장음표시 사용
361쪽
lum 2CA. erit ut quadratum BY. ad rectangulum a BA. ita quadratum CZ. ad rectangulum a CA. & permutando, ut quadratum B ad quadratum CZ.ita rectangulum aBA. ad rectangulum a CA. eodemque modo ostenil mus esse ut quadratum DO. ad quadratum CZ. aut B L. ita rectangulum aDA. ad rectangulum a CA. aut a BA. Quare cum hae sint proprietates Hyperbolae ex 2 i. primi Conicorum, manifestum est ex dictis in propositionibus1 . & a8. huius Hyperbolam rectangulam cuius latus rectum Amransuersum AZ. diameter AV. congruere cum Conicoide AZP. ideoque Conicoides tertium esse Hype bolam,cuius latus rectum Ain transuersum AZ. Quod fuit demonstrandum.
THEOREM A XXXII. PROPOS. XXXII. Conicoides quartum rectangulum,&secundae Hyper Dolae atquic horde est Hyperbo
la: cuius latus rectum est aequale lateri re
cto primae Hyperbolae, transuersum est recti ter
Sint omnia quae superiori propositione,& is quartum
Conicoides Aubf. ordine descriptum eo modo quo in do finitione,ac superiori propositione dictum est: Rectae a tem NA. accipiatur tertia pars Ag. Dico Conicoides quartum Ain. esse Hyperbolam,cuius latus rcctum A transuersum .M. Sumantur ipsi No. id est AB. aequalis oT. ir. huius. Nam ut constat ex superiori propositione, quadrato M. aequale est rectangulum 6BA. Quadratum autem AY. id est Ba . est aequale quadratis BY. AB. igitur quadratum Ba. est aequale rectangulo fBA. & quadrato AB. quadrato autem OBA. & quadrato AB. aequale est rectangulum
BA. cum aequales sumpti sint No. 6T. AB. erunt T A.
362쪽
3 s x Curui ac recti proportio promota.
6B. aequales & rectangulum TAB. rectangulo 6BA. aequa-Ie,ideoque rectangulum IBA. rectangulo 6B A. cum quadrato AB. aequale Quare cum aequales sint AB. N6. 6 p. erit AB. aggregati magnitudinum AB. No. 6T. tertia pars: sed etiam A3. est tertia pars ipsius AN. vi igitur AB. N5.6 . ad AB. ita AN. ad A 3. &diuidendo vi NT. ad AB. ita N3. ad A 3. Igitur per Lemma 3. huius , erit virectangulum BA. id est quadratum Ba. illi aequale ad
u. rectangulum IBA. ita NA. id est A latus rectum ad
transuersum Ag. Eodem prorsus modo quo priori part huius,& quo praeeedenti, demonstrabimus esse ut quadratum Co. ad rectangulum pCA. ita QA.ad A3.Hinc esse ut Quadratum Ba. ad quadratum C6.ita rectangulum 3BA. ad rechangulum 3CA. Quare cum hae sint proprietates Hyperbolae ex 2I. I. Conicorum ; constat ex ijs quae dicta sunt in propositionibus huius Hyperbolam recta gulam cuius latus rectum A transuersum A 3. diameter A V. congruere cum Conicoide Abf. ideoque Conicoides quartum rectangulum esse Hyperbolam, cuius latus rectum A transuersum As. Quod erat &c. THEO REMA XXXIII. PROPOS. XXXIII.
bus aequichordia primo exaeepto sunt Hyperbolae , quae si ordine accipiantur eorum latera transuersa rationem habent inter se a numeris ab unitate serie naturali progredientibus, seu ab exponentibus denominatam.
Sit A V. diameter communis omnium conoideum congeneoi um A.vertex AN.latus transuersum,cui aequam
lis sit perpendicularis A. Hinc ducta BP . infinita o dinatim
363쪽
dinatim applicata, item recta per punctum E. intelliga- inr transite conicoides primum, per punctum I. secundum .per T. tertium ; per, a. quartum, pergis quintum sper h. sextum, ac sic deinceps: Dico haec omnia conicolis dea,primo excepto,esset Hyperbolas, ac latus rectum adtrant uersum in prima Hypei bola habere rationem quam r. ad I. in secunda duplam, in tertia triplam, in quarta quadruplam, & sic in infinitum. Manifestum est Coni- coides primum A E. esse Parabolam, secundum AI. esse primam Hyperbolam congeneam ; tertium AT. egra xet. huius. secundam Hyperbolam, quartum A a. esse a 3- humi tertiam Hyperbolam , ac prinaae quidem Hyperbolae latus rectum esse A transueta sum AN. quae rationem habent quam I. ad i. secundae latus rectum A quod ad transuersum A a. rationcm habet duplam, tertiae latus -rectum A quod ad rectum A 3. rationem habet triplam et Iam vero eodem modo quo in duabus superioribus probabimus,
nicoides Ag. esse quartam Hyperbo - - lam , cuius latus rectum
rationem quadruplam. Reuocentur enim in memoriam duae superiores propositiones, & sit A . quarta pars ipsius AN. & praeter partes acceptas No. 6T. aequales ipsi AB. accipiatur etiam 28. eidem AB. aequalis ; mdcho omnino ratione qua in duabus superioribus probabimus , quadratum gB. rectangulo 8BA. esse aequale . Rursus quia A . est ipsius AN . quarta pars& AB. ipsarum AB. .
364쪽
. Curul ac recti proportio promota.
N5.6T. 68. quarta pars,eodem penitus modo quo in duabus superioribus demonstrabimus esse ut rectangulum
8BA. id est quadratum gB. ad rectangulum ABA. ita NA. id est QA. ad A . Item ut quadratum mC. ad rectangulum CA. ita QA. ad A . ideoque ut Quadratum Bg. ad
quadratum Cm. ita revinguiu BA. ad rectangulum CA. sicque propter eandem causam quam in duabus superioribus attulimus , conoides transiens per AGM. esse Hyperbolam quartam. Neque aliter efficietur Conicoides sextum esse quintatam Hyperbolam cuius latus rectum A habeat ad transuersum rationem quintuplam. Sit enim A s. quinta pars totius AN. & accipiatur adhuc Sy. ipfis N 6. ε . g. impsi AB. aequalis; ostendemus ut supra quadratum Bli. rectangulo sBA. esse aequale. PNaeterea quia As . est ipsius AN. quinta pars,&AB. ipsarum AB. N 6. 6 . 8.8s. quinta pars eodem prorsus modo quo in duabus superioribus demonstrabimus esse ut rectangulum sBA. id est quadratum Bh. ad rectangulum 5BA. ita NA. id est QA. ad A s. ac reliqua ut in prima parte huius, ideoque Alin. esse Hyperbolam quintani, cuius latus reinvii A ad rectum A 3.habeat proportionem quintuplam. Atque ita demonstrabimus Conicoides septimum esse sextam Hyperbolam, cuius latus A ad transuersum .habeat rationem sextuplam , sicque deinccps in infiniis tum . Quare omnia Conoidca congenea restingula &c.
EX ponentes vocamus hic, F sequentibus propositionubus numeros embus ordo Naperistarum quae sis mutua atque ordinata generatione procreant, designatur , vi Ferdine disponantur prima , fecunda, tertia, quarta es c.DP perbola eartim exponentes dicentur numera 1. 2.3. . atque ita deinceps s
365쪽
LIBER R3 II THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXIT SI Hyperbolae conchordes rectangulae prio
ribusque aequi chordes accipiantur, atquet, diameter prioris ad partem diametri posterioris a vettice sumptam rationem habeat quam exponens posterioris ad exponentem prioris: erit prior Hyperbola posteriori Hyperbolae circa lumptam diametri partem analogas habebuntq;inuicem rationem ex rationibus altitudinum, ¶llelarum proportionalium compositam.
Sint Hyperbolae conchordes ALG. MVT. rectangulae quarum unaquaeque praecedentis sit aequichordis satque ordine prior sit ALG. posterior quocumque interuallo MVT. sintque earum exponentes quilibet numeri (ve bi gratia prioris 3. posterioris . nempe prior Hyperbola ordine fit tertia, posterior quarta ) & latera recta aequa
portionem habent ab cxponentibus denominatam , nempe ut exponens Hyperbolae MVT. ad exponentem Hy-
366쪽
3 s s Curvi ac recti proportio promota.
perbolat ALG. ita latus transuersum AB. seu MO.ad transuetium MN. Dutantur item diametri AG. NT. & fiat ut exponens Hyperbolae MVT. ad exponentcm Hyper-holae ALG. cui in proposito a.ad 3. ita diametei AG. . dpartem diametri MR. & per R. ordinatim applicetur RZ. secans suam Hyperbolen in Z. Dico Hyperbolam A LG. Hyperboli MZR.esse analogam,& habere rationem con positam ex ratione altitudinum AG. M R. & parallelarum CL. R Z. Dividantur AG. M R. in totidem partes equales in punctis D. E. F. G. & S. P. R. per quae ducantur ordinatim applicatae DH. EI. IX. GL. & Sa. I X. .RZ. Quoniam tam multiplex est GA. ipsius A D. quam 'i' i' MR. ipsius M S. erit ut GA. ad RM. ita DA. ad SM. sedc ut GA. ad RM. ita AB. ad MN. igitur ut AB. ad MN. ita AD. ad MS. & DE. ad SP. & EF. ad PQ e FG. ad QR. Quare cum sit ut AB. ad MN. ita AD. ad MS. erit permutando & componendo ut BD. ad DA. ita NS. ad 3M. similia igitur sunt rectangula BDA. NSM. Rursus cum aris, quales sint DA. DE. & M S.,P. ex hypothesi, erit ut ED. ad EA. ita PS. adi M. Sut BD. ad DA . ita BD. ad DE. itemque ut N5. ad 5M. ita NS. ad SP. erit ut BD. ad DE. ita NS. ad 5 P. scd ut DE. ad EA. ita SP. ad PM. ergo exaequali ut BE . ad EA. ita NP. ad PM. similia igitur sunt rectangula BEA. NPM. Quare cum ostensum sit esse BD
per q. proportionalibus BE. N P. BD. N S. constituta Dio- portionalia : ut igitur rectangulum BEA. ad rectangulum di PM. ita rectangulum BDA. ad icctongulum NSM. permurando ut ructangulum BEA. ad rcei ngulum BDA. I.r Conic. ita ructangulum N PM. ad rcctangulum N,M. sed ut rectangulum BEA. ad rectangulum BDA. ita quadrarum,
EI. ad quadratum DΗ.& ut rectangulum NFM. ad rectangulum
367쪽
elangulum N M. ita quadratum PX. ad quadratum Sa .i is ivt igitur quadratum EI. ado uadratum DH. ita quadratum Ph. ad quadratum Sa. ideoque ut EI. ad DH.ita PX. xx. s. ad Sa. atque eodem modo demonstrabimus esse ut FΚ. ad ' EI. &GL. ad FΚ. ita QY. ad P X.&RZ. ad QT. Quam mm in eadem ratione diuisae sint diametri AG.MR. pa allelae DHr EI. FΚ. GL. ipsis ba. PX. QT. R Z. sint Proportionam i analogae sunt Hyperbolae ALG. MVT. defin. quae tum sint in tales, & inter diuersas parallelas ha- brum/vi: bentctiam rationem compositam ex rationibus altitudi num AG. M R. & parallelarum proportionalium G L. R Z. Quod erat demonstrandum.
SI Hyeerbolae conchordes rectangulta prio
ribusque aequic hordes sumantur, atque diameter prioris producta ad diametrum posterioris rationem habeat quam exponens posterioris ad exponentem prioris et erit prior H perbola circa diametrum productam posteriori Analoga: habebuntque inuicem rationem cona positam ex rationibus altitudinum,¶llelarum proportionalium.
Sint Hyperbolae conchordes ALG. MVT. rectangulae quarum unaquaeque praecedenti sit aequichordis; atquGordine prior sit ALG. posterior quocumque interuallo M v l .lintque earum exponentes quilibet numeri ( exempli gratia prioris 3 .m sterioris q. nempe prior Hyperbola os dine sit tcrtia, poltcrior quarta & latera recta aequalia (ex33. huius Ac. MO. transuersa AB. MN. qua proportioncm hisbent culi 33. huius ab exponentibus den
368쪽
3 s 8 Curvi ae recti proportio promora.
minatam,nempe ut exponens Hyperbelae MV aci exsnentem Hyperbolae ALG. ita latus rectum A C. seu Mad transuersuin MN. Ducantur item diametri AC IN
di fiat ut exponens Hyperbolae MVT. ad exponentem Hyperbolae ALG. cui in proposito . ad 3. ita diameter AG. producta in d. ad diametrum M T.& ploducta Hyperbola ad diametrum Ad. ordinatim applicetur de. secans Hyperbolam productam in e. Dico Hyperbolam A ED. Hyperbolae MVT. esse analogam; & habere dictas Hyperbolas rationem compositam ex rationibus altitudinum A D.
MT. & parallelarum proportionalium DE. Tv. Diu dantur A D. M T. in totidem partes aequales in punctis D. E. F. G. d. & S. P. O . T. per quae ordinatim applicentur DH. EI. FΚ. GL. de. & Sa. PX. v. R Z. Tv. Quoniam tam multiplex est d A. ipsius A D. quam TM.ipi sius MS. erit ut d A. ad TM. ita DA. ad SM. sed ut d A. ad TM. ita AB. ad MN. igitur ut AC. ad MN. ita AD. ad MS. & DE. ad SP. & EF. ad P de FG. ad QR.& Gd. ad RT. Quare cum sit ut AB. ad MN. ita AD. ad MS. erit permutando & componendo, ut BD. ad DA. ita NS. ad s. definit. . SM.similia igitur sunt rectangula BDA. NSM. Rursus cu' aequales sint DA. DE. & MS. SP. ex hypothesi,erit ut ED. ad EA. ita PS. ad PM. & ut BD. ad DA. ita BD. ad DE.
369쪽
itemque ut NS. ad SM. ita NS. ad SP. quare cum sit ut BD. ad DA. ita NS. ad SM. erit ut BD. ad DE. ita NS.ad SP. sed ut DE. ad EA. ita SP. ad PM. ergo ex aequali ut
BEA. NPM. Quare cum ostensum sit esse BD. ad DE. vi NS. ad SP. erit componendo, & per conuersionem ratietanis ut BE. ad BD. ita NP. ad NS. & permutando ut BE. ad N P. ita BD. ad N S. eruntque duo rectangula similia . BEA. N PM. &duo similia BDA. NSM. super quatuor proportionalibus BE. N P. BD. NS. constituta proportionalia:vt igitur rectangulum BEA. ad rectangulu NPM.ita rectangulum BDA .ad rectangulum NSM.& permutando ut rect ingulum B EA .ad rectangulum BDA. ita rectangulum N M. ad rectangulu N5M.sed ut rectangulum BEA. ad rectangulum BDA. ita quadratum EI. ad quadratum DFq. & ut rectangulum NPM. ad rectangulum NSM. ita quadratu PX. ad quadratum Sa. ut igitur quadratum EI. ad quadratum DP . ita quadratum PX.ad quadratum Sa. -- s. ideoq; ut EI.ad DH.ita PX. ad Sa. atq; eodem modod monstrabimus esse ut FΚ. ad EI. & GL. ad F Κ. &de. ad
&ex et . huius habent etiam rationem compositam cx rationibus altitudinum Ad. MT. & parallelarum quarumcumque proportionalium de. Tv. Quod erat demorustrandum.
COROLLARIUM.ET bac S penultima propa uiane maniferim es , et
II perbolaram exponentes ordine consAruantar I. a. s.
370쪽
s co Curul ac recti proportio promota.
boia ebea tertiam partem diametris es parti qesar, eirea quartam partem diametri, atque ita deinc ps analo amse me onentei illas partes in cent ' : . . . Eodem modo meundam Operbolam esse parti terti e circa duas tertias di metri analogam , seanem parti quarta Caperbola ebee oas quartas parti quinta circa duas quintas diametri. analogam,atque ita deinceps, quod exponentes ' . m. indiis cani : sicque tentam perbolam esse parti quarta circa 3. quartas diametri, S parti quinta circa tres sextas analom gam atque ita de reliquis ut apparet ex exponentibua Praeterea eonctat ex ultima propositione, primam per lotam productam Hrea diametrum duplicatam fecunda v-perbole, circa triplicatam tertia, circa quadruplicatam quam sta Vaperbate esse analogam: quod exponentes : : : . indiacant. Item fecundam N periclen circa Hametr m auctam fessuialtera proportione,ita ut diameter ad additam habeat rationem sessuialteram , ad scandam re perbolam, S eandem circa diametrum auctam proportione g. ad a. id est duplicatam , ad quartam; es eandem circa diametrum auctam proportione S. ad a. ad quintam perbolam esse analogam;