장음표시 사용
51쪽
CSi ab inte continue designentur parte altera logiores et quadrati duo et duo co niuncti mangulares omneo emcient.
rLUIano ad mutate ab equamaros et ab mittate alma parte Iogiores qui Didendico quoslibet diuos irimos quadratu et altera parte lisio m stimul commere triasularent .na si fuerit prini quae diatus dest unitas et pumus altera parte togio: qui est binarius manifensi stillos simu additos ocorrelarisi prime ditius costi ruere magularλτ si fuerit a scibus quadrat' et o primus abmitate alta otelmoisin porice asina septimi mradratus apstat exinaribus a nitates ex unitate et prioiba o est piniis parinuare si resoluae aeret accepti cStinue nun σι ab unitate. se correlarist igitur μ' dissitulit magulareri ita oste M a et e costirueretri lare resoluto a iii suis iparibus u is septinuete in suis paribus P mestinasma eiusdE.etit de Bumbet duobus hoc nao sumptis.
CSi sumantur mangulares a tetragoni: starentin illi toti triangularium ab unitate sinquon isti raragolioru post unitatem: coniuncti facient numcros pentagonos.
CNam si miliareque est primus trigonus adiungas primsi quadrai si post unitate qui est quaenari' fiet peragonus post unitate habes quin v latera equalia.es si capis scona trigonii ab unitate habebit binarist in latere et secudus tetragonus post unitare babet ternariu in latere. adiecto ergolati re quadrati fiet per torriarisi prune bus' ma lus seques habens latus trium unitatu et figura pctagona recipiens totide in quolibet eius latere mirares. et qr semper rotus retragonus post unitate uno plus in laterest trigonus totus ab unitate: bacrone de quibustibet aliis a positum efficere. et qr latera illoru pentagono*equalia sunt lateribus ictragonorudatorum: hinc etia sit ut illi pentagoniton sint post unitare quotiet tetragonia Et adae et vicestinas ta septimi cognosci eq6diu' Seuentius alterit boritumi capi resecundi sue institutiois aritbmetice: pelagono* generatione nasci caenumeris naturali serie ordinatis quado connue duo a monade duovsemper in metuo facta liuem. issione iungsitur. Nam per Mentem accepta unitate que estprii ius trigonus et quaternario tetragoii' duou in medio binarii so arm temara facta infininione iunctis:fit secudus pelagonus dui in lateregeres.Et rursum Niobus interanissis septetrarius acceptus quinaristincludit et bina ruam Bruti inarius inpar pertice aseriam septimi additus tetragono quaternario: proximu costituit tetragon sit vinarius unitati adiectus per correlarisi prime proxunuvnitati costituri trigonum. ergo P presente unitas et costituunt pentagonu. Et rursus duobus dimissis post septenariu accepto denario qui inclitdιt sequente impare et te arium: qui septenarius quadrato prioris pentagoni additus 2 vice ima sextam septimi succe tem constituit quadratu et ternarius tragono pentaSotica tectus Proprii quum trigonum.erti igitur per oresente numerus ex mira Ie - et io constitutus petitagonus:et trade quibuniet a Ius argumentabere.
CSi patre altera longior cum toto post Vmratrem triangulari coniungatur: compor ossinio erit poetagonus post unitatem totus.
Sit a aliquores ab unitate altera parte longior ut secudus: cuius ideo minus latus erunt due unitates: sit. bmagulus totus post unitate cui' latus ideo erit ternarius et equale maiori lateri a tera parte longioris. a iungo ergo maius latus trigoni h maiori lateri altera parte longioris at et fiet te, tragonus sedet illud quod at dempto maiore latere b persecundani in unas est triangulus minor descendendo ergo per precedentem ille cran qua 'rato ex altera parte tonsitore et logiore latere trian mutosi oum pentagonus:quod est propositunia
si liba pentagonorsi post vilitate cum toto triangulari ab unitate: bcxagonum i post unitatem stimuloco positu constituit:ct huiusmodi tetragonicus dicatur.
numeri potestate optinere dicis cuius equalia latera dei gnaturi bincipis est primus triangulus primus uetragonus pentagonus b agonus et ita deinceps. et predictoru numerorum primus post ipsam est cuius latus hami binarius:etiscudus post ipsam cuius latus fuerit ternarius dus uero ab unitate cuius latus fuerit binarius.et dicitur hexagonus tetragonicus cuius Iarus est equale lateri medet tetragon dico ergo si si captatur aliquotus pctagonus post unitate ut a:quiverhi talisa post unitate sit tertius er b totus tria gulus ab unitate: dico a cum b costituere hexagonii pommitate totum pariterin et tetragonita .nam per duodecima buius quotus pelagonus fuerit post unitare ex toto post mutata tetragono constar et triligulari ab unitate toto. ergo equalis triagularis qui est que propo proponit ex opposito tetragoni latere appositus hexagonsi constituet: cuius latus erit equaleia medo tetragonio et qr latus eius e equale lateri medi tetragoni est et equale lareri pentagoni quare et b agonus totus res postvnitate quotus et pelagonias.et v eius latus est equale lateri mede tetragoni est ide et tetragonicus:q6 est propositu Et bae et duodecima hui' et correlariopme cognosce promptu est gnatione hexagonopeo pacto 4 docet Eoeci' 1s capite sc6i arithmetices
C si is tetragonus in precedere altera pte longiore: hexagonii tetragonicia pstituit. 1s
si primus mini altera parte longior post mirarem est qui babet unitatem minus latus et sectandus quib3 duitate et ita deinceps.et precedes tetragonsi est citius minus latus estvnominiis latere retragoni qui et post unitate totus equotus et altera parte legior ab 'mitalcidico ergo quecunm tetragonii vi ac si precedere altera parte longiore ut b eostituere dexagonusi tetragonii Id quarta vi' altera
52쪽
torias est ab irate quotus tetragonus apost unitate ullus ergo isto* m manui est tetragno a estituit pentagonu post, in late totu:sed et per precedent em in altero imagulari qui est intus ab unitate omittit irexagon sttetragonioe.argitur cum baltonari elogio eprece dcte costituit hexagonsi tetrago iucu:quod erat demo strandum eta, postruth. φρ
is CSi disponans mangulares ab vilitate:temus alae uno intermisso a prius sumpto tertius: erit beragonus,
Cana per unde ei itia ditius dispostiis ab unitate die altera Ugioribus et quadratissiduo et duo imigatur fient oes tria lares.ar cu primus tringuiaris post unitate fiat ex unitate et ρmo altera Die longiore:scuus tri agulares post vilitare et est tertius ab mirate stet ex stilio tetragono post mutate et pnio post unitate altera Eie logiore per eande vi idecima qux est tetragonu precedes. ergo D precedente tertius triagularis ab unitate el)exagon scdet eaderonem molasmisso teritus senapalimato et pres
2, 1, ...hiui, rq - e 'η'ςς η'- VR,R' φδin ergo per sic ente tertius semper erit heragonus 1 Et sex vilitates visi circuponantur: taurillam adinvice et ad illam eadesii distanab agonum equi angulu constiruens.
' i que ubet due illas unitata cimi media mitate tragulum equilatera conmmunt fient ergo sex triaguli equitateri quos dico ena esse adinvice equi agulos.na cum illo*mitates ab nuite et a me dindistet unitate:Ii mirates unius itarib cuiuslibet alterius applicens erunt upra se inutis appostieetaguli ratus agulos alterius no excederes: quare sex aguli l ex guli erunt equales. erit igitur talis hexagonus equiaguluso inreditur.er ita de tetragono e quia gulo et perarono li placerαostederes.
18 CLatere proposito heragonum equiangulis constituere.
CSit a Uitates dati lateris ebus una plures applicol ita sentu augeoo donec tot sint orbines quotmitates sunt in latere. latch doe mo deseedendo donec tot copleanfordines quot unitates sunt in eodem latere. et q: fiunt tria latera equalia a se edo et tria si nulla descedendo pue creatu esse hexagonaque dico equiassulum,na medius ordinu seni a pervicesimatertia septimi Einiparui totus sit ansiero lateris quotus nuerus interis ab mirarchabet igis iueniaximus nutrierusmum mediv.t stagnas extremitates sextaterum perbe desserit illa mediamitas media on,inis sciebret ordini BU Mequales sunt et ea coitantidistat ergo equa abs cetabe et betabdet g. quare sex trist lisoneolamitasse:mediam ita sed: mediamitas deunediamitas cb:et mediam ut digret mediam irasgDadiuteeedlateri suntet vi in Meden equinultae ille dexagon'beve fgequiasui'm, ea ostiir
g. Si cintlibet hexagono cquiangulo tomo senara multipleiadbatur quotus erit ab unitate: similani dexagonii prouenire nccesse in.
irpino vexagono desamitas senarius circumnas per penultin 1 inseques beragonus emulangulus.na habes duo in latere q= si eo r interualis que etia sunt semine aptetur irates in eade distantia:atin ipsis sex vilitatib' alie sex angularis: fiet sequis habens ternarisi in latere. et ut precedes bci agonus secudus erat ab unitate ita a Geptus en totus senari multiplex:sciis duplus ad senariu qui est duodenar Fus: cui si rursum ei restponas trip si senarii escue duodecimirates in duodeci intervallis et sex ad sexagittares mitates efficis sequetem dexagonsi equiisulum quiri in precedete probaree dabet quaternar in sua latus.et qi senio iteritalis cressit in senario tota lissemst maneribus appostio sequeti senarsi mrtiplicis defficies hexanguissequiisulta eadem rane
lo 4 Si ordincii tur ab unitate triangulares et taguli secundu senarium multiplicetur :producti addita unitate erunt hexagoni equi anguli.
inivnitate que primus triagularis est senario multi pures:&radus hexagonus nascitumlui addita mitate circii clusa cognoscis et equia Ius.et qr per precederem quilibet be sonus tot addit senarios super pcedetem quotus ipse predeo fueritis initate. libis tria gularis p correlarisi pme tot d3 itates supra pcedetem quotus ipse fuerit ab unitate.ergo si fres trist gularis 4 ideo by duasvnitates stipra primu multiplicery sex addet tot senarios supra pcederem boagonsi qui fuit sinus: quotus ipse sectus bexagon' fluit ab unitate. ergo a medetem erit seques hexagon'. et ita quom filo triagulari si addit tres mitates suprasces p i exmltiplicatoret quolibet alio:addes ex niuuiplicari tot senarios quotus eteringularis et precedes luxa sonus fuerit ab unitate: M. a prece tem se concludes propositum,
ii si omnis hex onus equiangulus tanto abundat super hexagotium tetragonicum simili post unitate loco sumptu: intus est aetragonus ab vinitate similiter dictus is
si Sit epuia aquare sub unitate bexagon'tetragonies det tertius e post unitates t vhtotus ab a unitare retragonus id est tertius. rquar tetragonus et medius altera partelogior .dico errast is radexagonstequiangulupost initate tantsi distare ab afflus est b tertius ab unitate tetragonus . nam per decima quinta duius c et v coponunta: sed et qr differetia b ad d per vicesimZquartam sext est onarius latus b:et differetiae ad P est quaternari' innis c. ersit ergo p secvnda primi b et e simul maius h-- vno O duplum v. eapso e totum ab unitate triangularem quotus est b tetragono*: quia minus v d
53쪽
altera parie longioris d est litus hi modi uide idem est lanis e.ergo per quarta huius d erit diaplus
esed et be momisa sunt o maius duplodulant ergobcvnornatus qdruplo e:ergob eo simul sinit mo maius seu loe.at in ficedente e sexies sumptus addita unitate tertiu post unitate ereat boaagonum uia gulum qui sit f.conflat ergo sex beetd:sed alatu constat exedulostensum ei Labundat ergo fhexagonus equianguliis ab abexagono tetragonico toto postvnitate a tuni est biotus abrilistate tetragonus:q6 est proposite. CBium uerte queadmoduni diuus mostrat seuerinus deptagonos continue sim ex hexagonis et inferioribus trigonis duobus equis Istrioribus eminus adistoris trigotiis.quod et idem euenit si dispontis natur aut numerist extremi cotinue quattuor in mediis relictis tungatur.ut secudus beptagon' fit ex senario scdo hexagono et uno: pmo irrisono ein in ' equali adiecto trigonoMui ide fit re uno et senario quamior in medio ptermissis numeris: et tertius beptae gonus fit ex isterno bexagono et ternario scoo trigono e regiSeadisicio equali trigono hexagoni quii die fit remo senario et odenario. et hoc pacto in figuratione et collectione suoru numerorst in ceteris
ς Supra datum nummim octogonum equilaterum constituere.
Cinta datus nureus supra que iubemur octogonu equi latex eo stituere.xcedo es apponereo ordies uno semper se excedetes donec totide sint quot sunt unitates ita teretersitae facta tria latera equalia et marimo orditu addo ordies equales quousin tot sint quot sunt unitates in latere ersim facta quiae latera equalia.deinde ab ultimo ordine xcedendo appono ordines ratinue itate minores donec tot sint quot in dato latere unitates fientae sit descedendo ma latera kdictis equalia erunti simul octo equalia latera arm octogonus equitarerus emirutus:qserat faciendsi. Slia apud diuuseueruasi octogonopinum edorum ratio modusin est ut cotinue ex toro beptagono et pub se trigono surgalli .eti denunt si ex dispositis naturalit numeris connue in medio quinae relictis:extremi iunstur.ut si Tiso heptagono iungas maum primu mgone surgit ocionarius et sedus octogonus.qui ide fit exuno res tequium numeris binario te arto quaternario quinario senario iter stitibus:dimissis. et ii Rtorio deptagono iungas ternari st: secundisi trigone: fiet xi tertius octogonus qui idem colligitur ex x. ii ιτ - pacto in reliquis est procedendum
Et cuilibet hexanGlo equiangulo post unitate: totus tetragonus ab unitate cum Hlaquete altera parte logiore iungatur pueniet octogon 'post stilitate sin loco sumpF.
- quilibet bexagonus equiraulus cuius latus ni a et maximus ordin si eius lit betiit addiat susta numera c.qrii enim ragonus datiis habet magialon in media unitate coitantium latera equalia: hinc ordinis, maeimi:Iinea minor inveto:duplo lateris aergo eminor uno Oa.addo ergo ad b ordiαnes equales secundu e et qraba addi fiunt tria latera equalia fienr rursus abbeum additis ordinib' duo alia equalia quibus addo relictos hexagoni post brfienim rursus tria alia reliquis equalia erit informatus octogonus..etqr per nona primi cin b=m ordines additos est tantum et tu me in se et in a. atq6 in se facit est tetragonus: et quod in a facit est altera parte Iogior.eum e et a sola restate distent:et tetragonus ille totus ni ab unitate quotus octogonus formatus post unitatem . nam hexagonus uno maius latus habet latere tetragoni: et altera parte longior seques tetragonsi.costat ergo inberagulo emagulo assignato post unitate: additus totus ab unitate tetragonus est sequete altera die ldgsoreco futuit octogonsi qui in equalia hexagono latera beautotus erit post unitate octogonua:eta positu
Si enim triagulos tetragonos peragonos hexagonos tetragonicos belligulos magulos et octogonos secunta unitatu disponem figuraliter costituere desideras: puma huius trigonos figurare disce. quita tetragon rex duodecima pelagonos: decima quarta hexagorios tetragonicos: erexdecimaseptima et decima laua bexagonos equi angulos:et revicesima secunda octogonos.sscae per tutum habebis propositum.
Eatere dato figurarum preassignataru cuili stiba summa repc ire.
Sit latus data a qui ponas esse paret medietasas thrsit me minor moa et deodemo maior .addi Rissea donate. et iterue addito ade fiat Letsi caddito adffiat g:duca fetibin det sequentes et Pue nrant bulm.qreni a in d ostituit altera pte longiore cuius tragularis lateris a est medietas.ergo PMaria huius b medietasa in damucit tria lare lateris a:sicin hostedit summa triagularis lateris dati.etqred simiaeosti tufit equid secunda prinu est duplusa.ergobae sunt cotinue ortionalessqo ergo ni bine per res Aeeta secundi est qua tam a.etreio nili ostendictu summa tetragoni lateris dati a.etmq6nto: buis per non1 primi tmestu namq6o: hine et in c.et elim cina costituat altera parte longiore cuius medietas est maginus e per quarta dulus.ergob medietas ainc g ducit triangulare cuius latus esca eo et di in e a1ducit tetragonsi a qui totus est postvnitateqilotus trian gulariscabunitate.ergo per duodecima butus di in f mucit totum postre late pentagon si .at ille est Tragonusaei productus est Lostendet igituri summam pentagoni laterso a. ror quod fit ex bingelit metram quod sit ex bine et in Let dictum est ex binc fieri tragularem totum ab unitate quos tus cir post unitate pentagoniis ex b in f factus.ergo per decimZquarist huius b in sconstituet dera Mirum tetragonicu totum post unitate quotus et post unitate est pentagotius albexagonus ille erithemon aetat crusm monstratitam instinaniambexagonia:lateris assignati.Duco ire u in se r ante viain quierit totus ab unitate tetragonus quotus Uexagonus tetragonicus ni est post vilitate, addo ergo ni rinsimul et proueniato qui pervicesimi primam erit vexagonus equiangulus a. nam totus post unitate quotus hexagonus m. duco treme in a:etiueniat p qui erit altera parte longior
54쪽
se iuriis tetragonum cse n. additis ergo iterum ii et p tetragono lay et seque te altera parte longio e heragulo equi agitio opulces matertia Diu sinuenit M togo ii 'totus postvnitate quotus post unitate erat hexassuiu B eqvi JguluSo. quare octogonus proirent inquisitqerit aego lateris dati a atm l summa perita ostendes. Sed estorii reus alatus dat unum erit siparet b c circu posui pares bymnori E x 'cmaiozel medietas 3 sit et nimietas est ter perfectin primi detenim ulchstituent a. addod super V da et fiat 'et super fet stat g:et duco alite et Miloniath qui caratione qua superuis irrit tria gularia a M : duco ait se et prouentarit quierit eius tetragoniis et auis et Miamia tu qui ea rarie nequa prius erit - δ g ς pentagorinsa et coamget proueniat inquietist per deci 1 quartanabulus erit betagonus tetrae gonicus lateria ita sed eis exagonii equi agulum et octogonsia quere ut paulo antc monstratii est.
tres a tribus laterib ' basis tria gulares eris situr 4 simul applicatur arae coueniunt et basis est quartus tria laris. Et et in uo et duo latus dabent comune. erunt omnes inter se equitateri: quare et equales. quod igitur asseritur perdiffitutione ratum est.
im CSi irragulares ab unitate in altum sibi continuc ad aptentur: proucilici omnes ab unitate pyramidco: et cuiustibet basi 5 ait tria gulorum suoru maiamus.
Sint ab eo es adfusae unitate se3 quotlibet silmpti tri1gulares eo tinue uno minores d sibi inuice eo ordine apretur appliceni rinritavrbsupponar a: ercsupponat baeto ipsi ciete insit, et finde ipsi edico pyramides abunitate esse sumptas oes et cuiuslibet basim suoviriagulo ς esse maximii. cum eninumeri i ii in altu constituti in unitate conueniat per diffinitione constituut pyramidici tm p corretariu prime huius oes ab unita resumpti tria gulares.si ita in unitare considerasea deest et prima potentia pyramis. si irim si tria gulare cuius latus est binari' eu ipsi sit praposita coaptatam initate appositi appareat equales simul iv cou Glieres triagularis rerit costituta sesa puram is eui'latus erit secundus tria gularis. et cu sint in alta continue accepti tria gulares eritet tertia pyraniis costituta cui' latus erit termis tria gularis: et quarta cuius quartus tria gularis erit latus atm ita deinceps. sed si cui iistibet basis sit mox triangli larisi maximus boc io est in p precedente basis e magularis cuilibet maligulariu laterum equalis . si ita in latus sit quintus trist gulus p correlarist prini ebuius ex diuus precedetibus tria gulis 'stitutus ita et basis quintus erit tria lus et ex pibus inferioribucostitutus qui erit illius p pramidis marimus:ri ita de quatam altera fium costare potest proposituis CSi citi liber numero equabit Iaterum oes ob unitate sibi similes in altu apponatur: qui coponetur crit pyramis basem in ipsius cadem esse coiiciater. st vero citra unita senum stilodi ciusde gcncris formam in altum suppositio erectioin deficiar: quot ab umtate illius generis relicte fuerinta toties curta pyramis nascetur.
Lllaec dotat tetragonice basis pentagone dexagones depingone octogonoennagone decasione: et quotquot angulodi lueris eo de ingenio quo et precreta de tria laribus pyra inides formar amsi hoc pacto tetragoni ab aliquo dato ad mltate rem suppositi aptenturioia latera que y corteiarist pinc huius erret triffsulares numeri ab itate connuelanipli sint inviiii vertice concuri totain pyramide psi uirent cui basis erit datus tetragonvsup cuius latera sunt erecta latera pyramidio inmucacumen conuenietia iitio oes tetragonice pyra iiii des infra illa essent formate .et ira si pelagoni hexagoni et sequetes hunem modii aptetur pelagonas hexagonas octogonas magonas: reliquas . oestorinabis pyramidas Sc6a pars stari nota est nasi detur quotuscum triagularisvi sextus abmitate eui supponaturmo a tedicto hordinequitus quarto tertius et sc6us .at desit unitas si uis latera illi 'stinui tendat non in eo numisirrideo figura illa d biffinitione erit eurta prramis Q si quisu squamis et temus soli suprapositi in altu fuissent: demisset. duo statis emittas det biscurta piramis diceracpstoniissimvssent tres diecretur tri curta. erata quotquot omitteretur toties curia dicerer. et ita decurtis pyramidibus que a quadratis pentagonis vexagonis et sequetibus figuris nauestur sentiendistes est iram notum quod proponitur.
ij si Sidue pyramides quarum bases sunt triagulares provini coniungatur: em cietur pyramis citius basis crit tetragonus maiori tria gularium equi latenis.
Dina quelibet ear sterit coposita ex ossius triagularibus 4 sunt a triagulari bassis meus inadunitatiat basis minoris a3ximus est tria gularis post basem maioris .coluncti igit sint ut d duinta duis facisit tetragonu et scolis unius et sesus alteri ' sequente tetragonsi. et sic eo sin P si extrema unitas mioriscii penuItimo alterius tria lari prim si post unitate toficiat terra gons. itas igitur si appona foes ad ipsa vim tetragonos suprapolitos habebims ab illoso tetragono cui' latus est equale lateri triargutaris basis maioris p pramidis .at per omissam ex ossis' ab unitate tetrago ius coponitur pramis cuius bans in quadragula et coniunctor si ultimus retragonus. effectu est igitur q5 proponebar.
,ό si Si quotlibet magulares equales in altu coponatur: fici ex eis nummo serratilis.
si sani qr equales erunt poterat directe cotinue in altum latera ius super latera alterius aptari applicarim:ut latus de supralatus ab etd fiet se supra latera ac et eb: et latus gi, supra latus deretratera guetiri supra later adret sciet ita de consequentibus rim ad vitinali et quonia omnisi latera sunt equalia: erit ut supra posita directe lateraque suprem si locum optinent extremis equalia sint et equid insitia. patet uam perdiffinitione factum esse serratile quod proponebatur.
55쪽
omnis soratilio pyramide sue basio vito aluor:addit super eam: pyramide cuius basio taetragona est: si alienus equilatera.
CHaindepta triangula Uinistribata inban tollatur et de se indo equalium trianmtorsi secundus priamidis detralis et de tertio teritus:ssecas deinceps.qr serratilis uno altior pyra, mi de sue balis pontus est de penistimo trifigularisiemalist auferes Luprema unitas atm ppramidis vertrimem totus vltimus tringularis serratilia integer relindtur. at qr in basi serratilis fusi ablata b tritim pyramidis.ideo per secunda huius: secundi tragularis relictu est latus et in omnibus superioris' militer quiqrii tot sunt quot in illo lateremitatesteonstat latus ipsum insequetiunt lateribus summa quadrati us rere.preterea m tota triangularis serratius remanet latus suu et minor eques et insequetibus similite tri illas Inrsequetis quadrari later et hoc pacto admitate sinquadratop numerus excrescitorrergo ut in supremo triangulari residua amitas et que est primus retragonus. ergo per vic imaoctauam binus constat reliciam esse tetragona pyramide. et qrlatus basis eiusde est latus triangulariste qualium et latus basis piramidis triuule ablateide: constat prramide relictam esse pyramidi bata serratili semilaterfiate ipsum serratiae eam super pyramidem basis sue addere:quod ei propossium.
Omnis scrratilis pryamide sue balis duobus alnor: cide triplus cise probas
substrabo mi ab ipso serratili extrema triangularisi relinquena serratilis uno altior piramide: d per precedente in duas secabilis est piramidastituaru una est triangula pyramis basis serratilis et altera tetragonica cuius basis tetragona es et bast alterius e lateras et hec eade tetragonicayrramis perincesima nonam bulus in duas rursus secabilis est tria gulas pnamides: quarsi vita triagule priori est equalis et altera ea minor quum est basistria leprioris. addito igitur prius depto tri agulariet de hastprioris maguleppramidis equali ad minor Eulla fiet steri equalis.sse fiet tres equales triangulepyramides totum serratii constituente .constat ita. totum huiusmodi serratilem pyramidilue balis essempium:quod est propositum.
Eatere basis magularis dato:tria Gle pnamidis sup eam paetute summa repire. D
Neperiatur tri 1gularis lateris dati per sexta bustis:in que latus ipsum ducatur et habebimus serrstilleque ausi pyramidi cui amice duos equales tragulares Numicim serratilis duob' pyramide sue basis auior cuius tertia partem accipeetpprecedete babes prramidis sup latus costitute innimaar 3qd ex tria laci lateris dati ma rei ostius suis inferiorib' tria larib ' coaceruas:q6 e mpositst.
sisyramidis totius sumiam reperire: curis balis tetragona: ciusdemm basis latus 3
Ein precedes docuit dato trifigularis latere ex ipso et oibus sub eo colentis eoaceruste inuenire ita quom et psens nos instruit dato ter oni latere q6 ex ipso et omnibus sub eo 'tentis tetragonis coaceruae reperirenoemi est tetragone Pyramidis summa reperire quodi osteditur. in dato latere quero per sexilibutus eius triffgularem in quem in precedeti facts est bucolatus proposuά et proueniet serratilis equeatae eius pyramis altus cui addo vinconsimilist tria gulorum et mentet serratistis uno pyramide sue basis altiori tracta igitur u precedente inuenta basis prramidetpertricesinia prima uuis relinquetur tetragona pmmiscuiusquide basis tetragona est at v triangulari equilatera quesa est summo petita et propositum.
Si duo serrantes quorrum bases magulares proximi existant : et quorum altitudo ,,
. . . si alii ininta equaliter RI secsidum numersi lateris ma otis serratilis sunt linultiplicate et
basismius et basis alterius edi unete per quinta huius tetragonfi efficisit cuius latus lareri maioris est equale et lac sidus trist gulus ius secundo alterius eo iunctus per eande tetragonsi consimile.et ita . cosequenter ut tot tetragoni equales superponarur sibim inuice a pictur quot in latere sunt vilitates . . at cum ex illis figurant tonstituta basim quadrangula habens in longum Iarum et altum equaliter . . . distensa per di irinitionem concluditur esse cubus.
Si cuilibet cubo adiungatur basis sua et magularis basi sue equilaterus: esticietur , ,
CSunio duos tria gulares proximos quorst malor sit equi laterus tetragono cubi mari et constituo per tricesima huius super eos serrariles quorsi altitudo ste qualis lateribasis maioris qui duo serratiles coluncti perscedenti equabstrur cubo assignato.etm maior illo*serratilistest eq altus sue priamidi: dupio ergo sue basis sibi addito per tricesimasecunda dure fiet pyramidi me basis triplus. at qr alter serratilis est alteri eque altus : eritvno altior sua pyramide. basi igitur ipsi semel addita fiet eide sue pyramidi triplus.at basis sua cum basi alterius per quinta huius facisit tetragonsi cubumarest predicto cubo addatur basis suacti basi maioris serratiusque est triffsularis basime equis later lassicietur numerus piramidisue triplus:q6 erat demonstranda. s Sunt preterea colle que ut serratiles pertricemnjbulus lacti e formabsitur et quam summa ducendo vasim in costa eos gnosciturque Orfaciliassit autor omisit. sunt etianumeri circulares qui pro presemst principsi reversi eformi r.et deratione sphere sphericiaecubi ut viginnquinin et tri asei: quia radicibus
56쪽
qm natisitur numeri circulares incutur et centum uigintiquimansire traheta decem et sex sppere inberland cubi notant qui a radicibus quinaria et senaria in suos arculares quadratos ductis mcreamr.Sed quia bi numeri a paucis et stimiis numeris nasoetur quinario sciet senario et demourationis difficultatem non requirantiaut inm csi ceteris quadraris et curis nomiam obseruent; anipliorem determiatioem autor non ab re omississe videtur. Coetaui elementorum Brithmetices Iordani finis.
Qualitas est mequalitatis pricipium. Inequalitares quini sunt species: e aut mi maior terminorum panet minorem aliquoties ut ilicdit lapillian et dicie multiplex sporno.aut semel im et eius aliqua parton: ci suppareticu lans appellatur. aut semel et eius aliquot partes:ci dicit suppartiens. aut pluries et eius aliqui partem:et multiplex supparticii larisvocatur aut pluries et cius aliquot partes:ct multiplex supparnes notatur. C moris quom ad maiore habutudo totidem mccies cotinet:que inter se sicut priores pin denos num diuenitatem variatur. CE rem partem aluid multiplicarerint totam illius sumere partem: quota fuerit que mutnplicat.si Quod inmaliud multiplice illuda duci dicimus q6 ita se habet ad multiplicatum:sicut multiplicans ad viiii. diuidi dicis alido per aliud:cim illud sumitur diuidens q6 per idem multiplicatum summam diuisi restituat. CInequalium numerorum maloris ad minorem ea est:que partis ab ipo minore denominate: ad partem a maiore dictam .pportio.
Sinta et dinumeri inequalim:a maiorictb minor. sinim de partes ab spis denotatevso denotata abbete denomiam aba.dico eadem Sportio eea bet vade.pono emissi inter aetb niciet unum inter dete sit fiet da que ἄνportio a ad unum eae inuas ad partem ab admosatam:atea opportios ad e.etque gyportio emius ad brea est patetis denotate bad unum.atea est ad Librur per vicesimasci am secudi et equΙ proportioalitatern indirectam que amortio a ad b ea n d ad tartisses a minore denotate ad partem a maiore denotatam.quod est propositum.
Crbanes quotli1 et in panes equales
e Sint partes date a b ciet numeri eas denotantes o e stet a fusi sit reducere ab e in ptes ciuis denotatioi satin equales sumo pervicesima quitam terre mimum Geramque mi erant de udris numere ipm senuisti: et sit in pars denotata ab g.eritent per precedentemvis ad ma admini nuerat g-hrigitur et ni numerabit a m d et per eandem ut gabestaban assinii nervigrin higitur et innumerabit bm .itideli et ni numerabit crini per idem.ein re creparies ille inples equalesso a in partes dictas ab gfrid et bin easdem fini h et cineam paries abs dictassesin Laestabe singule non sinipara: sed bat partes et e partes idem euenietierum partes dicte Ggmbli .et duce do a in h*ueni ut partes adiere ab s.ci trucedo bin animisit partes b ab mdenuero dicte et ducendo e in liuentur reducte partes edicte ab g. onmaeolligis collectum ostendit summam partium ab cad eandem dei rotationem k3 g reduci .
Caslumerum cum parte vel partibus datum:in partes stinites reducere.
CSita numerus: tb eo partes dateret iubear primo aetbm partessites reducta eatrum nummum a denotant partem h in a.et dab es pars unius et unum pars totius a motata ab M okviceum tertiampnubes pars a denotata anuero qui fit ductu denotantistin se denotanrisbema eno . minarem ivsrpartis sc3 a.duco ergo hina et uere numerus denotans illam parremri odit inmonem multiplicans a Fin illam partem.capio ergo firmissi parti Mannicium num inquiem oessires partes acui addo partem b et sti aggregatus e factsi. apparebit propolituma n itineamur anun erunt et partes beet din sises partes reducere:reduco pinosi prece tem beaea inputes Ples. c deinde ut Pitus duco numerum denotantem inaei Ammiet inerus denotans illam part qitavi prius compleo et cui addo nuerum partium ad eandem denotationem reducta et inicit mollium.
CQuod fit ex ductu dilax partium unius in aliam: e pars denotata ab numero quistic eductu duo : numerox unius in altum illas partcs denotantium.
CSinta et boue partes: etnsieri eas denotantes sint ceto:et excindtareret pars denorata ad euit. duos esse partemvductam e ea in b.erit mi ex diffinitio erimum adcitia dotal detrimum ad G ita a ad virum.ergovia ad munirita diade.sevppumam huius ut daveritas ad h. at Pol immoem aut 3 ad unum:ita a ductum examb adb.at sua se habet ad bast igitur spoufinitio . lit a in b.quod est propositum.
si Si plura quotlibet in alido ducant m pducis tum si qolibet eo* ducas in illo.
Cit ecdecime primi linses sed color. sitnsterusae collectus ex abest multiplicet dissue sit in siue Psvel Ptes etaeueniat e.et ex ductu aint, fiat 'et bino fiat si et ei notat h.duos gus vitinerest tum e.name editi nifide erit unum ada et adhet ad citan. dad fiet adget ad harsio P ceu mrertiam lac divitum ada uete:titutdadf get .at a diffinitionem sicut unum ad a b Tialladade. sunt igitur fgeth simul et tum e.quod est propositum
57쪽
Si duo* quodlibre in reliquum ducaturarue a ducenar cqua esse necesse est.
est octauam ii set, paulo color inena ad minutiasIfractionesin se extendar.vinansmispars vel partes multiplicet, numerunt sirem uel dies et mentat c:etb nruit plueta et prouentat d. dinoc id ei lia. extulinitide erit cadb Muta ad incrgoymutati me ada sicut bomum. ergo purissiae diffvundis bina ducit c.estigiadqs fit ex binaequuc.quod erat dein ostranda.
CProducti ex duobus cnt ad jum *portio a reliquo dinotata.*si elus ad altem diment amomo a reliquo Naand ci ductu alterius m ait crum a ducoetur.
ζ'--s nseris a in b a ducatur cidico proportioem c ad a ee denotatam ab h: et proportiom eo b esse iriatam ab a nam p Medente ex a in D fit e:ctexb in a fit ma ciet st diffinitioem ea e avortio badm duiue cada.ata portio Bad unu denotatur abbriginiret .pportio eada notabiturabb. et psim qrex a in b fit Co diffiniticem que a portio a ad una:ea e sic ad b.ar mortio a ad unu denotatur ab angitur ortio ead bdenotabituraba. quod est propositum. Couersu ipsim tu verso modo mari errebat ad que libet numerum ut stlibct multiplicem demostrare possimumcapicdo totum numeram ab unitate quotus numerus multiplex ad nsierit lit petitus et duce do numerum ab unitate totum accepist in risieruna amisnalsi.et per presentem totus*uemet ad numersi assignat si multiplex.
Eois yportio G imabus coposita: ductu virtus cap in reli quam Iducitur. s
Ca ecfere in ricesima a se redimosti alaesturisilphec paulo latior insatin hic alio demostrandi modi innitimur.Sint ergo ab e tria otitiise proportloalia aurci binis fiatd:ersite denotati siportionis b ad a.rico equu esse qs fit et a in cret D m se.na qr c Peneiat proportioem is ad n: ena denotabit proportiori cadb. ergo Pscsam Plemyentililiue emb A ducis c. go Pocratiam secsidiu mortio vade ea est Dad e:sed et o de sesam Pte penuluinea in e facit b.ergo pcr primgni partem ciusde ad motat Pportio b ad riquare etproportionem d ad c.crgo a in c per eiusde scdam Ptem iducit d. constat ivturquod latex bin equuellaei q6 fit exstin c.er prepositum.
Si primum ad freni sicuti si ad quartu: quod fit ex primo In quartum: cuuale iootei q6 secundo in tertium a ducitur. ηε qui rei milii Ud semii Sit rego proportio a ad butea d et ex bin crate. dico
Si tam alte* duoru nucrorum sumatur paries a rcliquo iacimt ab eo duod ex ueis sponit proportio eiusdem aD reliquum denotata. unde manifestium cstinoes ille se babent ad unum sicut iniquus abdenotantem.
partes ille adm-.sed Ust in illis Hucit istim cremo u septima huius p oportio ea durim b Σε Ecdpotito ex iris partibus.ergo et proportio a ad is ab eodem denotatur. Corre artum 2 moreri
Que a pira se prilius ear res denotantur: unam non comtulit. 12
' asgregatus ex pis sit c qui P notiam teri si est primus ad utrum
e pars denotara ab b incod et eno 'stituere Parreni una.dum est mimus auenderant a b:qui et idem sper deciniamor terra est primus adc.etyscinam huius: destreducte dies denomiate abfetem ephi, Treducte partes denotate abscisumptem a.quare desimus sunt ptes denotate abstersumnte me
59쪽
GH ppositi ad maior cin sponcntiu supparticulari vi suppantcs: ad minoras imo mumplexi multi pici: supparricitiails vel in luplex suppari lcs yportio rc peritur
si Primum et positus ad maiorem 'petientis sit supparticulari aut suu parties patet. na opositus addit super maiorem ponetium detum cst minor qui per primem primi erit pars vel palles maioristi pars maioris per distinitionciti 'pestus ad maiorem 'pon tium est supparticularis 1lparim erit lud pamino. multiplex asti ad maior cin nund ee potest. Scem et positus ad minorem sit multiplex multiplex surparticularis aut multiplex mypartiens ostenditurina maioris sponentiu ad minorem statio: a diuissene aut est multiplex aut sise particularis aut suppartiens aut multiplex lud particus aut multiplex suppartiens. Si aut maioris ponentium ad minorem proportio sit mu tiplexrcst minor malorem numeret et inam sei fm ipse aliqtica sumptusnsicrabit tota. quare sic positus erit multiplex ad ipm. et st maior ad nitorem sit supparticularis aut multiplex supparticularis p decimὲ octauam mus compositus ad ni inerem est multiplex surparticularis. etsi maior ad minorem nisu perparties aut multiplex surparti estpcrdecima nonam huius crit teponius ad minorem multiplex luperparties .est igitur totum propositum notum.
Quecum maioris ad mlorcm xpertio multiplici addatur: tota erit aut militi plo out multipla supparticulans levi trulliri cxiu's particlis.
Sit quessi Qxpomo multiplex data: et alia quecum maietis ad manus: que pse iram quinti tinEtur in mimiotcrnii nisai ble. v avra a b sit data 1 porito multiplex teiba de sit altera maioris dirutinis.dico tota aperi idem a a deesse multipli rem aut multiplilcm suppari reuiore aut multiplicesuPpartielem .nam et raeli maior h. eth maiore et aadhgro trocst multiplex per nonam sedi oportio ad c maior is x perticea ad h. ad diligis et portio a ad cis P Wo. Nocmaadb Te Insicrum . sicin tota crit multiplex vel pari cmautnnmmmcis parte: et sic erit multiplex iupparticulario:vr partes aut me mesi partibus et sic crit multiplex surparti reo .est iram notum quod dicitur.
Et duc miltiplices celat ungantur: ccirposita crit trultiplcr. α
σRamrira mansiere dc notas: queu si alter in alteri ni ducatur X ueniet nucrus a quo P octauari huri s denosatur compenta: quare erit multet plex. quod cit prepositum.
c Eata iis ultiplice supparticularc in iniicnirc: quc tu illa ni ulli pliccni costituat. vla de is pci spicuum cst ex qua Lbct multiplice cu tela surparriculari: multiplice no maioris
multiplices et iud particuIare steteri csitur: aptetiolationi ultiplicis et tenotatio partis superparticularis ab eo et mncero nati ur ut tu pla et sesqualia. duplaciti aduehus et sesqualeas milie sumituranem sesqualia tincitetvm et unanis fa3. tripla et sesqmitia quadrupla in sesquiquarta: nomdeinceps. itaquecem multiplex X portio data et v numerus eam denelans: et sic δ portio surpar, licitiaris cuius in umerus d de rei ei partem. sit de qualis h. et sere totali sic rotati e prepertio is sudparticularis etqucquide demolatur ab uno et numero partis. et q2 vnu in B facit b et pars denotata abbinbsacit unum dio tota denotatio elucta in blattinseruntvno maiorem b qui sit quid octauam huius est dene minans x portioni scem posite ex aetc. est igitur Sportio posita ex aetcra numero scydenotat armultiple et quia numerus ecne minans cet ape sirem est uno maior puero denotantea portioncm a:exl correlarium et telum propositum notum est.
si Sit enla data xpertio surparticularis et pars que cum vno eam tenem inarsit h. capio que quot multiplices Hluero: uap ulli heim: merus denotans:sstres si adbietb pars.clex modcmos radi precederisa:α qualibet illo multiplicium stituet multipliccmici utetur propositum.
Datam illisplice quotlibet silmere surparticularco: quaxque libct cum caemciar is multipliccni supparticularc m.
CSita data; portio multiplex ad qua iubemur que ilibet supparticulares inueniretque η quelibet cum stituat multiplicem surparticularem. capi ob numerum denotantem*porii et mmultiplicema:etium ocidi effet quot uirot voluero naultiplices adb:optes ab tris P cnotatas pordinem. et capio supparticularcs denotatas a Ptihus eid Ieiffinue sint g nihil etia* qualibct cudata multiplice dicoco intuere multiplicem supparticii tarcna. nam das suppcrticularis sumpta ab e et ua parte idenosa falso e et parte denotata ab c. et bin tot oc semelestituit multiplice:et in parte eo stituit totam diem quot apsi is positus sit ad i. positast exadata multiplice et g supparticulari sumpta adtecpstitu sit multiplicem Iurparti larem .et eadem ronc oposita l. qe est propontum.
60쪽
VIIII iό C Cluotlibet mutnplices inuenire:que eae data supparticistin inultiplicem suppartircularem constituant.
bui' bine et indietinet et infossit mensi eru multipliosae denotarido capio ergo gibi , t totidem multiplices viro maior:s bino lationis.et qr g addit Ussisse multiplicit c:st ergo ni totalis denotatio opportionis supparticularis ducatur in s mentet numerus cu parte denotata ab b:quare proportio multiplex supparticularis.m in presenti figuranoeiueniret ortio septupla sesqualia.et ita deth et et i demonii abis.
ατ CData multiplice quotlibet supparticulares inuenire qua* quelibet cu cadem mul tiplicem suppartientem componat.
CSit a data multiplexi et b numerus ipam denominsis:sumo quotlibet numeros eo maiores sed nomultiplices qui sint si h h l et partes ab ipsis denomiare sint c d e f.ut i m denotata ab g et d abb:sum sequeter.duo st et b in e in d/ m et et in f non partem sed partesiducitinam si ducas b ine raraeniatm pres denotate ab gro correla risi undecimedusq Pportio b ad Mea e m ad ost.sed o bypothesim binptres: igis supparticulares ab illis partibus dicte cum data multiplice quelibet 'stituet multiplicem superpartiententi
is CSola supparticularium resqualtera: est q cu nulla multiplice multiplicem supparu
cras amet: sesqualea denotatura lassa que elimius dimidium et dimidisi in oem numerum ductum aut unum mucit atat numerum aut dimidium addit nam binarius oem ii stera numerat aut suuffuit unitas ergo denotans partis sesqualte in denotantem multiplicis:aut multiplicem 4 ducet aut multipliceni supparticularem.nonitam csi multiplice multiplicem supparuerit xv licet.atinois alia insiparticularisca aliqua multiplice multiplicem susepartientem efficere possit thinc cognoscitur.mniurnas numerum denotant multiplicem uno miliorem numero denotante partem date supparticularis ex precedete efficies xpolitum voles et primam partem faciis et modo demolirandisicessime secte huius cognosccre:queadmodum secundam partem ex precedente cognoscis.
α' si Sola multiplicium dupla:cunulla suppamete multiplicem emat proportioncm.
TDecmponit duplam cunulla su Dpartiete multiplicem stituere et malia multiplicem eii aliqua suppartiremposse multiplicem eon ruere. primum patet et sita Hortio dupla et b numerus ipam denotans: sitis e quecum gyportio suppartiens.dico a cum e non constituere immo em multiplicem. Sumo mi partes c q denominetur ab d et numeretur ab Met eo b in illas partes mentet partes lilas et numerate a numero qui fit ex binario:id est b in e su ergo nuerus illa* partium 'que oleo noesse numerum nam no erit equalis d:qr e numeraret d.nem v ljm numerabit nam 'n unitatem non numerabit:qreti ei equalis.nem fm binariumqrdete equarenir.nem Fm maiorem binarior quia omaioreste .cst ergo b ine denotans in partect altius non stituat numerum non a ducetur multiplex. Grem patet nam data quacum alea multipliceria:capio b numerum i pam denotantem quem facio aliuna* partium Penoratorem:etsumo numerum partium vno minorem bqui sit cissim o sipparties partium cidico a et o fimul pstituere multiplicem nam mb est denotans aer denosam sitist d:ideo b e tine 'stituet nomm.denotabituri tam coposita a numero:quare erit multiplex.qo est Ppostrum, d ue . ,
3o CData superpartiente multiplices quotlibet reperire: qua ς quelibet in illam ducta producat nauinplicem. ,
CSit a data suppartiens:et numerus partium sit drosierus illis denotans ut e.capto pino multi oricem aue denotetur ab c que sit drueinde que denotetur ab multiplicab' e quotquot voluero: sintquestii denotantes ef&dico a datam suPpartiete cst qualibet multiplici fides et gostituere multiplice. nam b in e omluet numerum et in e etia numerum qet duplum et in f triplu et g quadruplum accretis Isc3 per ordinem multiplicibus deno antis c. ergo suppartias a cu qualibet illa* multiplici si costumi a smultiplicem.quod est propositum
31 gQuotlibet suppamcntes quai: quelibet cum xposita multiplice multiplicem sup
particularem constituat inuenire. . A . o. SCSit sposita multiplex a cuius numerus denotans fit b:sumo quelibet nsierum maiorem b qui sit ciet duco b in e et fiat d. et capio e minorem uno d.capio item partes denotatas ab e rm nuerum c que is s. s stini Lassi enim bine 'stituito:ideo binfcbstituet si partes em numerumd.gi pe=m numerum d f s e ssumptelaeisitissi et aamplius.Mita. grippartiens denotata aptibus dictis ab e et sumptistin e , nummime et vibin 'stituit numerum et partem radem supparties csta stituet supparalcularem a et quotbvoles eadem rone tibi sumas iuppartietes gina 'stituent supparticularem. estἔpostili.
, i Cadultiplices aliquot sui nere:que in datam supparticularem duae a creent mulli retia enisi finiuibat expolitonis suppartieus: quietinuit strea in pna quero puluimat
mii uiolicem a si addatiust multiplicem vinitatem que sti cim. nsiri us fim que a numerat enuctus v. sumo unitatemque Me.erit Odade multiplex de ista abd.at per demastrata in principio ter