGL.
358쪽
s t Curui ac recti proportio promota.
ZGL aequale quadrato SE. & ZXL. aequale quadrato XY. atque ita deinceps et Rectangulo autem ZIL. aequa-.le, est rectangulum OA L. (aequales enim ponuntur OL. ZL. item LF. LA. quare aequales OA. ZF. & rectangulo ZGL. rectangulum OHL. &rectangulo ZXL. rectangulum OS L. &c. sed&rectangula, ZFL. aequale est quadratum FD. &rectangulo ZGL. quadratum G E. & rectangulo ZXS. quadratum XY. Sc. Item rectangulos s- oAL. est aequale quadratum A rectangulo OH L. quadratum I R. & rectangulo OS L. quadratum AT ipsis a tem quadratis A AR. AT aequalia sunt quadrata AI HΚ SV. nam lineae AI. ΗΚ. SV. ipsis A AR. AT. I Pronunc. positae sunt aequales 3 Igitur a primo ad ultimum, quadrata FD. GE. XY. quadratis A I. ΗΚ. SV. &c. sunt aequalia,ac proinde aequales FD. GE. XY. ipfis A I. ΗΚ SV. sed & aequales diametri OL. LZ. aequales LFFG. GX. ipsis LA. AH. HS. & recti anguli ad O. d. ss. ix i- Z. Igitur ex J3. I. Conicorum ex dictis superioribus propositionibus,& v. ac a 3. huius balet si sibi linponar turduae curuae I DN. LXV. congruent inter se, idemque cum ADN- sit congenearum prima erit & LΚv. co chordium prima Quod erat demonstrandum
THEOREM A XXXI. PROPOS. XX XL Conico ides tertium rectangulum, & primae Hypei bolae aequic horde est Hyperbola ,
cuius latus rectum est aequale lateri recto primae Hyperbolae, transuersum recti dimidium
Inter duas parallelas A X. M. descriptus sit circulus AS u. circa diametrum A V. perpendicularem ad parali Iaa , & circa eandem diametrum Conicoides primum AFH. Conicoides secundum AΚM. Conicoides tertium
AYZ. Divisaque A V. verbi gratia , in quotlibet & qua libet
359쪽
libet partes in punctis B. C. D. ducantur ordinatim applicata: BY.CZ.DO.&c.secantes Conicoidea ordine in punctis B. R. E. I. Y. item C. S. F. Κ. Z. & in punctis D. T. S. L. O. &c. & a puncto A. ducantur ad puncta sectionum chordae AR. AE. AI. AY. atque ita a vertice A. ad reliqua puncta intelligantur chordae , quibus
aequales erunt in ordinatim applicatis r ctar BE. BI. BY. nempe recta BE. chordae AR. recta BI.chordae AE.& recta BY.cho dat AI. atque ita in reliquis, recta CF.cho dae AS. recta CX. chorda: AF. & recta CZ chordae A Κ.&c. ut conctat ex definitionibus huius, ac descriptione dictarum figurarum . Hinc in V A. producta ,& in perpendiculari AX. sumantur AN. A ipsi VA. aequales, ipsiusque AN. dimidia pars A a. Dico Coniuoides tertium esse Hyperbola, cuius latus rectum A transuersum Ali.
360쪽
Curui ac recti proportio promota
Quoniam aequales sunt UA. AB. rectis N A. AB. erit reis ctangulum DB. aequale rectangulo NAB. sed rectangu Cordu IOVAB. est aequale quadratum AR. id est BE. ex hy- i thesi Igitur rectangulo NAB. est aequale quadratum B E.
r. r. quadratum autem BE. cum quadrato BA.est aequale quais
drato AE. id est BI. igitur rectangulum NAB cum qu drato AB. id est rectangulum NBA. est aequale quadrato BI. sumatur No. aequalis ipsi AB. quoniam quadratum
'r' BI. cum quadrato AB. est aequale quadrato A I. id est B ex descriptione, erit rectangulum NBA. cum quadrato AB. id est N6. nempe rectangulum 6BA. aequale quadrato BY. cum igitur diuisa sit bifariam NA.in puncto a. utrinque additae sint aequales AB. N6. ideoque sit ut et A. Lemm. ad AB. ita a N. ad N6. erit ut rectangulum 5BA. id esti quadratum BR ad rectangulum a BA. ita NA. id est Q. Iatus rectum ad A t. transuersum. Eodem modo quoniam aequales sunt VA. AC. rectis NA. AC. erit rectangulum Coroll. r.is. VAC. aequale rectangulo NAC. sed rectangulo V AC. est aequale quadratum AS. id est CF. ex hypothesi: igitur tectangulo NAC. est aequale quadratum CR quadratum autem CF. cum quadrato AC. est aequale quadrato AH id est CΚ. igitur rectangulum NAC. cum quadrato AC. id est rectangulum NC A. est aequale quadrato CΚ. sumatur Net. aequalis ipsi AC. quoniam quadratum CΚ. cum r. .et quadrato AC. est aequale quadrato A Κ. id est CZ. ex de scriptione erit rectangulum NCA. cum quadrato CA. id est Net. nempe rectangulum 2CA. aequale quadrato CZ. Cum igitur diuisa sit bifariam NA. in puncto a. & utrinque additat sint aequales AC. N . ideoque sit via A. ad loen. s. AC. ita N. ad NT. erit ut rectangulum CA. id est qua huius. dratum CZ. ad rectangulum a CA. ita NA. id est QA. ad Aet. Eadem demonstrandi via probabimus esse ut QA. ad Ar . ita quadratum DO. ad rectangulum aDA. Igitur cum sit ut M. ad A a. ita quadratum BY. ad rectangulum aBA. dcvt QA. ad A a. ita quadratum CZ. ad rectangulum